高中习题2-6. 数学 数学doc
高中数学6-2排列与组合6-2-2排列数课后提能训练新人教A版选择性必修第三册
第六章 6.2.2A级——基础过关练1．4·5·6·…·(n－1)·n等于( )A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n【答案】D 【解析】因为A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A n－3n＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n(n－1)(n－2)·…·6·5·4.2．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )A．20 B．16C．10 D．6【答案】B 【解析】不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a 不当副组长，有A25－A14＝16(种)选法．3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!【答案】C 【解析】利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A33·(A33)3＝(3！)4.故选C．4．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )A．6个B．10个C．12个D．16个【答案】C 【解析】符合题意的商有A24＝4×3＝12(个)．5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于( )A．1 543 B．2 543C．3 542 D．4 532【答案】C 【解析】首位是1的四位数有A34＝24(个)，首位是2的四位数有A34＝24(个)，首位是3的四位数有A34＝24(个)，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．由此得a72＝3 542.6．不等式A2n－1－n＜7的解集为________．【答案】{3,4} 【解析】由不等式A2n－1－n＜7，得(n－1)(n－2)－n＜7，整理得n2－4n －5＜0，解得－1＜n＜5.又因为n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4，故不等式A2n－1－n＜7的解集为{3,4}．7．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，则共有________种参赛方案．【答案】240 【解析】方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240(种)．方法二从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240(种)．方法三(间接法) 不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A46种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A35种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A46－2A35＝240(种)．8．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．【答案】24 【解析】把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目、3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400(种)．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余4个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前4个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440(种)．10．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解：(1)3个女同学是特殊元素，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A55种排法．由分步乘法计数原理得，有A33A55＝720(种)不同的排法．(2)先将男同学排好，共有A44种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A35种方法．故符合条件的排法共有A44A35＝1 440(种)．(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A25种排法．所以共有A44A22A25＝960(种)不同的排法．B级——能力提升练11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D 【解析】第一步，先排个位，有A 13种选择；第二步，排前4位，有A 44种选择．由分步乘法计数原理，知有A 13·A 44＝72(个)．12．世界华商大会的某分会场有A ，B ，C 三个展台，将甲、乙、丙、丁共四名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少一人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的分配方法有( )A ．12种B ．10种C ．8种D ．6种 【答案】D 【解析】将甲、乙看作一个元素与另外两个组成三个元素，分配到三个展台，共有A 33＝6(种)不同的分配方法．13．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B 和C 都与程序D 不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A ．216种B ．288种C ．180种D ．144种【答案】B 【解析】当B ，C 相邻，且与D 不相邻时，有A 33A 24A 22＝144(种)方法；当B ，C不相邻，且都与D 不相邻时，有A 33A 34＝144(种)方法，故共有288种编排方法．14．(多选)下列等式成立的是( )A ．A 3n ＝(n －2)A 2nB ．1n A n n ＋1＝A n －1n ＋1C ．n A n －2n －1＝A n nD ．nn －m A m n －1＝A m n【答案】ACD 【解析】A 中右边＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n ；C 中左边＝n (n －1)(n －2)×…×2＝n (n －1)(n －2)×…×2×1＝A n n ；D 中左边＝n n －m ×n －1！n －m －1！＝n ！n －m ！＝A m n ，只有B 不正确．15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．【答案】2 903 040 【解析】(插空法)8名学生的排列方法有A 88种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A 29，由分步乘法计数原理，总的排法总数为A 88A 29＝2 903 040.16．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．【答案】24 【解析】把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A 44＝48(种)方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A 33＝24(种)方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24(种)．17．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目、3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)排法．C级——探究创新练18．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800(种)．(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2520(种)．。
高二上学期数学练习题(6)(椭圆的标准方程)有详细答案
高二上学期数学练习题（6）（椭圆的标准方程）班级 姓名 学号一 .选择填空题1. 设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ( )．A ．4B ．5C ．8D ．102. 已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是 ( )．A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2 4．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1 6. 设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为 ( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 7. 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( )A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 8. 已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为( ) A ．9或917 B.34或32 C ．9或34D.917或329. 椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于A.32B. 3C.72D ．4 （ ）10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 11. 曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对12. 直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+by x 恒有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．),5()5,1[+∞D ．),1(+∞二．填空题13．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为14．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________ ．15．若α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．16．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的___ 倍．17.已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______．18.已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．19.△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程 为20.设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.三．解答题21.求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程．22.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)； (2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.23.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．24.在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．25.已知椭圆y 2a 2＋x2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．26.如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．高二上学期数学练习题（6）（椭圆的标准方程）参考答案班级 姓名 学号一 .选择填空题1. 设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ( )．A ．4B ．5C ．8D ．10解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D 2. 已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是 ( )．A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D.答案 D3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6.⇔a >3或－6<a <－2.故选D.答案D4．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是 ( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D 解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)． 又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A.答案 A5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知△F 1PF 2是直角三角形且1290F PF ∠=︒， 故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4，故选B.答案 B6. 设F 1，F 2是椭圆x 225＋y29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为 ( B )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 7. 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( D )A.x 213＋y 212＝1B.x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1C.x 213＋y 2＝1D.x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 8. 已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为( A )A ．9或917 B.34或32 C ．9或34D.917或329. 椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于A.32B. 3C.72D ．4 （ C ）10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 （ B ） 11. 曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系是( B )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对12. 直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+by x 恒有公共点，则b 的取值范围是（ C ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．),5()5,1[+∞D ．),1(+∞二．填空题13．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为解析 由已知2a ＝8，2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为y 216＋x 2＝1.答案 y 216＋x 2＝114．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________ ．解析 由已知2c ＝6，∴c ＝3，而c 2＝9，∴20－k ＝9或k －20＝9，∴k ＝11或k ＝29.答案 11或29 15．若α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析 方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0，∴π4<α<π2.答案 (π4，π2)16．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的___ 倍．解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P 点的坐 标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3.把x 1＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1，得y 1＝±32，即P 点的坐标为(3，±32)，∴|PF 2|＝|y 1|＝32.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－32＝732，即|PF 1|＝7|PF 2|.答案：717.已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为__6____．18.已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是____4____．19.△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程 为解 由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4， ∴点B 到定点A 、C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分， 其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)．20.设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝___6_____.三．解答题21.求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程． 