北师大版高二数学必修单元测试题
北师大高二数学必修模块考试题附标准答案
高二年级必修5宝鸡铁一中 张爱丽班级： 姓名：一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知数列{a n }地通项公式为a n =121-2n,在下列各数中,( )不是数列{a n }地项 A. 1 B. -1 C. 2 D. 32.某厂地产值若每年平均比上一年增长10%，经过x 年后，可以增长到原来地2倍，在求x 时，所列地方程正确地是( )A. (1+10%)x-1=2 B. (1+10%)x =2 C. (1+10%)x+1=2 D. x=(1+10%)23.已知数列{a n }中，a n /a n-1=2,(n ≥2),且a 1=1，则这个数列地第10项为（ ） A ．1024B ．512 C ．256D ．1284.在△ABC 中，一定成立地等式是( ) A.a sinA=b sinB B.a cosA=b cosB C.a sinB=b sinA D.a cosB=b cosA5.在△ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°6．两个等差数列，它们地前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列地第9项之比是（ ）A ．35B ．58C ．38D ．477.已知△ABC 地周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 地值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32-D ．328. 设a= 3-x, b=x-2,则a 与b 地大小关系为( )A . a>b B. a=b C . a<b D. 与x 有关9.若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 地最小值是（ ） A ．18 B ．6 C ．23 D ．24310.等式11(-x)(x -)023>地解集为（ ）11. 32A x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1. 2⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B x x1. |3⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C x x 11. |32⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D x x x11.知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0地两侧，则a 地取值范围是（ ）A ．a<-7或a>24B ．a=7或a=24C ．-7<a<24D ．-24<a<712.图, 不等式(x+y)(x-y)<0表示地平面区域是（）二.填空题 （ 每小题4分，共16分）13.数224y =x +x +1地最小值是___14.比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____，S4 =____．15.某高山上地温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处地温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山地山顶相对于山脚处地高度是．16.x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ，目标函数z=3x+y 地最小值为____．三、 解答题：(共44分) 17.（6分）解不等式(x 2－3x ＋2) (3 －x )＞018.（12分）等差数列{a n }地前n 项和记为Sn,已知 a 10=30，a 20 =50.(1)求通项a n(2)若Sn=242，求n19.12分）在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c20.（14分）假设某市2004年新建住房400万2m ，其中有250万2m 是中低价房.预计在今后地若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房地面积均比上一年增加50万2m .那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房地累计面积（以2004年为累计地第一年）将首次不少于4750万2m ？（2） 当年建造地中低价房地面积占该年建造住房面积地比例首次大于85%？参考答案13. 3 14.2, 22.5 15.1600米 16.1min =z三. 解答题：17.｛x ︱x<1或2 < x < 3｝; 18.(1)a n = 2n + 10 ; (2) n = 11;19.解：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 20.（1）到2013年底，该市历年所建中低价房地累计面积将首次不少于4750（2）到2009年底，当年建造地中低房地面积占该年建造住房面积地比例将首次大于85%试题说明：本试题共20道题，时间120分钟，满分120分1.课本P6 练习：2 改变3.课本P38A组. 2 改变4.正弦定理地变形5.课本P49练习2：1改变6.专家伴读8.基本不等式地应用：课本P92练习1：1改变16.课本P19A组. 6 改变17.课本P83例11 改变20.课本P40C组. 2 改变版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.xHAQX。
最新北师大版高中数学必修二测试题全套含答案解析
最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析最新北师⼤版⾼中数学必修⼆测试题全套含答案解析章末综合测评(⼀)⽴体⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?lαB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?/α，A∈l?A?αD.A∈l，lα?A∈α【解析】若直线l∩α＝A，显然有l?/α，A∈l，但A∈α，故C错.【答案】 C2.下列说法中，正确的是()A.经过不同的三点有且只有⼀个平⾯B.分别在两个平⾯内的两条直线⼀定是异⾯直线C.垂直于同⼀个平⾯的两条直线是平⾏直线D.垂直于同⼀个平⾯的两个平⾯平⾏【解析】A中，可能有⽆数个平⾯；B中，两条直线还可能平⾏、相交；D中，两个平⾯可能相交.【答案】 C3.已知⽔平放置的△ABC是按“斜⼆测画法”得到如图1所⽰的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的⾯积是()图1 A. 3 B.2 2C.32 D.34【解析】由题图可知，原△ABC的⾼为AO＝3，∴S△ABC ＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故选A.【答案】 A4.下列四个命题判断正确的是()A.若a∥b，a∥α，则b∥αB.若a∥α，bα，则a∥bC.若a∥α，则a平⾏于α内所有的直线D.若a∥α，a∥b，b?/α，则b∥α【解析】A中b可能在α内；B中a与b可能异⾯；C中a可能与α内的直线异⾯；D 正确.【答案】 D5.已知⼀个圆锥的展开图如图2所⽰，其中扇形的圆⼼⾓为120°，底⾯圆的半径为1，则该圆锥的体积为()图2A.22π3 B.2π3C.2π3 D.3π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，⾼为22，所求体积V＝1 3×π×12×22＝22π3.【答案】 A6.如图3所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()图3A.ACB.BDC.A1DD.A1D1【解析】CE平⾯ACC1A1，⽽BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平⾯ACC1A1，所以BD⊥CE.【答案】 B7.正⽅体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成⾓的余弦值是()A.12 B.33 D.62【解析】连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异⾯直线AD1与EF所成的⾓.∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝AD1BD1＝63.【答案】 C8.如图4所⽰，则这个⼏何体的体积等于()图4 A.4 B.6C.8D.12【解析】由三视图得⼏何体为四棱锥，如图记作S -ABCD ，其中SA ⊥平⾯ABCD ， SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直⾓梯形，∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A. 【答案】 A9.如图5，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正⽅体，下⾯结论错误的是( )图5A.BD ∥平⾯CB 1D 1B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平⾯CB 1D 1D.异⾯直线AD 与CB 1所成的⾓为60°【解析】由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平⾯CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥平⾯ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平⾯CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的⾓，此⾓为45°，故D 错.【答案】 D10.圆柱被⼀个平⾯截去⼀部分后与半球(半径为r )组成⼀个⼏何体，该⼏何体三视图中的主视图和俯视图如图6所⽰.若该⼏何体的表⾯积为16＋20π，则r ＝( )图6D.8【解析】如图，该⼏何体是⼀个半球与⼀个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底⾯半径为r，⾼为2r，则表⾯积S＝12＋2×4πrπr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.⼜S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.【答案】 B11.如图7，以等腰直⾓三⾓形ABC的斜边BC上的⾼AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平⾯后，某学⽣得出下列四个结论：图7①BD⊥AC；②△BCA是等边三⾓形；③三棱锥D-ABC是正三棱锥；④平⾯ADC⊥平⾯ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④【解析】由题意知，BD⊥平⾯ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直⾓三⾓形斜边BC上的⾼，平⾯ABD⊥平⾯ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三⾓形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，⼜由②知③正确；由①知④错.故选B.【答案】 B12.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球⾯上，△ABC 是边长为1的正三⾓形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底⾯都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的⾼是三棱锥O -ABC ⾼的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所⽰， S △ABC ＝34×AB 2＝34，⾼OD ＝12－? ??332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A⼆、填空题(本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13.设平⾯α∥平⾯β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平⾯α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.【解析】由⾯⾯平⾏的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD ，解得SD ＝9. 【答案】 914.如图8所⽰，将等腰直⾓△ABC 沿斜边BC 上的⾼AD 折成⼀个⼆⾯⾓，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个⼆⾯⾓⼤⼩是________.图8【解析】连接B ′C ，则△AB ′C 为等边三⾓形，设AD ＝a ，则B ′D ＝DC ＝a ，B ′C ＝AC ＝2a ，所以∠B ′DC ＝90°.【答案】 90°15.若⼀个底⾯边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在⼀个球⾯上，则此球的体积为________.【解析】球的直径等于正六棱柱的体对⾓线的长.设球的半径为R ，由已知，可得2R ＝62×22＋(6)2＝23，R ＝ 3. 所以球的体积为43πR 3＝4π3×(3)3＝43π. 【答案】 43π16.将正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓A -BD -C ，则异⾯直线AB 与CD 所成的⾓等于________.【解析】如图所⽰，分别取BC ，AC 的中点G 、F ，连接EG ，GF ，EF ，则EG ∥CD ，GF ∥AB ，∴∠EGF 就是AB 与CD 所成的⾓. 由题意EG ＝GF ＝EF ＝a2，∴△EFG 是等边三⾓形，∴∠EGF ＝60°. 【答案】 60°三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本⼩题满分10分)如图9所⽰，四棱锥V -ABCD 的底⾯为边长等于2 cm 的正⽅形，顶点V 与底⾯正⽅形中⼼的连线为棱锥的⾼，侧棱长VC ＝4 cm ，求这个正四棱锥的体积.图9 【解】连接AC，BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2 cm，在正⽅形ABCD中，求得CO＝ 2 cm，⼜在直⾓三⾓形VOC中，求得VO＝14 cm，∴V V－ABCD＝13S ABCD·VO＝13×4×14＝4314(cm3).故这个正四棱锥的体积为4314cm3.18.(本⼩题满分12分)如图10所⽰，P是?ABCD所在平⾯外⼀点，E，F分别在P A，BD 上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平⾯PBC.图10【证明】连接AF延长交BC于G，连接PG.在?ABCD中，易证△BFG∽△DF A，∴GFF A＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG.⽽EF?/平⾯PBC，PG平⾯PBC，∴EF ∥平⾯PBC .19.(本⼩题满分12分)如图11，长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平⾯α与此长⽅体的⾯相交，交线围成⼀个正⽅形.图11(1)在图中画出这个正⽅形(不必说明画法和理由)； (2)求平⾯α把该长⽅体分成的两部分体积的⽐值. 【解】 (1)交线围成的正⽅形EHGF ，如图：(2)作EM ⊥AB ，垂⾜为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正⽅形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长⽅体被平⾯α分成两个⾼为10的直棱柱，所以其体积的⽐值为97? ????79也正确.20.(本⼩题满分12分)如图12所⽰，在长⽅体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点.证明：平⾯ABM ⊥平⾯A 1B 1M .图12【证明】由长⽅体的性质可知A1B1⊥平⾯BCC1B1，⼜BM平⾯BCC 1B1，所以A1B1⊥BM.⼜CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，⼜B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从⽽BM⊥B1M.⼜A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平⾯A1B1M，因为BM平⾯ABM，所以平⾯ABM⊥平⾯A 1B1M.21.(本⼩题满分12分)如图13，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底⾯ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.图13(1)求证：AE⊥平⾯PCD；(2)求⼆⾯⾓A-PD-C的正弦值.【解】(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，因P A⊥底⾯ABCD，CD平⾯ABCD，故CD⊥P A.由条件CD⊥AC，P A∩AC＝A，∴CD⊥平⾯P AC，⼜AE平⾯P AC，∴AE⊥CD.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.⼜PC∩CD＝C，∴AE⊥平⾯PCD.(2)过点E作EM⊥PD，垂⾜为M，连接AM，如图所⽰.由(1)知，AE⊥平⾯PCD，AM在平⾯PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是⼆⾯⾓A-PD-C的平⾯⾓.由已知，可得∠CAD＝30°.22.(本⼩题满分12分)⼀个空间⼏何体的三视图及部分数据如图14所⽰.图14(1)请画出该⼏何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平⾯AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平⾏于平⾯AB1C1，并证明你的结论.【解】(1)⼏何体的直观图如图.四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正⽅形，且垂直于底⾯BB1C1C，∴其体积V＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平⾯ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正⽅形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平⾯AB1C1.(3)当E为棱AB的中点时，DE∥平⾯AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平⾯AB1C1，EF?/平⾯AB1C1，∴EF∥平⾯AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平⾯AB1C1，⼜EF∩FD＝F，∴平⾯DEF∥平⾯AB1C1.⽽DE平⾯DEF，∴DE∥平⾯AB1C1.章末综合测评(⼆)解析⼏何初步(时间120分钟，满分150分)⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的)1.空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A.6B.7C.8D.9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2.过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜⾓是45°，则m 的值是( ) A.－1 B.3 C.1D.－3【解析】由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.【答案】 C3.过点(－1,3)且平⾏于直线x －2y ＋3＝0的直线⽅程为( ) A.x －2y ＋7＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x －2y －5＝0D.2x ＋y －5＝0【解析】∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的⽅程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.【答案】 A4.已知直线l 1：ax －y －2＝0和直线l 2：(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2【解析】 l 1的斜率为a ，l 2的斜率为a ＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1，∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A 5.如图1，在正⽅体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A.(2,2,1)B.? ?2，2，23 C.? ?2，2，13 D.? ?2，2，43【解析】∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. ⼜E 在B 1B 上，∴E 的坐标为? ?2，2，43.【答案】 D6.若以点C (－1,2)为圆⼼的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.? ????0，255 B.? ????0，355 C.(0，5)D.(0,25)【解析】设圆⼼到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则05，故选A.【答案】 A7.已知直线l 1的⽅程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的⽅程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A.2B.－2C.±2D.与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0).∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8.若a ，b 满⾜a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.? ????－12，－16 B.? ????12，－16 C.? ??12，16 D.? ??－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线⽅程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为? ??12，－16，此即为直线所过的定点.故选B.【答案】 B9.已知平⾯内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满⾜条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4【解析】由题知满⾜题意的直线l在线段AB两侧各有1条，⼜因为|AB|＝5，所以还有1条为过线段AB上的⼀点且与AB垂直的直线，故共3条.【答案】 C10.若圆⼼在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的⽅程是()A.(x－5)2＋y2＝5B.(x＋5)2＋y2＝5C.(x－5)2＋y2＝5D.(x＋5)2＋y2＝5【解析】设圆⼼O(a,0)，(a<0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的⽅程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11.直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长为()A.2 2B.2C. 2D.与k的取值有关【解析】由于圆x2＋y2＝2的圆⼼在直线y＝kx上，所以截得弦为圆x2＋y2＝2的直径，⼜其半径为2，故截得的弦长为2 2.【答案】 A12.已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上⼀动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN 的最⼩⾯积为()A.43 B.23。
北师大版高二数学必修模块试题及答案
高二年级数学学科必修5模块试题命题人：宝鸡市斗鸡中学 张永春卷面满分为120分 考试时间90分钟一：选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518,a a =-则8S 等于 （ ）A ．18B ．36C ．54D ．72 2.不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则a ＋b 的值是( )A.10B.－10C.14D.－143．已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A. a <-7或a >24B. a =7或a =24C. -7<a <24D. -24<a <7 4．已知{}n a 是等比数列，22a =,514a =，则12231n n a a a a a a ++++= ( )A ．16(14)n --B ．16(12)n --C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n -- 5．函数2()lg(31)f x x =++的定义域是( ) A.1(,)3-+∞ B.1(,1)3- C.11(,)33- D. 1(,)3-∞-6．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为 ( ) A. 500米 B. 600米 C. 700米 D. 800米 7．在ABC ∆中,若()()3a b c b c a bc +++-=,则角A 为( )A ． 30B ．60C ．120D ．1508．在ABC ∆中，已知2,45b B ==，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A ．2a <<B ．24a <<C 2a <<D a <<9．在R 上定义运算a cad bc b d=-，若32012x x x<-成立，则x 的取值范围是（ ）A.(4,1)-B.(1,4)-C.(,4)(1,)-∞-+∞D.(,1)(4,)-∞-+∞10．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41）……，则第104个括号内各数之和为 （ ）A. 2036B. 2048C. 2060D. 2072 二：填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）11．某校要建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。
高二数学北师大必修单元检测：第二章 解三角形 B 含解析
8.(2014四川高考)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()
A.240( -1)mB.180( -1)m
C.120( -1)mD.30( +1)m
解析:如图,作AD⊥BC,垂足为D.
