2019届江苏省百校联考高三数学试题(解析版)
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二、解答题
15．设复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为______.
【答案】1
【解析】整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.
【详解】
因为 ，即
所以 的模为1
故答案为：1
【点睛】
本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.
16．如图，四棱锥 的底面ABCD是正方形， 为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面 平面ABCD.
（1）求 的长；
（2）若 的面积为14，求 的长.
【答案】（1）1；（2）5.
【解析】（1）由同角三角函数关系求得 ，再由两角差的正弦公式求得 ，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在 中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.
【详解】
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点，
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
又 ，
∴ ，∴ .
∵ 为等边三角形，N是AD的中点，
∴ .
又平面 平面ABCD， 平面PAD，
平面 平面 ，
∴ 平面ABCD.
又 来自百度文库面ABCD，∴ .
∵ 平面PNB， ，
∴ 平面PNB.
（2）解：存在.如图，连接AC交DM于点Q，连接EQ.
（1）证明： 平面PNB；
（2）问棱PA上是否存在一点E，使 平面DEM，求 的值
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【解析】（1）根据题意证出 ， ，再由线面垂直的判定定理即可证出.
（2）连接AC交DM于点Q，连接EQ，利用线面平行的性质定理可得 ，从而可得 ，在正方形ABCD中，由 即可求解.
3．各项均为正数的等比数列 中， 为其前 项和，若 ，且 ，则公比 的值为_____.
【答案】
【解析】将已知由前n项和定义整理为 ，再由等比数列性质求得公比，最后由数列 各项均为正数，舍根得解.
【详解】
因为
即
又等比数列 各项均为正数，故
故答案为：
【点睛】
本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.
18．如图，已知椭圆 经过点 ，且离心率 ，过右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 相交于 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的右顶点为 ，线段 的中点为 ，记直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得 ，代入标准方程中即可；
【详解】
由题可知，抽取的比例为 ，被调查的总人数为 人，
则分层抽样的样本容量是 人.
故答案为：32
【点睛】
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
5．根据如图所示的伪代码，输出 的值为______.
【答案】7
【解析】表示初值S=1,i=1，分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.
【详解】
S=1,i=1
【答案】12
【解析】由题意，设底面平行四边形 的 ，且 边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。
【详解】
由题意，设底面平行四边形 的 ，且 边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ，
则直四棱柱 的体积为 ，
又由三棱锥 的体积为 ，
解得 ，即直四棱柱的体积为 。
【点睛】
本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.
14．如图，某市一学校 位于该市火车站 北偏东 方向，且 ，已知 是经过火车站 的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧 都是学校道路，其中 ， ，以学校 为圆心，半径为 的四分之一圆弧分别与 相切于点 .当地政府欲投资开发 区域发展经济，其中 分别在公路 上，且 与圆弧 相切，设 ， 的面积为 .
本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.
7．函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】
对函数 有意义，
即 .
故答案为：
【点睛】
本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
8．设 满足约束条件 ，则 的取值范围是______.
若 在定义域上有四个不同的解
等价于 关于原点对称的函数 与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，
联立可得 有两个解，即
可设 ，则 ，
进而 且不恒为零，可得 在 单调递增.
由 可得
时， 单调递减；
时， 单调递增，
即 在 处取得极小值且为
作出 的图象，可得 时， 有两个解.
故答案为：
【点睛】
12．在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ，设点 是圆 上的动点，在 中，若 的角平分线与 相交于点 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由角平分线成比例定理推理可得 ，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 函数的图象，
则
所以，当 函数最大，最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.
10．如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，点 是棱 的中点，点 是棱 靠近 的三等分点，且三棱锥 的体积为2，则四棱柱 的体积为______．
∵ 平面DEM， 平面PAC，平面 平面 ，
∴ .∴ .
在正方形ABCD中， ，且 .
∴ ，∴ .故 .
所以棱PA上存在点E，使 平面DEM，此时，E是棱A的靠近点A的三等分点.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，考查了学生的推理能力以及空间想象能力，属于空间几何中的基础题.