解：依题意可设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0)． ∵点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎪⎫0，－12在所求椭圆上，∴⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫132＋B ⎝⎛⎭⎫132＝1，B ⎝⎛⎭⎫－122＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4.，∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214＝1.22.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)； (2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解：(1)依题意所求椭圆的焦点在y 轴上，且24c =，∴c ＝2，∴所求椭圆的两焦点分别为1F (0，－2)，2F (0，2)．由椭圆的定义知2a ＝12MF MF +=32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12，∴所求椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)依题意2c ＝10，2a ＝26，∴c ＝5，a ＝13，∴b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，∵所求椭圆的焦点所在的坐标轴不确定，∴所求椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.23.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解：依题意可设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设所求椭圆的两焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴ 120FA FA = ，∵ 1(4,3)F A c =-+2(4,3)F A c =--，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.24.在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：依题意园C 的圆心为(1,0)C -，半径5r =，又由题意知点M 在线段CQ 上，∴有|CQ |＝|MQ |＋|MC |=5r =∵点M 在线段AQ 的垂直平分线上，∴|MA |＝|MQ |，∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5OA >∴由椭圆的定义可知点M 的轨迹是以A (1，0)，C (－1，0) 为焦点的椭圆， ∵2a ＝5，∴a ＝52，又∵c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.25.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值． 解：(1)依题意知所求椭圆的焦点在y 轴上且c ＝1，∴a 2－b 2= c 2=1，∵3a 2＝4b 2，解方程组2222134a b a b⎧-=⎨=⎩可得a 2＝4，b 2＝3，∴所求椭圆的标准方程为 y 24＋x 23＝1. (2)∵点P 在椭圆上，∴由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4……①， 又∵|PF 1|－|PF 2|＝1……②，∴将①②联立方程组解之得|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又∵|F 1F 2|＝2c ＝2，∴在12PF F ∆中由余弦定理可得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35，即∠F 1PF 2的余弦值等于35。
经济数学习题(第2-6章)
第二章 极限与连续第二节 函数极限1． 设3()313xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩ ．作()f x 的图形，并讨论当3x →时，()f x 的左右极限．2． 证明()f x x =，当0x →时极限为零．3． 函数()x f x x=，回答下列问题：（1） 函数()f x 在0x =处有左右极限是否存在？ （2） 函数()f x 在0x =处是否有极限？为什么？ （3） 函数()f x 在1x =处是否有极限？为什么？第三节 无穷大与无穷小1．利用有界量乘无穷小依然是无穷小求下列极限： （1）21lim sinx x x→； （2）arctan limx xx→∞第四节 极限运算法则1．填空题：（1）已知a ，b 为常数，22lim321x an bn n →∞++=-，则a = ．（2）已知a ，b 为常数，21lim 1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则a = ，b = ．2．求下列极限：（1）223lim41x n n n →∞++ （2）221111222lim1111333nx n→∞++++++++（3）2221321lim x n nnn →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭（4）111lim 1223(1)x n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⋅⋅+⎣⎦ （5）lim n →∞3．求下列极限： （1）22234lim4x x x x →--- （2）332()lim h x h xxh→+-（3）22351lim34x x x x x →∞++++ （4）203050(23)(32)lim(51)x x x x →∞-++（5）211lim 12x x x →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）35231lim 427x x x x x →∞++++ （7）1lim1x x →- （8）3113lim 11x xx →⎛⎫-⎪--⎝⎭（9）11lim1mnx x x →--（,m n 是自然数） （10）1limx →（11）0(1)(12)(13)1limx x x x x→+++- （12）lim )x x →∞4．求下列极限： （1）2233lim(3)x x x x →+- （2）32lim34x x x →∞++（3）2lim (523)x x x →∞-+第五节 极限存在准则 两个重要极限1．求下列极限 （1）0sin 2lim sin 5x x x→ （2）0lim cot 2x x x →（3）01cos 2limsin x x x x →- （4）lim 2sin2nnn x →∞（5）0sin limsin x x x x x→-+ （6）30tan sin limx x xx→-（7）sin sin limx ax ax a→-- （8）3sin()3lim12cos x x xππ→--（9）1lim (1)tan2x xx π→-2．求下列极限 （1）122lim (1)xx x-→∞-（2）22lim ()2x x x →-（3）1lim ()1xx x x →∞-+ （4）1lim (1x x→+∞-（5）22lim ()1xx xx →∞- （6）22cot 0lim (13tan )xx x →+（7）0ln(12)limsin 3x x x→+ （8）lim{[ln(2)ln ]}n n n n →∞+-3．利用极限准则证明： （1）222111lim ()12n n n n n n πππ→∞+++=+++（2）数列11112,()2n n nx x x x +==+的极限存在第六节 无穷小的比较1．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）0sin()lim(sin )nm x x x → （,m n 为正整数） （2）2sin 2(1)limtan xx x e x→⋅-（3）0ln(12)limsin 5x x x→- （4）3tan sin limsin x x x x→-（5）0111limsin tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭第七节 函数的连续性1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）211()1111x f x xx x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩（2）201()212x x f x xx ⎧≤≤=⎨-<≤⎩2．确定常数a ，b 使下列函数连续：（1）0()0xe xf x x ax ⎧≤=⎨+>⎩ （2）ln(13)0()20sin 0x x bxf x x axx x -⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使化连续：（1）22456x y x x -=-+，2x =，3x =；（2）211451x x y xx -≤⎧=⎨->⎩ ，1x =．4．求下列极根： （1）0limx → （2）34lim (cos 2)x x π→（3）211lim tt et-→-- （4）2sin limx x xπ→第八节 闭区间上连续函数的性质1．试证下列方程在指定区间至少有一个实根： （1）3310x x --=，在区间(1,2)； （2）2x x e =-，在区间(0,2)．2．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<< ，则在1[,]n x x 上至少有一点0x ，使120()()()()n f x f x f x f x n+++=．第三章 导数微分第一节 导数概念1． 设2()4f x x =，试按定义求(1)f '-．2． 下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义求下列极限，指出A 表示什么？ （1）000()()lim 2x f x x f x A x∆→-∆-=∆ （2）000()(2)limh f x h f x h A h→+--=（3）0()limx f x A x→=，其中(0)0f =且(0)f '存在；（4）000()()limx f x x f x x A xαβ∆→+∆-+∆=∆，其中α，β为不等于零的常数．3．求下列函数的导数：（1）y =（2）y =（3）x x y a e = （4）21y x=（5）lg y x = （6）y =4．设函数()f x 可导，且(3)2f '=，求0(3)(3)lim2x f x f x→-．5．求曲线sin y x =上点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程和法线方程． 6．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性： 20()0x x f x xx ⎧≥=⎨<⎩ 在0x =处．7．设函数320()0x x f x xx ⎧<=⎨≥⎩ ，求导函数()f x '．8．设函数0()cos 0ax bx f x xx +>⎧=⎨≤⎩ ，为了使函数()f x 在0x =处可导，a ，b 应取什么值？第二节 求导法则及基本初等函数求导公式1．推导余切函数及余割函数的导数公式 2(c o t )c s c x x '= (c s c )c s c c ox x x '=-2．求下列函数的导数： （1）224sin 1y x x=-+； （2）3523x xy x e =-+；（3）3cos y x x =； （4）tan sec y x x =；（5）3ln y x x =； （6）2ln 3x e y x=+；（7）11x y x -=+； （8）2ln cos y x x x =；（9）cot e θρθθ=； （10）arcsin arctan u υυ=3．求下列函数在给定点处的导数： （1）2sin 5cos y x x =-，求6x y π='和3x y π='；（2）1tan sin 3ρθθθ=+，求4d d πθρθ=；（3）31()13xf x x=+-，求(0)f '和(2)f '．4．求曲线22y x x =+-的切线方程，使该切线平行于直线30x y +-=． 5．求下列函的导数：（1）3(35)y x =+ （2）sin(24)y x =-； （3）32xy e-=； （4）22ln()y a x =-；（5）2cos y x =； （6）y =（7）2cot()y x =； （8）arctan()x y e =； （9）2(arcsin )y x =； （10）ln sin y x = 6．求下列函的导数：（1）arccos(12)y x =- （2）y =；（3）3sin 3x y e x -=； （4）1arcsiny x=；（5）1ln 1ln x y x+=-； （6）cos 3x y x=；（7）arccosy = （8）ln(y x =+；（9）ln(sec tan )y x x =+； （10）ln(csc cot )y x x =- 7．求下列函的导数：（1）2arccos 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）ln cot 2x y =；（3）y =； （4）arc y e=；（5）sin cos ny x nx =； （6）1arctan1x y x+=-；（7）y =（8）23(ln )y x =；（9）2sin (csc 2)y x =； （10）22sin()sin x y x=（11）ln ln y x =； （12）arcsinx x xxe e y e e---=+．8．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数．9．设()f x 是可导函数，()0f x >，求下列导数：（1）ln (2)y f x =； （2）2()x y f e = 10. 求下列函的导数：（1）22(1)x y e x x -=-+ （2）22cos cos()y x x =；（3）2cot 2x y arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （4）2ln x y x =；（5）2sec 2x y =； （6）1ln sin y x=；（7）21cosxy e-=； （8）y =；（9）arccos 2x y x =+； （10）2arccos 1t y t=+第三节 高阶导数1．求下列函数的二阶导数： （1）21xy x=- （2）2(1)cot y x arc x =+；（3）[sin(ln )cos(ln )]y x x x =+； （4）ln y =（5）23xy x e =； （6）2ln x y x=；（7）ln(y x =+； （8）2cos ln y x x =⋅；2．求下列函数的导数值：（1）34()(10)f x x =+，求(0)f '''； （2）2()xf x xe=，求(1)f ''；（3）()x ef x x=，求(2)f ''．3．设()f u 二阶可导，求22d y dx：（1）2()y f x = （2）ln[()]y f x =；4．验证函数12cos sin y C x C x ωω=+（12,,C C ω是常数）满足关系式：20y y ω''+=． 5．验证函数cos x y e x =满足关系式：220y y y '''-+=．第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．求由下列方程所确定的隐函数y 的导数d y d x：（1）2220y xy b -+= （24=；（3）1cos sin 2y x y =+； （4）22sin xx y ey -=；（5）x y xy e +=； （6）y x x y =； 2．求由方程sin()ln()xy y x x +-=所确定的隐函数y 在0x =处的导数x dy dx=．3．求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx：（1）224x y -= （2）1sin 02x y y -+=；（3）tan()y x y =+； （4）1y y xe =+． 4．用对数求导法求下列函数的导数：（1）2326(1)(2)y x x x =++ （2）2y =；（3）xxy x =； （4）1(1cos )x y x =+． 5．写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程． （1）2ttx e y e -⎧=⎨=⎩ 在0t =处； （2）33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩ 在4πθ=处． 第五节 函数的微分1．设函数3y x =，计算在2x =处，x ∆分别等于0.1-，0.01时的增量y ∆及微分dy ． 2．求下列函数的微分dy ：（1）1x y x=- （2）ln sin2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）arcsin y =； （4）cos(3)x y e x -=-； （5）22x y x e =； （6）22tan (12)y x =+； 3．求适当的函数填入下列括号内，使等式成立： （1）()3d dx = （2）()5d xdx = ； （3）()sin 2d xdx = ； （4）3()xd edx -= ；（5）1()1d dx x=+ ； （6）()d =；（7）2()sec 4d xdx = ； （8）2()csc 2d xdx = ；第六节 边际与弹性1．求下列函数的边际函数与弹性函数： （1）2xx e- （2）xex；（3）()a b x c x e-+ ．2．设某商品的总收益R 关于销售量Q 的函数为：2()1040.4R Q Q Q =-，求： （1）销售量为Q 时总收入的边际收入；（2）销售量50Q =个单位时总收入的边际收入； （3）销售量100Q =个单位时总收入对Q 的弹性．3．某化工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C （单位：元）是日产量x （单位：吨）的函数()10007C C x x x ==++[0,1000x ∈ （1） 求当日产量为100吨时的边际成本； （2） 求当日产量为100吨的平均单位成本．4．某商品的价格P 关于需求量Q 的函数为105Q P =-，求：（1）总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；（2）当20Q =个单位时的总收益、平均收益和边际收益．5．某厂每周生产Q 单位（单位：百件）产品的总成本C （单位：千元）是产量的函数2()10012C C Q Q Q==++ 如果每百件产品销售价格为4万元，试写出利润函数及边际利润为零时的每周产量． 6．设巧克力糖每周的需求量Q （单位：公斤）是价格P （单位：元）的函数21000()(21)Q Q f P P ==+求当10P =（元）时，巧克力糖的边际需求量，并说明其经济意义．7．设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，试分别求出需求弹性大于1，等于1的商品价格的取值范围． 