高中数学《用二分法求方程的近似解》优秀教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识与能力目标通过本课的学习,使学生掌握用二分法求方程的近似解的基本方法,并能够在实际问题中运用二分法进行求解。
2. 过程与方法目标培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
3. 情感态度与价值观目标通过实际案例的讲解,引导学生对数学知识的兴趣,培养学生对数学的积极态度和认真学习的习惯。
使学生明白数学知识在实际生活中的重要性和应用价值。
二、教学重点与难点1. 教学重点① 二分法的基本概念和原理;② 如何用二分法求方程的近似解。
2. 教学难点如何将二分法的概念与实际问题相结合,从而解决实际问题。
三、教学内容本课的教学内容主要包括以下三部分:四、教学方法1. 情境教学法:通过引入实际生活中的问题,引发学生的兴趣,激发学生的学习欲望。
2. 合作学习法:根据学生的智力特点和认知规律,采用小组合作的方式,让学生们在实践中学习,相互合作,相互启发,以达到巩固知识、提高水平的目的。
3. 讨论法:通过提出引导性问题,激发学生的思考,引导学生积极参与到知识的建构过程中。
五、教学过程1. 引入通过一个实际生活中的问题引入本课的话题,例如:小明要在一块土地上建造房子,他想要求出这块土地的面积,但是这块土地的形状并不规则,无法直接进行测量,他要如何做?2. 探究教师简要介绍二分法的基本概念和原理,然后通过一个具体的实例来向学生解释二分法的具体步骤和求解原理。
3. 案例分析教师提出一个具体的实际案例,比如小明要在一块不规则的土地上建造房子,他希望求出这块土地的面积。
然后,教师与学生一起分析问题,引导学生逐步掌握用二分法求解实际问题的方法和步骤。
4. 练习教师设计一些练习题,供学生进行巩固和提高。
例如:利用二分法求解方程x^2-2=0的近似解。
通过这些练习,学生可以巩固并加深对二分法的理解和掌握。
6. 拓展应用教师提供一些相关的拓展应用题,供学生进行讨论和解答。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计【教学目标】1. 理解二分法求方程近似解的基本原理和步骤。
2. 能够运用二分法求解简单的方程。
3. 培养学生的问题分析和解决问题的能力。
【教学准备】1. 课件、教学录像等教学辅助工具。
2. 题目:使用二分法求解方程x^3 - 2x - 5 = 0的根。
【教学过程】一、导入(5分钟)1. 教师提问:“在前面的学习中,我们学过了如何使用代入法求解方程,请问还有其他方法可以求解方程吗?”2. 引导学生思考,然后教师简要介绍二分法的基本原理。
二、概念讲解(10分钟)1. 教师通过示意图等方式,讲解二分法求方程近似解的基本思想和步骤。
2. 强调二分法的基本原理是通过不断将待求解区间进行二分,直到找到近似解为止。
3. 提醒学生在运用二分法时需要确定初始的待求解区间。
三、示例演练(20分钟)1. 教师出示题目:“使用二分法求解方程x^3 - 2x - 5 = 0的根。
”2. 以班级为单位进行讨论,确定初步的待求解区间。
3. 教师引导学生运用二分法求解方程的近似解,并进行实时解答。
4. 教师解释二分法求解方程的具体步骤,并引导学生完成。
5. 教师进行总结,强调二分法在求解方程近似解中的重要性。
四、巩固练习(15分钟)1. 教师提供一组方程,要求学生运用二分法求解方程的近似解。
2. 学生独立完成练习,并在一定时间内互相讨论、交流。
3. 教师根据学生的表现和问题进行答疑和指导。
五、拓展应用(15分钟)1. 拓展应用让学生运用二分法解决实际问题,如求解方程在某个区间内的根的个数。
2. 强调根和解在二分法中的关系,并引导学生思考和讨论。
3. 学生独立完成实际问题的求解,并主动分享解题过程和思路。
六、小结(5分钟)1. 教师对本节课的学习内容进行小结,强调二分法的应用领域和实际意义。
2. 教师对学生的表现进行评价和肯定,鼓励学生在日常生活中积极运用所学知识。
【教学反思】本节课通过概念讲解、示例演练、巩固练习和拓展应用等环节,帮助学生初步了解和掌握二分法求解方程近似解的基本原理和步骤。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识目标:学生能够掌握二分法求解方程的基本方法和步骤,理解近似解的概念和计算方法。
2. 能力目标:学生能够独立运用二分法解决实际问题,提高数学问题的解决能力。
3. 情感目标:培养学生的数学兴趣,激发学生对数学的热爱和好奇心。
二、教学重点和难点1. 教学重点:二分法求解方程的基本方法和步骤。
2. 教学难点:学生对于二分法的理解和运用能力。
三、教学过程1. 导入与引入为了让学生更好地理解二分法求解方程,可以通过一个简单的例子引入,比如求解方程sin(x) = 0的近似解。
引导学生思考如何用二分法来解决这个问题。
2. 理论学习1)介绍二分法的基本原理和步骤,通过图表和实际问题进行说明。
2)讲解二分法在数学问题中的应用,如求函数的零点、求解方程等。
3)举例说明二分法的具体运用,帮助学生理解二分法的实际操作过程。
3. 案例分析以一些典型的实际问题为例,让学生运用二分法进行求解。
比如通过一个实际应用问题,让学生理解并运用二分法。
如通过实例,“小明在深山中迷路,他在午夜时分按照手表上的时间发出信号弹,他需要知道现在是深夜0时还是清晨0时。
如果他发了三次信号弹,分别被回声弹在0.5分钟、2分钟、3分钟之后听到,那么他能知道现在的时间是多少吗?”4. 练习与训练1)学生按照老师指导的方式进行相应的答疑与讨论,对理论知识进行巩固。
2)组织课外实践活动,让学生通过实际操作来练习和巩固二分法的运用。
5. 总结与拓展1)总结二分法求解方程的基本方法和步骤,复习本节课的知识点。
2)让学生思考二分法在其他数学问题中的应用,指导学生拓展和深入理解。
3)布置相关作业,让学生巩固所学知识。
四、教学手段1. PowerPoint演示:用于讲解二分法的基本原理和步骤,用图表等形式进行说明。
2. 实例分析:通过一些实际问题的案例,让学生理解并运用二分法。
3. 板书:用于记录学生提出的问题和解题的关键步骤,便于学生理解。
人教版数学高一-用二分法求方程的近似解 精品教学设计

3.1.3 用二分法求方程的近似解(一)教学目标1.知识与技能掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤,会用二分法求方程的近似解.2.过程与方法体会通过取区间中点,应用零点存在性定理,逐步缩小零点所属区间的范围,而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想,渗透算法思想.3.情感、态度及价值观在灵活调整算法,在由特殊到一般的认识过程中,养成良好的学习品质和思维品质,享受数学的无穷魅力.(二)教学重点与难点重点:用二分法求方程的近似解;难点:二分法原理的理解(三)教学方法讲授法与合作交流相结合,通过老师恰当合理的讲授,师生之间默切的合作交流,认识二分法、理解二分法的实质,从而能应用二分法研究问题,达到知能有机结合的最优结果.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入课题1问题:一元二次方程可用判别式判定根的存在性,可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程,虽然可用零点存在性定理判定根的存在性,而没有公式. 求根:如何求得方程的根呢?①函数f (x) = ln x + 2x–6在区间(2,3)内有零点.②如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.④取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)≈–0.084.因为f(2.5)·f (3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.师:怎样求方程ln x + 2x– 6 = 0的根.引导:观察图形生:方程的根在(2,3)区间内师:能否用缩小区间的方法逼近方程的根生:应该可用师:我们现用一种常见的数学方法—二分法,共同探究已知方程的根.师生合作,借助计算机探求方程根的近似值.区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 –0.084(2.5,3) 2.75 0.512(2.5,2.75) 2.625 0.215(2.5,2.625) 2.5625 0.066由旧到新设疑、析疑导入课题,实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.