2014年考研数学二答案解析

(1)为极小值
下求极值
y
'
1 y2
x2 1
,
(
y2
1)dy
(1
x2
)dx,
( y2 1)dy
(1 x2 )dx
1 y3 y x 1 x c 3
又 y(2) 0
c 2 3
1 y3 y x 1 x 2
3
33
代入 x 1
1 y3(1) y(1) 1 1 2
3
33
y(1) 1
h1(a) 0
h1 '(x) g(x) 0
h1 ( x)单调不减
当x a,b时，h1(x) 0
x
h2 (x)
g(t)dt x a
a
h2 '(x) g(x) 1
0 g(x) 1h2 '(x) 0
h2 (x)单调不增又h (a) 0
当x a,b时，h2 (x) 0
x
p(x)
y (ax b)
代入
y
-1x 4
y
y(x) y
C1e 2x
C 2e 2x
1 4
x
y(0)=0=C 1
C 2
y'(0)=0=x1
x2
1 4
C1
2C
1
C
0
1 4
C 1
C
2
1 16
1 16
f(
1e 16
1 e 2 16
1 4
19. 解：（I）
x
h1(x)
g (t )dt
a
设（1 1+k3 ) 2 (2 l3 ) 0
即11+22 +（k1 l2 )3 0
1 2 1 l2 0
从而1
+k3，
2
+l
无关
3
反之，若1
+k3，
2
+l
3无关，不一定有1，
2，
无关
3
1
0
0
例如，1
=
0
，
2
=
1
，
3
=
0
0
0
0
1
1
9. x2 2
dx 5
1
x 12
f'' e 2x (4 z e x cos y )e x
f''(ex cos y ) 4 f(e x cos y ) e x cos y
令t ex cos y , f''(t ) 4 f(t) t
y '' 4y x
求特征值：
2 4 0 x 2 再求非其次特征值。
y(x) C1e 2x C 2e 2x
11、解：方程两边对 x 求偏导：
e2yz(2
y
z x
)
2
x
z x
0
代入
1 ,y 2
解得：
z = 1 x ez（2，1）+1
两边对y求偏导
e2yz(2z 2
z y
)
2y
z y
0
代入x
1 2
y
解得：
z
=
1
z（
1 2
，
）ez（2，1）
y
ez（2，1）+1
12. 解：把极坐标方程化为直角坐标方程 令
x r cos cos
0 0 1 -3
2 6 -1 -1 -3 1 -1 -4 1
x1 1 2
x2
x3
x4
c1
2 3 1
1
1
0
y1 1 6
y2 y3 y4
c2
2 3 1
3
4
0
z1 1 1
z2 z3 z4
c3
7、B 解析：
0ab 0
a0
0cd 0
c0
ab0
ab
a (1)21 c d 0 c (1)4 1 0 0 b
00d
cd0
a d (1)33 a b c b (1)2 3 a b
cd
cd
ab ab
ad
bc
cd cd
ab (bc ad
cd
(ad bc 2
8、A 解析：
已知1，2，3无关
2 3 1
1 1 0
c1 2
B 2c1 1
3c1
1
c1
c2 6 2c2 3 3c2 4
c2
c3 1
2c3
1
3c3
1
c3
c1, c2 , c3为任意常数
23、 解：
1 1
1
0 0
0 1
设A
1
1
1
B
0
0
0 2
1
1
1
0
0
0 n
1 1 E A 1 1
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
1.B
lim ln (1 2x) lim (2x) 2 lim x 1 0
x0+
x x0
x0
1
lim (1 cos x)2
(1 x2 lim 2
1
(
1
1
)
1
lim xa 0
x0
x0
x
2 x0
2 1 0 2
2、C
y x sin 1 x
x
f3(x)
f(f2(x))
1
1
2x x
1 2x
x 1 3x
用归纳法知：fn(x)
x 1 nx
,x
[0,1]
Sn
1 x dx 0 1 nx
1 n
1 nx 1 1 dx 0 1 nx
1
n
1(1
0
1
1 nx
)dx
1 n
1 n2
ln(1
n)
lim
Sn
lim
n
n[n
1 n2
y
r
sin
sin
dy 则 dy d sin cos
dx dx cos sin
d
dy dx
2
1 0
0
2
1
2
2
当
2
x
时，
y
cos sin
0 2
则切线方程为
( y ) 2 ( 0) 2
化简为
y 2 x 2
13、质心的横坐标：
1 xf(x)dx
0
1 f(x)dx
ln(1
n)]
1
lim
n
ln(1 n
n)
1
21.
解：
因 f 2( y 1) 则 y
f (x, y) y2 2 y (x)
f ( y, y) ( y 1)2 (2 y)
f
( y,
y)
y2
2y
( y)
则( y) y 1
故f (x, y) y2 2 y x 1
f (x, y) 0 x y2 2 y 1
x
f (u)g(u)du
a g (t )dt a
f
(u)du
a
a
p '(x)
f (x)g(x) f [a
x a
g (t )dt ]
g(x)Leabharlann Baidu
f
(x)
f
[a
x a
g
(t
)dt
]
g
(
x)
0 g(x) 1
x
x
x
a g(t)dt a dt x aa a g(t)dt x
又f (x)单调增加
1 1 ( n)n 1
1 1
1
所以 A 的 n 个特征值为 1=n,2= n =0
又因为 A 是一个实对称矩阵，所以 A 可以相似对角化，且
n
A
0
0
， E B
0
0
00
0 1 0 2 ( n)n 1
0 N
所以 B 的 n 个特征值为 1’=n,2’= n’=0
00 又 0E B 0 0
f的负惯性指数为1 4-a2 0 2 a
15. 解：
lim
x
(t
2
1
(et
1)
t)
dt
1
lim
x
(t
2
1
(e t
1)
1
t) dt
lim
1
x2 (e x
1)
x
lim
1
x2 (e x
1
1)
x x2 ln(1 1 )
x
x
1
x
x
x
令
1 x
t
lim
et
1 t2
1t 1
lim
2
2 (t
)1 t
0
1
1
1
1 2 0 3
1 0 0 1 2 3 4
0
1
0
0
1
1
1
0 0 1 0 4 3 1
1 2 3 4
0
1
1
1
0 0 1 3
1 0 0 1 2 0 5
0
1
0
0
1
0 2
0 0 1 0 0 1 3
1 0 0
0
1
0
0 0 1
4 12 3
1 3
1
1 4 1
100 1 0 1 0 -2
dx
1 2
arctan
x
2
1
|1
1 [ 24
(
)] 2
3 8
10.