由题意,得DC=60×tan60°=60 (m),
即| || |= .
所以S△ABC= |·sinA= .
答案:
15.(2014课标全国Ⅰ高考)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.
A.10B.9C.8D.5
解析:由23cos2A+cos2A=0,得cos2A= .
∵A∈ ,∴cosA= .
∵cosA= ,∴b=5或b=- (舍).
答案:D
3.(2014江西高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC的面积是()
A.3B. C. D.3
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)由题设及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC
=13-12cosC,①
BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA
=5+4cosC.②
由①②得cosC= ,故C=60°,BD= .
(2)四边形ABCD的面积
S= AB·DAsinA+ BC·CDsinC
答案:
12.(2014福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则△ABC的面积等于.
北师大版必修5高二数学第一单元试卷及答案
高二年级数学学科第一单元质量检测试题参赛试卷学校：石油中学 命题人：胡伟红一、 选择题（60分）1．等差数列前10项和为100，前100项和为10。
则前110项的和为A ．-90B ．90C ．-110D ．10 2．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是A ．35 B ．58 C ．38 D ．473．若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n =A ．13B ．14C ．15D ．14或15 4．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30。
若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为 A ．18 B ．12 C ．10 D ．8 5．等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．260 6．等差数列{}n a 中，01≠a ，10S =45S ，若有k a =91a ，则k = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为A ．3B ．4C ．5D ．6 8．等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于A ．3B ．23 C ．916 D ．49．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么等于A ．3B ．2C ．－2D ．2±10．设由正数组成的等比数列，公比q =2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于A ．102B ．202C ．162D ．152 11、已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．2312、在单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,黑、白两只蚂蚁均从点A 出发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是AA 1⇒A 1D 1⇒D 1C 1⇒…；黑蚂蚁的爬行路线是AB ⇒BB 1⇒B 1C 1⇒…,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第i+2段与第i 段所在的直线必为异面直线(其中i 为自然数),设黑、白蚂蚁都爬完2008段后各自停止在正方体的某个顶点处,则此时两者的距离为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0 二、 填空题（20分）1．等差数列{}n a 中5S =25，45S =405。
2020_2021学年高中数学本册测试题含解析北师大版必修2
高中数学单元综合测试：单元综合测试三(本册测试题)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(D)A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， 5C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， 5解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5.2．点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A的坐标是(C)A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)解析：由点A在z轴上，可设A(0,0，z)，∵点A到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(1－z)2＝13，解得z＝1，故A的坐标为(0,0,1)．故选C.3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是(C)A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa2解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，＝sin30°，∴SA′＝2r.在Rt△SA′O′中，rSA′在Rt△SAO中，2r＝sin30°，SA∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积是( B )A.83 B ．43π C ．12πD.833π解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一侧棱垂直于底面，该侧棱长为2，因此外接球的直径为23，∴r ＝3，∴V ＝43πr 3＝43π.5．若点P (2，－1)为圆C (x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.6．若直线l 过点A (3,4)，且点B (－3,2)到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为( D ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：当l ⊥AB 时，符合要求． ∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴l 的斜率为－3，∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．点(a ＋1,2a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围为( B ) A ．|a |<15B ．|a |<55C ．|a |<1D ．a <55解析：∵点(a ＋1,2a )在圆内部， ∴(a ＋1－1)2＋(2a )2<1，∴|a |<55.8．一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为 ( C )A.43π cm 3 B.68π cm 3 C.16π cm 3 D.66π cm 3 解析：设球的直径为2R cm ，则正方体的棱长为2R cm ，由题意得6×4R 2＝6，解得R ＝12.所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×18＝16π(cm 3)． 9．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( D )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1.∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k >0，∴k ＝2.10．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 解析：∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD 平面BB 1D 1D ，D 1D 平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C . 又∵B 1C ∩AC ＝C ，B 1C 平面AB 1C ，AC 平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP 平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴点P 的轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11．顺次连接A (1,0)，B (1,4)，C (3,4)，D (5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是184π3.解析：所得旋转体为上底、下底面半径分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱．V 台＝13(9π＋9π×25π＋25π)×4＝196π3，V 柱＝4π，则V ＝V 台－V 柱＝184π3. 12．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为2x ＋3y －2＝0.解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0得交点A (－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y－2＝0.13．在△ABC 中，高AD 与BE 所在直线的方程分别是x ＋5y －3＝0和x ＋y －1＝0，AB 边所在直线的方程是x ＋3y －1＝0，则△ABC 的顶点坐标分别是A (－2,1)，B (1,0)，C (2,5)．解析：高AD 与边AB 所在直线的交点即为顶点A ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y －3＝0，x ＋3y －1＝0，得A (－2,1)．高BE 与边AB 所在直线的交点即为顶点B ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ＋3y －1＝0，得B (1,0)．因为直线AC 过点A ，且与直线BE 垂直，所以直线AC 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，同理，直线BC 的方程为y ＝5(x －1)，联立两直线方程得C (2,5)．14．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的点E 有两个时，a 的取值范围是(6，＋∞)．解析：如图所示，连接AE ，要使PE ⊥DE ，由于DE ⊥P A ，则需DE ⊥AE .∵在矩形ABCD 中，∠AED ＝90°，满足条件的E 点有两个，∴以AD 为直径的圆与BC 相交．∴圆心到直线BC的距离d<R，即3<AD，得a>6.215．从原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是x2＋y2＝3.解析：设切点P(x，y)，圆心C(m,2)，则在直角三角形OPC中，由勾股定理可得m2＋4＝m2＋1＋x2＋y2，∴切点P的轨迹方程为x2＋y2＝3.三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4,1)；(2)在y轴上的截距为－10.解：因为直线y＝－3x＋1的斜率为－3，所以该直线的倾斜角为120°.由题意知所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝ 3.(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝3(x＋4)，即3x－y＋1＋43＝0.(2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝3x－10.即3x－y－10＝0.17．(本题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，该几何体是一个高h ＝4的四棱锥，其底面是长和宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V ＝13S 底h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5，左、右侧面底边上的高为h 2＝42＋42＝42，故该几何体的侧面积为S ＝2⎝⎛⎭⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 18．(本题满分12分)已知直线l 经过点P (3,4)．(1)若直线l 的倾斜角为θ(θ≠90°)，且直线l 经过另外一点(35，45)，求此时直线l 的方程；(2)若直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程． 解：(1)直线l 的斜率为k ＝tan θ＝4－453－35，解得tan θ＝43.所以直线l 的斜率为43，直线l 的方程为y ＝43x .(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，且不为零，则设l ：y －4＝k (x －3)，分别令x ，y 等于零得到x 轴上的截距为－4k＋3，y 轴上的截距为－3k ＋4，由|－4k ＋3|＝|－3k ＋4|，得－4k ＋3＝－3k ＋4，解得k ＝－1，或k ＝43；或者－4k ＋3＝3k －4，解得k ＝1或k ＝43；经检验k ＝43不合题意，舍去．综上k 的值为±1，直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋7.19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)求异面直线P A与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD.解：(1)在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又＝因为AD⊥PD，故∠P AD为异面直线P A与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠P AD＝PDAD 2.所以，异面直线P A与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.20．(本题满分13分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点．(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．解：(1)∵点M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，如图，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴， 由题意知：M ，N 点都在∠COD 的角平分线上，∴O ，M ，N 三点共线． 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OMON ＝MANC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.21．(本题满分14分)如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积； (2)求证：P A ∥平面MBD ；(3)试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN ⊥平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)∵Q 为AD 的中点，△P AD 为正三角形， ∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD . ∵AD ＝4，∴PQ ＝23， 四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 正方形ABCD ·PQ ＝13×42×23＝3233.(2)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，如图所示．由正方形ABCD 知O 为AC 的中点．∵M 为PC 的中点， ∴MO ∥P A .∵MO 平面MBD ，P A ⃘平面MBD ，∴P A ∥平面MBD .(3)存在点N ，当N 为AB 的中点时，平面PQB ⊥平面PNC .证明如下：如图，连接BQ ，CN ，PN .∵四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，∴BQ ⊥NC . 由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC 平面ABCD ， ∴PQ ⊥NC .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴NC ⊥平面PQB . ∵NC 平面PCN ，∴平面PCN ⊥平面PQB .。
高中数学北师大版(2019)必修第二册第六章单元测试卷含答案
北师大版（2019）必修第二册第六章单元测试题一、单选题1．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ） A ．,a b αα⊂⊂B ．,//a b αα⊂C ．,a b αα⊥⊥D ．,a b αα⊂⊥2．在空间四边形ABCD 中，在,,,AB BC CD DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果,GH EF 交于一点P ，则（ ）A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在直线AC 上 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A B C D 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．3551135．菱形ABCD 在平面α内，PC ⊥α，则P A 与BD 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直相交 D ．异面且垂直 6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD （如图所示），若45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则这个平面图形的面积为A ．14B ．2C ．14+D ．127．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则． A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥8．如图，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A －MNCB 的体积为A ．32B C D ．3二、多选题9．用一张长、宽分别为8cm 和4cm 的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长可以为（ ）AB ．C ．32cmD10．用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的是（ ） A ．直角三角形B ．正五边形C ．正六边形D ．梯形11．如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，下列结论正确的是（ ）A ．//PC 平面OMNB ．平面//PCD 平面OMNC ．OM PA ⊥D ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90︒12．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O 的直径，且2SC =，则（ ）A ．三棱锥S ABC -B ．三棱锥S ABC -C ．三棱锥O ABC -D ．三棱锥O ABC -三、填空题13．已知,a b 表示直线,,,αβγ表示不重合平面. ①若,,,a b a b αβα⋂=⊂⊥则αβ⊥;②若,a a α⊂垂直于β内任意一条直线,则αβ⊥; ③若,,,a b αβαβαγ⊥⋂=⋂=则a b ⊥;④若,,,a b a b αβ⊥⊥则αβ∥.上述命题中,正确命题的序号是__________．14．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体” ，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水），则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为________.15．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为的半径为________.16．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到βQ到α的距离为P ，Q 两点之间距离的最小值为________，此时直线PQ 与平面α所成的角为________． 四、解答题17．在三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AC B C ⊥⊥平面ABC ，,E F 分别是1,AC B C 的中点.（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB .18．在四面体A BCD -中，点E ，F ，M 分别是AB ，BC ，CD 的中点，且2BD AC ==，1EM =.（1）求证：//EF 平面ACD ； （2）求异面直线AC 与BD 所成的角.19．某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160000cm 3.（1）求正方体石块的棱长；（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积. 20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥； （2）点1C 在平面AEF 内．21．在三棱锥P ABC -中，AB BC =，PA ⊥平面ABC ，D 为PC 的中点，E 为AC 的中点.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若M 为AB 的中点，请问线段PC 上是否存在一点N ，使得||MN 平面BDE ？若存在，请说明点N 的位置，并说明理由？若不存在，也请说明理由.22．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 上一点．（Ⅰ）求证：//CD 平面ABE ； （II ）求证：CD AE ⊥；（III ）若E 为PD 中点，平面ABE 与侧棱PC 交于点F ，且2PA PD AD ===，求四棱锥P-ABFE 的体积．参考答案1．B 【分析】由空间中两条直线的位置关系可得a 、b 可能平行或异面，但A 与异面直线相矛盾，C 中只有//a b 才成立，而对于D ，只有a b ⊥才成立，故D 也错误，用排除法即可得到答案. 【详解】不相交的直线a 、b 的位置有两种：平行或异面． 故对于A 选项，当a 、b 异面时，不存在平面α满足A ， 对于C 选项，只有当//a b 时C 才成立； 对于D 选项，只有当a b ⊥时D 才成立. 故选：B 2．B 【分析】由题设知GH ⊂面ADC ，结合已知条件有P ∈面ADC 、P ∈面ABC ，进而可判断P 所在的位置. 【详解】由题意知：GH ⊂面ADC ，又,GH EF 交于一点P ， ∴P ∈面ADC ，同理，P ∈面ABC ，又面ABC 面ADC AC =，由公理3知：点P 一定在直线AC 上. 故选：B.3．C 【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4．B 【详解】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为258，故选B. 考点：《算数书》中的近似计算，容易题.5．D 【分析】由菱形ABCD 在平面α内,则对角线AC BD ⊥,又PC α⊥, 可得BD ⊥平面ACP ,进而可得BD AP ⊥,又显然，P A 与BD 不在同一平面内，可判断其位置关系.【详解】假设P A 与BD 共面，根据条件点P 和菱形ABCD 都在平面α内， 这与条件PC α⊥相矛盾.故假设不成立，即P A 与BD 异面. 又在菱形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，PC α⊥，BD α⊆，则BD PC ⊥且ACPC C =，所以BD ⊥平面ACP ,AP ⊆平面ACP . 