经典学而思全等三角形全套

第一讲全等三角形的性质及判定

【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．

【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．

【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：

OA OD =．

【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．

F

E

D

C

B

A

D

C

B

A

F E O

D

C

B A

O

D

C B

A

【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求

证：FC AD =．

F

E

D

C

B

A

【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：

AC BD ∥．

O

F E D

C

B

A

【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．

F E C

B

A

【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=

E

D

C

B

A

【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．

【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．

P

F

E

D C

B

A

【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：

BG CF BC +=．

F

D

C

B

A

G

A B

C

D

E

F

【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．

【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．

A B

C

D E

F

【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判

断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知

中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？

M E

D

C B

A

G

F

E

D

C

B A

【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB

于E 点．求证：AD DE EB ==．

C

B D

E

A

【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连

AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．

图3

P D

M N B C A

【例16】 如图，I 是ABC △的心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．

A

B

C

I

【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，

求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．

P

D

Q

C

B

E

A

【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：

BF FD ⊥．

⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．

F E

D

C

B

A

M

F

E

D C

B A

18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1

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ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是

等腰三角形．

【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的

等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC

于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．

B

A

A

M

N

B C

D