华中科技大学《激光原理》考研题库及答案

华中科技大学《激光原理》考研题库及答案
1．试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？
答：粒子数分别为：
188346
341105138.210
31063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯
⨯==---λ
ν
c h q
n 23
9
342100277.510
31063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n
2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。

(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？
答：（1）(//m n E E m m
kT
n n
n g e
n g --=）则有：1]300
1038.11031063.6exp[2393412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT
h e n n ν
（2）K T T
e n n kT h 3
6
23834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν
3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。

设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。

求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？
答：（1）1923
18
1221121011.3]2700
1038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kT
h ν
且202110=+n n 可求出312≈n
（2）功率＝W 918810084.51064.13110--⨯=⨯⨯⨯
4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密
度之比
q q 激自1
=
2000
，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若3
4
/100.5m s J ⋅⨯=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求q q 激
自为若干？
答：（1）
3
1734
36333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激
（2）9434
36333106.71051063.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激
5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。

设红宝石直径0.8cm ，长8cm ，铬离子浓度为2×1018cm －3，巨脉冲宽度为10ns 。

求：(1)输出0.6943μm 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命τ＝10－2s ，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量
J c
h d r h N W 3.210
6943.01031063.61010208.0004.06
83461822=⨯⨯⋅⨯⋅⨯⨯⋅⋅⨯=⋅
⋅⋅⋅=⋅=--πλ
ρπν
脉冲平均功率＝瓦89
6
1030.210
10103.2⨯=⨯⨯=--t W （2）瓦自
自自145113.211200
2021=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯==⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==⎰-e h N P e n dt e n N t A τνττ
6．试证单色能量密度公式，用波长λ来表示应为5
811
hc kT
hc e
λλπρλ=-
证明：
1
1
811852322-⨯=⋅-⨯=⋅=⋅==
kT
h kT h e hc c e h c c dVd dw dVd dw νννλλπλλπλρλνλρ 7. 试证明，黑体辐射能量密度()ρν为极大值的频率m ν由关系112.82m T kh ν--=给
出，并求出辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系。

答：（1）由 3
3
811
hv kT
h c e
νπνρ=
-可得：
0))1(11
3(82323=⋅⋅--⋅+-=∂∂kT h
e e e c h kT h kT h kT h ν
νννννπνρ 令kT h x ν
=，则上式可简化为：x x xe e =-)1(3
解上面的方程可得：82.2≈x 即：
1182.282.2--=⇒≈kh T kT
h m m
νν （2）辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系仍为
m m c λν=
8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数1
A τ
=
证明： 2
202)2/1()(4)(τννπν+-=
A
f N ，由归一化条件且0ν是极大的正数可得：
⇒=+-⎰
∞
1)2/1()(40
2202ντννπd A ⇒=+-⎰∞1)
2/1()(4202202ντννπνd A
⇒='+'⎰
∞
1)41(1
20
2
22
νπτνπd A
τ
πτνπτπ1
1]'4[4202
=
⇒=⋅⋅∞A arctg A
9．试证明：自发辐射的平均寿命21
1
A =
τ，21A 为自发辐射系数。

证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：
t A e n t n 21202)(-＝
自发辐射的平均寿命可定义为
()dt t n n ⎰
∞
=
220
1τ
式中()dt t n 2为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。

将（1-26）式代入积分即可得出 21
01
21A dt e t A =
=⎰∞
-τ
10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为c υ<<，证明接收器接收到
的频率0ν=
，在一级近似下为：0(1)c υνν≈+
证明：0022021
220)1()211)(1()1)(1(11υυ
υυυυυυυυυν⋅+≈⋅⋅++≈⋅-+=⋅-+=-c c c c c c c
即证
11．静止氖原子的3S 2→2P 4谱线的中心波长为0.6328μm ，设氖原子分别以±0.1c ,±0.5c 的速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？ 答：Hz c c c c 14
6
80
1.010241.510
6328.01039.01.19.01.111⨯=⨯⨯⋅=⋅=-+=-+λυυνν 同理可求：Hz c 141.010288.4⨯=-ν；
Hz c 145.010211.8⨯=+ν；Hz c 145.010737.2⨯=-ν
12．设氖原子静止时发出0.6328μm 红光的中心频率为4.74×1014Hz ，室温下氖原子的平均速率设为560m/s 。

求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？
答：Hz
c 814606
8
0010848.81074.4108667.1)108667.11()10
35601()1(⨯=⨯⨯⨯=∆⇒⨯+=⨯+=+=--νννυνν
13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm -1、光通过10cm 长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。

答；（1）368.01
)0()()0()(10001.0===⇒
=⋅--e
e I z I e I z I Az （2）11693.02ln 2)
0()
()0()(-⋅==⇒==⇒=m G e I z I e I z I G Gz
思考练习题2
1. 利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n 2－n 1＝5⨯1018cm -3，1/f (ν)＝2×1011
s -1，t 自发＝211
A -≈3⨯10-3s ，λ＝0.6943μm ，μ＝l.5，g 1＝g 2。

答：
)(8)(8)(8)()(2
22133321333212121
νπμλννμνπμννπμννμ
νf A n f h c h c A n G c h B A f h c nB G ⋅⋅∆=⋅⋅∆=⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
=
∆=1
11
224318
71.010
215.18)106943.0(1031105)(---=⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯=cm G πν 2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度n 0＝n 1+n 2＝l012 cm -3，1/f (ν)＝15×109 s -1，
λ＝0.6328μm ，t 自发＝211
A -=10-17s ，g 3＝3，g 2＝5，11μ≈,又知E 2、E 1能级数
密度之比为4，求此介质的增益系数G 值。