8．某商品需求函数为()122P Q Q f P ==-：（1）求需求弹性函数；（2）求6P =时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化百分之几？ 9．设某商品的供给函数45Q P =+，求供给弹性函数及2P =时的代给弹性．10．某企业生产一种商品，年需求量是价格P 的线性函数Q a bP =-，其中,0a b >，试求：（1）需求弹性；（2）需求弹性等于1时的价格．第四章 中值定理及导数应用第一节 中值定理1． 验证下列各题，确定ξ的值：（1）对函数sin y x =在区间5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上验证罗尔定理； （2）对函数32462y x x =--在区间[0,1]上验证拉格朗日中值定理； （3）对函数3()f x x =及2()1g x x =+在区间[0,1]上验证柯西中值定理．2．证明下列不等式：（1）当0a b >>时，23323()3()b a b a b a a b -<-<-； （2）当0a b >>时，lna b a a b ab b--<<；（3）arctan arctan a b a b -≤-； （4）当1x >时，x e xe >．3．证明恒等式：arctan cot 2x arc x π+=，()x -∞<<+∞．4．证明方程310x x +-=有且只有一个正实根．5．不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x x =---的导数，试判别方程()0f x ''=的根的个数． 6．若函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式()()f x f x '=且(0)1f =．证明：()x f x e =．第二节 洛必达法则1．用洛必达法则求下列各极限： （1）0ln(1)limx x x→+ （2）0limsin x xx e ex-→-；（3）cos cos limx ax ax a→--； （4）0sin limtan x ax bx→；(0)b ≠（5）22ln sin lim(2)x x x ππ→-； （6）5533limx ax a x a→--；（7）0ln tan 3limln tan 4x x x+→； （8）2tan lim tan 5x x xπ→；（9）2ln 1lim cot x x arc xx →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （10）20ln(1)lim sec cos x x x x→+-；（11）0lim cot 3x x x →； （12）212lim x x x e →；（13）2121lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （14）3lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （15）tan 0lim xx x+→； （16）sin 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭．2．验证极限sin limsin x x x x x→∞+-存在，但不能用洛必达法则求出．第三节 导数的应用1．确定下列函数的单调区间：（1）arctan y x x =- （2）()sin f x x x =+； （3）3226187y x x x =--+； （4）82y x x=+；(0)x >（5）2x y x e =； （6）ln(y x =+；（7）321y x x x =+--； （8）sin 2y x x =+； 2．证明下列不等式：（1）当0x >时，112x +>（2）当0x >时，212xxe x >++；（3）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>；（4）当02x π<<时，3sin 6xx x >-；（5）当4x >时，33x x >． 3．讨论下列方程的根的情况：（1）sin x x =； （2）1ln 3x x =．4．求下列函数的极植：（1）225y x x =-+ （2）32236y x x =-+； （3）322618y x x x =--； （4）ln(1)y x x =-+；（5）2426y x x =-+； （6）y x =+；（7）sin xy e x =； （8）1x y x =；（9）x xy e e-=+； （10）232(1)y x =-+；（11）1352(1)y x =--； （12）y x cosx =+． 5．求下列曲线的凹凸区间和拐点：（1）232y x x =- （2）11y x=+；(0)x >（3）3263y x x x =-+； （4）x y xe -=； （5）2(1)x y x e =++； （6）2ln(1)y x =+． 6．利用函数图形的凹凸性证明下列不等式： （1）3331()22x y x y +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，(,0,)x y x y >≠；（2）1(ln ln )ln22x y x y ++<，(0,0,)x y x y >>≠； （3）2()x y xyxe ye x y e ++>+，(0,0,)x y x y >>≠．第四节 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用1．求下列函数的最大值、最小值： （1）322380y x x =--，14x -≤≤； （2）428y x x =-，13x -≤≤；（3）y x =+，51x -≤≤； （4）322618y x x x =--，14x ≤≤． 2．讨论下列函数的最大值、最小值：（1）221y x x =--，x -∞<<+∞；（2）225y x x =-，x -∞<<+∞；（3）254y x x=-，0x <；（4）21xy x =+，0x ≤<+∞．3．求下列经济应用问题中的最大值或最小值：（1）假设某种商品的需求量Q 是单价P 的函数1200080Q P =-，商品的总成本C 是需求量Q 的函数2500050C Q =+，每单位商品需纳税2，试求使销售利润最大的商品价格和最大利润；（2）设价格函数315P eπ-=（x 为产量）求最大收益时的产量、价格和收益；（3）某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N 批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批（此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半）．问N 为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？（4）设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2()100R x x x =-，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得最大利润的情况下，总税额最大？（5）设生产某商品的总成本为2()1000050C x x x =++（x 为产量），问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？第五节 泰勒公式1．按(4)x -的乘幂展开多项式：432()53f x x x x x =-+-． 2．应用麦克劳林公式，按x 的乘幂展开函数：23()(31)f x x x =-+． 3．求函数()tan f x x =的二阶麦克劳林公式．第五章 不定积分第一节 不定积分的概念、性质1．求下列定积分：（1）3dx x⎰ （2）x ⎰；（3）⎰（4）⎰；（5）⎰（6）⎰（,m n 为非零常数）；（7）45x dx ⎰； （8）2(32)x x dx ++⎰； （9）22(1)x dx -⎰； （10）2(2)x dx +⎰；（11）3)x dx -⎰； （12）1)dx ⎰；（13）22(1)t dx t+⎰（14）⎰；（15）221xdx x+⎰； （16）4223321x x dx x +++⎰；（17）231dx x ⎛⎫+ +⎝⎰； （18）⎰；（19）32x e dx x ⎛⎫-⎪⎝⎭⎰； （20）1xx e dx -⎛⎫+ ⎝⎰；（21）5x xe dx ⎰； （22）23523x xxdx ⋅+⋅⎰；（23）22(1)dx x x +⎰； （24）211x xedx e --⎰；（25）sec (sec tan )x x x dx +⎰； （26）2cos 2xdx ⎰； （27）cos 2sin cos x x x+⎰； （28）22cos 2sin cos xdx x x⎰；（29）1cos 2dx x+⎰； （30）2cot xdx ⎰；第二节 换元积分法1．求下列不定积分：（1）5x e dx ⎰ （2）3(32)x dx +⎰； （3）32dx x+⎰； （4）⎰；（5）⎰； （6）2sin x x dx ⎰；（7）2xxe dx -⎰； （8）x ⎰；（9）2431xdx x+⎰； （10）82tan sec x xdx ⎰；（11）sin cos dx x x ⎰； （12）2cos ()sin()t t dt ωϕωϕ++⎰；（13）5sin cos x dx x⎰（14）3cos xdx ⎰；（15）2sin ()t dt ωϕ+⎰； （16）3tan sec t tdt ⎰；（17）sin 2cos 3x xdx ⎰； （18）cos cos 2xx dx ⎰；（19）sin 4sin 8x xdx ⎰； （20）⎰；（21）⎰； （22）321xdx x+⎰；（23）231dx x -⎰； （24）(1)(2)dx x x ++⎰；（25）tan ⎰； （26）arctan ⎰；（27）arccos x⎰； （28）⎰（29）ln tan cos sin x dx x x⎰； （30）21ln (ln )x dx x x +⎰；（31）2⎰（32）⎰；（33）⎰（34）dx x⎰；（35）⎰； （36）⎰；（37）⎰； （38）⎰（39）⎰； （40）⎰； （41）⎰； （42）⎰．第三节 分部积分法（1）sin x xdx ⎰ （2）ln xdx ⎰； （3）arccos xdx ⎰； （4）x xe dx -⎰； （5）3ln x xdx ⎰； （6）cos 3xx dx ⎰；（7）2tan x xdx ⎰； （8）2sin x xdx ⎰； （9）2arctan x xdx ⎰； （10）sin cos x x xdx ⎰； （11）2cos 2x x dx ⎰； （12）2(1)sin 2x xdx +⎰；（13）ln(1)x x dx +⎰ （14）22ln x dx x⎰；（15）2(arcsin )x dx ⎰； （16）13x e dx ⎰； （17）cos x e xdx ⎰； （18）2cos x e xdx -⎰．第六章 定积分及其应用 第二节 定积分的性质1．估计下列积分的值：（1）421(1)x dx -⎰ （2）5244(1cos )x dx ππ+⎰；（3）arctan xdx ； （4）22xxe dx -⎰．2．比较下列各题中的两个积分的大小：（1）1210I x dx =⎰， 1420I x d x =⎰； （2）2211I x dx =⎰， 2421I x d x =⎰； （3）413ln I xdx =⎰， 4323(l n )I x x d x =⎰；（4）110I xdx =⎰， 423l n (1)I x d x =+⎰；（5）110xI e dx =⎰， 120(1)I x d x=+⎰．第三节 微积分的基本公式1．计算下列各导数：（1）3x ddx⎰； （2）42x xddx⎰；（3）cos 2sin cos()x xd t dt dxπ⎰．2．计算下列各积分：（1）2(3)a x x dx -⎰； （2）22411()x dx x+⎰；（3）1dx +⎰； （4）02dx x +；（5）120⎰； （6）22dx a x+⎰；（7）10⎰； （8）420213321x x dx x -+++⎰；（9）211e dx x---+⎰； （10）240tan d πθθ⎰；（11）20sin x x dx ⎰； （12）20()f x dx ⎰，其中21()1x x f x xx <⎧=⎨≥⎩3．求下列极限（1）2limx tx e dt x→⎰； （2）()223sin limx x x t dtt dt→⎰⎰；4．设0()sin x f x tdt =⎰，求(0)f '，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭．第四节 定积分的换元积分法1．计算下列定积分：（1）3sin 3x dx πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （2）132(94)dx x -+⎰； （3）220sin cos d πϕϕϕ⎰； （4）20(1cos )d πθθ-⎰；（5）0⎰； （6）1x ⎰；（7）1-⎰； （8）41⎰； （9）21t te dt -⎰； （10）21⎰；（11）12245dx x x --++⎰； （12）22cos cos 2x xdx ππ-⎰；（13）22ππ-⎰； （14）0π⎰．2．利用函数奇偶性计算下列定积分：（1）12⎰； （2）235425sin 21x xdx x x -++⎰；3．证明下列各题： （1）11221(0)11x xdx dx x xx=>++⎰⎰；（2）110(1)(1)m n n mx x dx x x dx -=-⎰⎰；（3）101020cos2cos xdx xdx ππ=⎰⎰．第五节 定积分的分部积分法1．计算下列定积分：（1）1x xe dx ⎰； （2）1ln ex xdx ⎰；（3）20sin x xdx π⎰； （4）32cos x dx xπ⎰；（5）41ln x ⎰； （6）1arctan x xdx ⎰；（7）220cos x e xdx π⎰； （8）1sin(ln )ex dx ⎰；（9）21ln(1)x dx +⎰； （10）2sin π⎰；（11）1ln eex dx ⎰．第六节 广义积分与Γ-函数1．判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛计算广义积分的值： （1）31dx x+∞⎰； （2）1+∞⎰（3）40xedx +∞-⎰； （4）0sin xexdx +∞-⎰；（5）245dxx x +∞-∞++⎰； （6）10⎰；（7）23(1)dx x -⎰； （8）21⎰．2．用Γ-函数表示下列积分，并计算积分值12⎡⎛⎫Γ= ⎪⎢⎝⎭⎣已知：（1）0m xx e dx +∞-⎰ （m 为自然数）；（2）0xdx +∞-⎰； （3）25xx edx +∞-⎰．第七节 定积分的几何应用1．求下列各曲线所围图形的面积：（1）y =y x =；（2）x y e =，0x =，y e =； （3）23y x =-，2y x =；（4）22xy =，228y x +=（两部分都要计算）；（5）1y x=与y x =，2x =；（6）xy e =，xy e -=，1x =；（7）ln y x =，0x =，ln y a =，ln y b =（0b a >>）2．求下列各题中的曲线所围平面图形绕指定轴旋转的旋转体的体积：（1）3y x =，0y =2x =绕x 轴、y 轴；（2）2y x =，2x y =绕y 轴； （3）22(5)16x y +-=绕x 轴；（4）222x y a +=，绕x b =0b a >>．21 第八节 定积分的经济应用1．已知边际成本为()7C x '=+1000，求总成本的函数．2．已知边际收益()R x a bx '=-，求收益函数．3．已知边际成本()1002C x x '=-，求当产量由20x =增加到30x =时，应追加的成本数．4．已知边际成本()304C x x '=+，边际收益为()602R x x '=-，求最大利润（设固定成本为0）．5．某地居民购买冰箱的消费支出()W x 的变化率是居民总收入x的函数，()W x '=，当居民收入由4亿元增加至9亿元时，购买冰箱的消费支出增加多少？6．某公司按利率10%（连续复利）贷款100万购买某设备，该设备使用10年后报废，公司每年可收入b 万元；（1）b 为何值时，公司不会亏本？（2）当20b =万元时，求内部利率（应满足的方程），（3）当20b =万元时，求收益的资本价值．。
人教版高中数学必修1数学第二章课后习题(共10页)Word版
新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462r t s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ;(6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R .(3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n .(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=- 2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x-==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x=(5) 100.3x= (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4； （3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a . 3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）. （2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （ab b a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）.9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x在x ∈（-∞,+∞）上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x . 因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）, 所以.012.01212>+>+x x又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3。
苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第七章 计数原理 第1课时 分类计数原理与分步计数原理
