有限元方法

有限元方法

求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。

作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为"单元"，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为"有限元空间",它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。

典型问题为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程

, (1)

变系数β表示介质不均匀。物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。与方程(1)相配的有如下三类边界条件：

第一类：；

第二类：；

第三类：。这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当α=0时的特例。

为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件

, (2)

,(3)

β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件

, (4)

及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。

变分原理与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。构造"能量积分"

并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即

,(6)

也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。事实上，极小能量原理之类的变分原理是物理问题的原始形式，微分方程是数学推导的结果。在变分问题中,只有边界条件(2)是强加到容许函数集上的,边界条件(3)及间断介质的接触条件(4)都是极小解u自然满足的，这种情况有利于离散化的统一处理。

剖分逼近几何剖分的基本单元可取为三角形、矩形、四边形、曲边形等等，其

中三角形最基本常用。

假定问题的求解区域为多边形，介质间断线

为折线，作三角剖分如图所示。在剖分中需注意

介质间断线与某些三角形的边重合，不同类边界

条件的交点与某些三角形的顶点重合。单元的顶

点称为网格结点，在дΩ上称边界结点，在Ω内

称内结点。

几何剖分之后考虑插值逼近。对三角形单元

最简单的是线性插值，即利用每个单元Δk三顶

点的函数值确定线性函数αk x+b k y+сk的三个系数。把所有单元{Δk}确定的{αk x+b k y+сk}合在一起,就得到Ω上的一个分片线性插值函数。Г0上的边界结点取值为零的分片线性插值函数都属于问题(5)、(6)的容许函数集V,全体这样的函数构成一个有限维线性空间，称为有限元空间。假定内结点和Г1上的边界结点共有N个，以p j(j＝1,...,N)表示,则的维数就是N o令φi表示中满足条件

(7)

的成员，则{φi}构成线性空间的一组基。中任意函数v，都可表为

, (8)

V j是结点p j上的函数值v(p j)。

单元上的插值方式除了用一次函数外，还可以用二次、三次或更高次的多项式，也可用非多项式函数。插值数据除了用函数值的拉格朗日型外，还可以是包括导数的埃尔米特型插值。种种的几何剖分加上种种的插值方式,就产生众多形式的有限元空间,使有限元方法可有众多的选择。

有限元的离散化有限元离散化的出发点是与微分方程等价的变分问题。对于典型问题来说，就是从(5)、(6)出发,用剖分逼近的方法构造有限元空间（也称试探函数空间），然后求泛函J(v)在中的极小解堚作为近似解,即堚满足

, (9)

把(8)的表达公式代入(5)中的J(v)，得

,(10) 式中

,(11)

,(12)

把(9)的极小解表为,则(U1,U2,...,U N)使二次函数(10)达到极小,由微分学知满足线性方程组

。(13) 方程组(13)来自正定二次函数的极小解问题，故系数矩阵一定对称正定。由于基函数φi只在以p i为顶点的单元上不为零，故系数αij＝只当结点p i与p j连成三角形一边时才不为零。系数矩阵这种稀疏性质，加上对称正定，对方程的求解很有利。

系数以及自由项的实际计算，通常按所谓单元分析与总体合成的方式进行。即逐个分析Ω内的单元和Г1上的单元边对有关的αiz及?i的贡献，然后往上迭加。当Ω内所有单元及Г1上所有单元边都分析之后，方程组(13)的系数矩阵及自由项也就合成出来。间断介质的影响反映在单元分析中被积函数的β在Ω+及Ω-取不同的表达式。单元分析通常都采用某种数值积分公式计算。

从虚功原理出发的离散化微分方程边值问题(1)、(2)、(3)、(4)的解u还同时满足:对容许函数集V中任一函数v，成立

,(14)

这里α(u，v)及F(v)即表达式(11)、(12)。在物理学中，方程（14）是另一变分原理的数学形式，称为虚功原理或虚位移原理。有限元方法更一般的形式是从虚功方程(14)出发用剖分插值的方式构造一个试探函数空间，并同时构造一个检验函数空间徰;在中寻找近似解堚,使之对徰中的任一函数ψ，成立

,(15)

当选取徰与相同时, (15)中的ψ可选为基函数φi，同时用代入，就得到方程组(13)。