答：11
112211
211
1123
122101031410
81021410⨯=-=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=⇒⎭⎬⎫=+=-n g g n n n n E E cm n n n 比能级数密度之比为和 3
3
2121333332121888ν
πνπνπμh c A B c h c h B A =⇒== 19
2617112212172.0105.118)106328.0(1010314)(8)()(--=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆=cm
f A n f h c nB G πνπλννμ
ν
3. (a)要制作一个腔长L ＝60cm 的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R 1＝4L ，求另一面镜的曲率半径取值范围。

答：（a ）R R R ==21；cm R R
L
R L 301)1)(1(0≥⇒≤--≤ （b ）L R L R R L
R L R L 31)1(4301)1)(1(0222
21-≤≥⇒≤-⋅≤⇒≤--
≤或 4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R 1＝40cm ，R 2＝100cm ，求腔长L 的取值范围。

答：
cm L cm L L L R L R L 1401004001)100
1)(401(01)1)(1(021≤≤≤≤⇒≤--≤⇒≤--
≤或
5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。

证明：1021
000
2
100021
000
21
00)ln2
( 2)()2
ln (
2)()( )()( )(π
ννμνπ
ννννμ
νννμ
νh c B n G f f h c B n G f h c
B n G D D D
D D D D D ∆∆=⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
∆=
∆=⇒∆= 即证。

6. 推导均匀增宽型介质，在光强I ，频率为ν的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。

证明：2200
22000
)2
)(1()()
(])2(
)[()()(1 )()(ννννννννννν∆++-∆+-=+=s s I I G f f I I G G 而：
())
()(2)2()(12)()()(2)()( )()( )(002200000
00021000021
00ννπνννπννννννπνννμνννμ
νG G f f G f f h c B n G f h c
B n G ∆∆+-∆==⇒⎪⎪
⎪
⎭⎪⎪
⎪
⎬⎫∆=∆=∆≈依据上面两式可得：22
000
2)
2
)(1()()()2(
)(νννννν∆++-∆=s I I G G ；即证。

7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为ν∆，求证，I ＝I S 时的稳定工
ν，并说明其物理意义。

证明：（1）
22000
2220022000)2
)(1()()
()2()2)(1()()(])2(
)[()()(1 )()(νννννννννννννννν∆++-∆=∆++-∆+-=+=s s s I I G I I G f f I I G G 当1=s I I 时，增益系数的最大值为：2
)()(000ννG G =；
当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即
4)()2
(2)()
()2(
)()(1 )()(002
2000
200
ννννννννννG G f f G G =∆⋅+-∆=+=时，对应有两个频率为：
ν
νννν
ννννν∆'∆∴
∆=∆+=2)2(2)2(
2210201＝－＝－以及
（2）物理意义：当光强s I I =时，介质只在ν∆2范围内对光波有增益作用，在此范围外增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。

8. 研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”()e σν(cm 2)概念，它与增益系数()G ν(cm －1)的关系是()
()e G n
νσν=
∆，n ∆为反转粒子数密度，试证明：具有上能级寿命为τ，线型函数为()f ν的介质的受激发射截面为
222
(()8e c f νσνπνμτ
=）。

证明：τ
μπνννμπντννμνπμνσννσνπμννμ
ν2222
223332133
3212121
8)
()(81)(8)()
()(8)()(f c f c f h c h c A n G c h B A f h c
nB G e e =⋅=⋅=⇒⎪
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫∆==∆=
9. 饱和光强()s I ν是激光介质的一个重要参数。

证明均匀增宽介质在中心频率0
ν
处的饱和光强0
00()()s e h I ννσντ
=
，并计算均匀增宽介质染料若丹明6G 在0λ＝
0.5950μm 处的饱和光强。

(已知τ＝5.5×l 0—9s ，ν∆＝4.66×1013Hz ，μ＝1.36) 答：
(1)τνσνννπννσννμμτνπνννμνννστμνπν)()(2
)()()(2)()()()
()(2)(000
00000
21210e s e s e s h I f f h c
c I f h c nB G n G B c I =⇒⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫∆=
∆=⇒⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪
⎬⎫
∆=∆=∆=
(2) 2
53
2200022002
0000/10213.34)()(8)()()()(cm
W hc h I f c h I e s e e s ⨯=∆==⇒⎪
⎪
⎭⎪⎪⎬⎫
==
λνμπτνσνντμπνννστ
νσνν
10.实验测得He-Ne 激光器以波长λ＝0.6328μ工作时的小讯号增益系数为G 0＝3⨯10－4/d(cm -1)，d 为腔内毛细管内径(cm)。

以非均匀增宽计算腔内光强I ＝50W ／cm 2的增益系数G(设饱和光强I s ＝30W ／cm 2时，d ＝1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜的反射率(设r 1＝r 2，腔长0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率a 内＝9⨯10－4cm -1)?又设光斑面积A ＝0.11mm 2，透射系数τ＝0.008，镜面一端输出，求这时输出功率为多少毫瓦。

答：（1）132
11
410
10837.1)30
501(10103)1()()(----⨯=+⨯=+=cm I I D G s D D νν
（2）99.0120)10910837.1exp(12)exp(43221≥⇒≥⋅⨯-⨯⇒≥-=--r r L a G r r K 内 （3）mW I A P 44.010501011.0008.0320=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=-τ
11.求He-Ne 激光的阈值反转粒子数密度。