则BD AP ⊥,所以P A 与BD 异面且垂直. 故选：D 【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题. 6．B 【详解】在直观图中，∵∠ABC=45°，AB=AD=1，DC ⊥BC ∴AD=1，∴原来的平面图形上底长为1，下底为12， ∴平面图形的面积为1122++×故选：B ． 7．C 【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】画出正方体1111ABCD A B C D -，如图所示．对于选项A ，连1D E ，若11A E DC ⊥，又111DC A D ⊥，所以1DC ⊥平面11A ED ，所以可得11DC D E ⊥，显然不成立，所以A 不正确．对于选项B ，连AE ，若1A E BD ⊥，又1BD AA ⊥，所以DB ⊥平面1A AE ，故得BD AE ⊥，显然不成立，所以B 不正确．对于选项C ，连1AD ，则11AD BC ．连1A D ，则得111,AD A D AD ED ⊥⊥，所以1AD ⊥平面1A DE ，从而得11AD A E ⊥，所以11A E BC ⊥．所以C 正确． 对于选项D ，连AE ，若1A E AC ⊥，又1AC AA ⊥，所以AC ⊥平面1A AE ，故得AC AE ⊥，显然不成立，所以D 不正确． 故选C ． 【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题． 8．A 【分析】根据二面角为30°，可求出四棱锥A ﹣MNCB 的高，底面面积，即可求出四棱锥的体积． 【详解】由题意画出图形如图，取MN ，BC 的中点E ，D ，易知∠AED ＝30°，由题意可知AE AO底面面积为：2344=则四棱锥A ﹣MNCB 的体积为1332=,故选A ．【点睛】本题考查二面角和锥体体积问题，考查空间想象能力和平面图形的折叠问题，考查计算能力．9．BD【分析】分别以8cm和4cm作为正四棱柱底面正方形周长，可求得底面正方形边长和正四棱柱的高，利用勾股定理可求得结果.【详解】若8cm为正四棱柱底面正方形的周长，则底面正方形边长为2cm，正四棱柱高为4cm，则此=；若4cm为正四棱柱底面正方形的周长，则底面正方形边长为1cm，正四棱柱高为8cm，则此.故选：BD.10．CD【分析】根据题意，依次作出对应的截面，并判断即可得答案.【详解】对于A选项，如图1，作出的截面为三角形，但为锐角三角形，不可能为直角三角形，故A 选项错误；对于B选项，如图2，过正方体的一个顶点作截面，可以得到截面为五边形，但该五边形不是正五边形，故B选项错误；对于C选项，如图3，取各边的中点，连接的截面即为正六边形，故C选项正确；对于D选项，如图4，所做的截面为梯形，故D选项正确.故选：CD11．ABC【分析】A选项:连接AC,O为AC中点，M为PA中点，可证OM∥PC根据线面平行的判定可以证明PC∥平面OMN；PCD平面OMN；B选项:；连接BD,同理证明PD∥平面OMN,结合A选项可证明平面//-的棱长均相等，且四边形ABCD为正方形，根据勾股定理可C选项:由于正四棱锥P ABCD⊥,结合OM∥PC可证OM⊥PA;证PA PCD选项:先利用平移思想，根据平行关系找到异面直线PD与直线MN所成角的平面角，结合△为正三角形，即可求出直线PD与直线MN所成角.PDC【详解】连接AC 如图示：O 为底面正方形的中心, O ∴为AC 中点，又M 为PA 中点，OM ∴∥PC 又OM ⊂平面OMN ,PC ⊄平面OMN ，PC ∴∥平面OMN ，故A 选项正确；连接BD ，同理可证ON ∥PD ,又ON ⊂平面OMN ,PD ⊄平面OMN ，PD ∴∥平面OMN ,又PD PC P ⋂=,PC ∥平面OMN PC ⊂平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,∴平面//PCD 平面OMN ,故B 选项正确；由于正四棱锥P ABCD -的棱长均相等，且四边形ABCD 为正方形，∴22222AB BC PA PC AC +=+=∴PA PC ⊥,又OM ∥PC ， OM ∴⊥PA ,故C 选项正确;,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，MN ∴∥AB四边形ABCD 为正方形, CD ∴∥AB ,∴直线PD 与直线CD 所成的角即为直线PD 与直线MN 所成角PDC ∴∠即为直线PD 与直线MN 所成角，又PDC △为正三角形，060PDC ∴∠=, ∴直线PD 与直线MN 所成角为060.故D 选项不正确.故选：ABC 12．AC 【分析】根据题意可知三棱锥S ABC -的体积是三棱锥O ABC -体积的2倍，进而确定相应高，并求出体积. 【详解】解: 由于三棱锥S ABC -与三棱锥O ABC -的底面都是ABC ，O 是SC 的中点， 因此三棱锥S ABC -的高是三棱锥O ABC -高的2倍，所以三棱锥S ABC -的体积也是三棱锥O ABC -体积的2倍，在三棱锥O ABC -中，其棱长都为1，如图，112ABCS=⨯高OD ==则13O ABC V -==26S ABC O ABC V V --==． 故选：AC. 13．②④ 【分析】对于①②，根据面面垂直的判断定理，对于③,利用线线垂直的判断定理判断，对于④,利用面面平行的判断定理判断. 【详解】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②,a α⊂，a 垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a β⊥，又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③,αβ⊥，a αβ⋂=，b αγ⋂=，则a b ⊥或//a b ，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ，故正确. 故答案为②④ 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 14．13【分析】设球半径为R ，求出球和圆柱的体积，可得剩下的水的体积，从而得比值． 【详解】设球半径为R ，则球体积为3143V R π=，圆柱体积为23222V R R R ππ=⨯=，剩下水的体积为3332142233V V R R R πππ-=-=，∴3213221323R V V V R ππ-==． 故答案为：13【点睛】本题考查圆柱与球的体积，掌握圆柱与球的体积公式是解题关键． 15．【分析】如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，分别取上下底面的中心1O 、O ，则球心在线段1OO 上，求出1OO 的长，设正四棱台外接球的半径为R8=，求出R 的值，即可得答案 【详解】如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，分别取上下底面的中心1O 、O，有11O AOA =过点1A 作1A H AO ⊥，垂足为H ，在1Rt A HA △中，18A H =， 设正四棱台外接球的半径为R8=，5=，解得：R =.故答案为：【点睛】此题考查几何体与其外接球的关系，涉及棱台的几何结构，解题的关键是确定球心的位置，属于基础题16． 90 【分析】（1）如图，分别作PA β⊥，AC l ⊥，连结PC ，QB α⊥，QD l ⊥，连结BD ，则，利用勾股定理得到，并验证最小值成立的条件；（2）由（1）可知，直接得到直线PQ 与平面α所成的角. 【详解】（1）如图，分别作PA β⊥，AC l ⊥，连结PC ，QB α⊥，QD l ⊥，连结BD ，则60ACP QDB ∠=∠=，因为QB =所以PQ =≥当点P 与点B 重合时，取最小值，又此时PQ PA =成立，所以,P Q 两点之间距离的最小值是（2）此时点P 与点B 重合，此时QP α⊥，所以PQ 与平面β所成的角为90.故答案为：90 【点睛】本题考查平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，运算能力，推理论证能力，属于中档题型. 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，求解出平面11AB C 的一个法向量，通过计算出EF与平面11AB C 法向量的数量积为0证明//EF 平面11AB C ； （2）分别计算出平面1AB C 与平面1ABB 的一个法向量，然后根据法向量的数量积为0证明平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】 （1）以C 为原点，分别以1,CA CB 的方向为,x z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，设1,,AC a AB b CB c ===，则()()()()()11,0,0,,,0,0,0,0,0,0,,,,A a B a b C B c C a b c --， ()1,0,AB a c ∴=-，()11,,0B C a b =--，,E F 分别是1,AC B C 的中点，,0,0,0,0,,,0,2222a c ac E F EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面11AB C 的法向量为(),,m x y z =，则1110,0,m AB m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0,ax cz ax by -+=⎧⎨--=⎩，取x c =，则,ac y z a b =-=，,,ac m c a b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，022ac acEF m ⋅=-+=，且EF ⊄平面11AB C ， //EF ∴平面11AB C .（2）由（1）知()()10,,0,,0,AB b AB a c ==-，设平面1ABB 的法向量为()111,,n x y z =， 则由10,0,n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1110,0,by ax cz =⎧⎨-+=⎩，取1=x c ，则110,y z a ==，(),0,n c a ∴=，取平面1AB C 的一个法向量为()0,,0AB b =，0,n AB ⋅=∴平面1AB C ⊥平面1ABB .18．（1）证明见解析；（2）60︒. 【分析】（1）由点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，得到//EF AC ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知//EF AC 和//FM BD ，得到EFM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角，在EFM △中，即可求解.【详解】（1）由题意，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以//EF AC ， 因为EF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以//EF 平面ACD ； （2）由（1）知//EF AC ，因为点F ，M 分别是BC ，CD 的中点，可得//FM BD ， 所以EFM ∠即为异面直线AC 与BD 所成的角（或其补角）. 在EFM △中，1EF FM EM ===，所以EFM △为等边三角形， 所以60EFM ∠=︒，即异面直线AC 与BD 所成的角为60︒.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面平行的判定定理和异面直线所成角的概念，转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．（1）40cm ；（2）21600cm π. 【分析】（1）设正方体石块的棱长为a ，求出每个截去的四面体的体积，再由等体积法列式求解a 值； （2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大，可得正方体的棱长正好是球的直径，再由球的表面积公式求解． 【详解】（1）设正方体石块的棱长为a ，则每个截去的四面体的体积为3113222248a a a a ⨯⨯⨯⨯=．由题意可得331600008483a a ⨯+=，解得40a =． 故正方体石块的棱长为40cm ；（2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大． 此时正方体的棱长正好是球的直径，∴球形石凳的表面积22404()16002S cm ππ=⨯=． 【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题． 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ⊥，根据长方体性质得1AC BB ⊥,进而可证AC ⊥平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC =,再通过平行四边形性质进行证明即可. 【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥, 因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥ 因为11,BB BD B BB BD =⊂、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC = 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以M F A D 、、、四点共面，所以四边形MFAD 为平行四边形， 1//,//DM AF EC AF ∴∴，所以1E C A F 、、、四点共面，因此1C 在平面AEF 内 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 21．（1）证明见解析；（2）存在；点N 是线段PC 上靠近点P 的四等份点；答案见解析. 【分析】（1）PA ⊥平面ABC ，||DE AP 可得DE ⊥平面ABC ，即DE AC ⊥，再结合BE AC ⊥，即可证AC ⊥平面BDE ，从而可证BD AC ⊥.（2）先假设线段PC 上存在一点N ，使得||MN 平面BDE ，取AE 的中点Q ，连MQ 、NQ ，可证平面MNQ 平面BDE ，且N 为线段PD 的中点，即可知点N 是线段PC 上靠近点P 的四等份点. 【详解】（1）证明：∵AE EC =，PD CD =，∴||DE AP ， 又∵PA ⊥平面ABC ，||DE AP ，∴DE ⊥平面ABC ， ∵AC ⊂平面ABC ，∴DE AC ⊥， ∵AB BC =，AE EC =，∴BE AC ⊥，∵AC DE ⊥，AC BE ⊥，BE DE E ⋂=，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， ∴AC ⊥平面BDE .又∵BD ⊂平面BDE ，∴BD AC ⊥，（2）假设线段PC 上存在一点N ，使得||MN 平面BDE ，如图，取AE 的中点Q ，连MQ 、NQ ，∵MB MA =，AQ QE =，∴||MQ BE ，又∵MQ ⊄平面BDE ，||MQ BE ，∴||MQ 平面BDE ， ∵MN ⊂平面MNQ ，MQ 平面MNQ ，MN MQ M ⋂=，||MN 平面BDE ，||MQ 平面BDE ，∴平面MNQ 平面BDE ，又∵NQ ⊂平面MNQ ，∴NQ 平面BDE ，∵平面PAC 平面BDE DE =，NQ 平面BDE ，NQ ⊂平面P AC ，∴||NQ DE ， 又∵AQ QE =，||NQ DE ，∴N 为线段PD 的中点，故假设成立，线段PC 上存在一点N ，使得||MN 平面BDE ，此时点N 是线段PC 上靠近点P 的四等份点.【点睛】本题主要考查了证明线线平行，补全线面平行的条件，涉及了线面垂直的判定，面面垂直的判定，属于中档题.22．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析；（III 【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明；（II ）由面面垂直的性质定理证明CD ⊥平面PAD ，然后可得线线垂直；（III ）证明AE 就是四棱锥P ABFE -的高，然后求得底面积，得体积．【详解】（Ⅰ）证明：因为//CD AB ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ；（II ）证明：因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥；（III ）因为//CD 平面ABE ，CD ⊂平面PCD ，平面PCD平面ABE EF =， 所以//CD EF ，所以//AB EF ， CD AE ⊥，则EF AE ⊥．所以ABFE 是直角梯形，又E 是PD 中点，所以112EF CD ==，2AE ==所以1(21)2ABFE S =⨯+=由（II ）CD ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，所以CD PE ⊥，从而EF PE ⊥，正三角形PAD 中，E 是PD 中点，AD PE ⊥，AEF E =，,AE EF ⊂平面ABFE ，所以PE ⊥平面ABFE ，112PE PD ==，所以11133P ABFE ABFE V S PE -=⋅==【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积．旨在考查学生的空间梘能力，逻辑推理能力．属于中档题．。
新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A．5B．2 C．3D．22．已知三棱锥A BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A．13B．3C．33D．1163．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）为（）A．43B．2C ．4D ．64．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43，D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．43D ．125．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．676．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（ ）A ．2 B ．255C ．32D ．2777．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）A ．2211B ．2211-C ．77D ．211118．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A ．77B ．142C ．714D ．1479．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ） A ．异面直线AM 与BC 5B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 10D ．直线1AC 与平面BDM 相交10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（ ）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 11．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（ ） A ．1B ．32C ．2D ．312．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A ．10B ．5C ．22D ．3二、填空题13．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．14．如图，点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的有__________． ①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线②存在点M ，使得1B M AE ⊥ ③四面体EMAC 的体积为定值④当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC15．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 16．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________．17．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________. 18．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______19．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD20．将底面直径为8，高为23为______.三、解答题21．在所有棱长均为2的直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，O ，M 分别为1,BD B C 的中点．（Ⅰ）求证：直线//OM 平面11DB C ； （Ⅱ）求二面角1D AC D --的余弦值．22．如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：BD AC ⊥.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，32,3,PB PD PA AD ====点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.（1）求证://EF 平面ABP ; （2）求证:平面AEF ⊥平面PCD ;（3）求三棱锥C AEF -的体积24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是长方形，点E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，3AD =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 25．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '． （2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值． 26．如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===1333xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=， 设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===O 是底面中心，则133xOE CE ==，则253 23x x-=，解得3x=，则1AO=，底面边长为23，则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．B解析：B【分析】取AC中点F，连接,EF DF，证明FED∠是异面直线AB与DE所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得．【详解】取AC中点F，连接,EF DF，∵E是BC中点，∴//EF AB，12EF AB=，则FED∠是异面直线AB与DE所成角（或其补角），设1AB=，则12EF=，32DE DF==，∴在等腰三角形DEF中，11324cos3EFFEDDE∠===．所以异面直线AB与DE3故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．B解析：B 【分析】根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED ⊥平面ABCD ， 所以其体积为11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=， 故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；（2）结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.4．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=， 故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.5．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7. 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.6．D解析：D 【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值. 