17．在 中， ， 是边 上一点，且 ， .
2019届江苏省百校联考高三数学试题
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则集合 ______.
【答案】
【解析】分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
2．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为_______.
4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
不喜欢
喜欢
男性青年观众
40
10
女性青年观众
30
80
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则 的值为______.
【答案】32
【解析】由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ是 的角平分线，由角平分线成比例定理可知 ,所以 .
设点 ，点 ，即 ，
则 ，
所以 .
又因为点 是圆 上的动点，
则 ，
故点Q的运功轨迹是以 为圆心 为半径的圆，
又 即为该圆上的点与原点间的距离，
因为 ，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
13．已知函数 ，若关于 的方程 在定义域上有四个不同的解，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由题意可 在定义域上有四个不同的解等价于 关于原点对称的函数 与函数 的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.
【详解】
已知定义在 上的函数
综上所述，
故答案为：
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
9．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 函数的图象，则函数 的最大值为______.
【答案】
【解析】由三角函数图象相位变换后表达 函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理 的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.
【详解】
由△ABC的面积为 得 |AB||AC|sin∠BAC= ，
所以|AB||AC|sin∠BAC= ，①
又 ,即|AB||AC|cos∠BAC= ，②
由①与②的平方和得:|AB||AC|= ，
又点M是AB的中点，点N满足 ，
所以
，
当且仅当 时，取等号，
即 的最大值是为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.
（2）依题意，直线 的斜率存在，且不为0，设其为 ，则直线 的方程为 ，设 ， ，通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含k的表达式表示 ， ，进而表示 ；由韦达定理表示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示 ，最后做比即得证.
【答案】
【解析】出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.
【详解】
甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，
出场的两名运动员编号相同的事件数为3，
出现的基本事件总数 ，
则出场的两名运动员编号相同的概率为 .
故答案为：
【点睛】
【答案】
【解析】作出可行域，将目标函数 整理为 可视为可行解 与 的斜率，则由图可知 或 ，分别计算出 与 ，再由不等式的简单性质即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件 的可行域，
显然当 时，z=0；
当 时将目标函数 整理为 可视为可行解 与 的斜率，则由图可知 或
显然 ，联立 ，所以
则 或 ，故 或
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。
11．在面积为 的 中， ，若点 是 的中点，点 满足 ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】由任意三角形面积公式与 构建关系表示|AB||AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化 ，最后由重要不等式求得最值.
所以 .
因为点 在直线 的上方，
所以 ，
所以 式可化为 ，解得 .
所以 ， .
所以 面积为 .
（2）令 ，则 ，
且 ，
所以 ， .
令 ， ，所以 在 上单调递减.
所以，当 ，即 时， 取得最大值， 取最小值.
答：当 时， 面积 为最小，政府投资最低.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
（1）据题意， ，且 ，
所以 .
所以
.
在 中，据正弦定理可知， ，
所以 .
（2）在 中，据正弦定理可知 ，
所以 .
因为 的面积为14，所以 ，即 ，
得 .
在 中，据余弦定理可知， ，
所以 .
【点睛】
本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当 为何值时， 面积 为最小，政府投资最低？
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ，又 ，故 ， ，进而表示直线 的方程，由直线 与圆 相切构建关系化简整理得 ，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示 面积即可；
【答案】
【解析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示 ，再由双曲线a，b，c关系表示 ，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.
【详解】
因为双曲线为 ，所以该双曲线的渐近线方程为 .
又因为其一条渐近线经过点 ，即 ，则 ，
由此可得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.
（2）令 ，则 ，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令 进行换元，并构建新的函数 ，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ，又 ，故 ， .
所以直线 的方程为 ，即 .
因为直线 与圆 相切，
第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3；
第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；
第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7；
S=10>9,循环结束，输出：i=7.
故答案为：7
【点睛】
本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.
6．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.
15．设复数 满足 （ 为虚数单位），则 的模为______.
【答案】1
【解析】整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.