已知λ＝6328Å，1/f (ν)ν≈∆＝109Hz ，
μ＝1，设总损耗率为a 总，相当于每一反射镜的等效反射率R ＝l －L a 总＝
98.33％，τ＝10—7s ，腔长L ＝0.1m 。

答： 31592
672222
2
/10048.110)106328.0(1.00167.0108)(18)
(8m f L R
f c a n ⨯=⨯⨯⨯
⨯=
-=
∆--πνλτπμντμπν总
阈＝
12.红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr 3＋的n 0＝1019／cm 3，τ21=3⨯10-3s ，今以波长λ＝0.5100μm 的光泵激励。

试估算单位体积的阈值抽运功率。

答：33
419
10342102103/6501031051.021********.622cm W hcn V n h P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---λττν＝阈
13. YAG 激光器为四能级系统。

已知n ∆阈＝1.8×1016cm －3，τ32＝2.3⨯10-4s 。

如以波长0.75μm 的光泵激励。

求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。

答：(1)3
4
434101632
32144/2110
3.21075.01063.6103108.1/cm W hc
n V h n P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆---λττν阈阈阈＝ (2)倍数＝65/2.1=31
思考练习题3
1．腔长为0.5m 的氩离子激光器，发射中心频率0ν＝5.85⨯l014Hz ，荧光线宽ν∆＝6⨯l08 Hz ，问它可能存在几个纵模?相应的q 值为多少？ (设μ=1)
答：Hz L c
q 881035
.0121032⨯=⨯⨯⨯==
∆μν， 210
31068
8
=⨯⨯=∆∆=q n νν，则可能存在的纵模数有三个，它们对应的q 值分别为： 68
14
1095.110
31085.522⨯=⨯⨯=⨯=⇒=νμμνc L q L qc ，q ＋1=1950001，q －1＝1949999
2．He —Ne 激光器的中心频率0ν＝4.74×1014Hz ，荧光线宽ν∆＝1.5⨯l09Hz 。

今腔长L ＝lm ，问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？
答：Hz L c
q 8
8105.11121032⨯=⨯⨯⨯==∆μν，1010
5.1105.18
9=⨯⨯=∆∆=q n νν 即可能输出的纵模数为10个，要想获得单纵模输出，则：
m c L L
c
q 2.0105.110329
8
=⨯⨯=∆<∴=
∆<∆νμμνν
故腔长最长不得大于m 2.0。

3．（1）试求出方形镜对称共焦腔镜面上30TEM 模的节线位置的表达式(腔长L 、光波波长λ、方形镜边长a )（2）这些节线是否等间距？
答：（1）πλλπ43,02128)1()(0
)(X F 2133
33
32
332
2
L x x L
x
X X X e dX d e
X H e
X H X X X ±==⇒⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪⎬⎫=-=-==--）＝（
（2）这些节距是等间距的
4．连续工作的CO 2激光器输出功率为50W ，聚焦后的基模有效截面直径2w ＝50μm ，计算(1)每平方厘米平均功率(50W 为有效截面内的功率) (2)试与氩弧焊设备(104W ／cm 2)及氧乙炔焰(103W ／cm 2)比较，分别为它们的多少倍？ 答：（1）每平方厘米的平均功率为：
2
62
42
/10546.2)
1025(50W
50cm W ⨯=⨯=
-ππω （2）
6.2541010546.24
6
=⨯；是氩弧焊的6.254倍。

3
8
610546.210
10546.2⨯=⨯；是氧乙炔焰的2546倍。

5．(a)计算腔长为1m 的共焦腔基横模的远场发散角，设λ＝6328Å，10km 处的光斑面积多大。

(b)有一普通探照灯，设发散角为2︒，则1km 远处的光斑面积多大？
答：（1）基横模的远场发散角rad L 310
10269.110632822222--⨯=⨯⨯==ππλθ
（
2
）
10km
处
的
光
斑
尺
寸
m L z L z 347.6]1041[2106328])2(1[2810
210
=⨯+⨯=+=-=π
πλω
10km 处的光斑面积2225572.126347.6m S =⨯==ππω （3）1km 处的光斑尺寸m tg r o 455.1711000=⨯=
1km 处的光斑面积2221711.957455.17m r S =⨯=⨯=ππ
6．激光的远场发散角θ(半角)还受到衍射效应的限制。

它不能小于激光通过输出孔时的衍射极限角θ衍(半角)＝1.22λ/d 。

在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。

试计算腔长为30cm 的氦氖激光器，所发波长λ＝6328Å的远场发散角和以放电管直径d ＝2mm 为输出孔的衍射极限角。

答：（1）远场发散角rad L 3
2
10101588.110
3010632822---⨯=⨯⨯⨯⨯==ππλθ （2）衍射极限角rad d 4
3
101086.310210632822.122.1---⨯=⨯⨯⨯==λθ
7．一共焦腔(对称)L ＝0.40m ，λ＝0.6328μm ，束腰半径mm w 2.00=，求离腰56cm 处的光束有效截面半径。

答：mm z z 6.0))
102(56.0106328(1102.0)(122
4103
220056.0=⨯⨯⨯⨯+⨯=+=---=ππωλωω
8．试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行比较。