第七章计数原理7.1 两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理A级必备知识基础练1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有( )A.24种B.16种C.12种D.10种2.将3个不同的小球放入4个盒子中,不同的放法种数为( )A.81B.64C.14D.123.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是( )A.15B.12C.5D.44.有不同的语文书9本、不同的数学书7本、不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )A.21种B.315种C.153种D.143种5.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有( )A.12种B.24种C.72种D.216种6.为了进一步做好社区疫情防控工作,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长,则有种不同的选法.7.如图所示的电路图,从A到B共有条不同的线路可通电.8.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数.9.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?B级关键能力提升练10.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )A.27种B.36种C.54种D.81种11.5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )A.10种B.20种C.25种D.32种12.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( ) A.8种 B.9种 C.10种 D.11种13.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )A.24种B.36种C.42种D.60种14.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有条.15.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有个.16.现有5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画.(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?C级学科素养创新练17.(新疆模拟)如图,一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线,则从数字“1”移到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为( )A.5B.6C.7D.818.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n}.(1)写出这个数列的前11项.(2)这个数列共有多少项?(3)若a n=341,求n.参考答案第七章计数原理7.1 两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理1.C 完成该任务可分为4类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个、第3个、第4个入口进入时,都分别有3种行车路线,由分类计数原理可得共有3+3+3+3=12(种)不同的行车路线.故选C.2.B 将3个不同的小球放入4个盒子中,每个小球都有4种不同的放法,根据分步计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.3.A 利用分类计数原理.当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.根据分类计数原理,共有6+5+4=15(个)不同的有序自然数对.4.D 由题意,选一本语文书和一本数学书有9×7=63(种)不同的选法,选一本数学书和一本英语书有7×5=35(种)不同的选法,选一本语文书和一本英语书有9×5=45(种)不同的选法,根据分类计数原理,共有63+35+45=143(种)不同的选法.故选D.5.A 先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当这些单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.6.30 首先从6人中选1人担任组长,共有6种不同的选法;然后从剩余5人中选1人担任副组长,共有5种不同的选法.根据分步计数原理,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6×5=30(种)不同的选法.7.8 分3类:第1类,经过支路①有3种方法;第2类,经过支路②有1种方法;第3类,经过支路③有2×2=4(种)方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.8.解分3类:第1类,千位数字为3时,要使四位数为“渐降数”,则四位数只能为3210,共1个;第2类,千位数字为4时,“渐降数”有4321,4320,4310,4210,共4个; 第3类,千位数字为5时,“渐降数”有5432,5431,5430,5421,5420,5410,5321,5320,5310,5210,共10个.由分类计数原理,共有1+4+10=15(个)“渐降数”.9.解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.由分类计数原理,6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108(种).10.C 小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法.故选C.11.D 每名同学都有2种选择,根据分步计数原理,不同的报名方法共有25=32(种).12.B 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A 监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的方法.由分类计数原理得,监考方法共有3+3+3=9(种).13.D 把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64(种),其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法,故满足条件的分配方案有64-4=60(种).14.18 第1步取A的值,有5种取法.第2步取B的值,有4种取法,其中A=1,B=2时的直线方程与A=2,B=4时的直线方程是相同的;A=2,B=1时的直线方程与A=4,B=2时的直线方程是相同的,故最多有5×4-2=18(条)不同的直线.15.40 满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个).所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).16.解(1)利用分类计数原理,知共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)国画有5种不同的选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法.由分步计数原理,知共有5×2×7=70(种)不同的选法.(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类计数原理和分步计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59(种)不同的选法.17.B 从数字“1”移到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为以下6条:1,2,4,5,7;1,2,4,6,7;1,3,4,5,7;1,3,4,6,7;1,3,5,6,7;1,2,3,5,7.18.解(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数,每个数位上都有4种排法,则共有4×4×4=64(项).(3)比a n=341小的数有两类:①1 ××2 ××②共有2×4×4+1×3×4=44(项).所以n=44+1=45.第11页共11页。
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《新教材》高中数学习题练习第六章统计单元素养测评Word版含解析
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第六章单元素养测评限时120分钟分值150分战报得分______一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是()(下面摘取了随机数表第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A．199 B．175 C．507 D．128【解析】选B.找到第8行第7列的数开始向右读，符合条件的是785，667，199，507，175.2．用分层抽样的方法从某校学生中抽取容量为60的样本，其中高二年级抽取15人，高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有800人，则该校学生总人数是()A．4 800 B．2 400 C．1 600 D．3 200【解析】选B.由题意可得高一年级抽取的人数为60－15－25＝20人，知该校高一年级共有800人，故抽样的比例为20800＝140.设该校学生总人数是x人，则有60x＝140，求得x＝2 400人．3．下列对一组数据的分析，不正确的说法是()A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定【解析】选B.极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否．4．一组数据28，27，26，24，23，22的中位数为()A．26 B．25C ．24D ．26和24【解析】选B.数据28，27，26，24，23，22的中位数为26＋242 ＝25.5．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a 【解析】选D.把数据由小到大排列可得：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故a ＝14.7，b ＝15，c ＝17，所以c >b >a .6．某市2020年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5平均浓度指数的方差最小的是( )A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度【解析】选B.根据题意，根据图中数据知，第一季度的数据是72.35，43.96，93.33；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.16，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数的方差最小．7．一组数据的平均数是26，方差是6，若将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，所得新数据的平均数和方差分别为() A．56，6 B．30，6 C．56，10 D．30，10【解析】选A.一组数据的平均数是26，方差是6，将这组数据中的每一个数据都加上30，得到一组新数据，由数据的平均数和方差的计算公式得：所得新数据的平均数为26＋30＝56，方差不变，仍为6. 8．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为()A．s1＞s2＞s3B．s1＞s3＞s2C．s3＞s1＞s2D．s3＞s2＞s1【解析】选B.根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端，数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，其方差最小；第三组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组数据的方差小，比第二组数据的方差大；综上可知s1＞s3＞s2.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．如图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图．根据如图中的信息，下面说法正确的是()A．甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数B．甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C．甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D．甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【解析】选ACD.由题意得甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差为3，乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差为5，故A，C，D正确，B错误．10．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是()甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【解析】选AD.该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．在A中，甲地：中位数为2，极差为5，每天新增疑似病例没有超过7人的可能，故甲地符合标准，即A成立；在B中，乙地：总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故乙地不符合标准，即B不成立；在C中，丙地：总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例有超过7人的可能，故丙地不符合标准，即C不成立；在D中，丁地：总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差不会为3，故丁地符合标准，即D成立．11．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，方差为2.1；抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，方差为3.则() A．该校高一学生的平均身高约为166.4 cmB．该校高一学生的平均身高约为168.2 cmC．该校高一学生身高的方差约为2.5D．该校高一学生身高的方差约为19.3【解析】选AD.设50名男生的平均身高为x，50名女生的平均身高为y，全校高一年级男生人数为M，女生人数为N.由题意可知，x＝170.2，y＝162.0且M＝320，N＝280，所以样本平均数w＝MM＋N x＋NM＋Ny＝320320＋280×170.2＋280320＋280×162.0≈166.4(cm)，样本方差s2＝320320＋280×⎣⎡⎦⎤2.1＋⎝⎛⎭⎫170.2－166.42＋280 320＋280×⎣⎡⎦⎤3＋⎝⎛⎭⎫162.0－166.42≈19.3，故该校高一学生的平均身高约为166.4 cm，方差约为19.3.12．某学校组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20名学生的得分情况如图所示，若该20名学生成绩的中位数为a，平均数为b，众数为c，则下列判断正确的是()A．a＝92 B．b＝92C．c＝90 D．b＋c＜2a【解析】选ACD.由频率分布直方图得：20名学生中，得分为88分的学生有：0.2×20＝4人，得分为90分的学生有：0.25×20＝5人，得分为92分的学生有：0.15×20＝3人，得分为94分的学生有：0.2×20＝4人，得分为96分的学生有：0.1×20＝2人，得分为98分的学生有：0.05×20＝1人，得分为100分的学生有：0.05×20＝1人，所以中位数a＝92分，故A正确；平均数b＝120(88×4＋90×5＋92×3＋94×4＋96×2＋98×1＋100×1)＝92.2，故B错误；众数c＝90，故C 正确；b＋c＝92.2＋90＝182.2，2a＝2×92＝184，所以b＋c＜2a.故D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位：cm)：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为______．【解析】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%.答案：17214．从参加疫情防控知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，则这60名学生中成绩在区间[79.5，89.5)的人数为________．【解析】由频率分布直方图可知，(0.005＋0.01＋0.015×2＋a＋0.03)×10＝1，解得a＝0.025.所以这60名学生中成绩在区间[79.5，89.5)的人数为0.025×10×60＝15人．答案：1515．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命(h)100～200200～300300～400个数203080寿命(h)400～500500～600个数40 30由此估计这批电子元件的平均使用寿命是______h. 【解析】根据题意得150×20＋250×30＋350×80＋450×40＋550×3020＋30＋80＋40＋30 ＝365.答案：36516．数据x 1，x 2，…，x 8的均值为52 ，方差为2，现增加一个数据x 9后方差不变，则x 9的可能取值为________． 【解析】由题意18 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－52 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 8－52 2 ]＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－52 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 8－52 2 ＝16， 所以x 21 ＋x 22 ＋…＋x 28 －5(x 1＋x 2＋…＋x 8)＋34＝0.所以x 21＋x 22 ＋…＋x 28＝5×52 ×8－34＝66， 增加一个x 9后，该组的平均数为8×52＋x 99 ＝20＋x 99 .