【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE AC , 1//EF BC ,且OEEF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ，又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC 则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角，sin OAOPA OP∴∠=, OA 为定值，∴当OP 最小时，正弦值最大，而OP所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大， 故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大， 设棱长为2， 则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒,AP ∴=, 又1212OA =⨯=,sin OAOPA OP∴∠===故选：D 【点睛】关键点点睛：由P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，转化为找过O 的平面与平面11A BC 平行，P 在所找平面与平面ABC 的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.7．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角）， 又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥． 由已知2PA AD ==，所以PB==cos11BCPCBPC∠===，所以异面直线PC与AD所成角的余弦值为11．故选：D．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，在ABC中，cos ABC∠==sin4ABC∴∠=，由正弦定理可得28sinACrABC==∠，即4r=，则3OD==，11133324O ABC ABCV S OD-∴=⨯⨯=⨯⨯=故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.9．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =22BD =5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC =直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 5d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.10．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为2R==R=，DE DF====EF=在DFE△中，222cos2DE EF DFDEFDE EF+-∠===⨯，所以DEF∠为锐角，所以sin DEF∠==，DEF的外接圆的半径为2sinDFrDEF===∠则球心到DEF23，以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为1R OO+23.故选：A.【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C【分析】首先通过延长直线,DC AB，交于点G，平面BAE变为GAE，连结PG，EG交于点F，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值.【详解】延长,DC AB，交于点G，连结PG，EG交PC于点F，//AD BC，且2AD BC=，可得点,B C分别是,AG DG的中点，又点E是PD的中点，PC∴和GE是△PGD的中线，∴点F是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.12．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC +=②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+因为2210，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由23,2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===， 由3PE =，23PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．14．②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②；连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对解析：②③④. 【分析】取点M 为线段1BD 的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，利用()1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②；连接AC 、BD 交于点1O ，证明11//EO BD ，线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，可判断③；求出点M 的坐标，然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量，即可判断④. 【详解】对于①：连接1AC 交1BD 于点O ，当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交，故①不正确，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，对于②：()2,0,1AE =-，假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-=，解得13λ=，所以当12D M MB =时1B M AE ⊥， 故②正确； 对于③：连接AC 、BD 交于点1O ，因为点E 是棱1DD 的中点，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确； 对于④：当12D M MB =时，442,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =，由111120220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令12z =，可得11x =，11y =，可得()1,1,2m =，设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =，242,,333MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222222202420333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =，令 21x =可得22z =，所以1,1,1n ，因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=，m n ⊥所以平面EAC ⊥平面MAC ，故④正确；故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.15．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面【分析】根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹， 因为1223GE EF GF ==== 所以动点P 的运动轨迹周长为232GE EF GF ++==2【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//ABC 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.16．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径 解析：4【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】 解：因为42BC =8AC =，AB BC ⊥， 所以42AB =4PA PB ==，所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，22DE =，22DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 224EP DP DE =+=， 所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =.故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.17．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A--的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=， 因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =； 因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠， 所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠， 令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+，当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于确定二面角M BC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角MBC A --的4倍，进而可求得结果. 18．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为 解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC 的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案.【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC中，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△，所以4AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形，1128EA OO AD ===，所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.19．①②【分析】采用逐一验证法根据线面平行线面垂直的判定定理以及线面距离判断可得结果【详解】由共面所以因为平面平面所以平面；故①正确；平面平面所以又因为平面平面所以故②正确；若则平面或EF 在平面ACD 内 解析：①②【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距离，判断可得结果.【详解】由AB AD ⊥，,,EF AD AD EF AB ⊥，共面 ，所以//EF AB ,因为EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；故①正确； BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又因为AB AD ⊥，AB BC B ⋂=，AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确；若//EF CD ，则//EF 平面ACD ，或EF 在平面ACD 内，如图EF 与平面ACD 相交于点E ，显然不成立，故③不正确，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了线线、线面之间的位置关系，考查了线面平行的判断以及由线面垂直证明线线垂直，属于中档题. 20．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取 解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得323h =； 所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧； 当2r 时，S 圆柱侧取得最大值为43π 故答案为：43π.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ5 【分析】（Ⅰ）由中位线定理证明1//OM C D ，即可得线面平行；（Ⅱ）连1D O ，证明1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角， 在直角1D DO △中计算可得．【详解】解：（Ⅰ）连1BC ，则M 也为1BC 的中点，又M 为BD 的中点，所以1//OM C D ，因为OM ⊄平面11DB C ，1C D ⊂平面11DC B ，所以直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）连1D O ，因为ABCD 是菱形，所以DO AC ⊥，又1111ABCD A BC D -为直棱柱，底面为菱形，所以11D A D C =，而O 为AC 中点，所以1D O AC ⊥，所以1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，因为ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，所以1DO =，又12DD =， 由直棱柱知1DD DO ⊥，所以15DO =，所以115cos DO D OD D O ∠==．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角角，求二面角常用方法：（1）定义法：作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量夹角的余弦即可得二面角的余弦（注意判断二面角是锐角还是钝角）．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线的性质，得到//EF AB ，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）根据面面垂直的性质定理，得到BD ⊥平面ACD ，进而证得BD AC ⊥.【详解】证明：（1）如图（2）：在ABC 中，E ､F 分别是AC ､BC 中点，得//EF AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF .（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 且交线为CD ，BD CD ⊥，且BD ⊂平面BCD ， ∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关空间关系的证明问题，解题方法如下：（1）熟练掌握线面平行的判定定理，在解题过程中，一定不要忘记线在面内、线在面外的条件；（2）根据面面垂直的条件，结合线线垂直，利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而证得线线垂直.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）98. 【分析】（1）取PA 的中点G ，连接,BG EG ，证明四边形EFBG 为平行四边形，得出//EF BG ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）先证明PA ⊥平面ABCD ，从而得出PA CD ⊥，再由等腰三角形的性质得出AE PD ⊥，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（3）以AFC △为底，12PA 为高，由棱锥的体积公式得出答案. 【详解】（1）如图，取PA 的中点G ，连接,BG EG .因为点,E G 分别为,PD PA 的中点，所以1//,2EG AD EG AD = 又因为F 是BC 的中点，四边形ABCD 是正方形，所以//BF EG 且BF EG = 故四边形EFBG 为平行四边形，所以//EF BG因为BG ⊂平面,ABP EF 不在平面ABP 内，所以//EF 平面ABP .（2）由条件知32,3PB PD PA AD AB =====，所以PAB △和PAD △都是等腰直角三角形，,PA AB PA AD ⊥⊥又因为,,AB AD A AB AD =⊂平面,ABCD 所以PA ⊥平面ABCD因为CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又因为,,AD CD PA AD A ⊥⋂=所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥因为E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD因为AE ⊂平面,AEF 所以平面AEF ⊥平面PCD .（3）由图可知C AEF E ACF V V --=，1111319333232228E ACF ACF V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△， 即三棱锥C AEF -的体积为98 【点睛】 关键点睛：在证明线线平行时，关键是证明四边形EFBG 为平行四边形，从而得出//EF BG .24．（1）证明见解析；（232211【分析】。
北师大版2017课标高中数学必修第二册第四章综合测试试卷-含答案01
第四章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.55 cos cos sin sin 8888ππππ+=（）A .1B .0C .1-D .122.若 sin 4cos 0αα-=，则3tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .53B .53-C .35D .35-3.若()()4tan 114tan 17αβ+-=，则()tan αβ-的值为（）A .14B .12C .4D .124.已知3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2sin 4απα⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A .715B .715-C .4315D .4315-5.已知 tan 2α=，则22sin 1cos 24απα+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值是（）A .53B .134-C .135D .1346.已知4sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且β是第三象限角，则cos 2β的值等于（）A .55±B .255±C .55D .255-7.函数()22cos 2()f x x x x =⋅∈R 的最小正周期和最大值分别是（）A .2π，3B .2π，1C .π，3D .π，18.化简2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒++++︒︒ 的结果是（）A .89B .892C .45D .452二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列各式中，值为12的是（）A .2tan15cos 15︒︒B .2233312312ππ-C .2tan 301tan 30︒︒⋅-D 10.下列各式与tan α不相等的是（）A B .sin 1cos αα+C .21cos sin 2αα--⋅D .sin 1cos 2aα-11.有下列四个函数，其中在2π上为递增函数的是（）A .sin cos y x x =+B .sin cos y x x=-C .sin cos y x x=D .sin cos x y x=12.关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-有下列四个结论，其中正确的有（）AB .把函数() 21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后可得到函数()()2sin cos cos f x x x x =-的图象C .递增区间为711 ,88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （）D .图象的对称中心为,1()28k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.14.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2x x 的值为________.15.已知s 1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3παπ<<，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.16.ABC △的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知1sin 0,tan 523a παβ⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，，.（1）求tan α的值；（2）求tan(2)αβ+的值.18.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点21,cos 2P θ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，点()2sin ,1Q θ-在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=- .求：（1）cos 2θ的值；（2）sin()αβ+的值.19.从圆心角为120︒，半径为20 cm 的扇形铁片上截出一块矩形OPMN ，如图，让矩形的一边在扇形的一条半径OA 上，点M 在弧AB 上，求此矩形面积的最大值.20.已知函数()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）设0,4a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫= ⎪⎝⎭，求α的大小.21.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a .①22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒+-︒；②22sin 15cos 15sin 15cos15︒︒︒+-⋅︒；③22sin 18cos 12sin 18cos12︒︒︒+-⋅︒；④()()22sin 18cos 48sin 18cos48︒︒︒-+--︒；⑤()()22sin 25cos 55sin 25cos55︒︒︒-+--︒.（1）从上述五个式子中选择一个，求出常数a ；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.22.已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x '=⋅+-∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）若()06 5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.第四章综合测试答案解析一、1.【答案】B 【解析】55 cos cos sin sin cos 088882πππππ+==，故选B .2.【答案】A【解析】由已知得sin tan 4cos ααα==，于是31tan 5tan 41tan 3πααα--⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，故选A .3.【答案】C【解析】由已知得()()tan tan 161tan tan h αβαβ-=+，即tan tan 41tan tan αβαβ-=+，tan()4αβ∴-=，故选C .4.【答案】A【解析】因为3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以273sin 2cos 212cos ,sin cos 2425445ππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以27sin 725 315sin 54απα⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A .5.【答案】D【解析】22222222sin 13sin cos 3sin cos 3tan 132113sin 22sin cos 2tan 224cos 24ααααααπααααα++++⨯+=====⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D .6.【答案】A【解析】由已知，得4sin[()]sin()5αβαβ--=-=，4sin 5β∴=-，β 是第三象限角，3cos 5β∴=-，5cos25β∴=±，故选A .7.【答案】C【解析】13 ()cos 2122cos 2212cos 21223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T π∴=，max ()3f x =，故选C .8.【答案】B【解析】222222222 sin 1sin 2sin 3sin 89sin 1sin 2sin 45cos 44cos 1︒︒︒︒︒︒︒︒++++=++++++ ()()()2222222189sin 1cos 1sin 2cos 2sin 44cos 44sin 454422=+++++++=︒︒︒︒︒︒=︒+，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A 中，2tan15cos 15sin15cos15︒︒︒︒=11sin 3024==︒⋅，A 不正确；B 中，221cos 312312362πππ-===，B 正确；C 中，2tan301tan 601tan 3022=︒-︒=︒，C 不正确；D12=，D 正确，故选BD .10.【答案】ABD【解析】A|tan |α=，A 不符合；B 中22sincos sin 22tan 1cos 22cos 2αααααα==+，B 不符合；C 中，21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，C 符合；D 中，2sin sin 11cos 22sin sin ααααα==-，D 不符合，故选ABD .11.【答案】BD【解析】A中，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递减函数，A 不符合；B中，4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由图象可知，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为递增函数，B 符合；C 中，1sin cos sin 22y x x x ==，由图象知函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上先增后减，C 不符合；D 中，tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，D 符合，故选BD .12.【答案】CD【解析】因为2 ()2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，所以最大值为1-，A错误；将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位长度后得到()214f x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，B 错误；由222,()242k x k k πππππ--+∈Z ，答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