答：非共焦腔的谐振频率表达式为：()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=
-211
cos 112g g n m q L c mnq πμν
！）简并性：对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性，除非
)(cos 211为整数k k
g g π
=
-时才出现纵模的简并；如果纵模序数一定，不同的
横模可以存在一定的简并，只要m ＋n 不变，谐振频率就相同。

2）纵模间隔：L
c μν2＝
纵∆，与共焦腔是一致的；
3）横模间隔：L
g g c πμν2cos 2
11－横＝
⋅∆，不仅与腔长有关还与介质的折射率、镜面
的曲率半径有关，这与共焦腔是不同的。

9．考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长λ＝0.5145μm ，腔长L ＝1m ，腔镜曲率半径R 1=1.5m ，R 2=4m 。

试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸，并画出等效共焦腔的位置。

答：（1）束腰半径
mm
L R R L R R L R L R L 348666.0]5.35.45.1)105145.0[(])2())()(()[(4
1
2
2641221212120=⨯⨯=-+-+--=-ππλω（2）束腰位置765.33)2()(2121==-+-=
L R R L R L z m ；m z L z 7
1
76112=-=-=
（3）两镜面上的光斑尺寸分别为：
mm L R R L R L L R R L s 532596.0]5
.45.0325.2[105145.0]))(()([4
1
64
12112211=⨯⨯⨯⨯=-+--=-ππλω
mm L R R L R L L R R L s 355064.0]5
.435
.016[105145.0]))(()([416
412121222=⨯⨯⨯⨯=-+--=-ππλω
（4）m L
R R L R R L R L R L f 7
2
.55.36.25.35.435.02)
)()((212121==⨯⨯=
-+-+--=
10．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6μm ，两反射镜间距L ＝2m ，如选择凹面镜曲率半径R =L ，试求镜面上光斑尺寸。

若保持L 不变，选择L R >>，并使镜面上的光斑尺寸s w ＝0.3cm ，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？ 答：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：
mm L s s 5977.22
106.10621=⨯⨯===-π
πλωω
（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是
L R R R >>==21，根据（3-50）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L 近似相
等的解）：
()()m
R R R L R L R L L R L R L L R R L s 91.53])
22(2[5977.2])2([)2(41
2
41
24
1
2
≈⇒=-⨯⨯=-=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡---=
πλπλω
（3）
()()()()()mm
L R L L R R L R R L R L R L w 734.2]4
)2911.52(2)106.10[(42241
264
12
41
2
2121212
0=-⨯⨯⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-ππλπλ
11．试从（3－81）式出发，证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射
率表示有：2()
m
m s m t P AI a t =-。

证明：由（3-82）有：2
01112()1
()12D s LG P At I a t νν⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦
0]])(2[22[21]1)2[(212
2=+-⨯+⨯+-+=∂∂t a LG
t a LG AtI t a LG AI t P s s 整理上式可得：t
a t a LG t a t a G L -+=⇒+=-32
3
2
2
)()2()()(4，式中t 即为最佳透
射率t m
则最佳输出功率
m
m
s
m m m s m m s m m t a t AI t a t a t a I At t a LG I At P -=-+-+=-+=2232]
1)()()([21
]1)2[(21
12．考虑如图（3－18）所示的He-Ne 激光器，设谐振腔的腔镜为圆形镜。

试求TEM 00和TEM 10模之间的频率差。

假定TEM 00q 模的单程衍射损耗δ00<0.1%，试问：维持该激光器振荡的最小增益系数为多大？
激活长度
激活长度
图（3－18） 习题三 第12题
答：1）因为175.0)75.01)(375.01()1)(1(21<=∞
--=--R L R L ，因此此谐振腔为稳定腔； 圆
形
镜
一
般
稳
定
球
面
腔
的
谐
振
频
率
为
：
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=
-211
cos 112g g n m q L c mnq πμν
所以TEM00与TEM10之间的频率差为：
718211
106.475.0cos 1
75.02103cos
1
2⨯=⋅⋅⨯⨯=⋅⋅
=
∆--π
π
μνg g L c
2）考虑激光器的内部损耗完全由单程衍射损耗造成，由（2-36）式有：
()21ln 21
r r L
a G -
≥内 即
：
()()()
1
21210533.05
.0295.0ln 001.022ln 2ln 2-=⨯-⨯=-≥
∴-≥-m
L
r r La G r r La LG 内内
思考练习题4
1．腔长30 cm 的氦氖激光器荧光线宽为1500MHz ，可能出现三个纵横。

用三反射镜法选取单纵横，问短耦合腔腔长(23L L +)应为若干。

答：L
L L c
⨯⨯=+∆2103)(28
32μν＝短； m L L L 2.02105.1329<+=⇒<∆⨯短ν
2．He-Ne 激光器辐射6328Å光波，其方形镜对称共焦腔，腔长L ＝0.2m 。

腔内同时存在00TEM ，11TEM ，22TEM 横模。

若在腔内接近镜面处加小孔光阑选取横模，试问：
(1)如只使00TEM 模振荡，光阑孔径应多大？
(2)如同时使00TEM ，11TEM 模振荡而抑制22TEM 振荡，光阑孔径应多大？
答：(1)TEM 00模在镜面处的光斑半径为mm L s 20.02
.0106328.06=⨯⨯==-π
πλω
所以光阑孔径应该为0.2mm
(2)TEM 11模在镜面处的光斑半径为mm m s s 35.02.0312=⨯=+='ωω 所以光阑孔径为0.35mm
3．一高斯光束束腰半径0w ＝0.2mm ，λ＝0.6328μ，今用一焦距f 为3cm 的短焦距透镜聚焦，已知腰粗0w 离透镜的距离为60cm ，在几何光学近似下求聚焦后光束腰粗。