所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1－20＋x 99 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－20＋x 99 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 9－20＋x 99 ＝9×2＝18， 即x 21＋x 22 ＋…＋x 28－40＋2x 99 (x 1＋x 2＋…＋x 8)＋8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20＋x 99 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8x 9－209 2 ＝18，所以66－40＋2x 99 ×8×52 ＋8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫20＋x 99 2 ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫8x 9－209 2 －18＝0， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫66－18－8009＋3 20081＋40081 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－40x 99＋320x 99－320x 99 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8x 29 81＋64x 29 81 ＝0， 即329 －409 x 9＋89 x 29 ＝0，所以x 29 －5x 9＋4＝0，解得x 9＝1或x 9＝4. 答案：1或4四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入情况；案例三：从某校1 000名高一学生中抽取10人参加一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适？(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程？【解析】(1)案例一数量少，用简单随机抽样，案例二员工收入差距明显，用分层抽样，案例三数量多，用系统抽样．(2)分层抽样的抽样过程如下：①分层，将总体分为高级职称，中级职称、初级职称及其余人员四层；②确定抽样比例k＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人；④按简单随机抽样方式在各层确定相应的样本；⑤汇总构成一个容量为40的样本．18．(12分)某公益组织在某社区调查年龄在[20，50]内的居民熬夜时间，得到如下表格：年龄区间居民人数(单位:百人)所占比例平均熬夜时长(单位:h)[20,30) 3.6 30% 4[30,40) 6 b 2[40,50] a c 1其中有三项数据由于污损用a，b，c代替，试求该社区所调查居民的平均熬夜时长．【解析】由题表可知该社区在[20，50]内的居民人数为3.6÷30%＝12(百人)，则年龄在[30，40)的居民所占比例为6÷12＝50%，年龄在[40，50]的居民人数所占比例为1－30%－50%＝20%，故该社区所调查居民的平均熬夜时长为x＝4×30%＋2×50%＋1×20%＝1.2＋1＋0.2＝2.4(h). 19．(12分)在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，统计出他们命中的环数如表：甲9676277989乙24687897910赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？【解析】为了分析的方便，先计算两人的统计指标如表所示．平均数方差中位数命中10环次数甲7470乙7 5.47.5 1(1)平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．(2)平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜，若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．(3)平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．20．(12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36. (1)求样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数； (2)求样本的众数和中位数； (3)求样本的平均数．【解析】(1)由题意可知：样本中净重小于100克的产品的频率＝(0.05＋0.1)×2＝0.3，所以样本容量＝360.3 ＝120所以样本中净重在[98，102)的产品个数＝(0.1＋0.15)×2×120＝60.(2)由题图知，最高小矩形的中点横坐标是101，故众数是101，又最左边的两个小矩形的面积和是0.3，最右边的两个小矩形的面积和是0.4，第3个小矩形应取面积15100 ×43 ＝0.2，故中位数100＋43 ＝3043 . (3)样本的平均数是2×(97×0.05＋99×0.1＋101×0.15＋103×0.125＋105×0.075)＝101.321．(12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其质量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得质量数据如下． 甲：107，111，111，113，114，122； 乙：108，109，110，112，115，124. (1)写出甲的众数和乙的中位数；(2)根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品质量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的质量相对稳定．【解析】(1)甲的众数是111，乙的中位数是111.(2)设甲、乙两个车间产品质量的均值分别为x 甲、x 乙，方差分别为s 2甲 、s 2乙 ，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076 ＝113， x 乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113. s 2甲＝16 [(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙 ＝16 [(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]≈29.33，由于s2甲＜s2乙，所以甲车间的产品的质量相对稳定．22．(12分)为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．(1)请分别求出这两种薪酬方案中日薪y(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数5054565860频数(天)2322 1回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X(单位：元)，试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．(参考数据：172＝289，372＝1 369)【解析】(1)甲方案，y＝100＋n；乙方案，y ＝⎩⎨⎧150，n ≤55，10n －400，n >55.(2)①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为2×50＋3×54＋2×56＋2×58＋6010 ＝55，方差为0.2×(50－55)2＋0.3×(54－55)2＋0.2×(56－55)2＋0.2×(58－55)2＋0.1×(60－55)2＝9.8， 所以，由(1)中变量之间的关系，可以知，甲方案的日薪X 的平均数为155，方差为9.8.乙方案中，日薪X 的平均数为[5×150＋160×2＋180×2＋200]×0.1＝163，日薪方差为0.5×(150－163)2＋0.2×(160－163)2＋0.2×(180－163)2＋0.1×(200－163)2＝281.②若去应聘派送员，我会选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．关闭Word 文档返回原板块。
高中数学专题同步练习训练大全
高中数学专题同步练习训练大全高中数学集合练习题一、填空题.(每小题有且只有一个正确答案,5分×10=50分)1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2，7 ，8}是 ( )2 . 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是 ( )A.0B.0 或1C.1D.不能确定3. 设集合A={x|1A.{a|a ≥2｝B.{a|a≤1｝C.{a|a≥1｝.D.{a|a≤2｝.5. 满足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 ( )A.8B.7C.6D.56. 集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2 |， 3a2+4}，A∩B={-1}，则a 的值是( )A.-1B.0 或1C.2D.07. 已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则 ( )A.I=A∪BB.I=( )∪BC.I=A∪( )D.I=( )∪( )8. 设集合M= ，则 ( )A.M =NB. M NC.M ND. N9 . 集合A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为( )A.A BB.A BC.A=BD.A≠B10.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4}，( UA)∩( UB)={1，5}，则下列结论正确的是( )A.3 A且3 BB.3 B且3∈AC.3 A且3∈BD.3∈A且3∈B二.填空题(5分×5=25分)11 .某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.12. 设集合U={(x，y)|y=3x-1}，A={(x，y)| =3}，则 A= .13. 集合M={y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,则M∪N=_ __.14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=_15、已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为三.解答题.10+10+10=3016. 设集合A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值17.设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ，A∩B=B，求实数a 的值.18. 集合A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.(1)若A∩B=A∪B，求a的值;(2)若A∩B，A∩C= ，求a的值.19.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2-4x+m-1 0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A,求m的取值范围.高中数学数列练习题一、选择题:(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.设数列,,2,，……则2是这个数列的 ( )D.第九项 A.第六项 B.第七项 C.第八项2.若a≠b,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 , y3，b都是等差数列，则A.2 3B.3 4x2x1 ( ) y2y1C.1D.4 33. 等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450 ,则前9项和S9= ( )A.1620B.810C.900D.6754.在-1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-55.首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )A.d 888B.d 3C.≤d 3D. d≤3 p= 3336.等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a2na133，则该数列的公差为 ( )A.3B.-3C.-2D.-17.在等差数列{an}中，a100,a110,且a11|a10|，则在Sn中最大的负数为( )A.S17B.S18C.S19D.S208.等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( )A.a11B.a10C.a9D.a89.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95 2f(n)n_(n∈N)且f(1)=2,则f(20)为 ( ) 2 C.105 D.192B.9710.已知无穷等差数列{a n}，前n项和S n 中，S 6 S 8 ,则 ( )A.在数列{a n }中a7 最大;B.在数列{a n }中,a 3 或a 4 最大;C.前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等;D.当n≥8时，a n 0.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.集合Mmm6n,nN_,且m60中所有元素的和等于_________.a1a2a3an，则S13_____ 12、在等差数列{an}中，a3a7a108,a4a1114.记Sn 13、已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a16的值是.Sn5n1a=，f(n)n;Tn3n1bn14.等差数列{an｝、{bn｝、{cn｝与{dn｝的前n项和分别记为Sn、Tn、Pn、Qn.f(n)cn5n2P=，g(n)n.则的最小值= g(n)dn3n2Qn三、解答题：15.(12分)(1)在等差数列{an}中，d1,a78，求an和Sn; 3(2)等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10185.求an;16.(13分)一个首项为正数的等差数列{an}，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大17.(13分)数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0|a1||a2||an|，求Sn。
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word版可编辑修改)
A、xarctan1/xB、arctan1/x C、tan1/xD、cos1/x 13、设 f（x)在点 x0 连续，g(x)在点 x0 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x）+g(x）在点 x0 必不连续 B、f(x）×g（x)在点 x0 必不连续须有 C、复合函数 f[g（x）］在点 x0 必不连续 D、在点 x0 必不连续
C、-1/2D、1
48、两椭圆曲线 x2/4+y2=1 及(x—1)2/9+y2/4=1 之间所围的平面图形面积等于（)
A、лB、2лC、4лD、6л
49、曲线 y=x2—2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、лB、6л/15
C、16л/15D、32л/15
50、点（1，0,-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
5．下列命题正确的是（)
A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界
C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛
6． lim sin(x2 1) （）
x1 x 1
A.1B。0
C。2D.1/2
7．设 lim(1 k )x e 6 则 k=（)
x
x
A。1B.2
C.6D。1/6
8。当 x 1 时,下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（)
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2,求 dρ/dψ|ψ=л/6=（)
8、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`（0）=()
9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（)
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word 版可编辑修改) 10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1）=（）
北师版高中数学必修第一册课后习题 第6章 统计 3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图 (2)