北师大版高中数学必修二第一章《平行关系》单元测试题.docx
北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题班级：姓名：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )．A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线C．α内直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点2．下列说法中正确的是( )．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①②④3．若α∥β，a α，下列四种说法中正确的是( )．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①② B．②④ C．②③ D．①③④4．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．45．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行 B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或都交于同一点6．不同直线m、n和不同平面α，β，给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫n∥αm⊂α⇒m∥n；②⎭⎪⎬⎪⎫m∥nm∥β⇒n∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αn⊂β⇒m，n不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫n∥βm∥α⇒m∥n，其中假命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．47．设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线8．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A．4条B．6条 C．8条D．12条9．直线l与平面α平行，点A是平面α内的一点，则下列说法正确的是( )A．过点A作与l平行的直线只能作一条，且在α内B．过点A作与l平行的直线只能作一条，且在α外C．过点A作与l平行的直线可作无数条，可在α内，也可在α外D ．过点A 不可作与l 平行的直线10．下列四个命题中，正确的个数是( )①AB 是平面α外的线段，若A 、B 到平面α的距离相等，则AB∥α； ②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等； ③若直线a∥直线b ，则a 平行于过b 的所有平面； ④若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a∥b.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）． 11．如图，在空间四边形ABCD 中，M∈AB，N∈AD，若AM MB ＝ANND，则MN 与平面BDC 的位置关系是_____． 12．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，①与直线AB 平行的平面是________； ②与直线AA 1平行的平面是________； ③与直线AB 1平行的平面是________．13．已知α∥β，A ，C∈α，B ，D∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS＝ 8，BS ＝9，CD ＝34.(1)当S 在α，β之间时，CS ＝________. (2)当S 不在α，β之间时，CS ＝________.14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面BB 1D 1D的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足__________时，有MN∥平面B 1BDD 1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分)． 16．（12分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH. 求证：AP ∥GH.17．（12分）如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N分别为AB 、PC 的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l. (1)判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论；(2)判断MN 与平面PAD 的位置关系，并证明你的结论． 18．（12分）如图，已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.19．（12分）已知四面体ABCD中，M、N分别是三角形ABC和三角形ACD 的重心，求证：(1)MN∥面ABD；(2)BD∥面CMN.20．（13分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．21．（14分）用平行于四面体ABCD的一组相对棱AB、CD的平面截此四面体，如图所示．(1)求证所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB＝CD＝a，求证四边形MNPQ的周长为定值．北师大版必修2第一章《平行关系》单元测试题答案一、选择题： 1．[答案]D 2．[答案]D 3．[答案]B 4．[答案]B [解析] 由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD 且OM∥平面PAD.故正确的只有①③，选B.5．[答案]D[解析] 当直线与平面平行时，a∥b∥c…，当直线与平面α相交时，设l ∩α＝O ，则a 、b 、c ，…是过O 点的直线，故选D. 6．[答案]D[解析] ①中m 与n 可能平行，也可能异面，②中可能n ⊂β，③中可能m∥n，④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的关系，故四个命题全不正确．7．[答案]D[解析] 依题意，由点B 和直线a 可确定唯一的平面γ，平面γ与平面β的交线设为c ，则必有c∥a，且这样的直线c 是唯一的．8．[答案]D[解析] 如图所示，设M 、N 、P 、Q 为所在边的中点，则过这四个点中的任意两点的直线都与面DBB 1D 1平行，这种情形共有6条；同理，经过BC 、CD 、B 1C 1、C 1D 1四条棱的中点，也有6条；故共有12条，故选D. 9．[答案] A10．[答案] A[解析] ①若AB 与α相交，则AB 上存在两点与α距离相等，故①错误．②由等角定理知，应注意条件中的“方向”，即此两角也可能互补，故②错误．③a 也可能与b 共面，故③错误．④由条件知，a 与b 可异面、相交、平行，故④错． 二、填空题：11．[答案] 平行[解析] ∵M∈AB，N∈AD，AM MB ＝ANND，∴MN∥BD，∵MN ⊄平面BDC ，BD ⊂平面BCD ，∴MN∥平面BDC. 12．[答案]①面A 1C 1，面CD 1；②面BC 1，面CD 1；③面CD 1 13．[答案](1)16 (2)272[解析](1)如右图所示，∵AB 与CD 相交于S ，∴AB，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，则有AS BS ＝CS DS ，即AS AS ＋BS ＝CSCD，∴CS 34＝817，∴CS＝16. (2)如右图所示，由(1)知AC∥BD，则有AS BS ＝CS DS ，即89＝CSCS ＋34. 解得CS ＝272.14．[答案]平行 平行[解析] 如图所示，平面AA 1C 1C∩平面BB 1D 1D ＝OO 1，O 为底面ABCD 的中心，O 1为底面A 1B 1C 1D 1的中心， ∴OO 1∥CC 1.又AC∥A 1C 1，A 1C 1⊂平面BA 1C 1，AC 面BA 1C 1， ∴AC∥面BA 1C 1.15．[答案]M 在线段FH 上移动[解析] 此时HN∥BD，MH∥DD 1， ∴平面MNH∥平面BDD 1B 1， ∴MN∥平面B 1BDD 1. 三、解答题：16．思路分析：欲证线线平行，往往先证线面平行，再由线面平行的性质定理证得线线平行．证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM.又OM ⊂平面BMD ，AP 平面BMD ， ∴AP ∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ，AP ⊂平面PAHG ， ∴AP∥GH.17．[解析](1)结论：BC∥l .证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BC∥平面PAD.又∵BC ⊂平面PBC ，平面PAD∩平面PBC ＝l，∴BC∥l.(2)结论：MN∥平面PAD.证明：设Q为CD的中点，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，∴平面MNQ∥平面PAD.又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD.18．[解析]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，则PM∥QN.∴PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，EA＝BD，∴PM＝QN.故四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.∵PQ平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.19．[解析](1)如图所示，连结CM、CN并延长分别交AB、AD于G、H，连结GH、MN.∵M、N分别为△ABC、△ACD的重心，∴CMCG＝CNCH. ∴MN∥GH.又GH⊂面ABD，MN面ABD，∴MN∥面ABD.(2)连结AM、AN并延长分别交BC、CD于E、F，连结EF.同理MN∥EF，又E、F分别为BC、CD的中点，∴BD∥EF.∴BD∥MN.又MN⊂面CMN，BD 面CMN，∴BD∥面CMN.20．思路分析：在平面MNQ内找到两条相交直线与平面PBC平行，条件中给出了线段比相等，故可利用平行线截线段成比例的性质证得线线平行，再转化为线面平行，然后根据面面平行的判定定理证明．证明：在△PAD中，∵PM∶MA＝PQ∶QD，∴MQ∥AD.又∵AD∥BC，∴MQ∥BC.∵MQ平面PBC，BC⊂平面PBC，∴MQ∥平面PBC.在△PBD中，∵BN∶ND＝PQ∶QD，∴NQ∥PB. ∵NQ平面PBC，PB⊂平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.21．[解析](1)∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，∴AB∥MN，同理可得PQ∥AB.∴由平行公理可知，MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.∴截面四边形MNPQ为平行四边形．(2)∵由(1)可知，MN∥AB，∴MNAB＝MCAC，∴AB－MNAB＝AC－MCAC＝AMAC.又MQ∥CD，∴AMAC＝MQCD，∴AB－MNAB＝MQCD.又AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a，∴平行四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2a，∴四边形MNPQ的周长为定值.。
北师大版2017课标高中数学必修第二册第一章综合测试试卷-含答案01
第一章综合测试一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是（）A .24 cm B .22 cm C .24 cm πD .21 cm 2.已知5 tan 12a π=，3cos 5b π=，17 cos 4c π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A .b a c＞＞B .a b c＞＞C .b c a＞＞D .a c b＞＞3.要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数 cos 2y x =的图象（）A .向左平移3π个单位长度B .向左平移6π个单位长度C .向右平移6π个单位长度D .向右平移3π个单位长度4.已知3sin 35x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭等于（）A .35B .45C .35-D .45-5.函数()f x xsinx =的图象大致是（）6.函数()tan 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数()sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期相同，则ω=（）A .1±B .1C .2±D .27.已知函数()2sin 2(0)4f x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[]1,1-上的单调增区间为（）A .13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B .13,44⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C .13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦-8.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（）A .75米B .85米C .()5025+米D .()6025+米二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有（）A .tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .sin |2|y x =D .sin y x=10.已知函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A .函数()f x 的最小正周期为πB .函数()f x 在[]0,π上有三个零点C .当8x π=时，函数()f x 取得最大值D .为了得到函数()f x 的图象，只要把函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）11.若函数()14sin f x x t =+-在区间，,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个零点，则t 的可能取值为（）A .2-B .0C .3D .412.如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则()sin x ωϕ+=（）A .sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C .cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.tan 15︒=________.14.函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为________.15.如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，据此可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为________.16.已知函数()2sin 36f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，且2 39fπ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间为________________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知 sin()2cos(4)αβπαπ-=-，求sin()5cos(2)sin()32sin 2παπααπα-+---⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.已知函数()3tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的定义域；（2）比较2f π⎛⎫⎪⎝⎭与8f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小.19.已知函数()sin(),0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ＞＞＜的部分图象如图所示.（1）试确定()f x 的解析式；（2）若122f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，求2cos 32πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.某地昆虫种群数量在七月份113～日的变化如图所示，且满足 sin()(00)y A t b ωϕωϕ=++＞,＜.（1）根据图中数据求函数解析式；（2）从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？21.已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最值，并求出取最值时x 的值；（3）求不等式()2f x ≥的解集.22.已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()2sin()002f x x πωϕωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞，＜图象上的任意两点，角ϕ的终边经过点(1,P ，且当()()124f x f x -=时，12 x x -的最小值为3π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()2mf x m f x + 恒成立，求实数m 的取值范围.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】设半径为R ，由弧长公式得42R =，即 2 cm R =，则()2124 4 cm 2S =⨯⨯=，故选A .2.【答案】D 【解析】5tan 112a π=，317cos 0,1cos cos 0544b c πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，a c b ∴＞＞.3.【答案】B【解析】cos 2cos 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度.4.【答案】C【解析】73 cos cos sin sin 662635x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.5.【答案】A【解析】因为函数()sin f x x x =满足()()sin()sin f x x x x x f x -=--==，定义域为R ，所以函数()f x 为偶函数，故排除B 、C ，又因为(,2)x ππ∈时，sin 0x ＜，此时()0f x ＜，所以排除D ，故选A .6.【答案】A 【解析】由题意可知2|||2|ππω=-，解得||1ω=，即1ω=±，故选A .7.【答案】C 【解析】由已知得2 22πω=，解得2πω=，所以()2sin 4f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22242k x k ππππππ-+-+ ，k ∈Z ，解得132244k x k -++≤≤，k ∈Z ，又[11]x ∈-，，所以1344x -≤，所以函数()f x 在[11]-，上的单调递增区间为1344⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.8.【答案】B【解析】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设t 时刻的坐标为()x y ，，转过的角度为221t π，根据三角函数的定义有2250sin 50cos 21221y t t πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，地面与坐标系交线方程为60y =-，则第7分钟时他距离地面的高度大约为26050cos 853π-=，故选B .二、9.【答案】BD【解析】A. tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数周期为π，非奇非偶函数，排除；B.sin 2cos 22y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，函数周期为π，偶函数，满足；C.sin |2|y x =是偶函数，不是周期函数，排除；D.|sin |y x =，函数周期为π，偶函数，满足；故选BD .10.【答案】AC【解析】()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，选项A 正确；()0f x =，2()4x k k ππ+=∈Z ，当[0,]x π∈时，37,88x ππ=，选项B 不正确；当8x π=时，()f x 取得最大值，选项C 正确；只要把函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到()f x ，选项D 不正确，故选A 、C .11.【答案】ABD【解析】令()0f x =，可得1sin 4t x -=，可知两个函数在区间，,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象有两个交点，作出函数sin y x =与14t y -=在区间，,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，如图所示：则11124t -＜＜或1104t --＜，解得35t ＜＜或31t -＜＜，故选ABD .12.