答：mm s f 01.02.060
3
00=⨯=='ωω
4．已知波长λ＝0.6328μ的两高斯光束的束腰半径10w ，20w 分别为0.2mm ，50μ，试问此二光束的远场发散角分别为多少？后者是前者的几倍？ 答：rad 33
1100.210
2.06328
.0222-⨯=⨯⨯⨯ππωλ
θ＝
＝
rad 30
2100.8506328.0222-⨯=⨯⨯ππωλ
θ＝
＝； 4
1
2221=θθ
5．用如图（4－33）所示的倒置望远镜系统改善由对称共焦腔输出的光束方向性。

已知二透镜的焦距分别为f 1＝2.5cm ，f 2＝20cm ，0w ＝0.28mm ，11f l >> (L l 紧靠腔的输出镜面)，求该望远镜系统光束发散角的压缩比。

图（4-33） 第5题
答：31.1125
.220012=⨯=='ωωf f M
7．设一声光偏转器，声光材料为碘酸铅晶体，声频可调制度为ν∆＝300MHz 。

声波在介质中的速度s υ＝3×103m/s ，而入射光束直径D ＝1mm ，求可分辨光斑数。

答：当声频改变ν∆时，衍射光偏转的角度为：νμυλ
φ∆=
∆s
； 而高斯光束的远场发散角为：0
μπωλ
θ=
； 可分辨光斑数为：15710
3105.0103003
360
=⨯⨯⋅⋅⨯=⋅⋅∆=
∆=-πνωπνφ
φ
s
n
8．有一多纵模激光器纵模数是1000个，腔长为1.5m ，输出的平均功率为1W ，认为各纵模振幅相等。

（1）试求在锁模情况下，光脉冲的周期、宽度和峰值功率各是多少？
（2）采用声光损耗调制元件锁模时，调制器上加电压0cos 2u V ft π=。

试问
电压的频8率f 为多大？
答：（1）周期s c L T 8
8
1010
35.122-=⨯⨯==；宽度s N T 128100.51100021012--⨯≈+⨯=+=τ 峰值功率w I N I 6202100.412001)12(⨯≈⨯=+=
（2）频率Hz L c f 88
105
.121032=⨯⨯==
9．钕玻璃激光器的荧光线宽F ν∆＝7.5×1012Hz ，折射率为1.52，棒长l ＝20cm ，腔长L ＝30cm ，如果处于荧光线宽内的纵模都能振荡，试求锁模后激光脉冲功率是自由振荡时功率的多少倍。

答：Hz L c
88
107.3)1.02.052.1(21032⨯=+⨯⨯==
∆μν；4100.2⨯≈∆∆=ν
νF N 倍数＝N ＝20000倍
思考练习题6
1．图6-2a 所示的角锥棱镜反射器中，O 为三面直角的顶点，OA=OB=OC 。

（1）试证明当三直角均没有误差时，由斜面ABC
反向平行；（2答：1）在棱镜内部入射的光r 1经过三次反射后由r 4（也是在棱镜内部），只要能证明r 1和r 4面的法线方向分别为：
y a n =1；x a n =2；z a n
=3；z z y y x x a r a r a r r 1111++=经过第一次反射：112)(2r a a r r y y
+⋅-=
所以z z y y x x y
y z z y y x x a r a r a r a r a r a r a r r
11111112 )(2)(+-=-+++= 经过第二次反射后：
z z y y x x x x z z y y x x x x a r a r a r a r a r a r a r a a r r r 11111112232)()(2+--=-+-=⋅-+=
经过第三次反射：
z z y y x x z z z z y y x x z z a r a r a r a r a r a r a r a a r r r 1111111334)(2)()(2---=-++--=⋅-+=
因此经过三次反射后矢量r 1和矢量r 4是反向平行的，说明角锥棱镜的入射和出射光肯定是反向平行的。

2）假设y 轴和z 轴的直角有一点偏差δα，则第三个反射面的法线就变成：
()z y z y a a a a n +≅+=δαδαδαsin )cos()sin(3
则经过第三次反射后：
z
y z y z y y x x z
z y z y z y y x x z y z y z z y y x x z y z z y y x x z z y y x x a r r a r r r a r a r r r a r r r a r a a r r a r a r a r n a a a r a r a r a r a r a r n n r r r
)2()22( )2)sin(2())sin(2)(sin 2( )
)))(sin()sin((2 ])[sin()(2)()(2111211111112111111113
11111133334δαδαδαδαδαδαδαδαδα+-+-+-+-≅-++-+-+-=+-++--=+⋅-+++--=⋅-+=则入射光束r 1与出射光束r 4的夹角θ应满足：
y
()
()δα
θδαδα
δαδαδαθ2
121212
112
121212
212
121212
2121212121212111112
111214141)
(2)
(2
1)
(2)()(222cos z
y
x
y
z y x y z y x y z y x z y x y z z z y y y x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ++=∴+++-=+++++-=
++--+---=⋅=
3．在图6-8 双频激光干涉仪测量空气折射率装置中，真空室长度为L ，激光在真空中的波长为0λ，记录下来的累计条纹数N ，试证明被测气体折射率可以用（6-8）式表示。