∈(a,c));③若f (c)·f (b)<0,则令a = c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε:即若|a–b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复2~4.应用举例例 1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x +3x = 7的近似解(精确度0.1).师生合作应用二分法,遵循二分法的步骤求解,并借助函数图象检验.例1 解:原方程即2x + 3x–7 = 0,令f(x) = 2x + 3x–7,用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x–7的对应值表与图象x0 1 2 3 4f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21x 5 6 7 8f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273观察图或表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375)由于|1.375–1.4375| = 0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取为1.4375.尝试体验二分法,培养应用二分法从而固化基本理论技能巩固练习1.借助计算器或计算机,用二分法求函数f(x) =x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0,1)内的零点学生动手尝试练习,师生借助计算机合作完成求解.1.解:由题设可知f(0)= –1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零进一步体验二分法,巩固应用二分法的方法与技巧及注意备选例题例1 用二分法求函数f (x) = x3– 3的一个正实数零点(精确到0.1).【解析】由于f (1) = –2<0,f (2) = 5>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的由上表的计算可知区间[1.4375,1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4,所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.。
高中数学优质教案 用二分法求方程的近似解

§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标:知识与技能:通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法:能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备. 情感、态度、价值观:体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.教学重点:重点:通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.难点:恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 复习 提出问题①已知函数f (x )=mx 2+mx +1没有零点,求实数m 的范围. ②证明函数f (x )=x 2+6x +10没有零点. ③已知函数f (x )=2mx 2-x +21m 有一个零点,求实数m 的范围. ④已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m -1有两个零点,求实数m 的范围.活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:①因为Δ=m 2-4m <0或m =0,∴0≤m <4. ②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点. ③Δ=1-4m 2=0或m =0,∴m =21或m =21或m =0. ④Δ=16m 2-8(m +1)(2m -1)=-8m +8>0且2(m +1)≠0,∴m <1且m ≠-1. 导入新课 (情景导入)歌中唱到:再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达,同学们知道生活中“穿过”的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的?学生思考或讨论回答:利用函数值的符号,即f(a)f(b)<0.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根,其图象也不易画出,怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果:①在闭区间[a,b]上,若f(a)f(b)<0,y=f(x)连续,则(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为:“闭端反连(脸),开内零点.”应用示例例1求函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数.活动:根据零点概念,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示:因为方程ln x+2x-6=0的根不易求得,函数f(x)=ln x+2x-6的图象不易画出,如果不借助计算机,怎么判断零点个数?可以利用f(a)f(b)<0,及函数单调性.解:利用计算机作出x,f(x)的对应值表:由表和图3-1-1-15可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)f(3)<0,这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点.图3-1-1-15 图3-1-1-16变式训练证明函数f (x )=lg x +x -8有且仅有一个零点. 证明:如图3-1-1-16,因为f (1)=-7,f (10)=3, ∴f (1)f (10)<0.∴函数f (x )=lg x +x -8有一个零点. ∵y =lg x 为增函数,y =x -8是增函数, ∴函数f (x )=lg x +x -8是增函数. ∴函数f (x )=lg x +x -8有且仅有一个零点.点评:判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性. 例2已知函数f (x )=3x +12+-x x , (1)判断函数零点的个数. (2)找出零点所在区间. 解:(1)设g (x )=3x ,h (x )=12+-x x , 作出它们的图象(图3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为f (x )零点的个数. 所以两函数图象有且仅有一个交点,即函数f (x )=3x +12+-x x 有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f (0)=-1,f (1)=2.5,所以零点x ∈(0,1). 变式训练证明函数f (x )=2x +4x -4有且仅有一个零点. 证明:利用计算机作出x ,f (x )的对应值表:图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知,f (0)<0,f (1)>0,则f (0)f (1)<0,这说明f (x )在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设x 1,x 2∈(-∞,+∞),且x 1<x 2, f (x 1)-f (x 2)=21x+4x 1-4-(22x +4x 2-4)=21x-22x +4(x 1-x 2)=22x (21x-x 2-1)+4(x 1-x 2).∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,21x-x 2-1<0,22x >0.∴f (x 1)-f (x 2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.则函数f (x )=2x +4x -4有且仅有一个零点. 知能训练1.函数f (x )=lg x -2x 2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 2.