第六章§3用样本估计总体的分布3.1 从频数到频率 3.2 频率分布直方图A级必备知识基础练1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,若样本中数据在区间[20,60)上的频率为0.8,则估计样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为( )A.15B.16C.17D.192.(多选题)为弘扬中华民族传统文化,某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下估计该校高一学生参加传统文化活动情况不正确的是( )A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人3.去年,相关部门对某城市的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计,其频率分布如下表所示:已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元,假定这七天每天游客人均消费相同,则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为万元.4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为.5.为了解某校高一1 000名学生的物理成绩,随机抽查了部分学生的期中考试成绩,将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数;(2)若在本次考试规定物理成绩在m分以上(包括m分)的为优秀,该校学生物理成绩的优秀率大约为18%,求m的值.B级关键能力提升练6.为了丰富教职工业余生活,某校计划在假期组织全体老师外出旅游,并给出了两个方案(方案一和方案二),每位老师均选择且只选择一种方案,其中有50%的男老师选择方案一,有75%的女老师选择方案二,且选择方案一的老师中女老师占40%,那么该校全体老师中女老师的比例为( )A.12B.47C.58D.347.(多选题)某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到统计图表如图,则下面叙述正确的是( )女生身高情况直方图男生身高情况扇形图A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层男生人数为6人D.样本中D层男生人数多于女生人数8.某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(1)图中的x= ;(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有名学生可以申请住宿.9.某样本频率分布直方图如图所示,且在区间[15,18)内频数为8.求:(1)求样本容量;(2)若在区间[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在区间[12,15)内的频数和样本在区间[18,33)内的频率.C级学科素养创新练10.为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量,发现他们的用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,进行适当分组后,画出频率分布直方图如图所示.(1)求a的值;(2)求被调查用户中,用电量大于250 kW·h的户数;(3)为了既满足居民的基本用电需求,又提高能源的利用效率,市政府计划采用阶梯定价,希望使80%的居民缴费在第一档(费用最低),请给出第一档用电标准(单位:kW·h)的建议.参考答案§3用样本估计总体的分布3.1 从频数到频率3.2 频率分布直方图1.A 由题易得在区间[40,50),[50,60)内的频率为0.8-4+530=0.5.故样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为30×0.5=15.故选A.2.ABC 参加活动场数为3场的学生约有1000×26%=260(人),A错误;参加活动场数为2场或4场的学生约有1000×(20%+18%)=380(人),B错误;参加活动场数不高于2场的学生约有1000×(8%+10%+20%)=380(人),C错误;参加活动场数不低于4场的学生约有1000×(18%+12%+4%+2%)=360(人),D 正确.故选ABC.3.48 根据表格可知,10月1日这天的频率为0.05,营业额为8万;频率最高的为10月5日,频率为0.30.设这个黄金周10月5日的营业额约为x万元,由80.05=x0.30,得x=48,则游客人数最多的那一天的营业额约为48万元.4.0.030 3 因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,所以10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为1860×10=3.5.解(1)由频率分布直方图得,该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为(0.03+0.024)×10=0.54,∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为1000×0.54=540.(2)∵0.24>0.18,∴90<m<100,∴0.24-0.180.24=m-9010,解得m=92.5.6.B 设该校男老师的人数为x,女老师的人数为y,则可得如下表格:由题意,0.25y0.5x+0.25y =0.4,可得yx=43,所以yx+y =47.故选B.7.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,男生人数为100-60=40,A正确;样本中A层人数为9+40×10%=13,B层人数为24+40×30%=36,C层人数为15+40×25%=25,D层人数为9+40×20%=17,E层人数为3+40×15%=9,故B 正确;样本中E层男生人数为40×15%=6,C正确;样本中D层男生人数为40×20%=8,女生人数为9,D错误.故选ABC.8.(1)0.0125 (2)72 (1)由频率分布直方图知20x=1-20×(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.003×2×20=0.12,因此估计有0.12×600=72(人)可以申请住宿.9.解(1)由频率分布直方图可知区间[15,18)对应y轴的数字为475,且组距为3,所以区间[15,18)对应频率为475×3=425,又已知在区间[15,18)内频数为8,所以样本容量为n=8425=50.(2)因为[12,15)内的小矩形面积为0.06,所以在区间[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,所以在区间[12,15)内的频数为50×0.06=3,又因为在区间[15,18)内的频数为8,所以在区间[18,33)内的频数为50-3-8=39.所以在区间[18,33)内的频率为3950=0.78.10.解(1)因为(0.0024+0.0036+a+0.0044+0.0024+0.0012)×50=1,所以a=0.0060.(2)根据频率分布直方图可知,“用电量大于250kW·h”的频率为(0.0024+0.0012)×50=0.18,所以用电量大于250kW·h的户数为100×0.18=18.(3)因为前三组的频率之和为(0.0024+0.0036+0.0060)×50=0.6<0.8,前四组的频率之和为(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.82>0.8,所以频率为0.8时对应的数据在第四组,所以第一档用电标准为×50≈245.5(kW·h).200+0.8-0.60.22故第一档用电标准为245.5kW·h.第11页共11页。
(word版)高中数学直线与圆的位置关系练习题
高中数学直线与圆的位置关系一、单选题1.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 42.从点P(m,3)向圆C：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 2√6B. √26C. 4+√2D. 53.圆x2+y2−4x+2y+1=0与圆x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 1255.已知圆C:x2−6x+y2+2ay+7+a2=0关于直线3x+y−1=0对称，则a=()A. 4B. 6C. 8D. 106.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7.设O为原点直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当▵ABO面积最大值时，k=()A. ±√22B. ±1C. ±√2D. ±28.圆C1：(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2：(x−1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离9.直线l：y=x+1上的点到圆C：x2+y2+2x+4y+4=0上的点的最近距离为()A. √2B. 2−√2C. 1D. √2−110.若点P(1,1)为圆C：x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为()A. 2x+y−3=0B. x−2y+1=0C. x+2y−3=0D. 2x−y−1=011. 已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线x +y +4√2=0相切．点P 在直线x =8上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如图所示，则直线AB 恒过定点的坐标为( )A. (2,0)B. (0,2)C. (1,0)D. (0,1)12. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x −3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x −2)2+(y −1)2=1B. (x −2)2+(y +1)2=1C. (x +2)2+(y −1)2=1D. (x −3)2+(y −1)2=1二、多选题（本大题共2小题，共10.0分） 13. 已知圆M:x 2+y 2−4x −1=0，点P (x,y )是圆M 上的动点，则下列说法正确的有( )A. 圆M 关于直线x +3y −2=0对称B. 直线x +y =0与M 的相交弦长为√3C. t =y x+3的最大值为12D. x 2+y 2的最小值为9−4√514. 已知A (−2,0)，B (2,0)，若圆(x −2a +1)2+(y −2a −2)2=1上存在点M 满足MA →⋅MB →=0，实数a 可以是( ) A. −1 B. −0.5 C. 0D. 1三、单空题15. 已知点P 是直线y =x 上一个动点，过点P 作圆(x +2)2+(y −2)2=1的切线，切点为T ，则线段PT 长度的最小值为 ．16. 若过点P(1,√3)作圆O:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 和B ，则|AB |= ．17. 与直线y =x +3平行且与圆(x −2)2+(y −3)2=8相切的直线的方程为________________________．18.已知坐标原点为O，过点P(2,6)作直线2mx−(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是______．19.若P(2,1)是圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为．20.已知直线x−√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．21.已知点P在直线x−y+4=0上，由点P向圆x 2+y 2=4作两条切线，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为__________．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）22.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，则m=(1)，此时直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长为(2)．五、解答题23.已知点M(3,1)，圆O1：(x−1)2+(y−2)2=4．(1)若直线ax−y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2√3，求a的值；(2)求过点M的圆O1的切线方程．24.已知圆C1：x2+y2−2x=0和圆C2：x2+y2−6x−4y+4=0相交于A,B两点．(1)求公共弦AB的垂直平分线方程．(2)求ΔABC2的面积。
人教版高中数学A版必修1课后习题及答案(全)
高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =， 则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （42R 2是实数； （59Z 93=是个整数； （6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形． 等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。
高中数学第六章平面向量及其应用 平面向量基本定理课后提能训练新人教A版必修第二册
第六章 6.3 6.3.1A 级——基础过关练1．设e 1,e 2是平面内两个向量,则有( ) A ．e 1,e 2一定平行 B ．e 1,e 2的模一定相等C ．对于平面内的任一向量a ,都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)D ．若e 1,e 2不共线,则对平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1＋μe 2(λ,μ∈R) 【答案】D【解析】由平面向量基本定理知D 正确．2．(2021年达州模拟)(多选)已知e 1、e 2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,能作为一组基底的是( )A ．{e 1＋e 2,e 1－e 2}B ．{3e 1－2e 2,4e 2－6e 1}C ．{e 1＋2e 2,e 2＋2e 1}D ．{e 2,e 1＋e 2}【答案】ACD【解析】∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2),∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线,∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线．A 、C 、D 选项均可．3．(2021年福建模拟)设向量e 1与e 2不共线,若3xe 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2xe 2,则实数x ,y 的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4【答案】D【解析】因为e 1与e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解方程组得x ＝3,y ＝4.4．(2021年天津期末)在△ABC 中,点D 在BC 边上,且BD →＝2DC →,设AB →＝a ,AC →＝b ,则AD →可用基底a ,b 表示为( )A ．12(a ＋b ) B ．23a ＋13b C ．13a ＋23b D ．13(a ＋b ) 【答案】C【解析】AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23BC →＝a ＋23(AC →－AB →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .故选C ．5．如图,在正方形ABCD 中,点E 满足AE →＝ED →,点F 满足CF →＝2FB →,那么EF →＝( )A ．12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD →C ．AB →－16AD →D ．AB →＋16AD →【答案】C【解析】EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝－16AD →＋AB →.故选C ．6．若D 点在△ABC 的边BC 上,且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85 D ．45 【答案】C【解析】因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →,所以CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →.所以r ＝45,s ＝－45.所以3r ＋s ＝125－45＝85. 7．设{e 1,e 2}是平面内的一个基底,且a ＝e 1＋2e 2,b ＝－e 1＋e 2,则e 1＋e 2＝______a ＋______b .【答案】23⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b . 8．如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,若BE →＝λBA →＋μBD →(λ,μ∈R),则λ＋μ＝______．【答案】34【解析】因为BE →＝BO →＋OE →＝12BD →＋EA →＝12BD →＋EB →＋BA →,所以BE →＝12BA →＋14BD →.所以λ＝12,μ＝14,λ＋μ＝34. 9．如图所示,D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →,AC →表示AD →.解：因为D 是BC 边的四等分点, 所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)．所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．设e 1,e 2是不共线的非零向量,且a ＝e 1－2e 2,b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：{a ,b }可以作为一个基底； (2)以{a ,b }为基底表示向量c ＝3e 1－e 2.(1)证明：假设a ＝λb (λ∈R),则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1,e 2不共线,得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，所以λ不存在．故a 与b 不共线,{a ,b }可以作为一个基底．(2)解：设c ＝ma ＋nb (m ,n ∈R),则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .B 级——能力提升练11．(2021年南通模拟)(多选)若e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法错误的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ,使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ,μ有无数多对C ．若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ,μ,使λe 1＋μe 2＝0,则λ＝μ＝0 【答案】BC【解析】由平面向量基本定理,可知A,D 说法正确,B 说法错误．对于C,当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时,这样的λ有无数个,故C 说法错误．12．(2021年上海模拟)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,若BE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ＝( )A ．－34B ．－12C ．34D ．1【答案】B【解析】∵AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,∴BE →＝12BA →＋12BD →＝12BA →＋14BC →＝－12AB →＋14(AC →－AB →)＝－34AB →＋14AC →.∵BE →＝λAB →＋μAC →,∴λ＝－34,μ＝14,∴λ＋μ＝－12,故选B ．