证明：图6-8 双频激光干涉仪可测量出真空室内外气体折射率不同造成的光程差，若被测气体折射率为m n ，真空折射率为1，长为L 的真空室造成的光程差为 ()12-n L 根据（6-6）式有：()N n L m 2
10
λ=
-；
故被测气体折射率为：120
+=N L
n m λ
4．分离间隙法的测量原理如图6-13所示，试证明狭缝宽度b 和间隔z 、级次1k 、
2k 、暗条纹的位置1k x 、2k x ，以及工作距离之间的关系为（6-19）式。

证明：对于产生1k 暗条纹的P 1点来讲，在平行光照明下，下边沿与上边沿衍射时对应的光程差为由虚拟的对称下边沿衍射边出发通过实际的下边沿再衍射到P 1点的光程和直接由上边沿衍射到P 1点的光程之差：
()2
2
11121111111422sin 2sin cos sin L x z L x b z b z z b AP P A A k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-'ϕϕϕϕ 同理，对于产生2k 暗条纹的P 2点来讲，在平行光照明下，有
22
222222211
422sin 2sin L x z L x b z b AP P A A k k -=⎪⎭⎫
⎝⎛-=-'ϕϕ
上两式对应的光程差分别等于λ1k ，λ2k ，因而在分离间隙时狭缝宽度可以用（6-19）式表示。

5．在一拉制单模光纤生产线上测量光纤直径，若光纤外径为125微米，外径允差为±1微米，不考虑光纤芯的折射率变化的影响，用图（6-10）右半部所示的检测系统，若接收屏处放置的2048元线阵CCD 象素间距为14微米，为保证测量系统的分辨率为允差的五分之一，所用的透镜焦距至少为多大？
答：设光纤的外径为b ，第k 个暗条纹的位置为k x ，透镜焦距为f ，光波波长为
λ，则有： m f kf x kf b b x kf b x x kf b k k k k 73.1146328
.012551222≤⇒⨯⋅=⇒=
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
==
δλδλδλδ
6．用如图6-18所示的激光脉冲测距方法测量地球到月球之间的准确距离。

若使用调Q 技术得到脉宽为10-9S 而脉冲峰值功率达到109W 的激光巨脉冲，激光的发散角通过倒置望远镜压缩到0.01毫弧度，光电接收器最低可以测量的光功率为10-6W ，大气层的透过系数为5×10-2，试问，送上月球的角锥棱镜反射器的通光口径至少要有多大（不考虑角锥棱镜的角度加工误差）？
答：激光束达到月球上的光斑半径为：m 380000001.0108.38=⨯⨯=ω 激光束达到月球上的脉冲峰值功率为：W P 72910510510⨯=⨯⨯=- 设角锥棱镜的通光口径的直径为a ，则有：
激光束达到月球上后再被反射回接收器的总功率为：
m a a P 36222
7108.41010543800
105'---⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯=ππ 这里没有考虑角锥棱镜的角度加工误差，实际上角锥棱镜的角度加工误差至少要
有0.1弧秒，对应返回地球的光束发散角在5×10-8以上，即使接收透镜的口径达到半米以上，实际送上月球的角锥棱镜反射器的通光口径至少还要再大一到两个数量级。

7. 试说明相位测距的原理。

若激光相位测距量程要求达到5Km ，测量最小可分辩距离为1mm ，而测相灵敏度为2π/1000，那么至少要几个调制频率才能满足上述技术要求？ 答：
m km 510005=；增加一个测距频率的测相灵敏度可达：mm m
51000
5=；如果要求1的测距分辨率，则测距信号调制频率至少要有三个。

8．一台激光隧道断面放样仪，要在离仪器50米远的断面处生成一个激光光斑进行放样工作，要求放样光斑的直径小于3厘米。

（1）如果使用发散(全)角为3毫弧度的氦氖激光器，如何设计其扩束光学系统以实现这个要求？（2）如果使用发光面为1×3µ2
的半导体激光器，又如何设计其扩束光学系统？ 答：（1）在远场情况下，光斑半径可以表示为 02
1
00z f f z z θθω== 其中
1
2
f f 为倒置望远镜的发散角压缩比。

代入有关参数可计算出所要求的最小压缩比为：
530
1050003.03
00012=⨯⨯==z z f f ωθ 因此，所设计的扩束光学系统的最小压缩比为5倍。

（2）半导体激光器的发散角在发光面的长短两个不同方向上不同，为了充分利用其能量，在扩束系统前需要对光束进行整形。

但是在要求不十分高的场合，可以对其中发散比较小的方向进行处理以达到要求，对发散比较大的部分用光栏挡住一部分光，形成所需要的放样光斑。

按照在远场情况下光斑半径和发散角的关系，用透镜变换后的发散角应为：
z z ωθ=
'
该发散角对应的束腰半径为
θπλ
ω'
='20
讲半导体激光器放在透镜前焦点处产生的束腰与透镜焦距之间关系是
πωλωf
=' 因此所要求的透镜焦距为
mm z f z 1010503010322233
000000=⨯⨯⨯⨯=='⨯='=-ωωθπλλπωλωπω
9．用如图6-33中双散射光路测水速。

两束光夹角为450，水流方向与光轴方向垂直，流水中掺有散射颗粒，若光电倍增管接收到的信号光频率为1MHz ，所用光源为He-Ne ，其波长为632.8nm ，求水流的速度。