若函数f (x )=2mx +4在[-2,1]上存在零点,则实数m 的取值范围是( ) A.[254] B.(-∞,-2]∪[1,+∞) C.[-1,2] D.(-2,1) 3.已知函数f (x )=-3x 5-6x +1,有如下对应值表:函数y =f (x )在哪几个区间内必有零点?为什么? 答案:1.B 2.B 3.(0,1),因为f (0)·f (1)<0.点评:结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点,应切实掌握. 拓展提升方程ln x +2x +3=0根的个数及所在的区间,能否进一步缩小根所在范围? 分析:利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解:(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=ln x+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=ln x+2x+3有一个零点x∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围?借助计算机可以验证同学们判断,激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数,证明零点个数.(2)思想方法:函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

3.1.2用二分法求方程的近似解本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》(人教A版)第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》第二小节《用二分法求方程的近似解》.一、教学背景分析1.教学内容分析函数与方程是中学阶段研究的重要数学模型,本节课是学生在系统学习了集合、函数的概念及性质以及基本初等函数(I)之后,研究函数与方程关系的内容,是《函数与方程》一节的重点.二分法是数值计算中最简单常用的一种方法.本节课学生通过对具体实例的探究,借助图形计算器用二分法求相应函数零点的近似解,经历用函数的观点看方程的思维过程,在问题的解决中突出函数的应用,深化对函数与方程联系的理解,初步形成用函数观点处理问题的意识,这是本节课的一条明线;总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想,发展学生的数学抽象能力,是本节课的一条暗线.这也是研究程序性知识的一条主线.图形计算器可以实现求方程的近似解,但是内置的程序是由人设计的,并且“二分法”的产生要远远早于计算器,因此对于此内容的学习是十分必要的:我们要“教”计算器如何求解.2.学生学情分析初中阶段,学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程,并会用求根公式求一元二次方程的根;高中阶段,学生学习了基本初等函数(I),对指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质都有了比较深入的研究,同时对“数形结合”思想有了较为深入的理解和应用;另外,前一节内容的学习,不仅把函数与方程联系起来,还可以利用零点的存在性定理判断零点是否存在。
这些都为本节课的学习奠定了基础.同时对已经学过此内容的高二、高三学生的调研发现,学生对于“精确度”的概念非常模糊,这也对我们的教学提供了参考.二、教学目标设计基于以上分析,根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况,确定本节课的教学目标为:1.知识与技能(1)通过具体实例,能够借助图形计算器用二分法求相应方程的近似解(给定精度),体会二分法的思想,了解这种方法是求方程近似解的常用方法;(2)通过具体实例,归纳概括二分法的实施步骤,并用准确的数学语言表述出来;2.过程与方法经历借助图形计算器画出具体函数的图像、用二分法求函数零点的近似值、总结二分法实施步骤的过程,体会其中所蕴含的函数与方程思想、数形结合思想、逼近思想以及从具体到一般的研究方法等;3.情感态度与价值观引导学生用联系的观点理解有关内容,沟通函数、方程、不等式以及算法等内容,使学生体会知识之间的联系;发展学生的理性思维.【教学重点】理解二分法的基本思想、会用二分法求方程的近似解.【教学难点】精确度的概念、归纳概括二分法的实施步骤并用准确的数学语言表述.三、教学策略分析为了更好地突出重点,我在引入环节通过具体实例以及介绍历史上方程求解的发展脉络引入课题——求方程的近似解,首先解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.至于“如何研究”则通过具体实例ln 260x x +-=阐释.在这个过程中借助图形计算器充分体现数形结合思想,并将数形结合思想具体化落实:1.从数到形:方程的解——函数的零点——函数图象与x 轴的交点;2.从形到数:交点的坐标——数轴上的区间——表格数据——二分法的形成.为了突破难点,在具体实例的解决中采用问题串的形式引导、激发学生的探究热情:“如何将零点所在区间缩小”、“如何停止”等,由此引出 “精确度”的概念.为了突破此难点,首先在引入中用“误差”做铺垫,同时利用数轴进行直观解释.而从具体实例中的二分法上升到归纳概括一般步骤对于学生是困难的,在教学中首先在解决具体问题中引导学生思考“第一步做什么,第二步做什么……”,然后引导学生用文字语言表述并尝试用数学符号语言表述,同时利用数轴的直观来突破符号语言中“赋值”这一难点.本节课的核心内容是“用二分法求方程的近似解,体会二分法思想”,为了不冲淡本节课的主题,在教学中设计应用TI 图形计算器:作图功能、表格功能(计算函数值)、求解功能.图形计算器的使用,可以帮助我们实现“数形结合”的具体化落实,对知识的发展起到了助力作用.三、教学过程的设计与实施(一)具体实例,引出课题【问题1】2018年5月15日北大珠峰登山队成功登顶世界第一高峰珠穆朗玛峰,以此庆贺北大建校120周年.我们知道,随着海拔的升高,大气压强会降低,空气中的含氧量会降低,影响人的身体.(1)登山队员为了实时监测身处地的大气压强,从某公司购买了先进的气压表,在其产品参数中有这样一句话:经订正后测量误差不大于200Pa ,你如何理解这句话?(2)已知大气压强y (单位Pa )与海拔x (单位m )间的关系式为:()5.25885ln 288.150.006518.2573x y e ⨯--=.2018年5月13日登山队计划前往海拔7790米的营地,但是某队员身体不适,当压强降低为海拔的5.5倍时他就必须停止攀登,此时他能否到达该营地呢?【设计意图】从一个实际问题引入,首先让学生体会现实生活中存在大量取近似值问题,如生产零食袋上标注的净含量、22m 的正方形地面砖等,另一方面(1)中的“误差”也为要学习的“精确度”概念做铺垫.对于(2)可以从两个角度将实际问题转化为数学问题:一是求方程()5.25885ln 288.150.006518.2573 5.5x e x ⨯--=的解,与7790比较;二是将7790代入关系式求出压强,利用压强与海拔的比值进行判断.本节课我们抓住角度一,让学生产认知冲突,激发学生的求知欲望并体会求近似解的必要性,同时引入方程求解的历史,让学生感受数学文化方面的熏陶.这样我们就解决了“研究什么”、“为什么研究”的问题.(二)问题引领,探究方法【问题2】如何求方程ln 260x x +-=的近似解?【设计意图】由于问题1中方程较为复杂,为了计算方便研究此方程.引导学生从函数与方程联系角度将求方程的解进行转化:一种是转化为求函数()ln 26f x x x =+-零点的近似值;另一种是将方程变形为ln 62x x =-,转化为求函数ln ,62y x y x ==-交点横坐标的近似值.通过学生小组合作探究、教师追问解决如下问题:函数的零点是否存在?如果存在有几个?并找到零点的一个大致范围.二分法源于逐步搜索法,该方法基于连续函数零点存在性定理:按某规则将区间[],a b 分成若干个子区间,在每个子区间上计算端点值,一旦发现两端点的函数值异号,则可断定该子区间上至少有一个零点.本节课作为二分法的起始课,确定初始区间[],a b 是十分重要的,因为我们只需要求出一个零点即可,不需要考虑所有零点,所以课本上给出了一个单调函数的例子(至多有一个零点).可以通过两种途径寻找零点大致范围:借助图形计算器画出函数图象;利用函数零点存在性定理判断.如果学生选择前者,那就需要用零点存在定理进行验证;如果学生选择后者,要引导学生通过图象观察函数的单调性,以此来确定零点个数。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法,广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值,特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小,直到满足精度要求为止。