13．(2021年杭州模拟)已知O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0,＋∞)),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】AB→|AB →|为AB →上的单位向量,AC →|AC →|为AC →上的单位向量,则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD →的方向．又λ∈[0,＋∞),∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|,∴点P 在AD →上移动,∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．14．若OP 1→＝a ,OP 2→＝b ,P 1P →＝λPP 2→,则OP →＝( ) A ．a ＋λb B ．λa ＋b C ．λa ＋(1＋λ)b D ．a ＋λb1＋λ【答案】D【解析】∵P 1P →＝λPP 2→,∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →),(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→.OP →＝λb ＋a1＋λ.15．△ABC 中,D 为AC 上的一点,满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点,满足AP →＝mAB →＋nAC→(m >0,n >0),则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．【答案】11616【解析】因为AD →＝13DC →,所以AD →＝14AC →.所以AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋4nAD →.因为B ,P ,D 三点共线,所以m ＋4n ＝1,则4mn ≤（m ＋4n ）24＝14,则mn ≤116,即mn 最大值为116,当且仅当m ＝4n 时取等号；4m ＋1n＝(m ＋4n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16n m ＋m n＋8≥216＋8＝16,当且仅当m ＝4n 时取等号．故答案为116,16.16．已知平行四边形ABCD 中,E 为CD 的中点,AP →＝yAD →,AQ →＝xAB →,其中x ,y ∈R,且均不为0.若PQ →∥BE →,则xy＝________．【答案】12【解析】因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →,由PQ →∥BE →,可设PQ →＝λBE →,即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12.17．(2021年北京模拟)在平行四边形ABCD 中,已知AB →＝a ,AD →＝b ,E 、F 分别是边CD 和BC 上的点,满足DC →＝3DE →,BC →＝3BF →.(1)分别用a ,b 表示向量AE →,AF →；(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,其中λ,μ∈R,求出λ＋μ的值．解：(1)AE →＝AD →＋13DC →＝13a ＋b ,AF →＝AB →＋13BC →＝a ＋13b .(2)若AC →＝λAE →＋μAF →,则λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋b ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ＝a ＋b ,∴⎝⎛⎭⎪⎫λ3＋μa ＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ3b ＝a ＋b .∵a ,b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＋μ＝1，λ＋μ3＝1，解得λ＋μ＝32.18．(2021年天门模拟)如图所示,在□ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,BM ＝23BC ,AN ＝14AB ．(1)试用向量a ,b 来表示DN →,AM →； (2)AM 交DN 于O 点,求AO ∶OM 的值．解：(1)因为AN ＝14AB ,所以AN →＝14AB →＝14a ,所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b .因为BM ＝23BC ,所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ,所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)因为A ,O ,M 三点共线,所以AO →∥AM →,设AO →＝λAM →,则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λa ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b . 因为D ,O ,N 三点共线,所以DO →∥DN →,存在实数μ使DO →＝μDN →,则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b .由于向量a ,b 不共线,则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →,OM →＝1114AM →,所以AO ∶OM ＝3∶11.C 级——探索创新练19．(2020年岳阳模拟)在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →,则λ＋μ的值为( )A ．14B ．15C ．45 D ．54【答案】C【解析】(方法一)连接AC (图略),由AB →＝λAM →＋μAN →,得AB →＝λ·12(AD →＋AC →)＋μ·12(AC→＋AB →),则μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AC →＝0,得μ2－1AB →＋λ2AD →＋λ2＋μ2AD →＋12AB →＝0,得14λ＋34μ－1AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AD →＝0.又AB →,AD →不共线,所以由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.(方法二)根据题意作出图形如图所示,连接MN 并延长,交AB 的延长线于点T ,由已知易得AB ＝45AT ,所以45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →.因为T ,M ,N 三点共线,所以λ＋μ＝45.20．如图,在△ABC 中,设AB →＝a ,AC →＝b ,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为P ,若AP →＝ma ＋nb ,则m ＝________,n ＝________．【答案】27 47【解析】根据已知条件,得BQ →＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(ma ＋nb )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b ,CR →＝BR→－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ,∴QP →＝m 2a ＋n 2b ,RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ,RP →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b .∵RQ →＋QP →＝RP →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47.。
高中数学课本课后习题精选高一上 试题(共27页)
高中数学课本(kèběn)课后习题精选〔高一上〕一、选择题1．假如X = {}x|x>－1，那么以下正确的选项是〔〕(一上40页例1(1))(A) 0 ⊆ X (B) {0} ∈ X (C) Φ∈ X (D) {0} ⊆ X2 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是(一上43页B组6)(A)0<a≤1 (B) a<1 (C) a≤1 (D) 0<a≤1或者a<03．命题p：“a、b是整数〞，是命题q：“ x 2 + ax + b = 0 有且仅有整数解〞的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件4．假设y = 15x + b与y = ax + 3互为反函数，那么a + b =(A) －2 (B) 2 (C) 425(D) －105．x + x– 1 = 3，那么 + 的值是(A) 3 3 (B) 2 5 (C) 4 5 (D) －4 5 6．以下函数中不是奇函数的是(A) y = (a x + 1)xa x－1 (B) y =a x–a－x2(C) y =| x |x(D) y = log a1 + x1－x7．以下四个函数(h ánsh ù)中，不满足f (x 1 + x 22 )≤f (x 1) + f (x 2)2的是 (A) f (x ) = ax + b(B) f (x ) = x 2 + ax + b (C) f (x ) = 1x(D) f (x ) = － lnx8．数列{a n }的前n 项的和 S n = a n － 1〔a 是不为0的实数〕，那么{a n } (A) 一定是等差数列(B) 一定是等比数列(C) 或者者是等差数列，或者者是等比数列 (D) 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 二、 填空题 9．设A = ，B =，那么A ∩B =_____(一上17页例6)10．不等式x 2－3x －132－x≥1的解集是_______. (一上43页例5(2))11．A = {}x || x －a |< 4 ，B = {}x || x －2 |>3 ，且A ∪B = R ，那么a 的取值范围是________. (一上43页B 组2) 12．函数y =的定义域是______；值域是______. 函数y =1－( 12 )x 的定义域是______；值域是______. (一上106页A 组16)13．数列{a n }的通项公式为a n = pn + q ，其中p ，q 是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？______ 假如是，其首项是______，公差是________. (一上117页116)14．以下(yǐxià)命题中正确的选项是。
高中数学经典题型50道(另附详细答案)
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。
9、已知抛物线 与直线 相交于A、B两点
（1）求证：
（2）当 的面积等于 时，求 的值。
（1）证明：图见教材P127页，由方程组 消去 后，整理得 。设 ，由韦达定理得 在抛物线 上，
（2）解：设直线与 轴交于N，又显然 令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而 = ，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求 的
(Ⅱ)解: ,令 得 ．
当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
注意到 ,从而
①当 ,此时 无极小值；
高中数学人教版三角函数之诱导公式一到六知识讲解专项练习
诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k π＋α）＝sin α cos （2k π＋α）＝cos αtan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α (其中k ∈Z)公式二：设为任意角，π＋α的三角函数的值与的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot α公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sin α cos （－α）＝cos αtan （－α）＝－tan α cot （－α）＝－cot α公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot α公式五：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝cos α cos （）＝sin α tan （）＝cot α cot （）＝tan α 公式六：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝cos α cos （）＝－sin α tan （）＝－cot α cot （）＝－tan α 公式七：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝－cos α cos （）＝－sin α tan （）＝cot α cot （）＝tan α ααααπ-2απ-2απ-2απ-2απ-2απ+2απ+2απ+2απ+2απ+2απ-23απ-23απ-23απ-23απ-23公式八：与α的三角函数值之间的关系： sin （）＝－cos α cos （）＝sin α tan （）＝－cot α cot （）＝－tan α 公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α小结：1.诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为锐角的三角函数值2.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. απ±2，απ±23的三角函数值等于α的互余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.（主要依据是奇、偶指的是2π的奇数倍、偶数倍）练习题1.若cos65°=a ，则sin25°的值是( )2.下列各式正确的是( ))β-αcos(-)βα-cos(.=+B 3.sin(−600°)的值是( )A. −√32 B. −12 C. 12D. √32 απ+23απ+23απ+23απ+23απ+23a A -.a B .2-1.a C 2-1-.a D αcos α-π29sin(.=）A 为第二象限角α ，则0>)α-2π cos(且0,<)α 2π sin(若.+C )α2πcos()2π-αsin(.+=D4.已知31)12sin(=+πα，则7cos()12πα+= ．31- 5.已知)2,0(πα∈，54cos =α，则)sin(απ-＝ ．53 6.1717cos()sin()44ππ---=的值为． 7.求值：0750sin ＝ ．12 8.已知函数3sin )(xx f π=，则)2014()2()1(f f f +++ ＝．93记k =-)70cos(0，那么0110tan 等于． 10.求值：)210sin()330(cos 45tan 180cos 120sin 22︒-+︒--︒+︒+︒＝ ．12 11.化简：)2sin()2cos()2cos()cos(απαπαπαπ+--+＝ ．tan α- 12.已知点))6sin(,45(tan ππ-是角θ终边上一点，则)25cos(θπ+＝．13.若x x f 3sin )(sin =，则)75(cos 0f．2 14.化简：3sin(3)cos()tan()2cos sin()cos()32ππαπααππαα+⋅-⋅+⋅-⋅- ．2- 15.若23)2sin(-=-x π，且ππ2<<x ，则x 等于 ．π67 16.在ABC ∆中，已知542sin=A ，则2cos C B +＝ ．45 17.求值：ππππ313cos 4tan 713cos )623sin(-+-＝ ．０18.在ABC ∆中，若sin cos 22A B C +=，则形状是 ．直角三角形 19.已知1cos()33πα+=-，则sin()6πα-＝ ．13 20.设))(42cos()(Z n n x f ∈+=ππ，则(1)(2)(2010)f f f +++．21.已知3tan =α，sin()cos()()sin()sin()n n n Z n n απαπαπαπ+⋅-∈++-的值 ．14± 22.求值：251025713sin()cos tan()sin()cos()63436πππππ++-+-- ．74- 23.已知⎩⎨⎧≤<-≤=)0(sin 2)0()(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则0x ＝ ．233or ππ 24.已知{cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤=-+>，则)34(f 的值为 ．32 25.化简：23sin ()cos()cos(2)tan()sin ()sin(2)2απαπαπππαααπ+⋅+⋅--+⋅+⋅--＝ ．１ 26.若32cos -=α，则cos(4)sin()sin()tan()2πααπαπα-⋅-+⋅-的值为 ．23- 27.化简28.化简29.已知sinθ,cosθ是关于x 的方程x 2−ax +a =0(a ∈R)的两个根（1）求cos 3(π2−θ)+sin 3(π2−θ)的值 )α2π9sin()α-π3sin()α-πcos()α-2π11cos()α2πcos()απcos()α-π2sin(+++).2cos()sin()25sin()2cos(αππααππα--+-（2）求tan(π−θ)−1的值tanθ。
高一习题 数学6-2
