测度与概率(严士健 刘秀芳)第四章答案

µX ([
1
n∈Z n∈Z
[arccos y + 2nπ, 2π − arccos y + 2nπ ])
wenku.baidu.comn∈Z
P (kX ∈ [arccos y + 2nπ, 2π − arccos y + 2nπ ]) µX ([
n∈Z
arccos y + 2nπ 2π − arccos y + 2nπ , ]) if k > 0 k k 2π − arccos y + 2nπ arccos y + 2nπ , ]) if k < 0. k k
§ 4.1 习题 第 10题 证明: (1) (a) 由 σ (A) 的定义知, Λ ∈ σ (X ) 的充要条件是存在 B ∈ B , s.t. Λ = −1 X (B ). 这里B 可能是不唯一的. 例子: 对有界的随机变量 X : Ω → R, 即存在 M 使得 |X (ω )| < M, ∀ ω ∈ Ω, 令 Λ = Ω, B1 = (−∞, M + 1], B2 = (−∞, M + 2], 则 Λ = X −1 (B1 ) = X −1 (B2 ). (b) 对 Λ ∈ σ (X ), 可能存在一个集 A ∈ B , 使得Λ = X −1 (A). 例子: 取 X ≡ c(c ∈ R), Λ = Ω, 集合 C ⊂ R, 且 C ∈ B , 则 A := C ∪ {c} ∈ B , 且 Λ = X −1 (A). (2) 推广: 设 σ (X1 , X2 , · · · , Xn )是由随机变量 X1 , X2 , · · · , Xn 产生的 σ 域, 则 Λ ∈ σ (X1 , X2 , · · · , Xn ) 的充要条件是存在某个 B ∈ B n 使得 Λ = X −1 (B ), 并且 B 不唯一, 而 且可能会存在 A ∈ B n , 使得Λ = X −1 (A). 第 11题 (1) 当 n = 1 时, f (x) = x2 , x ∈ R. 用 F 表示 f (X ) 的分布函数. 则当 y < 0 时, F (y ) = 0; 当 y ≥ 0时, F (y ) = P (f (X ) ≤ √ √ √ √ √ √ y ) = P (X 2 ≤ y ) = P (− y ≤ X ≤ y ) = µX ([− y, y ]) = FX ( y ) − FX (− y ). (3) 当 n = 1 时, f (x) := cos kx, x ∈ R, k 为常数. 用 F 表示 f (X ) 的分布函数. 当 k = 0时, f (x) ≡ 1, 于是当 y < 1 时, F (y ) = 0; 当 y ≥ 1时, F (y ) = 1. 当 k = 0时, 若 y < −1, 则 F (y ) = 0; 若 y ≥ 1, 则 F (y ) = 1; 若 −1 ≤ y < 1, 则 F (y ) = P (f (X ) ≤ y ) = P (cos kX ≤ y ) = P (kX ∈ = =