【答案】BC【解析】由题图可知，函数的最小正周期2236T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2||ππω∴=，2ω=±；当2ω=时，sin(2)y x ϕ=+，将点,06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦代入得，sin 206πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，226k πϕππ∴⨯+=+，k ∈Z ，即223k πϕπ=+，k ∈Z ，故2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.由于22sin 2sin 2sin 2333y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 正确；sin 2cos 2cos 23236y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 正确；对于选项A ，当6x π=时，sin 1063ππ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，错误；对于选项D ，当2563212x πππ+==时，55cos 211612ππ⎛⎫-⨯=≠- ⎪⎝⎭，错误.当2ω=-时，sin(2)y x ϕ=-+，将,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得sin 206πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，结合函数图象，知22,6k k πϕππ-⨯+=+∈Z ，得4 2,3k k πϕπ=+∈Z ，4sin 23y x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，但当0x =时，4sin 203y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，与图象不符合，舍去，综上，选BC .三、13.【答案】2-【解析】()11tan 30tan15tan 453021tan 3033--=-=︒︒︒==+︒-︒14.【答案】[1,2]-【解析】,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ，22,663x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos 262x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-.15.【答案】8【解析】由图象可知：当sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 32y k =-=，5k ∴=，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 538y =+=.16.【答案】1222,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】①239f π⎛⎫=⎪⎝⎭，222sin 33996f a πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1a =；②将a 代入，得()2sin 316f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由232,262k x k k πππππ--+∈Z ，得222,3939k k x k ππππ-+∈Z ，故函数() f x 的增区间为222,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .四、17.【答案】sin(3)2cos(4)απαπ-=- ，sin(3)2cos(4)παπα∴--=-，sin()2cos()παα∴--=-，sin 2cos αα∴=-，由此可知 cos 0α≠，∴原式sin 5cos 2cos 5cos 3cos 32cos sin 2cos 2cos 4cos 4αααααααααα+-+====--+---.18.【答案】（1）由已知得2()32x k k πππ-≠+∈Z ，15()212x k k ππ≠+∈Z ，所以()f x 的定义域为15,212x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，（2）因为 3tan 3tan 0233f ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，7753tan 3tan 3tan 3tan 0843121212f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 28f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜.19.【答案】（1）由图可知2A =，且5116324T-==，2T ∴=，又22T πω==，ωπ∴=；将5,06⎛⎫⎪⎝⎭代入()2sin()f x x πϕ=+，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，56k πϕπ∴+=，解得5,6k k ϕππ=-∈Z ；又||2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin ()6f x x x ππ⎛⎫∴=+∈ ⎪⎝⎭R ；（2）122f απ⎛⎫=⎪⎝⎭ ，1sin 264απ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，21cos cos sin 32226264παπαπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.【答案】（1）由图象可知max 900y =，min 700y =，且max A b y +=，min A b y -+=，max min 90070010022y y A --∴===，max min 8002y y b +==，且212T πω==，6πω∴=将()7,900看作函数的第二个特殊点应有762ππϕ⨯+=，23πϕ∴=-，因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（2）由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又12622T ==，∴从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个低谷或一个高峰.21.【答案】（1）由222232k x k πππππ-+++≤，k ∈Z ，解得51212k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-+≤≤，故1 sin 2123x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤，所以()03f x ≤≤.当且仅当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取最大值3；当且仅当236x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 取最小值0.（3）由()2f x ≥得，1sin 232x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，所以5 222()636k x k k πππππ+++∈Z ≤解得()124k x k k ππππ-+∈Z ≤即不等式()2f x ≥的解集为,()124k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z .22.【解析】（1） 角ϕ的终边经过点P （1，，tan ϕ∴=，02πϕ- ＜，3πϕ∴=-，由当()()124f x f x -=时，12 x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω=，()2sin 33f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.（2）由232232k x k πππππ-+-+≤≤，k ∈Z ，得252183183k k x ππππ-++≤≤，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为252,183183k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，（3）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤，于是2()0f x +＞，则()2()mf x m f x +≥，等价于()212()2()f x m f x f x =-++≥，由()1f x ≤，得()2()f x f x +的最大值为13，故实数m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
北师大版必修5高二数学第一章测试练习题及答案
高二数学必修五第一单元检测卷(数列)一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1，的一个通项公式是A. n a =B. n aC. n a =D. n a =2．已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为 A ．7 B ．15 C.30 D ．31 3.下列各组数能组成等比数列的是A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D.3,-4. 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是A ．130B ．170C ．210D ．2605.若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n- D.1(41)3n-6.各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则1012222log log log a a a+++=A ．5B ．10C ．15D ．207．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 (A)(B)(C)(D)8.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为A. 0B. 100C. 1000D. 10000 9.已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =A.31n- B.3(31)n- C.914n - D.3(91)4n -10．等比数列{}n a 中，991a a 、为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅ 的值为A ．32B ．64C ．256D ．±64 11.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则101123a a -的值为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 1612. 设由正数组成的等比数列，公比q=2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．13.等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项.14.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8= .15.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知2a 4a +23a 5a +4a 6a =25，那么35a a +=__________. 16. 在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是________三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17（10分）．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.18（12分）．已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数， ① 求{}n a 的通项公式，并求2009a ；② 若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式19（12分）.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+， （1）求证：{}1n a +是等比数列； （2）求这个数列的通项公式n a .20（12分）已知数列{n a }的前n 项和是n n s n 2205232+-=， （1） 求数列的通项公式n a ； （2） 求数列{|n a |}的前n 项和。
北师大版高二数学必修第一单元检测试题及答案
北师大版高二数学必修第一单元检测试题及答案SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高二数学必修5第一单元质量检测试题参赛试卷宝鸡市石油中学 齐宗锁一.选择题： 1.在数列{}a n中,311=a , )2(2)1(1≥-=-n a a n nn,则=a 5( )A. 316-B.316C.38- D.382.在等差数列{}a n 中,=++a a a 74139 ,=++a a a 85233 则=++a a a 963( )A. 30B. 27C. 24D. 213.设{}a n 是递增等差数列,前三项的和是12,前三项的积为48,则它的首项是( )A. 1B. 2C. 4D. 6 4.在等差数列{}a n中,若8171593=+++aa a a ,则=a 11( )B.-1C.25. 等差数列前10项和为100，前100项和为10。
则前110项的和为A ．-90B ．90C ．-110D ．10 6．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是（ ）A ．35B ．58C ．38D ．477. 设等比数列｛a n ｝中,每项均为正数,且a 3·a 8=81,log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于 .10 C 8.已知等比数列的公比为2,若前4项之和为1,则前8项之和为( ) .17 C9. 等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N *，则n （n ≥3）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810.设直角三角形a 、b 、c 三边成等比数列,公比为q, 则q 2的值为( )B.215- C. 215+ D.215±11.若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（ ）A. ()3k k Z ππ±∈ B. 2()3k k Z ππ±∈ C. 22()3k k Z ππ±∈ D.以上的答案均不对 12.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成A.等差数列B.等比数列C.非等差数列也非等比数列D.既是等差数列也是等比数列 二.填空题：13．在等差数列{}a n 中，a 3 、a 10 是方程0532=--x x 的两根，则=+a a 85.14. 已知数列{}an 的通项公式n a =，若它的前n 项和为10，则项数n为 .15.小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________. 16. 在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则72是这个数列的第______项． 三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？18．（本小题满分10分）在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17，求数列前多少项和最大．19．（本小题满分12分）数列通项公式为a n =n 2－5n +4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．20．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？21．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21．1）求证：{nS 1}是等差数列； （2）求a n 表达式；（3）若b n =2（1－n ）a n （n ≥2），求证：b 22+b 32+…+b n 2<1．参考答案：1—12、BBBCC 、CCBCD 、CA 13、3 14、120 15、2929 16、617.考查等差数列通项及灵活应用．【解】设这两个数列分别为{a n }、{b n }，则a n =3n +2，b n =4n －1，令a k =b m ，则3k +2=4m －1． ∴3k =3（m －1）+m ，∴m 被3整除． 设m =3p （p ∈N *），则k =4p －1． ∵k 、m ∈［1，100］． 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25．∴它们共有25个相同的项． 18.考查等差数列的前n 项和公式的应用． 解：∵S 9=S 17，a 1=25，∴9×25+2)19(9-⨯d =17×25+2)117(17-d 解得d =－2，∴S n =25n +2)1(-n n （－2）=－（n －13）2+169． 由二次函数性质，故前13项和最大．注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d =－2，数列a n 为递减数列． a n =25+（n －1）（－2）≥0，即n ≤13．5． ∴数列前13项和最大．19.考查数列通项及二次函数性质．解：（1）由a n 为负数，得n 2－5n +4<0，解得1<n <4．∵n ∈N *，故n =2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项． （2）∵a n =n 2－5n +4=（n －25）2－49，∴对称轴为n =25=2．5又∵n ∈N *，故当n =2或n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2． 20.考查等差数列求和及分析解决问题的能力． 解：（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n +2)1(-n n +5n =70 整理得：n 2+13n －140=0，解得：n =7，n =－20（舍去） ∴第1次相遇在开始运动后7分钟． （2）设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n +2)1(-n n +5n =3×70 整理得：n 2+13n －6×70=0，解得：n =15或n =－28（舍去） 第2次相遇在开始运动后15分钟． 21.考查数列求和及分析解决问题的能力．解：（1）∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2）S n ≠0，∴n S 1－11-n S =2，又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为项，公差为2的等差数列．（2）由（1）n S 1=2+（n －1）2=2n ，∴S n =n21当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n nn =1时，a 1=S 1=21，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 21n n n n（3）由（2）知b n =2（1－n ）a n =n1∴b 22+b 32+…+b n 2=221+231+…+21n <211⨯+321⨯+…+n n )1(1-=（1－21）+（21－31）+…+（11-n －n 1）=1－n1<1．。
2024-2025年北师大版数学必修第二册全书综合测评卷(带答案)
全书综合测评卷时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于向量a ，b ，下列命题中，正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ＝－b ，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若|a |>|b |，则a >b2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝2－i ，则( ) A ．z 1的共轭复数为－1＋2i B ．z 1的虚部是2i C ．z 1＋z 2为实数 D ．z 1z 2＝4＋3i3．三个数sin 1.5·sin 2·sin 3.1，cos 4.1·cos 5·cos 6，tan 7·tan 8·tan 9中，值为负数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知函数f (x )＝cos (ωx ＋2π3 )(ω>0)的最小正周期为4π，则下面结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增B ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递减C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3 对称D ．函数f (x )的图象关于点(2π3 ，0)对称5.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形ABCD 区域设计灯带．已知灯带AB ＝CD ＝10米，BC ＝20米，AD ＝102 米，且∠A ＋∠C ＝3π4，则cos ∠BCD ＝( ) A ．35 B ．0 C ．45 D ．2106．已知△ABC 中，3AB → ＋AC → －6AD →＝0，延长BD 交AC 于E ，则AE AC＝( )A ．23B ．12C ．13D ．14 7.如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为( )A ．90° B．45° C ．30° D．60°8．当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．3 D ．－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设z 1，z 2为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果z 1－z 2>0，那么z 1>z 2B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1z － 1＝z 2z －2 C ．如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 >1，那么|z 1|>|z 2|D ．如果z 21 ＋z 22 ＝0，那么z 1＝z 2＝010．已知函数f (x )＝cos (sin x )，g (x )＝sin (cos x )，则下列说法不正确的是( ) A ．f (x )与g (x )的定义域都是[－1，1] B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]D ．f (x )与g (x )都不是周期函数11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3.给出下列结论，其中不正确的是( )A ．最小正周期为πB ．对称轴为直线x ＝k π(k ∈Z )C ．对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π4，0D ．最大值为312.如图，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A.该四棱台的高为3 B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，则m ＝________．14．已知tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．15．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，则ω的最大值为________．16．