在实际应用中,我们常常需要解决一些复杂的方程,例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候,二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间,逐步逼近方程的解,我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中,我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示,帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学,我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧,提高他们的数值计算能力,为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出:在数学中,求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程,往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法,可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中,我们经常遇到需要求解方程的情况,比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用,帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法,通过实际的示例演示和练习,培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计,学生将能够掌握二分法的具体步骤,理解其优缺点,掌握其应用范围,并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习,学生将不仅能够提高数学解题的能力,还能培养逻辑思维和分析问题的能力,为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力,鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计,学生将不仅能够学会求解方程的方法,还能够培养自主学习和解决问题的能力,为未来的学习和工作打下坚实的基础。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学背景分析在数学教学中,方程是一个非常重要的概念,解方程是解决实际问题的基础之一。
而用二分法求解方程的近似解是一种非常有效和实用的方法,它不需要对方程进行变形,而且只要方程是单调的,就可以使用二分法进行求解。
教学中应该引导学生掌握二分法的基本思想和求解步骤,提高解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识与技能(1)了解二分法的基本思想和求解步骤。
(2)掌握用二分法求解方程的近似解的基本方法。
(3)能够根据实际问题应用二分法进行解题。
2. 过程与方法(1)培养学生的分析问题、解决问题的能力。
(2)激发学生的学习兴趣,提高学生的学习动力。
3. 情感态度与价值观(1)引导学生善于思考、勇于探索。
(2)培养学生对数学问题的耐心和细致。
三、教学重点二分法求解方程的近似解的基本思想和步骤。
四、教学难点如何灵活运用二分法解决不同类型的实际问题。
五、教学过程1. 导入(5分钟)引导学生回顾一下解方程的方法,通过简单的实例引出用二分法求解方程的需求,激发学生的学习兴趣。
2. 提出问题(5分钟)给学生一个实际问题,例如:已知函数f(x)=x^3-x-1,求方程f(x)=0的近似解。
3. 讲授二分法的基本思想和步骤(15分钟)(1)引导学生回忆什么是二分法,为什么要用二分法。
(2)讲解二分法的基本思想和求解步骤。
(3)通过实例演示,详细解释二分法的求解过程。
4. 练习与讨论(25分钟)(1)布置一组练习题,让学生自己尝试用二分法求解方程的近似解。
(2)学生完成练习后,进行讨论,引导学生发言并总结解题思路。
5. 拓展实际问题(15分钟)给学生提供一组实际问题,要求用二分法进行解答,让学生在实际问题中灵活运用二分法,提高解决问题的能力。
6. 练习与课堂检测(20分钟)布置一组练习题,进行课堂检测,检验学生对二分法的掌握程度。
7. 总结与展望(5分钟)对本节课所学内容进行总结,并展望下一节课的教学内容。
高中数学《用二分法求方程的近似解》教学设计

高中数学《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标:1.知识与能力目标:(1)了解二分法的基本原理;(2)掌握使用二分法求方程的近似解的方法;(3)能够灵活运用二分法解决实际问题。
2.过程与方法目标:(1)通过展示实际问题,引发学生对二分法解决问题的兴趣;(2)通过理论讲解和示例讲解,帮助学生理解二分法的原理和求解方法;(3)通过练习与实践,巩固学生对二分法的理解和应用能力;(4)通过讨论和激发学生思维的方式,提高学生解决实际问题的能力。
二、教学重点:1.二分法的基本原理和求解方法;2.能够灵活运用二分法解决实际问题。
三、教学难点:能够灵活运用二分法解决实际问题。
四、教学过程:1.导入(10分钟)(1)通过展示一个实际问题,如求方程f(x)=x^3-2x^2-4x+3=0的一个近似解,引发学生对使用二分法解决问题的兴趣。
(2)学生讨论,思考如何利用二分法求该方程的近似解。
(3)引导学生明确本节课的学习目标。
2.概念讲解(15分钟)(1)通过示例讲解,引导学生理解二分法的基本原理。
如示例方程f(x)=x^2-2=0,同时画出函数图像。
(2)学生回答:如何找到函数图像上可能存在零点的区间?如何利用二分法逼近零点?(3)通过讲解示例方程f(x)=x^2-2=0的具体求解过程,帮助学生理解二分法的求解方法。
(4)总结二分法的基本原理和求解方法,并与学生进行互动讨论。
3.解题示例(15分钟)(1)通过示例讲解,巩固学生对二分法的理解和运用能力。
如求方程f(x)=x^3-2x^2-4x+3=0的一个近似解。
(2)学生独立解题,检查答案,并与学生进行讨论和讲解。
(3)通过多个示例,锻炼学生解决实际问题的能力。
4.练习与巩固(15分钟)(1)分发练习题,让学生独立完成。
(2)学生互相检查答案,并与学生进行讨论。
(3)讲解练习题的解答过程,并解答学生遇到的问题。
5.拓展与应用(25分钟)(1)提供一个实际问题,鼓励学生利用二分法进行求解。
用二分法求方程的近似解教案

用二分法求方程的近似解教案一、教学目标1.让学生掌握二分法求方程近似解的基本原理和方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
3.提高学生的计算精度和计算效率。
二、教学内容1.二分法的基本原理:通过不断将函数值在区间中点处进行比较,从而缩小区间范围,逼近方程的解。
2.二分法的步骤:确定初始区间、计算中点函数值、判断解所在区间、重复执行以上步骤直至达到精度要求。
3.二分法的应用:求方程的近似解、求解不等式等。
三、教学步骤1.引入课题:介绍二分法的基本原理和应用背景,激发学生的学习兴趣。
2.讲解知识点:详细解释二分法的基本原理和步骤,并辅以例题进行说明。
3.练习与互动:让学生自行尝试使用二分法求解方程,教师给予指导和帮助。
同时,鼓励学生提出问题和意见,进行课堂互动。
4.归纳与总结:对本节课的知识点进行总结和归纳,强调二分法的重要性和应用广泛性。
5.布置作业:布置相关练习题,让学生在家中继续巩固所学知识。
四、教学难点与重点1.教学难点:如何确定初始区间、如何判断解所在区间、如何控制计算精度。
2.教学重点:二分法的基本原理和步骤、二分法的应用实例。
五、教学方法与手段1.教学方法:采用讲解、练习和互动相结合的方式进行教学。
通过具体实例和例题来帮助学生理解和掌握二分法的应用方法。
2.教学手段:使用黑板、多媒体课件和教学软件等辅助工具进行教学,提高教学效果和效率。
六、教学评价与反馈1.教学评价:通过课堂练习和作业来检验学生的学习效果,及时给予反馈和指导。
同时,鼓励学生进行自我评价和互相评价,提高学习积极性和自主性。
