固体物理第3章 晶格振动 参考答案 2011

第三章 晶格振动 参考答案 2011

3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21ββ>。

试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频

支，其格波频率为⎪

⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=212

21221212

)2(sin 411M ）（ββββββωqa 证明：

第2n 个原子所受的力

1

21122221212121222)()()(-+-++++-=-+-=n n n n n n n n u u u u u u u F ββββββ

第2n+1个原子所受的力

n

n n n n n n n u u u u u u u F 22121122112221222112)()()(ββββββ+++-=-+-=++++++

这两个原子的运动方程：

n n n n n n n n u u u u

m u u u u

m 221211221121211222212)()(ββββββββ+++-=+++-=+++-+

方程的解

⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡

+-+⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡

-==q a n t i n q a n t i n Be

u Ae

u 2)12(122)2(2ωω

代入到运动方程，可以得到

B A e e B m A B e e A m q a i q a i q a

i q a i )()(21222122122212ββββωββββω+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=-+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=--- 经整理，有

0)(0)(22122212221221=-+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--+--B m A e e B e e A m q a i q a i q a

i q a i ωββββββωββ 若A ，B 有非零解，系数行列式满足

,.,2

212

22

12

22

1221=-+++-+--ω

ββββββωββm e

e

e

e

m q a i q a

i q a i q a i

根据上式，有

⎪

⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-±+=212

2122

1212)2(sin 411M ）（ββββββωqa

3.2具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为M ，晶格常量为a ，最近邻原子间相互作用的恢复力常数为β，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关系为

）（a q a q y x cos cos 22M 2--=βω。

解：

如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第l,m 原子受到（l+1,m ），（l-1,m ），（l,m+1），（l,m-1）四个原子的作用力为：

（l+1,m ）对它的作用力=），（m l u ,m 1,l u -+β （l-1,m ）对它的作用力=），（m l u ,1m l,u --β （l,m+1）对它的作用力=），（m l u ,1m l,u -+β （l,m-1）对它的作用力=）（1,m l,u --m l u β。

由于（l+1,m ）和（l-1,m ）对它的作用力以及（l,m+1）和（l,m-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可以写为：

[])2u (2u d ,1,1m l,,,1m 1,l 2

,2m l m l m l m l m

l u u u u dt

u M -++-+=-+-+）（β 设解的形式为

()[]

t a mq a lq i u u y x m l ω-+=exp 0,

代入运动方程后，得到色散关系

(

)

()

a q a q e

e e e M y x a

iq a

iq a iq a iq y y x

x

cos cos 224

2--=-+++-=--ββω

3.3(a)

解：对于一维单原子链，简正振动格波的色散关系表述为

s i n s i n m

a q a q ωπωπ== （1）

式中，,,a m β和q 分别代表恢复力常数，晶格常数，原子质量和格波波矢。

上面表明，ω是q 的偶函数。

设g （q ）表示q 空间中单位间隔内振动方式数，()g ω表

示单位频率间隔内的振动方式数，于是有

1

210

2()()m

a a

g d g q d q ωωω-=⎰

⎰

=1

20

2()a g q dq ⎰

（2）

从（1）式知道，当q=0时，0ω=：当q=1/2a ±时，

m ωω= （2）式左边可以写成为

1

20

()()m

a d g d g dq dq

ωω

ωωω=⎰

⎰

（3） 从（2）（3）式可以得到

()2()d g g q dq ωω= 即()2()dq g g q d ωω

= 波矢空间的态密度g(q)

1

()1

g q Na

Na

== 式中N 为晶格原子总数。又从（1）式得到

2

1/2

c o s (1s i n

)

m m d a aq a aq dq ω

πωπ

πωπ==-

=1/2

()m a πωω- 代入（4）既得

2

21/2

1()2()2()m dq g g q Na d a ωωπωω==-