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －3 c )sin A ＝b sin B －c sin C ，若△ABC 外接圆面积为π，则△ABC 面积的最大值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知复数z ＝m 2－5m ＋6＋(2m 2－3m －2)i ，m ∈R .若z 为纯虚数，求m 的值；(2)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z 满足z ·z －＋i z ＝15＋3i ，求a ，b 的值． 18.(本小题满分12分)函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[0，m ]有5个零点，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是AB的中点．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)在棱DD1上是否存在一点P，使得AP∥平面D1EC，若存在，求DPDD1，若不存在，说明理由；(3)求D到平面D1EC的距离．20．(本小题满分12分)在①2cos2B＋cos2B＝0，②b cos A＋a cos B＝3＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝6，________，求△ABC的面积S的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(本小题满分12分)矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，P 为线段DC 的中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP .(1)在DC 上是否存在点E 使得AD ∥平面PBE ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角P AD B 的余弦值． 22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，cos ωx )，n ＝(sin ωx ，3 )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ，且f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2 .(1)求函数f (x )的解析式；(2)设a 为常数，判断方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的解的个数；(3)在锐角△ABC 中，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，求f (A )的取值范围．全书综合测评卷1．答案：B解析：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A 错误；若a ＝－b ，得a ，b 方向相反，则a ∥b ，故B 正确；当b ＝0，a 与c 不一定平行，故C 错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 错误．故选B.2．答案：D解析：z 1＝1＋2i ，z －1＝1－2i ，故A 错误；z 1的虚部是2，故B 错误；z 1＋z 2＝3＋i为虚数，故C 错误；z 1·z 2＝(1＋2i)(2－i)＝2－i ＋4i －2i 2＝4＋3i ，故D 正确．故选D.3．答案：B解析：0<1.5<π，0<2<π，0<3.1<π，∴sin 1.5·sin 2·sin 3.1>0；π<4.1<3π2，cos 4.1<0，3π2 <5<2π，3π2 <6<2π，cos 5>0，cos 6>0，∴cos 4.1·cos 5·cos 6<0；2π<7<5π2 ，5π2 <8<3π，5π2<9<3π，∴tan 7>0，tan 8<0，tan 9<0，tan 7·tan 8·tan9>0；只有一个负数．故选B.4．答案：C解析：由题意知：2πω ＝4π⇒ω＝12 ，∴f (x )＝cos (12 x ＋2π3)A ，B 选项，当x ∈(0，π)时，12 x ＋2π3 ∈(2π3 ，7π6 )，当12 x ＋2π3 ∈(2π3，π)时，f (x )单调递减，12 x ＋2π3 ∈(π，7π6 )时，f (x )单调递增．因此，A 和B 都错误；C 选项，x ＝2π3 时，12 x ＋2π3 ＝π；x ＝π是cos x 的对称轴，则x ＝2π3是f (x )的对称轴．因此，C 正确；D 选项，由C 可知，x ＝2π3是对称轴的位置，则必不是对称中心，D 错误．故选C.5．答案：A 解析：如图，连接BD .在△ABD 中，由余弦定理有：BD 2＝BA 2＋AD 2－2BA ×AD ×cos A ＝300－2002 cos A ①， 在△CBD 中，由余弦定理有：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos C ＝500－400cos C ②， 由①②得：－2 cos A ＝1－2cos C ，又∠A ＋∠C ＝3π4 ，∴－2 cos (3π4－C )＝1－2cos C ，∴－sin C ＝1－3cos C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1.∴(3cos C －1)2＋cos 2C ＝1，∴cos C ＝0或cos C ＝35，∵C ∈(0，3π4)，∴sin C >0，若cos C ＝0，则sin C ＝－1(舍)，∴cos C ＝35.故选A.6．答案：C解析：依题意，设AE → ＝λAC → ，BE → ＝μBD → ，则AE → ＝λAC → ＝λ(－3AB → ＋6AD →)＝－3λAB → ＋6λAD → .又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋μBD → ＝AB → ＋μ·(AD → －AB → )＝(1－μ)AB → ＋μAD → ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1－μ，6λ＝μ， 两式相加得λ＝13 ，即AE →＝13 AC → ，所以AE AC ＝|AE →||AC →|＝13 .故选C.7．答案：A 解析：设棱长为a ，将三棱柱ABC A 1B 1C 1补成正三棱柱A 1B 1C 1 A 2B 2C 2(如图)，使AA 1＝AA 2.平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2(或其补角)即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，A 2B ＝2a ，BM ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ＝52 a ，A 2M ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22 ＝132 a ，∴A 2B 2＋BM 2＝A 2M 2，∴∠MBA 2＝90°.故选A.8．答案：A解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝34 (sin 2x ＋cos 2x )＋14 sin x cosx ＋34sin x cos x ＝34 ＋12 sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24 ，此时2x ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.故选A.9．答案：BC解析：取z 1＝3＋i ，z 2＝1＋i 时，z 1－z 2＝2>0，但虚数不能比较大小，故A 项错误；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2.又z 1z － 1＝|z 1|2，z 2z － 2＝|z 2|2，所以z 1z － 1＝z 2z － 2，故B 项正确；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 ＝|z 1||z 2|>1，所以|z 1|>|z 2|，故C 项正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21 ＋z 22＝0，但是z 1≠z 2≠0，故D 项错误．故选BC.10．答案：ABD解析：f (x )与g (x )的定义域是R ，故A 错误；f (－x )＝cos (sin (－x ))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，故B 错误；∵－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，∴f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]，故C 正确；f (x ＋2π)＝cos (sin (x ＋2π))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是周期函数，故D 错误．故选ABD.11．答案：BCD解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＋3＝－12 cos2x ＋3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，图象的对称轴为直线x ＝k 2 π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k 2π，3 ，k ∈Z ，最大值为3＋12 ＝72 ，故只有A 正确．故选BCD.12．答案：AD 解析：给四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1补上一个小四棱锥S A 1B 1C 1D 1即可得到四棱锥S ABCD ，如图．连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO .由AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，可知△SA 1B 1与△SAB 的相似比为1∶2，则SA ＝2AA 1＝4.由题意可得AO ＝2，则SO ＝23 ，则OO 1＝3 ，故该四棱台的高为3 ，A 正确；因为SA ＝SC ＝AC ＝4，所以AA 1与CC 1的夹角为60°，B 错误；由题意可得该四棱台侧面的高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝142 ，则四棱台的表面积S ＝S上底＋S下底＋S 侧＝2＋8＋4×2＋222 ×142＝10＋67 ，C 错误；因为四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面都是正方形，所以其外接球的球心在OO 1上．连接OB 1，在平面B 1BOO 1中，由OO 1＝3 ，B 1O 1＝1，得OB 1＝2＝OB ，即点O 到点B 与到点B 1的距离相等，则外接球半径r ＝OB ＝2，所以该四棱台外接球的表面积为4πr 2＝16π，D 正确．故选AD.13．答案：－1解析：因为复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m ＋3＝0，m ＋3≠0， 所以m ＝－1.14．答案：－37解析：∵tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－32 ，tan αtan β＝－52 ，由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 ＝－37 . 15．答案：343解析：因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，所以T 2 ≥π3 －π4 ＝π12 ，解得T ≥π6 ，所以2πω ≥π6 ，解得0<ω≤12.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，所以2k ＋14 T ＝π－π4 ＝3π4 ，k ∈N *，所以T ＝3π2k ＋1 ，所以2πω ＝3π2k ＋1 ，所以ω＝4k ＋23 ，k ∈N *，当ω＝4k ＋23 ≤12时，解得k ≤172 ，k ∈N ，所以ωmax ＝4×8＋23 ＝343.16．答案：2＋34解析：由已知及正弦定理得a 2－3 ac ＝b 2－c 2，所以a 2＋c 2－b 2＝3 ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32 ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.由△ABC 的外接圆面积为π，得外接圆的半径R ＝1. 由正弦定理得b ＝2R sin B ＝1，所以a 2＋c 2－1＝3 ac ，所以a 2＋c 2＝3 ac ＋1≥2ac ，解得ac ≤2＋3 ，所以△ABC 的面积S ＝12 ac sin B ＝14 ac ≤2＋34，当且仅当a ＝c 时等号成立．17．解析：(1)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，2m 2－3m －2≠0， 解得m ＝3.(2)设z ＝a ＋b i ，所以z －＝a －b i ， z ·z －＋i z ＝(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝a 2＋b 2－b ＋a i ＝15＋3i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2＋b 2－b ＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. 18．解析：(1)因为A >0，由图象可知A ＝2，且有T 2 ＝πω ＝2π3 －π6 ＝π2，所以ω＝2，因为图象过点(π6 ，2)，所以2cos (2·π6＋φ)＝2，即φ＋π3 ＝2k π，解得φ＝2k π－π3 ，k ∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π3 ，故f (x )＝2cos (2x －π3).(2)由(1)知f (x )＝2cos (2x －π3 )，因为x ∈[0，m ]，所以2x －π3 ∈[－π3 ，2m －π3]，由函数f (x )在区间[0，m ]上有5个零点，令2x －π3＝t ，即y ＝2cos t 在区间[－π3 ，2m －π3]有5个零点，由y ＝cos t 的图象知，只需9π2 ≤2m －π3 <11π2即可，解得29π12 ≤m <35π12 ，故m ∈[29π12 ，35π12).19．解析：(1)如图所示，连接AD 1交A 1D 于点O ，则O 为AD 1的中点，由题意可知，四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1. ∵AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AB ⊥AD 1. 又∵AB ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，AB ∩AD 1＝A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ，即D 1E ⊥A 1D .(2)存在一点P 满足DP DD 1 ＝12时，使得AP ∥平面ED 1C ，当点P 满足DP DD 1 ＝12，即P 为DD 1的中点，取CD 1的中点Q ，连接PQ ，EQ ， 在△DD 1C 中，P ，Q 为中点，∴PQ ∥DC ，PQ ＝12DC ，∵在长方体AC 1中，E 是AB 的中点，∴AE ∥DC 且AE ＝12DC ，∴AE ∥PQ 且AE ＝PQ ，∴四边形AEQP 为▱AEQP ，∴AP ∥EQ ， 又EQ ⊂平面D 1EC ，AP ⊄平面D 1EC ，∴AP ∥平面D 1EC . (3)连接DE ，设D 到平面D 1EC 的距离为h ， ∵在长方体AC 1中，DD 1⊥平面ABCD ， ∵矩形ABCD ，点E 是AB 的中点，∴S △DCE ＝12 S 矩形ABCD ＝12×1×2＝1，∴VD 1－DCE ＝13 S △DCE ·DD 1＝13 ×1×1＝13，在Rt△D 1DC 中，D 1C ＝DD 21＋DC 2＝5 ， 在Rt△ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝2 ，∵DD 1⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ， 在Rt△D 1DE 中，D 1E ＝DD 21 ＋DE 2＝3 ， 在Rt△BCE 中，EC ＝BC 2＋BE 2＝2 ，∴D 1E 2＋EC 2＝CD 21 ，∴ED 1⊥CE ，∴S △D 1CE ＝12 D 1E ×EC ＝12 ×3 ×2 ＝62 ，又VD D 1CE ＝VD 1DCE ，∴13 S △D 1EC ×h ＝13 ，h ＝63 ，∴D 到平面D 1EC 的距离为63. 20．解析：因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，S ＝12bc sin A ，所以2bc sin A ＝2bc cos A ， 显然cos A ≠0，所以tan A ＝1，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以A ＝π4 . 若选择①，由2cos 2B ＋cos2B ＝0得， cos 2B ＝14. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴B ＝π3 ， 由a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2. 又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22 ×12 ＋22 ×32 ＝6＋24 ， 所以S ＝12 ab sin C ＝3＋32. 若选择②，b cos A ＋a cos B ＝3 ＋1，则b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋c 2－a 22c ＋a 2＋c 2－b 22c ＝c ＝3 ＋1，所以S ＝12 bc sin A ＝12 ×6 ×(3 ＋1)×22 ＝3＋32. 21．解析：(1)存在．如图所示：连接AC ，BP ，设AC 交BP 于点F ，∵CP ∥AB ，且CP ＝12AB ， ∴CF CA ＝PF PB ＝13. 取DC 的三等分点E ，使CE CD ＝13，连接EF ，PE ，BE ，则EF ∥AD ， 又EF ⊂平面PBE ，AD ⊄平面PBE ，∴AD ∥平面PBE .故存在满足条件的点E ，且E 是线段CD 上靠近点C 的三等分点．(2)在矩形ABCD 中，AP ＝BP ＝2 ，AB ＝2，∴AP 2＋BP 2＝AB 2，∴AP ⊥BP ，又平面ADP ⊥平面ABCP ，BP ⊂平面ABCP ，平面ADP ∩平面ABCP ＝AP ，∴BP ⊥平面ADP ，∴BP ⊥DP ，∴BD 2＝DP 2＋BP 2＝1＋2＝3.在△ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥DB ，又PD ⊥AD ，PD ⊂平面ADP ，BD ⊂平面ADB ，平面ADP ∩平面ADB ＝AD ，∴∠PDB 为二面角P AD B 的平面角，在Rt△PDB 中，cos ∠PDB ＝DP BD ＝13＝33 ，∴二面角P AD B 的余弦值为33. 22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2(12 sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 . ∵f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2 ， ∴T 2 ＝7π12 －π12 ＝π2，∴T ＝π， 又ω>0，∴ω＝2πT＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 时，π3 ≤2x ＋π3 ≤4π3 ， 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象(图略)可知， 当a ∈[3 ，2)时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有两解； 当a ∈[－3 ，3 )或a ＝2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有一解； 当a <－3 或a >2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上无解． (3)在锐角△ABC 中，0<B <π2 ，－π6 <π3 －B <π3， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，∴π3 －B ＝0，∴B ＝π3 . 在锐角△ABC 中，0<A <π2 ，A ＋B >π2， ∴π6 <A <π2 ，∴2π3 <2A ＋π3 <4π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 ， ∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈(－3 ，3 ). ∴f (A )的取值范围是(－3 ，3 ).GS －2。
高二数学北师大版必修模块综合测评含解析
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析:因为S3=3a1+d=3×2+d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C. 答案:C2.在等差数列{a n}中,若a2+a8=12,S n是数列{a n}的前n项和,则S9等于()A.48B.54C.60D.66解析:S9==54.答案:B3.在△ABC中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为()A.5B.5C.2D.3解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,根据正弦定理,得,所以b==5.答案:A4.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC为()A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x,由余弦定理得5=x2+25-2·5·x·,即x2-9x+20=0,解得x=4或x=5.答案:C5.已知c<d,a>b>0,则下列不等式中必成立的一个是()A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ad>bcD.解析:由不等式的性质可知,c<d,∴-c>-d.又∵a>b>0,∴a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.答案:B6.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则这个三角形是()A.等腰三角形B.不等边三角形C.等边三角形D.直角三角形解析:cos B=cos 60°=,∴(a-c)2=0,∴a=c.又∵B=60°,∴△ABC为等边三角形.答案:C7.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=24,则k=()A.8B.7C.6D.5解析:∵S k+2-S k=24,∴a k+1+a k+2=24,∴a1+kd+a1+(k+1)d=24,∴2a1+(2k+1)d=24.又∵a1=1,d=2,∴k=5.答案:D8.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于()A.3B.2C.1D.-2解析:∵y=x2-2x+3的顶点为(1,2),∴b=1,c=2.又∵a,b,c,d成等比数列,∴a=,d=4,∴ad=2.答案:B9.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()A.3B.4C. D.解析:本题主要考查不等式的解法及最值的求法等知识.∵x+2y+2xy=8,∴(x+2y)+≥8,解得x+2y≥4.∴x+2y的最小值为4.答案:B10.已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=()A. B. C.1 D.2解析:由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=,所以a=.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),且m⊥n,b和c的等差中项为,则△ABC面积的最大值为.解析:由m⊥n得(b-c)b+(c-a)(c+a)=0,整理得b2+c2-a2=bc,则cos A=,所以A=,sin A=.由于b和c的等差中项为,所以b+c=1.所以bc≤,当且仅当b=c=时取等号.从而S△ABC=bc sin A≤.答案:12.已知且u=x2+y2-4x-4y+8,则u的最小值为.解析:点(x,y)在图中阴影部分中.由已知得(x-2)2+(y-2)2=()2,则,u min=.答案:13.若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.解析:画出可行域如图所示:画直线l0:y=-2x,平移直线l0,当过A(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2.