小学奥数教程之-分解质因数

1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分数的拆分【例 1】 算式“1希＋1望＋1杯＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。

【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空 例题精讲知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】 三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例 2】 3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这3个质数从小到大为a 、b 、c ，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积.现在和为16611986，分母198623331=⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足.所以这3个质数的和为23331336++=．【答案】23331336++=【例 3】 一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于90113694÷= ，所以分母是加上9或者减去4．若是前者则原来分数分子为7709481⨯-=，但4811337=⨯，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487⨯+=，而487是质数．所以原来分数分子为487．【答案】487【例 4】 将1到9这9个数字在算式()()()()()()1-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数?【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有1b d cb ad a c a c a c--==⨯⨯，即有1cb ad -=，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。

符合原式的填法为3217535-=。

【答案】3217535-= 【例 5】 求满足条件1111001a b +=的a 、b 的值(a 、b 都是四位数)． 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】解答【解析】 取1001的两个不同约数x 、()y x y <，得到：1111001100110011001()1001()1001()()()x y x y x y x y x y x y x y x y+==+=++++++，因为x 、y 都是1001的约数，所以1001x、1001y 都是整数．所以只需令1001x y a x =（+），1001x y b y =（+）就可以了．而a 、b 都要大于1001，要保证a 、b 都是四位数，所以a 、b 的比值都要小于10，即x 、y 的比值小于10．而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：1,7（）、7,11（）、7,13（）、11,13（）、11,91（）、13,77（）．所以我们依次取x 、y 为上面所列的数对中的数，代入a 、b 的表达式，得到本题的答案： 8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170a b =⎧⎨=⎩【答案】8008,2574,2860,2184,9282,69301144,1638,1540,1848,1122,1170a b =⎧⎨=⎩【巩固】 若1112004a b=+，其中a 、b 都是四位数，且a <b ，那么满足上述条件的所有数对（a ,b ）是 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：1121120042004(12)2004(12)60123006=+=+++ 1131120042004(13)2004(13)80162672=+=+++ 1231120042004(23)2004(23)50103340=+=+++ 1341120042004(34)2004(34)46763507=+=+++ 【答案】1121120042004(12)2004(12)60123006=+=+++ 1131120042004(13)2004(13)80162672=+=+++ 1231120042004(23)2004(23)50103340=+=+++ 1341120042004(34)2004(34)46763507=+=+++ 【例 6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．（1）()()()()()()()()11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）()()11110=- 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ，有：111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B+==+=++++， 从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m n >)，有：111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B-==-=---- ⑴ 本题10的约数有：1，10，2，5． 例如：选1和2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015+==+=+⨯+⨯+⨯+； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m 和n ，它们的数值虽然不同，但是如果m 和n的比值相同，那么最后得到的A 和B 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有24410C +=种，但是其中比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下： 1111111111110202011110126014351530=+=+=+=+=+．⑵ 10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5： 152********(52)10(52)10(52)615-==-=-⨯-⨯-⨯- 另外的解让学生去尝试练习． 【答案】（1）1111111111110202011110126014351530=+=+=+=+=+ （2）11110615=- 【例 7】 如果1112009A B=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？ 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【关键词】101中学，分班考试【解析】 从前面的例题我们知道，要将1N 按照如下规则写成11A B-的形式： 111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B-==-=----，其中m 和n 都是N 的约数。

如果要让B 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n 尽可能地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约数，而n 应取最小的约数，因此2009m =，1n =，所以20092008B =⨯.【答案】20092008B =⨯【巩固】 ()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=-- 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ()()()()()()()()()()11111111111457212018304051358191545=+=-=++=-- 【答案】()()()()()()()()()()11111111111457212018304051358191545=+=-=++=-- 【例 8】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++ 【考点】分数的拆分 【难度】4星 【题型】填空【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521--和连加式521++． 则：()()()()()()11111111041020804016=--=++ 如果选10、5、2，那么有：1111111103615173485=--=++． 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到()()()111110=++，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260=+，再选择其中的一个分数进行拆分，比如1111213156=+，所以1111101360156=++． 【答案】1111101360156=++ 【例 9】 已知等式11115a b=+其中a ，b 是非零自然数，求a+b 的最大值。