【详解】
因为 ，即
所以 的模为1
故答案为：1
【点睛】
本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.
16．如图，四棱锥 的底面ABCD是正方形， 为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面 平面ABCD.
（1）求 的长；
（2）若 的面积为14，求 的长.
【答案】（1）1；（2）5.
【解析】（1）由同角三角函数关系求得 ，再由两角差的正弦公式求得 ，最后由正弦定理构建方程，求得答案.
（2）在 中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.
【详解】
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点，
∴ ， ， .
∴ .
∴ .
又 ，
∴ ，∴ .
∵ 为等边三角形，N是AD的中点，
∴ .
又平面 平面ABCD， 平面PAD，
平面 平面 ，
∴ 平面ABCD.
又 来自百度文库面ABCD，∴ .
∵ 平面PNB， ，
∴ 平面PNB.
（2）解：存在.如图，连接AC交DM于点Q，连接EQ.
（1）证明： 平面PNB；
（2）问棱PA上是否存在一点E，使 平面DEM，求 的值
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .
【解析】（1）根据题意证出 ， ，再由线面垂直的判定定理即可证出.
（2）连接AC交DM于点Q，连接EQ，利用线面平行的性质定理可得 ，从而可得 ，在正方形ABCD中，由 即可求解.
3．各项均为正数的等比数列 中， 为其前 项和，若 ，且 ，则公比 的值为_____.
【答案】
【解析】将已知由前n项和定义整理为 ，再由等比数列性质求得公比，最后由数列 各项均为正数，舍根得解.
【详解】
因为
即
又等比数列 各项均为正数，故
故答案为：
【点睛】
本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.
18．如图，已知椭圆 经过点 ，且离心率 ，过右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 相交于 两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设椭圆 的右顶点为 ，线段 的中点为 ，记直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得 ，代入标准方程中即可；
【详解】
由题可知，抽取的比例为 ，被调查的总人数为 人，
则分层抽样的样本容量是 人.
故答案为：32
【点睛】
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
5．根据如图所示的伪代码，输出 的值为______.
【答案】7
【解析】表示初值S=1,i=1，分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.
【详解】
S=1,i=1
【答案】12
【解析】由题意，设底面平行四边形 的 ，且 边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ，分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积，即可求解。
【详解】
由题意，设底面平行四边形 的 ，且 边上的高为 ，直四棱柱 的高为 ，
则直四棱柱 的体积为 ，
又由三棱锥 的体积为 ，
解得 ，即直四棱柱的体积为 。
【点睛】
本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.
14．如图，某市一学校 位于该市火车站 北偏东 方向，且 ，已知 是经过火车站 的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧 都是学校道路，其中 ， ，以学校 为圆心，半径为 的四分之一圆弧分别与 相切于点 .当地政府欲投资开发 区域发展经济，其中 分别在公路 上，且 与圆弧 相切，设 ， 的面积为 .
本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.
7．函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】
对函数 有意义，
即 .
故答案为：
【点睛】
本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
8．设 满足约束条件 ，则 的取值范围是______.
若 在定义域上有四个不同的解
等价于 关于原点对称的函数 与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，
联立可得 有两个解，即
可设 ，则 ，
进而 且不恒为零，可得 在 单调递增.
由 可得
时， 单调递减；
时， 单调递增，
即 在 处取得极小值且为
作出 的图象，可得 时， 有两个解.
故答案为：
【点睛】
12．在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ，设点 是圆 上的动点，在 中，若 的角平分线与 相交于点 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由角平分线成比例定理推理可得 ，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
【详解】
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 函数的图象，
则
所以，当 函数最大，最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.
10．如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，点 是棱 的中点，点 是棱 靠近 的三等分点，且三棱锥 的体积为2，则四棱柱 的体积为______．
∵ 平面DEM， 平面PAC，平面 平面 ，
∴ .∴ .
在正方形ABCD中， ，且 .
∴ ，∴ .故 .