答案:-214.若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有正根,则m的取值范围是.解析:设方程的正根为x1,x2,由题意,得解得-5<m≤-4.答案:(-5,-4]15.设{a n}为公比q>1的等比数列,若a2 009和a2 010是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2 011+a2 =.012解析:∵a2 009和a2 010是方程4x2-8x+3=0的两根,而方程的两个根是x=,x=, 又∵{a n}的公比q>1,∴a2 009=,a2 010=,∴q=3.∴a2 011+a2 012=a2 009q2+a2 010q2=(a2 009+a2 010)q2=×32=18.答案:18三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解:(1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.17.(本小题满分12分)已知关于x的不等式>1+.(1)当m>0时,解这个不等式;(2)若此不等式的解集为{x|x>5},试求实数m的值.解:(1)原不等式可化为m(x+2)>m2+x-5,(m-1)x>m2-2m-5,若0<m<1,不等式的解集为;若m=1,则不等式的解集为R;若m>1,则不等式的解集为.(2)由题意和(1)知,m>1且满足={x|x>5},于是=5,解得m=7.18.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边长.已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求A的大小及的值.分析:由题意可知b2=ac,将此式代入a2-c2=ac-bc,然后利用余弦定理求出A;再由正弦定理或三角形面积公式求出的值.解:(1)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中,由余弦定理,得cos A=,∴A=60°.(2)解法一:在△ABC中,由正弦定理得sin B=.∵b2=ac,A=60°,∴=sin 60°=.解法二:在△ABC中,由三角形面积公式得bc sin A=acsin B,∵b2=ac,A=60°,∴bc sin A=b2sin B,∴=sin A=.19.(本小题满分13分)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题意知b n==n(n+1),所以T n=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n·(n+1).因为b n+1-b n=2(n+1),可得当n为偶数时,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n-1+b n)=4+8+12+…+2n=,当n为奇数时,T n=T n-1+(-b n)=-n(n+1)=-.所以T n=20.(本小题满分13分)某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米,池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米.(1)求底面积并用含x的代数式表示池壁面积S;(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?解:(1)设水池的底面积为S1,池壁的面积为S,则有S1==1 600(平方米),则池底长方形宽为米,所以S=6x+6×=6(x>0).(2)设总造价为y,则y=150×1 600+120×6≥240 000+57 600=297 600,当且仅当x=,即x=40时,等号成立,即x=40时,总造价最低为297 600元.21.(本小题满分13分)设等差数列{a n}的公差为d,点(a n,b n)在函数f(x)=2x的图像上(n∈N+).(1)证明:数列{b n}为等比数列;(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{a n}的前n 项和S n.解: (1)证明:由已知,b n=>0.当n≥1时,=2d.所以,数列{b n}是首项为,公比为2d的等比数列.(2)解函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,a2-=2-.解得a2=2.所以,d=a2-a1=1,a n=n,b n=2n,a n=n·4n.于是,T n=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n·4n,4T n=1×42+2×43+…+(n-1)×4n+n·4n+1.因此,T n-4T n=4+42+…+4n-n·4n+1=-n·4n+1=.所以,T n=.。
第一章数列A卷基础夯实-高二下学期数学北师大版选择性必修第二册单元测试AB卷
第一章 数列 A 卷 基础夯实-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修二单元测试AB 卷【满分：100分】一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a ，若34a =，510a =，则1a =（ ） A.1B.1-C.2-D.32.已知{}n a 为等比数列，且22a =，461178a a +=，则{}n a 的公比q 等于（ ）A.23B.32C.32-D.32±3.在等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则7a =（ ） A.13B.14C.15D.164.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，有下列四个等式，甲：11a =；乙：44a =；丙：39S =；丁：525S =.如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A.甲B.乙C.丙D.丁5.在公比为1的等比数列{}n a 中，若26m n a a a a =，则mn 不可能为（ ） A.12B.14C.15D.166.已知数列{}n a 中，11a =且()*11113n n n N a a +=+∈，则13a =（ ） A.14B.12C. 15D.57.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，33S =，则5S =（ ） A.1B.5C.1或31D.5或118.在由正数组成的等比数列{}n a 中，若π3453a a a =，则()313237sin log log log a a a +++的值为( ) A.12C.1D. 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =( )A.1B.-1C.2D.1210.已知等差数列{}n a 中，39a =，93a =，则公差d 的值为( ) A.12B.1C.1-D.12-二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.若无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，且满足15144a a =，2430a a +=，则公比q =__________.12.等差数列{}n a 中，若34a =，公差2d =-，则5a =________. 13.等比数列{}n a 的各项均为实数，已知12374a a a ++=，45614a a a ++=，则79a a =_____________.14.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且18544,a a a a =与62a 的等差中项为18，则5a =_______.15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S =___________. 三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （10分）已知数列{}2n n a -是公差为2的等差数列，数列{}21n a n -+是公比为2的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()111(23)2n n n b n a ++=+-，且n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：16nT <. 17. （15分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1124a b =-=，且{}n a 是公差为1的等差数列，{}n n a b +是公比为2的等比数列． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．答案以及解析1.答案：C解析：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为34a =，510a =， 所以1124410a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123a d =-⎧⎨=⎩. 故选：C. 2.答案：D解析：∵数列{}n a 为等比数列， ∴()2424462211728a a a q a q q q +=+=+=，即4216161170q q +-=， ∴()()22413490q q +-=，解得294q =，即32q =±．经检验32q =±均满足题意． 故选：D ．3.答案：A解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由312a a d =+，得512d =+， 解得2d =，所以71616213a a d =+=+⨯=． 故选：A ． 4.答案：B解析：若甲不成立，则1113433951025a d a d a d +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，不可能；若乙不成立，则111133951025a a d a d =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴112a d =⎧⎨=⎩，21n a n =-满足；若丙不成立，则11113451025a a d a d =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，舍去；若丁不成立，则111133934a a d a d =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，舍去.故选：B. 5.答案：B解析：26m n a a a a = 268m n ∴+=+=观察可得不存在正整数,m n 使14mn =与8m n +=同时成立 故选：B. 6.答案：C 解析：因为11113n n a a +=+，所以11113n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，所以123n n a +=， 所以32n a n =+，所以13311325a ==+. 故选：C.7.答案：D解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则2313S q q =++=，∴2q =-或1， ∴当2q =-时，551(2)33111(2)3S --===--，当1q =时，5155S a == 故选：D ． 8.答案：B 解析：因为π334543a a a a==，所以π343a =，()π7331323731273437πlog log log log log 7log 33a a a a a a a +++====， 所以()313237sin log log log a a a +++=. 9.答案：A 解析：()()19955153999515559a a S a S a a a +===⨯=+. 10.答案：C解析：等差数列{}n a 中，39a =，93a =，则936a a d =+，即336a d =+，解得1d =-. 11.答案：2解析：本题考查等比数列的性质.因为数列{}n a 是等比数列，所以2415144a a a a ==.又因为2430a a +=，解得246,24,a a =⎧⎨=⎩或2424,6.a a =⎧⎨=⎩由无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，可知1q ≥，所以246,24.a a =⎧⎨=⎩因为242a a q =⋅，所以2246q =，解得2q =（负值舍去）.12.答案：0解析：由已知()513424220a a d a d =+=+=+⨯-= 故答案为：0. 13.答案：1024解析：本题考查等比数列基本量的计算.设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠，由12374a a a ++=，45614a a a ++=，可得34561238a a a q a a a ++==++，则2q =，代入12374a a a ++=可得114a =.则()2227579812210244a a a ⎡⎤⎛⎫==⨯== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.14.答案：8 解析：1854a a a =，得5454a a a =，又0n a >所以44a =，462218a a +=⨯，得616a =因为254641664a a a ==⨯=， 58a ∴=故答案为：8. 15.答案：45解析：因为数列{}n a 为等差数列，所以2852a a a +=， 又25815a a a ++=， 所以55a =， 所以()199599452a a S a +===，故答案为：45.16.答案：（1）221n n a n =+- （2）见解析解析：（1）由题意知()()111222(1),2112,nn n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩ 即()11112224,1221,n n n na n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩ 比较系数得1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩所以13a =，所以221n n a n =+-. （2）由（1）得1111(23)(21)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<. 17.答案：(1)3n a n =+，23n n b n =-- (2)2121742,3,2782, 3.2n n n n n n T n n n ++⎧++-+<⎪⎪=⎨+-⎪-≥⎪⎩ 解析：解：(1)因为{}n a 是公差为1的等差数列，14a =，所以3n a n =+. 又{}n n a b +是公比为2的等比数列，112a b +=，所以2n n n a b +=， 故223n n n n b a n =-=--.(2)因为1210n n n b b +-=->，所以{}n b 为递增数列， 又12b =-，21b =-，32b =，故当3n ≥时，恒有0n b >， 故32,3,23, 3.n n nn n b n n ⎧+-<=⎨--≥⎩ 记{}n b 的前n 项和为n S ， 则()()()()212121277422245321222n nn nn n n n S n +-+++=+++-++++=-=--. 当3n <时，217422n n n n n T S +++=-=-+； 当3n ≥时，21123422278222n n n n n n n T b b b b b S S S S S ++-=--++++=-+-=-=-. 综上，2121742,3,2782, 3.2n n n n n n T n n n ++⎧++-+<⎪⎪=⎨+-⎪-≥⎪⎩.。
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北师大版高二数学必修单元测试题Revised by Petrel at 2021高二年级数学学科《必修5》单元质量检测试题参赛试卷学校：西关中学 命题人：牛占林 张东月第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 2. 不等式11<-x ax的解集为}21|{><x x x 或，则a 值（ ） A. 21>a B. 21<a C. 21=a D. 以上答案均不正确3.不等式112x <的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．()0,∞-⋃(2,)+∞ 4．原点和点（1，1）在直线a y x =+两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．0<a 或2>aB ．20<<aC ．0=a 或2=aD ．20≤≤a5、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 （ ）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．106：对任意a ∈[-1,1]，函数f(x)=x 2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ）A 1<x<3B x<1或x>3C 1<x<2D a<1或x>27.已知集合M ＝{x|x 2＜4}，N ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x|x ＜－2} （B ）{x|x ＞3} （C ）{x|－1＜x ＜2} （D ）{x|2＜x ＜3}8．某高速公路对行驶的各种车辆最大限速为120h km /，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10m ，用不等式表示为（ ）A ．h km v /120≤或m d 10≥B ．⎩⎨⎧≥≤m d hkm v 10/120C ．h km v /120<或m d 10>D ．h km v /120≥或m d 10≤9 若对任意∈x R,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）(A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥110 .已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=011x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ）(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x11、设直角三角形两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则44b a +和44h c +的大小关系是 ( )Ａ．4444h c b a +<+ Ｂ．4444h c b a +>+ C ．4444h c b a +=+ D ．不能确定12、已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设293a a P +=，75a a Q •=，则P 与Q 的大小关系是 （ ）A ．P > QB ．P < QC ．P = QD ．无法确定第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把最佳的答案填在该题的横线上） 13．不等式224122xx +-≤的解集为 _________ ． 14．若不等式022>++bx ax 解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则b a +的值为 。
15、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。
16、设a ＞0，且a ≠1，函数f(x)=alg （x 2 －2a+1）有最小值,则不等式log a (x 2－5x+7)＞0的解集为____ _______.17、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =____ 18. 25)23(12<-<x 的解集是 。
三、解答题：（本大题共5小题，共60分。
写出详细的解答或证明过程）19．(14分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形上部是等腰直角三角形 要求框架围成的总面积8cm 2 问x 、y 分别为多少(保留根号) 时用料最省20．(14分)当0>a 时，解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax 。
21．(16分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？22．(16分)已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(．（1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围．高二年级数学学科《必修5》单元质量检测试题参赛试卷学校：西关中学 命题人：牛占林 张东月试题结构1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分试题结构2. 非选择题以填空题，解答题题为主要题型。
命题意图1.试卷依据教材，以重视双基为基准，以计算为重点考查学生分析问题、解决问题的能力、及建立数学知识之间综合联系的能力。
2.重视不等式的基本知识和基本技能，注重综合能力的考查。
注重试题形式和内容的新颍，增强学习的兴趣。
试题说明本试题 满分150分,时间90分钟完卷。
典型例题21题，考察了学生将实际问题转化成数学模型的能力，及分析问题，解决问题的能力和学生的抽象思维能力。
参答案一、选择题:DCDBA BCCBC CA二、填空题: 13 {x|-3≤x ≤1} 14. -14 15. 2 16.（2，3） 17. _20_ 18. )4,2()1,1( - 三、解答题：19.解析：8412=+x xy ， ∴=-=xx y 48248x x -(240<<x ) 于是, 框架用料长度为 ≥++=++=x x x y x l 16)223()22(2224246+ 当(23+2)x =x16,即248-=x m时等号成立 此时2=y m，用料最省。
20.解：为0>a ，不等式可化为0)1)(1(<--x ax ，下面对a1和1的大小讨论： ①当11=a，即1=a 时，不等式化为0)1(2<-x ，解集为空集； ②当11>a，即10<<a 时，不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>11|x ax x 或；③当11<a ，即1>a 时，不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11|x ax x 或。
21.解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目. 则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+008.11.03.010y x y x y x ，目标函数为：y x z 5.0+=。
上述不等式表示的平面区域如图所示（含边界），阴影部分表示可行域. 作直线05.0:0=+y x l ，并作平行于0l 的一组直线y x z 5.0+=，)(R z ∈，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线05.0=+y x 距离最大，这里M 点是直线10=+y x 和直线8.11.03.0=+y x 的交点. 解方程组：⎩⎨⎧=+=+8.11.03.010y x y x 得⎩⎨⎧==64y x ，此时，765.041=⨯+⨯=z （万元）. 答：投资人分别4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大。
22.解：（1）02)(>+x x f 的解集为)3,1(，所以可设：)3)(1(2)(--=+x x a x x f 且0<a ，因而a x a ax x x x a x f 3)42(2)3)(1()(2++-=---=①；由06)(=+a x f 得 09)42(2=++-a x a ax ②，因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，即 01452=--a a ，511-==a a 或解得． 由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式535651)(2---=x x x f 。
（2）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-=及0<a ，可得)(x f 的最大值为a a a 142++-．由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a aa a 即0142>++a a ,解得 03232<<+---<a a 或．故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是)0,32()32,(+----∞ 。