2020中考数学操作探究专题复习(含解析)

操作探究

一.选择题

1. （2019•黑龙江省绥化市•3分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）

①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个

②当0＜x＜42﹣2时，P点最多有9个

③当P点有8个时，x＝22﹣2

④当△PEF是等边三角形时，P点有4个

A．①③B．①④C．②④D．②③

答案：B

考点：正方形的性质，等腰三角形，等边三角形的判定。

解析：①当x＝0（即E、A两点重合）时，如下图，

分别以A、F为圆心，2为半径画圆，各2个P点，

以AF为直径作圆，有2个P点，共6个，

所以，①正确。

②当0＜x＜22时，P点最多有8个，

故②错误。

2. （2019•河北省•3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）

A．10 B．6 C．3 D．2

C．【解答】解：如图所示，n的最小值为3，

3. （2019•河北省•2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（）

A．段①B．段②C．段③D．段④

B．解∵﹣＝﹣＝1﹣＝

又∵x为正整数，

∴≤x＜1

故表示﹣的值的点落在②

4. （2019•河北省•2分）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．

甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．

乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．

丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．

下列正确的是（）

A．甲的思路错，他的n值对

B．乙的思路和他的n值都对

C．甲和丙的n值都对

D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对

B．【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；

乙的思路与计算都正确；

乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；

三.解答题

1.（2019•湖北省仙桃市•10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，D C．

（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+AC ＝AD；

（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．

【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；

（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+AC ＝；

（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN＝AB+AC，求出的值．

【解答】解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，

∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，

∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，

∴△ABE和△BCD都是等边三角形，

∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，

∴△BED≌△BAC（SAS），

∴DE＝AC，

∴AD＝AE+DE＝AB+AC；

故答案为：AB+AC＝A D．

（2）AB+AC＝A D．理由如下：

如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠MBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴BD＝CD，

∴△MBD≌△ACD（SAS），

∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，

∴MD⊥A D．

∴AM＝，即AB+BM＝，

∴AB+AC＝；

（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠NBD＝∠ACD，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴BD＝CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，

∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，

∴，

∴，

又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，

∴＝．

【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．

2.（2019•湖北省咸宁市•10分）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．

理解：

（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，C D．

求证：四边形ABCD是等补四边形；

探究：