2.教学反馈:根据学生的反馈意见和建议,及时调整教学策略和方法,提高教学质量和效果。
同时,加强与家长的沟通和交流,共同关注学生的学习进步和发展。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计【指导思想与理论依据】普通高中数学课程标准提出:“强调本质,注意适度形式化。
高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,让学生体会蕴涵在其中的思想方法。
”本节课研究的是用二分法求方程的近似解, 从解方程体系的角度来看,很多方程不能用因式分解,求根公式求解,那么从方程与函数的联系的角度来看,我们可以把方程看作函数的局部性质,求函数与x轴相交的自变量的值,即函数的零点就是方程的解。
而函数的零点很难精确地求出来,因而求近似解成为解方程的另一个思路。
这样,在教学中既要强调为什么要学习二分法,又要让学生明确为什么用二分法只能求方程的近似解,同时还要理解二分法的思想。
【教材背景分析】本节内容位于数学必修1第二章“函数与方程”的第二课时,学生通过前面的学习,对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。
本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机用二分法求相应方程的近似解,并了解这种方法是求方程近似解的常用方法,进一步从中体会函数与方程之间的联系。
二分法是求方程近似解的常用方法,它体现了函数与方程的联系、函数与方程思想、数形结合思想,同时也为数学3中算法内容的学习做了铺垫,同时二分法也体现了数学的逼近思想,对学生以后学习微积分的知识起了奠基的作用。
【学情分析】学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点,理解了函数图象与方程的根之间的关系,尤其熟悉二次函数图象及其方程的根,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识,在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法,并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔。
但学生对于动态与静态的认识薄弱,学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时具有一定的难度,因此在教学过程中应该给学生提供实践动手的机会,加强信息技术的应用。
用二分法求方程的近似解教案

用二分法求方程的近似解教案教案:用二分法求方程的近似解一、教学目标:1.理解二分法的基本原理。
2.掌握二分法在求解方程中的应用方法。
3.能够运用二分法求解方程的近似解。
二、教学准备:1.教师准备:(1)多个方程,例如x^2 - 2 = 0,x^3 - 5x + 3 = 0等,以便学生进行求解练习。
(2)计算器或电脑,帮助学生验证最终的近似解是否正确。
2.学生准备:(1)理解二分法的基本概念。
(2)掌握求解一元方程的基本方法。
三、教学过程:步骤一:导入1.引入二分法的概念:二分法是一种在有序数列中寻找特定元素的搜索算法,它通过将问题分为两个子问题,并逐渐缩小搜索范围,最终找到目标元素或近似解。
2.提问:你对二分法有什么了解?步骤二:讲解二分法的基本原理1.展示二分法示意图,并解释其基本原理。
例如:对于一个有序数列,假设我们想找到该数列中值为x的元素,我们可以先求出数列的中间值mid,然后根据mid与x的比较结果,将搜索范围减半,再在剩余部分中执行同样的步骤,直到找到x或搜索范围足够小。
2.举例说明:假设要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为3的元素,首先计算中间值mid = 3,因为mid与目标值相等,所以找到了3这个元素。
若要在数列1, 2, 3, 4, 5中查找值为6的元素,计算中间值mid = 3,因为mid小于6,所以在数列4, 5中继续查找,计算中间值mid = 4,最终找到值为6的元素。
步骤三:应用二分法求解方程1.提问:我们可以将二分法用于求解方程吗?2.解释:是的,我们可以将要求解的方程转化为一个函数的零点问题。
例如:对于方程f(x) = x^3 - 5x + 3 = 0,我们可以尝试寻找函数的零点,即找到f(x) = 0的解。
3.讲解求解步骤:(1)根据给定方程确定搜索区间[a, b],确保f(a)和f(b)异号,否则不能保证方程在[a, b]范围内有解。
(2)计算中间值mid = (a + b) / 2,并计算f(mid)。
“用二分法求方程的近似解”教学设计

“用二分法求方程的近似解”教学设计教学目标:1.理解二分法的原理和应用;2.掌握用二分法求方程的近似解的步骤;3.能够灵活应用二分法求解简单的方程问题。
教学重点:1.二分法的原理和步骤;2.应用二分法求解方程的方法。
教学难点:应用二分法求解复杂方程问题。
教学准备:1.课件和黑板;2.高级计算器。
教学过程:Step 1: 引入新知识(10分钟)教师通过演示两个经典的例子来引入二分法的概念。
第一个例子是猜数字游戏,每次猜一个数,老师会告诉学生猜的数是大了还是小了,通过不断缩小猜的范围,最终找到答案。
第二个例子是找一本书的页数,老师会告诉学生翻的页数是多了还是少了,同样通过缩小范围,最终找到正确的页数。
通过这两个例子,引导学生观察规律。
Step 2: 二分法的原理和步骤(20分钟)教师解释二分法的原理,即将一个问题不断分成两个相等的子问题,并通过分析子问题的特点来逼近答案。
然后,教师讲解二分法的步骤:1.确定问题的上下界,在这个范围内进行查找;2.计算中间值,即将上下界的中间值作为候选答案;3.判断中间值是否满足要求;4.根据满足要求的情况,调整上下界,缩小问题的规模;5.重复步骤2-4,直到找到近似解。
Step 3: 二分法求解方程的应用(30分钟)教师通过示例演示如何用二分法求解方程的近似解。
示例为求解方程sin(x)=0的根。
教师将方程图像展示在黑板或课件上,然后分步解释如何使用二分法逐步逼近方程的根。
学生可以跟随教师的步骤,在计算器上进行实际计算。
Step 4: 练习和拓展(30分钟)1.练习:让学生自行计算一组简单的方程,如x^2=2,x^3=7等。
通过自主求解的过程,加深对二分法求解方程的理解和应用。
2. 拓展:引导学生思考如何用二分法求解其他类型的方程,如sin(x)=1/x,e^x=x^2等。
让学生尝试设计解决方案,然后与同学分享和讨论。
Step 5: 总结和反思(10分钟)教师总结本节课的重点内容,强调二分法的原理和应用。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标:1.掌握二分法的基本原理和步骤;2.能够应用二分法求解简单的方程;3.能够运用二分法求得方程的近似解。
三、教学过程:导入新知:1.引入问题:如何求解在给定区间上的方程的近似解?2.引导学生思考:是否可以通过区间收缩的方法不断逼近方程的解?3.提示学生:我们可以尝试使用二分法来求解方程的近似解。
梳理二分法的基本步骤:1.确定方程的解存在的区间;2.取区间的中点;3.根据中点的函数值与零的关系,判断方程解是否在取到的区间中;4.根据判断结果收缩区间,并继续进行二分法计算,直到区间足够小。
案例分析:求方程x^2-3=0在区间[1,2]上的近似解。
1.确定方程的解存在的区间:根据方程的特性,可以得出方程的解存在于区间[1,2];2.取区间的中点:中点为1.5;3.根据中点的函数值与零的关系:将1.5代入方程,得到2.25-3=-0.75,与零的关系为负,说明解存在于[1, 1.5];4.收缩区间:新区间为[1, 1.5],重复2-4步骤,直到区间足够小。
引导学生总结二分法的基本步骤,并进行扩展:当区间收缩到一定程度时,如何确定方程的近似解?运用二分法求解方程的近似解:1.分析如何确定方程的近似解:当区间的长度小于设定的容差时,可以认为方程的近似解为此区间的中点;2.引入一个新的案例:求方程x^3-2=0在区间[1,2]上的近似解;3.跟据步骤一进行二分法运算;4.当区间的长度小于设定的容差时,取此区间的中点作为方程的近似解。
四、巩固和拓展:1.组织学生进行二分法求解方程的练习;2.指导学生应用二分法解决实际问题;3.引导学生思考如何确定方程解的存在性和唯一性。
五、课堂小结:回顾本节课所学的内容,总结二分法的基本原理和步骤,并思考如何确定方程解的存在性和唯一性。
六、板书设计:《用二分法求方程的近似解》一、二分法的基本步骤1.确定方程的解存在的区间2.取区间的中点3.根据中点的函数值与零的关系4.收缩区间二、运用二分法求解方程的近似解1.确定方程的近似解的条件2.案例分析3.运算并确定近似解三、二分法的应用和思考1.练习和拓展2.方程解的存在性和唯一性的思考。
