信号处理滤波原理

n N N i 2nf
sin 2 ( N 0.5)f sin f
1 1 ( f [ , ]) 2 2
时窗函数
离散方波信号所对应的频谱为
G N ( f ) g N (n)e
n N N i 2nf
sin 2 ( N 0.5)f sin f
3、在频率域中计算
~
X ( f m ) H ( f m ) X ( f m ) (m 0,1,, N 1)
~ห้องสมุดไป่ตู้
4、 对 X ( f m ) (m 0,1,, N 1) 进行IFFT计算，就得到 我们所需要的经过滤波作用后的信号。
理想滤波器
分析有限离散信号
x(n) (n 0,1,,7)
DSP的应用：波动方程
1 2 P( x, y, z, t ) 2 P( x, y, z, t ) 2 P( x, y, z, t ) 2 P( x, y, z, t ) 2 2 2 2 2 y c t x z
i P( x, y, z 0, t ) φ( x, y, t ) t i k x 在频率—波数域中，利用对应关系 x 2 i c i k y y 2 2 1 2 (k x k y ) U U
对其分别做：低通、高通、带 通、带阻等滤波。
频率域滤波方法
频率域滤波方法最常见， 也最简单。
频率域滤波方法 在今后的工作中，凡是碰到 提供四个频率的滤波器：
f1、f 2、f 3和f 4
均是指带通滤波器（特别声明 除外）。
时窗函数
在对连续信号进行离散化的数字信号处理过程中， 我们只能取其有限长度的离散信号做分析，这就导 致了Gibbs现象。在前面的理想滤波器中，我们就说 明了理想滤波器其实并不理想：它们的长度无限并 且通常伴随着较为明显的振荡现象，即Gibbs现象。
其中
f1 称为理想高通滤波器的高截频率 。
1 H 3 ( f ) 1 H1 ( f ) ( f ) 2
理想滤波器
4、理想带阻滤波器的频谱表达式为
0 H4 ( f ) 1 f1 f f 2 其它 (f 1 ) 2
其中 f1 、f 2 分别称为理想带阻滤波器的低阻频率与 高阻频率 。
时窗函数
很显然，有限离散信号 x(n)( N n N ) 可以被认为是原来的无限离散信号 x(n)( n 0,1,2,) 与如下的离散方波（矩形）信号在时间域的乘积
1 ( N n N ) g N (n) (其它) 0
离散方波信号所对应的频谱为
G N ( f ) g N (n)e
理想滤波器
例1：一道地震数据 x(n) ( 1ms; n 0,1,,1023)
对其分别做：低通、高通、带 通、带阻等滤波。
在地震资料数据处理中，最 常见的是做带通滤波。
理想滤波器
对滤波器而言，原理上讲，频谱越光滑，其所对 应的时间信号衰减的就越快。但是，由于理想滤波器 的频谱存在突变点，因而其对应的时间信号总是伴随 着一种振荡现象（Gibbs现象），其结果是：理想滤 波器所对应的时间函数衰减的比较慢。
很明显，这两条原则相互之间是矛盾的。因此，如何 找到它们两这之间的一种平衡，存在着许多不同的方 法，这就导致了许多种不同时窗函数的存在。
几种常见的窗函数
几种常见的窗函数
几种常见的窗函数
滤波原理
1、掌握四种理想滤波器及其相关原理： 定义、表达式及对应的频谱图形。 2、掌握离散信号的滤波过程。
3、了解理想滤波器存在的问题及对策。
X ( f m ) (m 0,1,,7)
0 0 0 0 X ( f7 ) ?? X ( f 0 ) X ( f1 ) 0 0 0 0 X ( f4 ) 0 0 0 ?? 0 0 X ( f 2 ) X ( f3 ) 0 X ( f5 ) X ( f6 ) 0 ?? 0 0 X ( f4 ) 0 0 X ( f7 ) ?? X ( f 0 ) X ( f1 ) 0
理想滤波器
对于以采样间隔为Δ的离散序列来说（不论其是 有限离散还是无限离散） ，其最高频率为
1 2
因此，我们只需在有限频率范围
1 f 2
来展开问题的分析。
理想滤波器
1、理想低通滤波器的频谱表达式为