答：s m i /623.05.22sin 33.1210106328.02
sin
26
6=⨯⨯⨯⨯==
-θμν
λυ
11．图6-39所示的光纤陀螺仪中, 以长度为L 的光纤绕成直径为D 的由N 个圆圈组成的光纤圈,以角速度ω旋转时,试给出逆向传播的两束波长为λ的激光产生的差频公式。

若耦合进光纤的半导体激光的波长为650nm ，光纤绕成直径为1cm 的100个圆圈，以角速度0.1度/小时旋转时,该频差为多大？
答：（1）λωνωνωννD c D c LD L L
L =⋅=∆⇒⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⋅=∆⋅∆=
∆ （2）Hz 00746.01065018036001.0109
2=⨯⨯
⨯
=
∆--π
ν
思考练习题7
3．设半无限大不锈钢厚板的表面半径1.0毫米范围内，受到恒定的匀强圆形激光束的加热。

如果激光束总功率为5kW ，吸收率为6%，不锈钢的导热系数为0.26W/cm •℃，试问材料表面光束中心的最高温度是多少？ 答：根据（7-6）式有：
C r AP T o t 33
010673.326
.01.010506.0⨯=⨯⨯⨯⨯==πλπ
4．上一题中，如果圆形激光束是TEM 00模的高斯光束，它在不锈钢厚板表面上的有效光束截面半径是1.0毫米，材料表面光束中心得到的最高温度有多高？它是匀强圆形激光束所得到的最高温度的几倍？
答：2
502
0202202
200/1018.35000212exp )2exp()(50002)(cm W q q dr r q r q r q rdr r q s r s r S r S S S ⨯=∴==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
-==⎰⎰
∞∞
ωπωπωπ C Aq T o
t r S 32
35230106.426.021.01018.306.02⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==πλπω 25.1673
.36
.4==
匀强
高斯T T
5．假设Nd ：YAG 激光照射在半无限大铁板上，恒定的匀强圆形激光束直径为1.0毫米，激光脉冲宽度为1毫秒。

（1）若使表面温度控制在铁的沸点（3160K ）以下，试问需要激光单个脉冲的能量是多大？（2）试求激光光轴处铁的熔化深度。

已知铁的表面反射率为80%，导热系数为0.82W/cm •℃，密度为7.87g/cm 3
,比热为0.449J/g •℃，且均不随温度而变化。

答：（1）
J
Pt W
P C P
r AP T o t 722.3473.3722)2733160(82
.01.0)8.01(0=⇒=⇒-=⨯⨯⨯-==
能量＝πλπ
（2）令()C kt
r z ierfc kt z ierfc kt r AP
t z T o t )2733160(222,2
0220-=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-⋅=λπ 其中：2.01=-=R A ；W P 473.3722=；C cm W t ︒⋅=/82.0λ；mm r 5.00=；
ms t 1=；s cm C
g J cm g C cm W C k t /232.0/499.0/87.7/82.02
3
=︒⋅⋅︒⋅==
ρλ； 根据以上条件用计算机编程，解上述方程可得熔化深度z 。

7．（1）如（7-9）和（7-10）式表明的激光打孔的简化的几何—物理模型，对于估算激光打孔的深度和半径有一定的参考价值，试由（7-9）和（7-10）两式在
()0r t h >>的条件下导出（7-11）和（7-12）两式。

（2）若硬质合金的蒸发气化比能B L 为11.2J/mm 3，熔化比能M L 为5.02J/mm 3，激光的半会聚角为0.1弧度，在厚度为5毫米的硬质合金刀头上打通孔，需要的激光总能量是多少？ 答：（1）证明：
()()()()()()()
()⎩⎨
⎧=≈⇒⎭⎬⎫>>+=dh
tg dr t h tg t r r t h t h tg r t r γγγ00 ()()()()()()()()()()()()()dh t h L L tg dh tg t h t h tg L dh t h tg L dt t P dr t h t r L dh t r L dt t P M B M B M B 22222)2()(22+≈⋅⋅⋅+≈⇒
+=γπγγπγπππ对上式两边进行积分可得：
()()()()()3
12
32
22023 31)2()2(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+≈⇒⋅+≈⇒+≈⎰⎰M B M B h M B t
L L tg E
h h L L tg E dh t h L L tg dt t P γπγπγπ
同理有()3
123⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+≈≈M B L L Etg htg r πγγ即证。

（2）()J tg h L L tg E M B 2853
1
)02.522.11)(1801.0(31)2(3232=⋅⋅⨯+⨯
=⋅+≈ππγπ
9. 种光盘的记录范围为内径50mm 、外径130mm 的环形区域，记录轨道的间距为2m μ。

假设各轨道记录位的线密度均相同，记录微斑的尺寸为0.6m μ，间距为1.2m μ，试估算其单面记录容量。

答：在内径和外径之间存在的轨道数为：43
10210
2250
130⨯=⨯⨯-=-N 个。

每个轨道记录的容量为：
3
102.1)
002.050(-⨯⋅+n π，其中4102,,2,1,0⨯= n
所以总的单面记录容量为：
9
10
20
3
43
1020
3
10
67.310
2.1002.010210
2.150
10
2.1)
002.050(4
4
⨯≈⨯⋅+
⨯⨯⨯⋅=
⨯⋅+∑∑
⨯--⨯=-n n n πππ
10. 如图9-31所示的中继透镜激光扫描系统中，如果前后两个透镜组成的望远镜系统的放大倍数为2×，扫描镜（1）可以完成的扫描角度为20º，后透镜的焦距为30mm ，试问前透镜的相对孔径为多大（相对孔径定义为透镜通光口径与其焦距之比）？
答： 前透镜的相对孔径仅与扫描镜（1）可以完成的扫描角度有关。