高中数学必修一《用二分法求方程的近似解》优秀教学设计

用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1》人教A版第三单元第一节第二课,主要是分析函数与方程的关系。
教材分三步来进行:第一步,从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手,由具体到一般,建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。
然后推广为一般方程与相应函数的情形;第二步,在用二分法求方程近似解的过程中,通过函数图像和性质来研究方程的解,体现方程和函数的关系;第三步,在函数模型的应用过程中,通过函数模型以及模型的求解,更全面的体现函数与方程的关系,逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课,即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据,从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”;而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想,为学生后续学习算法的内容埋下伏笔;充分体现新课程“渗透算学方法,关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想,并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法,其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础,对函数的零点具备基本的认识;而二分法来自生活,是由生活中抽象而来的,只要我们选材得当,能够激发学生的学习兴趣,达到渗透数学思想关注数学文化的目的,学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际,是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式,应用从生活实际——理论——实际应用的过程,应用数形结合、图表、信息技术,采用教师引导——学生探索相结合的教学方法,注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力,让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计
课时安排:
本教学设计为一节课的教学内容,预计总时长为45分钟。
一、教学目标:
1.理解二分法的基本原理和运算过程;
2.掌握使用二分法求解方程的方法;
3.能够利用二分法求解简单方程的近似解。
二、教学准备:
1.教师准备:教师准备教学课件,包括相关的二分法求解方程的示例和练习题;
2.学生准备:学生准备好纸笔,随时记录学习笔记。
三、教学步骤:
1.导入(5分钟):教师向学生介绍二分法的概念和原理,通过简单的例子说明二分法如何应用于求解方程的近似解。
2.理论讲解(10分钟):教师详细讲解二分法的运算过程和步骤,包括确定解的区间、中点取值、替换求解等具体操作方法。
3.示例分析(10分钟):教师通过一个具体的示例,演示如何使用二分法求解方程的近似解,引导学生掌握方法和技巧。
4.练习与讨论(15分钟):学生在教师的引导下,进行一些简单的练习题,巩固所学知识。
学生可以在小组或全班讨论中,交流解题思路和方法。
5.总结(5分钟):教师对本节课的内容进行总结和回顾,强调二分法在求解方程中的应用重要性,鼓励学生多加练习,提高解题能力。
四、课后作业:
1.完成课堂练习题,巩固所学知识;
2.独立解答几道关于二分法求解方程的习题,检验自己的掌握程度;。
高中数学《用二分法求方程的近似解》优秀教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学内容分析用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。
为了帮助学生认识函数与方程的关系,教科书分三个层面来展现:第一层面,从简单的一元二次方程和二次函数入手,建立起方程的根和函数的零点的联系。
第二层面,通过二分法求方程近似解,体现函数与方程的关系。
第三层面,通过建立函数模型以及运用模型解决问题,进一步体现函数与方程的关系。
本课正处于第二个层面,要求学生根据具体函数的图像,能借助计算器用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数,方程,不等式等高中的重要内容,同时为必修3的算法学习做准备。
本节内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。
二、学生学习情况分析学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题.三、教学目标分析通过本节的学习达到以下目标:1、知识目标:理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
2、能力目标:利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力,通过让学生概括二分法思想和步骤培养学生的归纳概括能力;培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、情感目标:在问题的发现、探究过程中,感受成功的体验,激发学习的兴趣。
从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足,是制定教学目标的重要依据。
这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼,体现了学生的主体地位和新课程理念。
四、教学方法和教学手段建构主义认为,知识是在原有知识的基础上,在人与环境的相互作用过程中,通过同化和顺应,使自身的认知结构得以转换和发展。
元认知理论指出,学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、情、意、行”的和谐统一。
《用二分法求方程的近似解》示范课教案【高中数学】

《用二分法求方程的近似解》教学设计1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,渗透极限思想.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.通过提炼二分法的一般步骤,使学生经历由特殊到一般的归纳过程,了解二分法求方程近似解具有一般性,让学生感受算法的思想,并提升数学抽象核心素养. 教学重点:用二分法求方程近似解的思路与步骤.教学难点:用二分法求方程近似解的算法.PPT 课件,计算器.(一)整体感知,明确任务引导语:因为大多数方程都没有求根公式,所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解.而在实际问题中,往往只需求出满足一定精确度的近似解.通过前一节课的学习,我们已经知道,求方程()0f x =的实数解,就是确定函数()y f x =的零点.根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质,可以确定在某一区间内方程实数解的个数.进一步的问题是,如何求出这些实数解?本节课我们将研究这个问题.设计意图:确定了方程有实数解和解的个数后,自然会思考怎么求出这些实数解.引起学生思考,明确本节课要研究的内容.(二)新知探究1.探索方法,解决问题问题1:我们已经知道,函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内存在一个零点,其准确值无法求出,那么如何求出这个零点的近似值呢?师生活动:学生讨论交流,教师引导学生:将零点所在的范围尽量缩小.图1设计意图:学生通过重复相同的步骤,初步体会二分法的具体过程,为提炼二分法的一般步骤作铺垫.另外,通过具体的计算,列表展示函数值的变化趋势,结合图象的变化趋势,数形结合地使学生感受逼近和算法的思想.追问4:根据填好的表格,请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值.师生活动:学生回答,教师予以补充完善.预设的答案:因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-,所以区间(2.531 25,2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值.