直和定义

第六章 线性空间
∑ 设 α ∈Vi ∩ V j , α ∈Vi , α = ki1αi1 + α + kiri iri j≠i
α ∈ ∑Vj, j≠i
∑ α = (k j1α j1 + + k α jri jri ) j≠i
∑ ki1αi1 + α + kiri iri − (k j1α j1 + + k α jri jri ) = 0 j≠i
j≠i
j≠i
此即
∑ αi − βi ∈Vi ∩ Vj = {0}, j≠i
因此得 αi = βi , i = 1, 2, , s
∑ 第六章
故
线性空间
W=
Vi 是直和。
i
§6.7 子空间的直和
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和
第六章 线性空间
一、直和的定义
定义1：设 V1,V2 是线性空间V的子空间，如果和V1 + V2
中每个向量 α 的分解式 α = α1 + α2 , α1 ∈W1,α2 ∈W2 是唯一的，
则称这个和为直和，记为V1 ⊕V2。
j≠i
j≠i
于是 α = α1 + + αi−1 + αi+1 + + α s , α j ∈Vj , j ≠ i
即有 α1 + + αi−1 + α + αi+1 + + α s = 0,
因此
α = 0,
故
∑ Vi ∩ Vj = {0}, i = 1, 2, , s.
j≠i
第六章 线性空间
(3) ⇒ (4) 设 αi1, ,αiri 是 Vi 的一个基，i = 1, 2, , s
是唯一的。故零向量的表法也唯一；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) ⇒ (3) 如果零向量的表法唯一，
第六章 线性空间
∀α ∈V1 ∩V2 , 0 = α + ( −α ) , α ∈V1, − α ∈V2
由零向量的唯一性知 α = 0, 故V1 ∩V2 = {0}.
(3) ⇒ (4) ∵ V1 ∩V2 = {0}, ∴ dim(V1 ∩V2 ) = 0,
若还有
α = β1 + β2 , βi ∈Vi
故
α1 − β1 = β2 − α2 , α1 − β1 ∈V1 , β2 − α2 ∈V2
于是 α1 − β1 ∈V1 ∩V2 , α1 − β1 = 0,
因此α1 = β1 , α2 = β2 , 故 V = V1 ⊕ V2
第六章 线性空间
三、多个子空间的直和
设有
∑ (s ki1αi1 +
i =1
) α + kiri iri = 0,
则得
∑ ( ) ki1αi1 + α + kiri iri = −
k j1α j1 + α + k jri jri ,
j=i
故
∑ ki1αi1 + + k α iri iri ∈Vi ∩ V j , ki1αi1 + α + kiri iri = 0,
子空间直和的概念可以推广到多个子空间的情形。 定义2：设V1,V2 , ,Vs 都是线性空间V的子空间，如果和 V1 + V2 + + Vs 中每个向量 α 的分解式：
α = α1 + α2 + + αs , αi ∈Vi , i = 1, 2, , s
是唯一的，则称这个和为直和，记为：V1 ⊕V2 ⊕ ⊕Vs 定理6.7.1可以推广到多个子空间的情况。
j≠i
ki1 = = kiri = 0,
i = 1, 2, , s
αi1 , ,αiri , i = 1, , s 线性无关。
∴ dim (W ) = ∑ dim (Vi ) i
(4) ⇒ (1) 先推 (4) ⇒ (3)
设 αi1 , ,αiri 是 Vi 的一个基，i = 1, , s 则 αi1 , ,αiri , i = 1, , s 是W的一个基。
① V = V1 ⊕ V2;
② 零向量的表法唯一；
③ V1 ∩V2 = {0}; ④ dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ).
证明： (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)
(1) ⇒ (2) ∵ V = V1 ⊕V2 ,
故V中每个向量α 的分解式 α = α1 + α2 , αi ∈Vi , i = 1, 2,
分解式 α = α1 + α2 是唯一的，指的是：
若
α = α1 + α2 = β1 + β2 , α1 , β1 ∈V1 , α2 , β2 ∈V2
则
α1 = β1, α2 = β2
第六章 线性空间
二、直和的判定
下面的定理给出子空间的和是直和的几个等价条件。
定理6.7.1：设 V1,V2是线性空间V的子空间，记 V = V1 + V2 , 下面四个命题彼此等价。
因此 dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ).
(4) ⇒ (1) 由 dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ),
知 dim(V1 ∩V2 ) = 0, 故 V1 ∩V2 = {0}
对
∀α ∈V = V1 + V2 , α = α1 + α2 , αi ∈Vi
第六章 线性空间
定理6.7.2：设 V1,V2 , ,Vs 是V的一些子空间，下面这些 条件是等价的：
① W = ∑Vi 是直和； ② 零向量的表法唯一；
∑ i
③ Vi ∩ ∑Vj = {0} , i = 1, 2,
, s;
④ 维W =
维Vi 。
j≠i
i
证明： (1) ⇒ (2) 显然。
∑ (2) ⇒ (3) ∑ 若 α ∈Vi ∩ Vj , 则 α ∈Vi , α ∈ Vj ,
∴ ki1 = = kiri = 0, α = 0
(3) ⇒ (1) α = α1 + + αi + + αs , αi ∈Vi , i = 1, 2, , s
α = β1 + + βi + + β s , βi ∈Vi , i = 1, 2, , s
∑ ∑ 于是得 αi − βi ∈Vi , (α j − β j ) ∈ Vj