扫描镜（1）可以完成的扫描角度为20º，故其半扫描角α为10º，对应的相对孔径为
353.010221
11=== tg f tg f f D α
2．D-T 核聚变，压缩点燃的燃料密度和半径之积ρR=3~4g/cm 2，等离子的能量是1kev ，试证核聚变点火时，核聚变释放能是等离子体热能的1500倍。

答：等离子的能量是1kev 对应着等离子气体中粒子的一定的速度分布，对应着等离子的温度，因此也常常说1kev 是该等离子的温度。

对于氘和氚聚变产生中子和α的反应，
MeV N T D 6.17++→+α
如果等离子的温度是keV 1，反应所产生的两个电子与D 和T 处于热平衡，那么等离子体在聚变中消耗的热能为keV 4。

燃烧率与压缩点燃的燃料密度和半径之积有关，参考《受控核聚变导论》（M.O.哈格勒, M.克利蒂安森；李银安等译；北京：原子能出版社，1981，11）可得，压缩点燃后实际聚变燃烧的等离子体占总等离子体的比率为
4.0~3.0)6(=+=R R ρρε。

因此产生的总能量为)}4.0~3.0(106.17{6⨯⨯。

而核聚变释放的能量倍率为：1700~1300)104/()}4.0~3.0(106.17{36=⨯⨯⨯ 即核聚变释放能量是等离子热能的1500倍左右。

4．试描述激光操纵微粒的几何光学原理。

如在图10-7中a,b 两束光之间的夹角为120度，夹角平分线与z 轴平行，焦点f 位于μ2.0,0-==z y 处，微粒直径为1微米，微粒主要有水组成（折射率假定为1.33），周围是空气。

若两束光的波长为633纳米，功率均为1纳瓦，试求微粒所受到的作用力的方向和大小。

答：由于对称性可以得出微粒所受到的作用力的方向在图10-7中是沿z 轴的反方向向上的。

其大小则需要进行计算。

首先微粒表面方程和a,b 两光线方程可以分别表示为：
122=+z y
y z 3
3
2.0=
+
y z 3
32.0-
=+ 将这几个方程联立可以解出a 、b 两光束的入射点坐标为：
⎩⎨⎧-=±=5424.05931
.0z y
在该点的入射角为：
56.173056.47301
=-=-=-z
y
tg α 出射角为：
11.1356.17sin 33.11sin sin 1sin 11=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛='--ααn 在微粒中的光程为
μ591.211.13cos 133.12=⨯⨯⨯= nl
如果光在通过微粒同时除了折射以外没有损失，其进入微粒时和离开微粒时具有的动量大小相等，方向有一个小的偏转，如果光子的动量为p ，其通过微粒产生的动量变化为
()p p p 1562.0sin 2='-⨯=∆αα a 、b 两光束的单个光子引起的动量变化矢量和为
()
45
.3460902576.045.34cos 1562.02cos 2='-+-==⨯⨯=∆ααγγ其中
p p p
作用力的大小与动量的变化率相等，因此要求出光在微粒中穿过需要的时间：
136810637.810
103591
.2-⨯=⨯⨯==
∆c nl t 单个光子造成的受力大小为 nl
h t c h t p f νν1562.01562.0=∆=∆∆=
∆ 功率为P 的入射光在dt 时刻内照射在微粒上的总能量为：
Pdt E =∆
相应光子总数为
ν
νh Pdt
h E N =∆=
∆
两束光强度相同，具有相同的光子数，因此功率为P 的两束入射光在t ∆时刻内照射在微粒上引起的微粒总的动量变化为
c
Pdt
c h h Pdt p N dp 1562
.01562.0=⨯=
∆⨯∆=νν 受力为
牛18
8
910521.010
31011562.01562.0--⨯=⨯⨯===c P dt dp f
5．Si-Si 结合键的离解能是337kJ/mol 。

试用eV 单位，频率单位表示该能量。

并计算对应的波长。

答：（1）一个Si-Si 结合键的离解能是J 1923
3
106.510
02.610337-⨯=⨯⨯ 而J eV 19106.11-⨯=；所以一个
Si-Si 结合键的离解能为
eV mol kJ 49.36
.16
.5/337==。

（2）用频率表示的能量为νh ，则有：
1143423
3
10443.81063.610
02.610337--⨯=⇒⨯⨯=⨯⨯s νν （3）⎪⎭
⎫
⎝⎛==⨯=⇒⨯=
νλc nm 355337101.1963λ101.1963D 550 6．试说明多光子吸收的原理。

如果光源是CO 2激光会发生怎样的多光子吸收？如果要实现266356SiH H C SiH H C +⇒的光离解反应，1Mol 356SiH H C 需要多少Mol CO 2激光光子才能够完成上述反应（根据图10-11作近似计算）？ 答：266356SiH H C SiH H C +⇒的光离解反应需要离解一个H s i -键，要发生上述离解反应，从图10-11可查出1mol 的356SiH H C 需要的能量约为380kJ ；另一方面，CO 2激光光子的波长为1060nm ，1molCO 2激光光子的能量为：
mol kJ /1131060
101.1963λ101.1963D 5
50≈⨯=⨯=
因此，离解1Mol 356SiH H C 需要的 CO 2激光光子mol 数为：
36.3113
380
=。