高中数学《用二分法求方程的近似解》优秀教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计
一、教学内容分析
用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。

为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根和函数的零点的联系。

第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。

第三层面，通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。

本课正处于第二个层面，要求学生根据具体函数的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，沟通了函数，方程，不等式等高中的重要内容，同时为必修3的算法学习做准备。

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。

二、学生学习情况分析
学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．
三、教学目标分析
通过本节的学习达到以下目标：
1、知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，了解这种方法是求方程
近似解的常用方法。

2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力，通过让学生概括二分法思想和步骤培
养学生的归纳概括能力；培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

3、情感目标：在问题的发现、探究过程中，感受成功的体验，激发学习的兴趣。

从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足，是制定教学目标的重要依据。

这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼，体现了学生的主体地位和新课程理念。

四、教学方法和教学手段
建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。

元认知理论指出，学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。

遵循教师为主导，学生为主体的教学原则，体现知识为载体，思维为主线，能力为目标的教学思想，二分法是一种方法，具有极强的可操作性，因此，引导学生自主学习、主动探索比较适合本
节课知识特点，由此确定以下教学方法和教学手段：
1、教学方法：
创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。

2、教学手段：
为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。

同时，让学生借助于计算器加强课堂练习的效果与反馈。

五、教学过程设计
（一）介绍历史，提出问题
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于四次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于四次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于三次和四次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．
通过介绍中外求解方程的历史，引出问题。

那么是否有其他办法求解指数方程和对数方程等超越方程的近似解呢?例如试求下面这个方程的根：0
+x
-
x。

lg=
6
2
（二）引入游戏，探究问题
在求解这个方程之前，我们先做个小游戏：猜猜我口袋里有多少钱？提示：我口袋里的钱不到200元，同学们可以随意猜，每次猜后我会给出“多了”还是“少了”的提示，在10秒内且误差不超过3元时算猜对。

问题1：如何猜才能最快猜出我口袋中的钱数？
以小游戏为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：
思路1：直接一个个去猜．
思路2：通过先猜中点，缩小范围，再猜剩下来一半的中点．
老师从思路2入手，引导学生解决问题：
如图，
可以先猜中
间值，根据提示，可以把范围缩小到原来的一半，每猜一次，可以把范围缩小到原来的一半，如此猜猜下去，不用几次，就能确定口袋里的钱数．
师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．
在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．
[设计意图] 从小游戏入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．
问题2：假设我口袋的钱大概在函数62lg )(-+=x x x f 的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？
1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x 轴相交，即方程0)(=x f 在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
2．我们已经知道，函数62lg )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，且0)3(,0)2(><f f 进一步的问题是，如何找出这个零点？
生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.
师：如何有效缩小根所在的区间？
生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．
生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度
的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.
引导学生分析理解求区间)
,
(b
a的中点的方法
2b
a x +
=．
步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得0
084
.0
)5.2(<
-
≈
f.
由0
)3(>
f，得知0
)3(
)5.2(<
•f
f，所以零点在区间(2.5，3)内。

步骤二：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得0
512
.0
)
75
.2(>
≈
f.因为
)
75
.2(
)5.2(<
•f
f，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于)
75
.2,5.2(
)3,5.2(
)3,2(⊃
⊃，所以零点所在的范围
确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们
可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任
一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函
数零点的近似值．
引导学生利用计算器边操作边认识，通过合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．
[学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表3—2，找出零点的大概位置．[设计意图]从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
（三）、归纳总结，揭示新知
先由学生独立通俗的概括，然后师生交流、讨论，着重指出“二分法”的实质是将函数零点所在的区间不断的一分为二，使得新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点。

教师板书二分法的定义，本方法所体现的思想是数学中的重要思想――逼近思想，教师进一步引导学生梳理前面的思维过程。

二分法定义：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：
1、确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精确度ε；
2、求区间a (，)b 的中点
2b a +； 3、计算)2
(b a f +： （1）若)2(b a f +=0，则2
b a +就是函数的零点； （2）若)(a f ·)2(b a f +<0，则零点)2
,(0b a a x +∈； （3）若)2(b a f +·)(b f <0，则零点),2
(0b b a x +∈； 4、判断是否达到精确度ε：
即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2—4．。