第6模块 第2节[知能演练]一、选择题1．设全集I 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}与N ＝{x |2x －1≥1}都是I 的子集，如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2≤x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：∵M ＝{x |x 2>4}＝{x |x <－2或x >2}， N ＝{x |2x －1≥1}＝{x |1<x ≤3}，∴∁I M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ∩(∁I M )＝{x |1<x ≤2}． 即阴影部分所表示的集合为{x |1<x ≤2}．故选D. 答案：D2．已知m >2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：二次函数y ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1，当m >2时，m －1，m ，m ＋1都在对称轴的右边，在对称轴的右边二次函数y ＝x 2－2x 为增函数，故y 1<y 2<y 3，故选A.答案：A3．不等式x 2－x －6－x 2－1>0的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x ≤－2或x ≥3}C ．{x |x <－2}D ．{x |x >3}解析：不等式化为x 2－x －6x 2＋1<0，所以x 2－x －6<0⇒－2<x <3.答案：A4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B A ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．1<a ≤2C ．a >2D ．a ≤2解析：不等式3x －2－x 2<0化为x 2－3x ＋2>0⇒x >2或x <1，由不等式x －a <0，得x <a .要使B A ，则a ≤1.答案：A 二、填空题5．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：－12x 2＋2x >mx 可化为x 2＋(2m －4)x <0，由于其解集为{x |0<x <2}，故0,2是方程x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m ＝2，所以m ＝1.故填1.答案：16．关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 三、解答题7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)当不等式f (x )>0的解集为(－1,3)时，求实数a ，b 的值．解：(1)f (1)＝－3＋a (6－a )＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3.∵f (1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，Δ＝24＋4b ，当b ≤－6时，Δ≤0，∴f (1)>0的解集为Ø；当b >－6时，3－b ＋6<a <3＋b ＋6.∴f (1)>0的解集为{a |3－b ＋6<a <3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0的解集为(－1,3)，∴f (x )>0与不等式(x ＋1)(x －3)<0同解．∵3x 2－a (6－a )x －b <0的解集为(－1,3)，∴⎩⎨⎧2＝a (6－a )33＝b3，解之得⎩⎨⎧a ＝3±3b ＝9.8．设函数f (x )＝log a (1－ax )，其中0<a <1.(1)判断f (x )在(a ，＋∞)上的单调性； (2)解不等式f (x )>1.解：(1)设f (x )＝log a u (x )，u (x )＝1－ax.∵0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在定义域内是减函数，u (x )＝1－ax在(a ，＋∞)上是增函数，故f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．(2)由f (x )>1得log a (1－a x )>1.∵0<a <1，∴不等式可化为0<1－a x <a ，解得a <x <a1－a .故不等式的解集为{x |a <x <a1－a}． [高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x >0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x >02x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2≥1，从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x <0)－x －1(x ≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是( )A ．{x |x ≥－3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |－3≤x ≤1}D ．{x |x ≥1或x ≤－3}解析：由函数f (x )可知f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，当x <1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)x ≤3，解得－3≤x ≤1，又x <1，所以－3≤x <1； 当x ≥1时，原不等式等价于x ＋(x ＋1)(－x )≤3，即x 2≥－3恒成立． 综上可知不等式的解集为{x |x ≥－3}． 答案：A3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2－2x －6(x <0)，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)解析：当x ≥0时，解不等式x 2－2x －1>2得x >3，当x <0时，解不等式x 2－2x －6>2得x <－2，故t 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．故选D.答案：D4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2>(ax )2⇒(x －b )2－(ax )2>0⇒[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]>0. 若－1<a <0，则x >b 1＋a 或x <b1－a ，可知不止三个整数解；若0<a <1，则x >b 1－a 或x <b1＋a ，可知不止三个整数解；若a >1，有(x －b )2>(ax )2⇒[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]<0，则－b a －1<x <b1＋a. 又0<b <1＋a ，∴不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－ba －1<－2，则有2a －2<b ≤3a －3，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<b <a ＋1，3a －3≥b >0，解得1<a <3.答案：C5．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x ，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x－1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0,0<x <1.∴原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0，f (x )－f (－x )＝2ax ≠0，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．[备选精题]6．已知集合A ＝{x ||x －a |<ax ，a >0}，若f (x )＝sin πx －cos πx 在A 上是单调增函数，求a 的取值范围．解：由|x －a |<ax 得－ax <x －a <ax ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1＋a )x >a(1－a )x <a .当0<a <1时，A ＝(a 1＋a ，a1－a )；当a ≥1时，A ＝(a1＋a，＋∞)．又f (x )＝sin πx －cos πx ＝2sin(πx －π4)的单调递增区间为[2k －14，2k ＋34]，(k ∈Z )，显然，当a ≥1时，f (x )在A 上不可能是单调增函数，因此，当0<a <1，要使f (x )在A ＝(a 1＋a ，a1－a )上是增函数，只有(a 1＋a ，a 1－a )⊂[－14，34]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a 1－a ≤34，解得0<a ≤37，故a 的取值范围为0<a ≤37.。
高中数学计算练习题
高中数学计算练习题一、集合与函数1. 计算下列集合的交集和并集：A = {x | x² 3x + 2 = 0}，B = {x | x² 4x + 3 = 0}2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(2)和f(1)的值。
3. 设函数g(x) = x² 5x + 6，求g(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
4. 计算下列函数的定义域：h(x) = √(4 x²)5. 已知函数f(x) = (x 1) / (x + 2)，求f(x)的值域。
二、三角函数与解三角形6. 已知sinα = 3/5，α为第二象限角，求cosα和tanα的值。
7. 计算sin(π/6 + π/4)的值。
8. 在△ABC中，a = 5, b = 8, C = 120°，求c的长度。
9. 已知tanA = 1/2，求sinA和cosA的值。
10. 计算下列各式的值：(1) cos²30° sin²30°(2) sin(45° + 30°) cos(45° 30°)三、数列11. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n 1，求前10项的和。
12. 计算等差数列5, 8, 11, 14, 的第10项。
13. 已知等比数列的首项为3，公比为2，求前5项的和。
14. 设数列{bn}的通项公式为bn = 3n + 1，求证数列{bn}为递增数列。
15. 计算数列1, 1/2, 1/4, 1/8, 的前n项和。
四、平面向量与复数16. 已知向量a = (2, 3)，求向量a的模。
17. 计算向量b = (4, 1)与向量c = (2, 3)的夹角。
18. 已知向量d = (m, 2)，向量e = (3, m)，且向量d与向量e共线，求m的值。
19. 计算复数(1 + i)²的值。
20. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模和辐角。
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第2模块 第6节
[知能演练]
一、选择题
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是
( )
A ．y ＝－x 3
B ．y ＝x －
3
C ．y ＝2x 3
D ．y ＝x 3－1
解析：按照幂函数的定义，只有形如y ＝x α(α∈R )的函数才叫做幂函数．
答案：B
2．x ∈(0,1)，则下列结论正确的是
( )
3．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (1
2
)的值等于
( )
A ．－3
B ．－13
C ．3
D.13
解析：依题意设f (x )＝x α
(α∈R )，则有4α
2
α＝3，即2α＝3，得α＝log 23，则f (x )＝x log23，于
是f (12)＝(12)log23＝2－log23＝2log21
3＝13
，选D.
答案：D 4．若f (x )＝x n 2
＋n ＋1
(n ∈N )，则f (x )是
( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．奇函数或偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：由于当n ∈N 时，n (n ＋1)一定为偶数，因此n (n ＋1)＋1一定为奇数，所以函数
一定为奇函数．
答案：A 二、填空题
5．0.31
2，2.21
2，2.11
2这三个数从小到大排列为________．
解析：由于函数f (x )＝x 1
2在[0，＋∞)上是增函数，所以f (0.3)<f (2.1)<f (2.2)，即0.31
2<2.11
2<2.21
2.
答案：0.31
2，2.11
2，2.21
2 6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2
－m －2
的图象不经过原点，则实数m 的值等于________． 解析：由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2
－m －2
是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或
2，而当m ＝1时，y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2
＝x －
2，定义域是{x |x ∈R ，x ≠0}，图象不经过原
点；当m ＝2时，y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2
－m －2
＝x 0，定义域是{x |x ∈R ，x ≠0}，图象不经过原点．
答案：1或2 三、解答题
7．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.
(1)求m 的值． (2)判定f (x )的奇偶性．
(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝7
2，所以m ＝1.
(2)因为f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}， 又f (－x )＝－x －
2－x
＝－(x －2
x )＝－f (x )，
所以f (x )是奇函数．
(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2x 2)＝(x 1－x 2)(1＋2
x 1x 2
)，因为x 1>x 2>0，所以
x 1－x 2>0,1＋2
x 1x 2
>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．
8．已知幂函数f (x )＝x m 2－m －3
(m ∈N *，m ≥2)在(0，＋∞)内单调递减，g (x )＝f (x －2009)
f (x －2008)
.
(1)求f (x )；
(2)比较g (44)与g (45)的大小．
解：(1)由于函数f (x )在(0，＋∞)内单调递减，所以m 2－m －3<0，解得1－132<m <1＋13
2，
由于m ∈N *，m ≥2，所以只能取m ＝2，这时f (x )＝x －
1.
(2)由(1)知g (x )＝f (x －2009)f (x －2008)＝x －2008
x －2009
＝
x －2009＋2009－2008
x －2009
＝1＋
2009－2008
x －2009
，
由于442＝1936,452＝2025，
所以44<2009<45，因此g (44)<1，g (45)>1，所以g (44)<g (45)．
[高考·模拟·预测]
1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆
命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是
( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中的真命题只有一个．
答案：C
2．已知函数f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a ，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是
( )
解析：观察选项，在0<a <1和a >1情况下，对三个函数的图象分析可知A 、C 、D 均不符合．选B.
答案：B
3．幂函数y ＝x a ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无法确定
解法一：由条件得M (13，23)，N (23，13)，由一般性，可得13＝(23)α，23＝(13)β，即α＝log 2313，
β＝log 1323.所以αβ＝log 2313·log 132
3＝lg 13lg 23·lg 2
3lg 13
＝1.
解法二：由解法一，得13＝(23)α，23＝(13)β，则(13)αβ＝[(13)β]α＝(23)α＝1
3，即αβ＝1，故选A.
答案：A
4．若x ∈[－1,1]时，22x －
1<a x
＋1
恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)
D ．(5，＋∞)
解析：由22x －
1<a x ＋
1⇒(2x －1)lg2<(x ＋1)lg a ⇒
x ·lg 4a －lg(2a )<0，设f (x )＝x ·lg 4a －lg(2a )， 由当x ∈[－1,1]时，f (x )<0恒成立，得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
f (1)<0f (－1)<0⇒⎩⎨⎧
lg 4
a －lg(2a )<0
－lg 4
a －lg(2a )<0
⇒a >2为所求的范围．
答案：A
5．已知函数f (x )＝x α(0<α<1)，对于下列命题： ①若x >1，则f (x )>1； ②若0<x <1，则0<f (x )<1； ③若f (x 1)>f (x 2)，则x 1>x 2； ④若0<x 1<x 2，则f (x 1)x 1<f (x 2)
x 2
.
其中正确的命题序号是________．
解析：作出y ＝x α(0<α<1)在第一象限的图象，由性质易判定①②③正确； 而f (x )x 表示图象上点P (x ，y )与原点连线的斜率，当0<x 1<x 2时应有f (x 1)x 1>f (x 2)
x 2
，∴④不正确．
答案：①②③
6．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；
(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q ，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，
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]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵f (2)<f (3)， ∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.
当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]． ∵g (2)＝－1，
∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点(2q －12q ，4q 2＋14q )处取得．
而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)2
4q ≥0，
∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178
，
g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2.
∴存在q＝2满足题意．。