为了方便,我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值,所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值,也即方程f x x x+-=的近似值.x xln260设计意图:通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值,再次明确精确度的含义.在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值,即近似值有无数个,所以可以任取一个作为近似值.2.提炼方法,规范步骤问题2:像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法,它的总体思路是什么?这种方法适用于那些函数?师生活动:学生交流后回答,教师予以补充完善.这里要注意的是,虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程,探索出了二分法,但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数.学生可能会在这里产生惯性思维,教师要注意引导.预设的答案:根据精确度的定义,精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度.近似值x *的误差不超过某个数ε,即*x x ε-<,就说它的精确度是ε.所以当a b ε-<时,零点x 0所在的区间[a ,b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -,当然也就不超过ε.所以区间[a ,b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值.设计意图:使学生进一步理解精确度的含义.3.初步应用,深化理解例2 借助信息技术,用二分法求方程237x x +=的近似解(精确度为0.1).师生活动:先由学生说出解决问题的思路,然后师生共同利用信息技术解答.预设的答案:解:原方程即2370x x +-=,令()237x f x x =+-,用信息技术画出函数()y f x =的图象(图2),并列出它的对应值表(表3).表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3,可知()()120f f <,说明该函数在区间(1,2)内存在零点x 0.取区间(1,2)的中点1 1.5x =,用信息技术算得()1.50.33f ≈.因为()()1 1.50f f <,所以x 0∈(1,1.5). 再取区间(1,1.5)的中点2 1.25x =,用信息技术算得()1.250.87f ≈-.因为()()1.25 1.50f f <,所以x 0∈(1.25,1.5).同理可得,x 0∈(1.375,1.5),x 0∈(1.375,1.437 5).由于11.437 51.02.3 750.650-=<,所以,原方程的近似解可取为1.375.设计意图:通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤,学会用二分法求方程的近似解.(三)归纳小结,布置作业图2问题4:回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤,你能体会到怎样的数学思想和方法?师生活动:学生讨论交流后回答,教师予以补充.预设的答案:二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值,体现了逐渐逼近的极限思想.在逐渐逼近的过程中,重复相同的步骤,这些相同的步骤可以抽象出来,体现了算法思想.设计意图:回顾本节课所学二分法的一般步骤,让学生体会其中蕴含的数学思想.问题5:通过本节课的学习我们可以看到,用二分法求方程的近似解,计算量较大,而且是重复相同的步骤.因此,可以通过设计一定的计算程序,借助信息技术完成计算.图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学,可以在此基础上用有关算法语言编写程序,利用信息技术求方程的近似解.图3师生活动:学生课后自行完成.设计意图:拓展学生思路,鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题.问题6:阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”,了解方程求解的发展过程是怎样的?二分法对于方程求解的重要性是什么?师生活动:学生课后自行完成.设计意图:让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义,激发学生学习兴趣,提升学生数学人文素养.作业布置:教科书习题.(四)目标检测设计1.借助信息技术,用二分法求函数()32=++-在区间(0,1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值(精确度为0.1).设计意图:考查用二分法求函数零近似值的能力.2.借助信息技术,用二分法求方程3lg=-在区间(2,3)内的近似解(精确度为0.1).x x设计意图:考查用用二分法求方程解的近似值的能力.参考答案:1.0.625.2.2.625.。
《用二分法求方程的近似解》教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标1. 知识与技能:学生能够掌握二分法求解方程的基本思想和步骤,能够运用二分法求解简单的方程。
2. 过程与方法:引导学生探究二分法的运用,在解决实际问题中灵活运用二分法,培养学生的分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观:培养学生求知欲,继续深入了解数学,了解数学在现实中的应用,并培养学生的合作精神和实践动手能力。
二、教学重点、难点重点:掌握二分法求解方程的基本思想和步骤。
难点:能够在实际问题中应用二分法解决问题。
三、教学方法1. 启发式教学:引导学生在实际问题中认识二分法的应用。
2. 情境教学:设计一些实际问题,让学生通过二分法求解方程,并找出解的含义。
3. 合作学习:学生分组合作,共同解决实际问题,培养学生的团队合作精神。
四、教学内容安排第一节二分法的基本思想和步骤1. 讲解二分法的基本思想:确定解的存在性范围,不断地将解的范围一分为二,然后再确定解的范围,一直缩小解存在的范围,直到解的范围在一定的误差范围内。
2. 引导学生探讨二分法的步骤,让学生理解二分法的具体操作过程。
第二节二分法求解简单的方程1. 通过简单的例子,讲解如何运用二分法求解简单的方程。
2. 引导学生自己完成一些简单的练习,巩固对二分法的理解和运用。
第四节总结与评价1. 总结本节课的内容,梳理二分法解题的思路和方法。
2. 评价本节课所学知识的实际应用,让学生对数学知识有更深入的理解。
五、教学手段1. 多媒体投影仪:展示二分法的基本思想和步骤,让学生直观理解。
2. 课件:准备相关的课件,使学生更好地理解二分法的运用。
3. 黑板:记录学生的思路和解题方法,及时纠正学生的错误。
4. 实物:用一些实际问题进行现场演示和实际操作,激发学生的兴趣。
六、教学建议1. 培养学生的数学思维,激励学生在实际问题中独立思考和解决问题的能力。
2. 注重学生合作学习的能力,鼓励学生分组合作,相互讨论,解决问题。
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《用二分法求方程的近似解》教学设计
一、教学内容分析
用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。
为了帮助学生认识函数与方程的关系,教科书分三个层面来展现:第一层面,从简单的一元二次方程和二次函数入手,建立起方程的根和函数的零点的联系。
第二层面,通过二分法求方程近似解,体现函数与方程的关系。
第三层面,通过建立函数模型以及运用模型解决问题,进一步体现函数与方程的关系。
本课正处于第二个层面,要求学生根据具体函数的图像,能借助计算器用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数,方程,不等式等高中的重要内容,同时为必修3的算法学习做准备。
本节内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。
二、学生学习情况分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题.
