2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

高考数学中求轨迹方程的常见方法

一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2

x =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

解：),3(),,2(y x y x --=---= ，2)3)(2(y x x +---=⋅∴

226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的

轨迹为抛物线，选D.

二、定义法

定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.

例 2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且

b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.

解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原

点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，

3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13

42

2-≠<=+x x y x .

三、代入法

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.

例3 如图，从双曲线1:2

2

=-y x C 上一点Q 引直线

2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.

解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --.ΘN

.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得

,11

1

=--x x y y 即011=-+-x y y x .②

联解①②得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-+=-+=22

322311

x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.

四、几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.

例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.

解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为

2

5221=AB ，方程为13)1()1(2

2=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .

五、参数法

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.

例 5 过抛物线px y 22

=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.

解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k

1

-

.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=

=k

p

y k p

x 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -.

由中点坐标公式，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=+=pk k p y pk k p x 2

2

，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 六、交轨法

求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.

例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122

22=-b

y a x 于

M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与

N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状

.

解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=

①；直线N A 2的方程为)(11

a x a

x y y -+-=②. ①×②得)(2

22

21212

a x a

x y y ---=③. 又,1221221=-b y a x Θ)(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(2

2222

a x a

b y --=，化简得12222=+b

y a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为

圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.

高考动点轨迹问题专题讲解

（一）选择、填空题

1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段

2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是

（A ）

22125169x y +=（0x ≠） （B ）22

1144169x y +=（0x ≠） （C ）

22116925x y +=（0y ≠） （D ）22

1169144

x y +=（0y ≠） 3．与圆2

2

40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；

4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线

22

1169

x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；

5．已知圆C

：22

(16x y +=

内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平

分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2

214

x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶

点C 的轨迹方程是 ；

22

1916

x y -=（3x >）