f ' x 2(x 1)x [0, 2]
f (x) x2 2x c 又 (x)是奇函数 (0) 0c 0 f (x) x2 2x x [0, 2]
( x)的周期为4 f (7) f (3) f (1) f (1) (1 2) 1
0 -1 0 -2
00
0 -n
所以 r(0 E B) 1 故 B 的 n-1 重特征值 0 有 n-1 个线性无关的特征向量
n
所以 B 也可以相似对角化，且 B
0
0
所以 A 与 B 相似。
A
x2
0
0
1
1
1
0
x3 0 1 2 0 3 0
y1 0 1 2 3 4 0
A
y2
1
0
1
1
1
1
y3 0 1 2 0 3 0
z1 0 1 2 3 4 0
A
z2
0
0
1
1
1
0
z3 1 1 2 0 3 1
即
1 2 3 4
0
x( x2 2 x 1)dx
(
1 4
x4
2 3
x3
1 2
x2 ) 1 0
11
( x2 2 x 1)dx
(
1 3
x3
x
x) 1 0
20
14、
f(x1,x2,x3 ) x12 x22 2a x1x3 4 x2x3 (x1 a x3 )2 (x2 2 x3 )2 4 x32 a2 x32
k
lim
y
lim
x
sin
1 x
1
x x
lim y x lim sin 1 0
x x
y x sin 1 存在斜渐近线y x x
3、D
令f x x2,则在[0,1]区间
f (0) 0
f (1) 1
举例：
g
x
0
(1
x)
1
x
x
f x gx
又f '' x 2 0 D
4．C
dy 2t dx 2t
1
x
t
2
16、 解：
x2 y y ' 1 y '
y
'
1 y2
x
2
1
令y ' 0, x 1
2x( y2 1) (1 x ) 2 yy ' y ''
( y2 1)
又 y '(1) y '(1) 0
y ''(1)
y
2
2 (1)
1
0,
(1)为极大值
y ''(1)
y
2
2 (1)
1
0,
1 2 0 5
1 0 0 1
r3rrr
0
1
0
2
2r2 r1
0
1
0
2
0 0 1 3
0 0 1 3
x x x 2x x 3x x x
x1 1
x2
c
2
x3
3
x4 1
c 为任意常数
x1 y1 z1
设
B=
x2
y2
z2
x3 y3 z3
x1 1 1 2 3 4 1
dy dx
t1 3
2 2t 2(2t 4)
d2y
(2t)2
8
dx2
2t
(2t)
d2y dx2
t1 1
y"
k
3
1
(1 y '2 )2 (1 3 )
R
1
3
(1 32 )2
10
10
10
k
5、
f (x) x
arctan
x
1
1
2
.故 2
x arctan arctan x
.
2
lim
x0
x2
lim x0
cos y
ex
f ' ex)
f'' (e x
cos y )2 f ' e x
cos y
z y
f ' ex
( siny),
2z y 2
e x[f'' e x
( siny) f ' cos y ] (e x )2 siny2f'' f ' cos y
ex
2z x 2 y
x arctan x x2 a rctan x
x arctan x
lim
x0
x3
lim
x0
1
1 1 x 3x2
2
lim
3x
2
x (1
2
x
2
)
1. 3
6、
排除法当 B 2u x
0
，因为
2u x2
0
，故
A
2u x2
与
B
2u y 2
异号.
AC B2 0 ，函数 u(x, y) 在区域 D 内没有极值. 连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在 D 的边界点取到.
（Ⅱ） f (x) f [a
x
g(t)dt] p '(x) 0
a
p(x 单调不减
又（p a）= p(b) 0
b
即 b f (x)g(x)dx
a g (t )dt a
f
( x)dx
a
20、 解：
f(x)
1
x
x
,f1(x)
f(x)
x
f2(x)
f(f1(x))
1
1
x x
1
x
x 1 2x
代入 x 1,
1 y3(1) (1) 1 1 2 0
3
33
y(1) 0
17、
解：积分区域 D 关于 y x 对称，利用轮对称行，
x sin( x2 y2 )
y sin( x2 y2 )
D
x y dxdy
dxdy x y
1 x sin( x2 y2 ) y sin( x2 y2 )
2
D
x y
dxdy xy
1 2
D
sin(
x2
y )dxdy
1
2 d
2 sin( r)r d r 1
2
rd cos( r)
20
1
1
1 4
r
cos(
r)
|12
2
cos( r) d r
1
11 3 24 4
18、
解
：
z x
f ' ex
cos y ,
2z x 2
cos y
(f'' e x
V
2
f
(x)
2
1 dx
0
2
0
f
2 ( x)
2
f
(x)
1
dx
2
0
(2
x)dx
2x
x2 2
2 0
2
22、 解：
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
(A)= 0 1 1 1 r1 r3 0 1 1 1 4r2 r3 0 1 1 1
1 2 0 3
0 4 3 1
0 0 1 3