三、教学目标分析
通过本节的学习达到以下目标:
1、知识目标:理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,了解这种方法是求方程
近似解的常用方法。
2、能力目标:利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力,通过让学生概括二分法思想和步骤培
养学生的归纳概括能力;培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、情感目标:在问题的发现、探究过程中,感受成功的体验,激发学习的兴趣。
从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足,是制定教学目标的重要依据。
这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼,体现了学生的主体地位和新课程理念。
四、教学方法和教学手段
建构主义认为,知识是在原有知识的基础上,在人与环境的相互作用过程中,通过同化和顺应,使自身的认知结构得以转换和发展。
元认知理论指出,学习过程既是认识过程又是情感过程,是“知、情、意、行”的和谐统一。
遵循教师为主导,学生为主体的教学原则,体现知识为载体,思维为主线,能力为目标的教学思想,二分法是一种方法,具有极强的可操作性,因此,引导学生自主学习、主动探索比较适合本
节课知识特点,由此确定以下教学方法和教学手段:
1、教学方法:
创设问题组,设置认知冲突,采用探索讨论法进行教学,学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程,突出以学生为主体的探究性学习活动。
2、教学手段:
为了解决数值计算复杂和图形难画等困难,借助信息技术如几何画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。
同时,让学生借助于计算器加强课堂练习的效果与反馈。
五、教学过程设计
(一)介绍历史,提出问题
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月.在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于四次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于三次和四次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课题.
通过介绍中外求解方程的历史,引出问题。
那么是否有其他办法求解指数方程和对数方程等超越方程的近似解呢?例如试求下面这个方程的根:0
+x
-
x。
lg=
6
2
(二)引入游戏,探究问题
在求解这个方程之前,我们先做个小游戏:猜猜我口袋里有多少钱?提示:我口袋里的钱不到200元,同学们可以随意猜,每次猜后我会给出“多了”还是“少了”的提示,在10秒内且误差不超过3元时算猜对。
问题1:如何猜才能最快猜出我口袋中的钱数?
以小游戏为背景,以学生感觉较简单的问题入手,激活学生的思维,形成学生再创造的欲望.注意学生解题过程中出现的问题,及时引导学生思考,从二分查找的角度解决问题.[学情预设] 学生独立思考,可能出现的以下解决方法:
思路1:直接一个个去猜.
思路2:通过先猜中点,缩小范围,再猜剩下来一半的中点.
老师从思路2入手,引导学生解决问题:
如图,
可以先猜中
间值,根据提示,可以把范围缩小到原来的一半,每猜一次,可以把范围缩小到原来的一半,如此猜猜下去,不用几次,就能确定口袋里的钱数.
师:我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件).
在一条线段上找某个特定点,可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想).
[设计意图] 从小游戏入手,利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点,通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活,并在现实生活中广泛应用.
问题2:假设我口袋的钱大概在函数62lg )(-+=x x x f 的零点位置,请同学们先猜想它的零点大概是什么?我们如何找出这个零点?
1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数,如果两个端点的函数值是异号的,那么函数图象就一定与x 轴相交,即方程0)(=x f 在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理,为下面的学习提供理论基础).引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义,掌握常见函数零点的求法,明确二分法的适用范围.
2.我们已经知道,函数62lg )(-+=x x x f 在区间(2,3)内有零点,且0)3(,0)2(><f f 进一步的问题是,如何找出这个零点?
生:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值.
师:如何有效缩小根所在的区间?
生1:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
生2:是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围? 师:很好,一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度
的要求下,可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下,“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此,为了方便,下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
引导学生分析理解求区间)
,
(b
a的中点的方法
2b
a x +
=.
步骤一:取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得0
084
.0
)5.2(<
-
≈
f.
由0
)3(>
f,得知0
)3(
)5.2(<
•f
f,所以零点在区间(2.5,3)内。
步骤二:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得0
512
.0
)
75
.2(>
≈
f.因为
)
75
.2(
)5.2(<
•f
f,所以零点在区间(2.5,2.75)内.
结论:由于)
75
.2,5.2(
)3,5.2(
)3,2(⊃
⊃,所以零点所在的范围
确实越来越小了. 如果重复上述步骤,在一定精确度下,我们
可以在有限次重复上述步骤后,将所得的零点所在区间内的任
一点作为函数零点的近似值.特别地,可以将区间端点作为函
数零点的近似值.
引导学生利用计算器边操作边认识,通过合作探究,得出教科书上的表3—2,让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质,培养学生合作学习的良好品质.
[学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标,故它的零点在区间(2,3)内.进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围,利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表3—2,找出零点的大概位置.[设计意图]从问题1到问题2,体现了数学转化的思想方法,问题2有着承上启下的作用,使学生更深刻地理解二分法的思想,同时也突出了二分法的特点.通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法,明确二分法的适用范围.
(三)、归纳总结,揭示新知
先由学生独立通俗的概括,然后师生交流、讨论,着重指出“二分法”的实质是将函数零点所在的区间不断的一分为二,使得新得到的区间不断变小,两个端点逐步逼近零点。
教师板书二分法的定义,本方法所体现的思想是数学中的重要思想――逼近思想,教师进一步引导学生梳理前面的思维过程。
二分法定义:对于在区间a [,]b 上连续不断,且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =,通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度ε,用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下:
1、确定区间a [,]b ,验证)(a f ·)(b f 0<,给定精确度ε;
2、求区间a (,)b 的中点
2b a +; 3、计算)2
(b a f +: (1)若)2(b a f +=0,则2
b a +就是函数的零点; (2)若)(a f ·)2(b a f +<0,则零点)2
,(0b a a x +∈; (3)若)2(b a f +·)(b f <0,则零点),2
(0b b a x +∈; 4、判断是否达到精确度ε:
即若||a b ε-<,则得到零点零点值a (或b );否则重复步骤2—4.。