所以棱PA上存在点E，使 平面DEM，此时，E是棱A的靠近点A的三等分点.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，考查了学生的推理能力以及空间想象能力，属于空间几何中的基础题.
17．在 中， ， 是边 上一点，且 ， .
2019届江苏省百校联考高三数学试题
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则集合 ______.
【答案】
【解析】分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
2．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为_______.
4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
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男性青年观众
40
10
女性青年观众
30
80
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则 的值为______.
【答案】32
【解析】由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.
【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ是 的角平分线，由角平分线成比例定理可知 ,所以 .
设点 ，点 ，即 ，
则 ，
所以 .
又因为点 是圆 上的动点，
则 ，
故点Q的运功轨迹是以 为圆心 为半径的圆，
又 即为该圆上的点与原点间的距离，
因为 ，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
13．已知函数 ，若关于 的方程 在定义域上有四个不同的解，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由题意可 在定义域上有四个不同的解等价于 关于原点对称的函数 与函数 的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.
【详解】
已知定义在 上的函数
综上所述，
故答案为：
【点睛】
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
9．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 函数的图象，则函数 的最大值为______.
【答案】
【解析】由三角函数图象相位变换后表达 函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理 的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.
【详解】
由△ABC的面积为 得 |AB||AC|sin∠BAC= ，
所以|AB||AC|sin∠BAC= ，①
又 ,即|AB||AC|cos∠BAC= ，②
由①与②的平方和得:|AB||AC|= ，
又点M是AB的中点，点N满足 ，
所以
，
当且仅当 时，取等号，
即 的最大值是为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.
（2）依题意，直线 的斜率存在，且不为0，设其为 ，则直线 的方程为 ，设 ， ，通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含k的表达式表示 ， ，进而表示 ；由韦达定理表示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示 ，最后做比即得证.
【答案】
【解析】出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.
【详解】
甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，
出场的两名运动员编号相同的事件数为3，
出现的基本事件总数 ，
则出场的两名运动员编号相同的概率为 .
故答案为：
【点睛】
【答案】
【解析】作出可行域，将目标函数 整理为 可视为可行解 与 的斜率，则由图可知 或 ，分别计算出 与 ，再由不等式的简单性质即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件 的可行域，
显然当 时，z=0；
当 时将目标函数 整理为 可视为可行解 与 的斜率，则由图可知 或
显然 ，联立 ，所以
则 或 ，故 或
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。
11．在面积为 的 中， ，若点 是 的中点，点 满足 ，则 的最大值是______.
【答案】
【解析】由任意三角形面积公式与 构建关系表示|AB||AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化 ，最后由重要不等式求得最值.
所以 .
因为点 在直线 的上方，
所以 ，
所以 式可化为 ，解得 .
所以 ， .
所以 面积为 .
（2）令 ，则 ，
且 ，
所以 ， .
令 ， ，所以 在 上单调递减.
所以，当 ，即 时， 取得最大值， 取最小值.
答：当 时， 面积 为最小，政府投资最低.
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.
（1）据题意， ，且 ，
所以 .
所以
.
在 中，据正弦定理可知， ，
所以 .
（2）在 中，据正弦定理可知 ，
所以 .
因为 的面积为14，所以 ，即 ，
得 .
在 中，据余弦定理可知， ，
所以 .
【点睛】
本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当 为何值时， 面积 为最小，政府投资最低？
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ，又 ，故 ， ，进而表示直线 的方程，由直线 与圆 相切构建关系化简整理得 ，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示 面积即可；
【答案】
【解析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示 ，再由双曲线a，b，c关系表示 ，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.
【详解】
因为双曲线为 ，所以该双曲线的渐近线方程为 .
又因为其一条渐近线经过点 ，即 ，则 ，
由此可得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.
（2）令 ，则 ，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令 进行换元，并构建新的函数 ，由二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
解：（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ，又 ，故 ， .
所以直线 的方程为 ，即 .
因为直线 与圆 相切，
第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3；
第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；
第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7；
S=10>9,循环结束，输出：i=7.
故答案为：7
【点睛】
本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.
6．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.