圆的基本性质知识点及典型例题

圆的基本性质

一、知识点梳理

★知识点一：圆的定义及有关概念

1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直 径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

★知识点二：平面内点与圆的位置关系：

r 表示圆的半径，d 表示同一平面内点到圆心的距离，则有 ⇔点在圆外； ⇔点在圆上； ⇔点在圆内。

例1、如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，

AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点

F 在圆A 的_________．

例2、在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，

与圆O 的位置关系． 例3、下列说法中，正确的是 。

（1）直径是弦，但弦不一定是直径；（2）半圆是弧，但弧不一定是直径；（3）半径相等的两个半圆是等弧；（4）一条弦把圆分成两段弧中，至少有一段优弧。

例4、有下列四个命题：（1）直径相等的两个圆是等圆；（2）长度相等的两条弧是等弧；（3）圆中最大的弦是通过圆心的弦；（4）一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是 。

★知识点三：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（ ）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧。 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

垂径定理最重要的应用是通过勾股定理来解决有关弦、半径、弦心距等问题 例1：下列语句中正确的是 。

（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）相等的弧所对的弦相等；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）弦的

600

垂直平分线必过圆心。 例2、过⊙

内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）

（A ）3cm （B ）6cm （C ）

cm （D ）9cm

例3、如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C ,若

AB =6,BC =1,则与圆环的面积是

例4、在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.7厘米或1厘米

例5、如图，矩形ABCD 与与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=8cm ，AG=1cm ，DE=2cm ，则EF= cm .

例6、如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。

例7、如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，CD=8cm ，求直径AB 的长．

例8、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 mm ．

例9、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米

★知识点四：

1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

D C

B A

O

半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 。 例1、下图中BOD ∠的度数是（ ）

A 、550

B 、1100

C 、1250

D 、1500

例2、已知：如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，AC ∥DE ，交⊙O 于点C ，求证：BE =CE ．

例3、如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，弧AC 的度数为60°，弧BD 的度数为100°，则∠AEC 等于 （ ）

A ．60°

B ．100°

C ．80°

D ．130°

例4、如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，30,40C B ∠=︒∠=︒，则1∠= 度.

★知识点五：

扇形的弧长及面积公式

1、半径为R ，n 的圆心角所对弧长l 的计算公式：l = 。

2、半径为R ，圆心角为0

n 的扇形面积的计算公式：=S 扇形 = （l 是扇形的弧长）

25︒

E

D

B

A

O

30︒

例1、如图,有一块边长为6 cm 的正三角形ABC 木块,点P 是边CA 延长线上的一点,在A 、P 之间拉一细绳,

绳长AP 为15 cm.握住点P ,拉直细绳,把它紧紧缠绕在三角形ABC 木块上(缠绕时木块不动),则点P 运动的路线长为 。

A B

C P

15cm 3cm

9cm

例2、如图，矩形ABCD 中，86AB AD ==，，将矩形ABCD 在直线l 上按顺时针方向不滑动的每秒转动90，转动3秒后停止，则顶点经过的路线长为 ．

例3、如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为m 4的半圆，其边缘AB = CD =m 20，点E 在CD 上，CE =m 2，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离约为 .

例4、如图，A ，B ，C ，D ，E 的半径都是1，顺次连结五边形ABCDE ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）为 。

例5、如图，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是30cm ，底面半径是10cm ，她想在帽子上

缠一根漂亮的丝带，从A 出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带 cm.

例6、若△ABC 为等腰三角形，其中∠ABC =90°，AB =BC =52cm ，将等腰直角三角形绕直线AC 旋转一

周所得的图形的表面积为________ cm 2．

A