1 H1 ( f ) 0 f f1 f1 f 1 2
其中
c z 可以得到 i c2 2 2 D 1 ( k k x y) D 2 z c
这些构成了地震勘探的理论基础。
DSP的应用：差分方程
我们知道：计算某一点处的二阶差分运算 计算一均匀分布的离散系列各点的二阶差分运算
2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 2 P i 3 P i 2 P i 1 P i P i 1 P i2 P i 3
理想滤波器
克服理想滤波器应用中所存在的Gibbs现象的两种 主要途径：
1、频率域方法。 避免理想滤波器频率响应中出现的突跳现象，将 其改造为一条连续甚至光滑的频谱曲线(鑲边法)。
2、时间域方法。 对理想滤波器所对应的时间域信号进行改造 （时窗函数法）。
频率域滤波方法
例2：一道地震数据
x(n) ( 1ms; n 0,1,,1023)
1 H4 ( f ) 1 H2 ( f ) ( f ) 2
理想滤波器
分时间域（褶积）和频率域两种（频谱乘积）。多 数情况下，滤波是在频率域中实现的： 1、对待分析有限离散信号 x(n) (n 0,1,, N 1) 做FFT计算，得到其谱 X ( f m ) (m 0,1,, N 1) 2、选择所需要的滤波器的频谱H(f)，并对其进行离 散得到 H ( f m ) (m 0,1,, N 1)（注意此时频率域的离散采 样点必须与信号频谱 X ( f m ) 的采样点完全一致）。
时窗函数
因为时窗频谱旁瓣作用的结果通常是被改造 后的频谱偏离了原始频谱。 我们将时窗频谱旁瓣 对原始频谱这种具有破坏性的贡献称为时窗泄露。
当然了，为了减小这种时窗泄露，我们希望 时窗频谱在旁瓣的最大相对幅度越小越好。
时窗函数
选择时窗函数的两条原则： （1）时窗频谱的主瓣范围很小（并且其数值尽可能的 大一些）； （2）时窗频谱在旁瓣的数值越小越好（当然旁瓣范 围小一点也可以）。
f1 称为理想低通滤波器的高通频率。
理想滤波器
2、理想带通滤波器的频谱表达式为
1 H2 ( f ) 0 f1 f f 2 其它 (f 1 ) 2
其中 f1 、f 2 分别称为理想带通滤波器的低通频率与 高通频率 。
理想滤波器
3、理想高通滤波器的频谱表达式为
0 H3 ( f ) 1 f f1 f1 f 1 2
1 (P i 1 2 P i P i 1 ) 2
理想滤波器
待分析的信号除了包含有有用信息外，通常还 包含有噪音。在数字信号处理中，用来消除或消减 噪音、提取有用信息的这一过程被称为滤波。 数字滤波器是指能完成信号滤波功能的、采用 有限精度算法实现而成的离散的、线性时不变系统。 数字滤波器既可通过使用特定的滤波硬件来 完成，也可通过在计算机上编写所需的算法来实现。 数字滤波器的数学计算方法有两种：频域法和 时域法。其荔路基础是褶积。
1 1 ( f [ , ]) 2 2
时窗函数
在此时窗函数的频谱图中，靠近原点的两个零点 之间（频谱的数值非负，即频谱的中间波峰非负的部 分）称为主瓣 ；其余部分称为旁瓣。
时窗函数
由于旁瓣等的作用，原始频谱中的许多细节部分就 会被平滑，从而导致有限离散信号的频谱与原始频谱之 间存在较大的差异。因此，为了更好地保留原始频谱的 信息，这就要求时窗频谱的主瓣范围很小，并且其能量 尽可能地集中于主瓣（数值尽可能的大一些）。
实际工作中，有一种方法可以较好地用来克服这 种由无限长度信号的有限化分析所产生的截尾现象， 使有限离散信号能较好地反映出原始的无限连续信 号，这就是时窗函数。
时窗函数
照相机的机身好比滤波器，被拍摄的场景或人物好 比系统的输入，所得到的相关资料（如底片、图片、数 码像片等）就是系统的输出。 照相机的镜头好比时窗函数。
时窗函数
无限离散信号 x(n)( n 0,1,2,) 的频谱为
X ( f ) x(n)e
n i 2nf
1 1 ( f [ , ]) 2 2
对其有限取样后得到的信号为
x(n) ( N n N ) x N (n) (其它) 0