浙江大学, 运筹学第1次
浙江大学最牛应用运筹学课件
第四章 线性规划的扩展
整数线性规划(Integer Linear Programming, ILP)
问题定义： 问题定义：
决策变量是整数的线性规划
所有变量都取整数的规划称为纯整数规划 部分变量取整数的规划称为混合整数规划
整数规划与线性规划的关系
线性规划问题
max z= x1 s.t. 14x1 -x1 x1 + 4x2 +42x2 ≤196 + 2x2 ≤ 5 ,x2 ≥ 0
思考题：
某厂生产一种产品，由两个B1零件和三个B2零件配 套组装而成。该厂有A1，A2，A3三种机床可加工上述两 种零件，每种机床的台数以及每台机床每个工作日全部 用于加工某一种零部件的最大产量（即生产率：件/日） 如下表所示。试求该产品产量最大的生产方案。
每台机床生产率（件/日） 日 机床种类 机床台数 零件 B1 A1 A2 A3 3 2 4 20 35 10 零件 B2 30 45 18
X1
第四章 线性规划的扩展
0-1规划
一些变量的取值被限定为0或 。是整数规划的特例。 一些变量的取值被限定为 或1。是整数规划的特例。 0-1规划的一般模型： 规划的一般模型： 规划的一般模型
max
s.t.
n ij
z =
j∑ຫໍສະໝຸດ nC jX ji
j =1
b , i = 1, 2 ∑ a=X ≤ j=1,2,…,n ,...m X 0,1
∂ Z* = yi* (i= 1,2, …,m) ∂ bi
即 yi* 表示每增加一个单位 bi 后 Z* 的增量
第三章 线性规划模型
例3-9: 合理下料问题： 合理下料问题：
某工厂生产某一型号的机床， 某工厂生产某一型号的机床，每台机床上分 别需用2.9、2.1、1.5米长的轴 别需用2.9、2.1、1.5米长的轴1跟、2根和1根， 米长的轴1 根和1 这些轴需用同一种园钢制作，圆钢的长度为7.4 这些轴需用同一种园钢制作，圆钢的长度为7.4 如需要生产100台机床 问应如何安排下料， 台机床， 米。如需要生产100台机床，问应如何安排下料， 才能使用料最省？试建立其线性规划模型。 才能使用料最省？试建立其线性规划模型。
运筹学第1次及目标规划
第一次实验要求：建模并求解（excel规划求解）1、合理下料问题．现要做100套钢架，每套由长2.8米、2.2米和1.8米的元钢各一根组成，已知原材料长6.0米，问应如何下料，可以使原材料最省？如果每套钢架由2.8米的元钢1根、2.2米的元钢2根、1.8米的元钢3根，则如何修改数学模型？2、配料问题．某工厂要用三种原材料甲、乙、丙混合调配出三种不同规格的产品A、B、C．已知产品的规格要求、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价（分别见表1和表2），问该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？表1表23、连续投资问题．某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%．该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？4、购买汽车问题．某汽车公司有资金600 000元，打算用来购买A、B、C三种汽车．已知汽车A每辆为10 000元，汽车B每辆为20 000元，汽车C每辆为23 000元．又汽车A每辆每班需一名司机，可完成2 100吨·千米；汽车B每辆每班需两名司机，可完成3 600吨·千米；汽车C每辆每班需两名司机，可完成3 780吨·千米．每辆汽车每天最多安排三班，每个司机每天最多安排一班．限制购买汽车不超过30辆，司机不超过145人．问：每种汽车应购买多少辆，可使每天的吨·千米总数最大？5、人员安排问题．某医院根据日常工作统计，每昼夜24小时中至少需要如下表所示数量的护士，护士们分别在各时段开始时上班，并连续工作8小时，向应如何安排各个时段开始上班工作的人数，才能使护士的总人数最少？目标规划实验要求：建模并求解(1-5选2个,6-12选3个)【案例6.1】升级调资问题．某高校领导在考虑本单位员工的升级调资方案时，依次考虑如下的目标：(1)年工资总额不超过900万元；(2)每级的人数不超过定编规定的人数；(3)副教授、讲师、助教级的升级面尽可能达到现有人数的20％；助教级不足编制的人数可直接聘用应届毕业研究生．教授级人员中有10％要退休．有关资料见表6.6，请为该领导拟定满意的方案．表6.6【案例6.2】农场生产计划问题．友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物．各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨．预计秋后玉米每亩可收获500kg，售价为0.24元／千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元／千克，小麦每亩可收获300千克，售价为0.70元/千克．农场年初规划时考虑如下几个方面：P1：销售收入不低于350万元；P2：总产量不低于1.25万吨；P3：小麦产量以0.5万吨为宜；P4：大豆产量不少于0.2万吨；P5：玉米产量不超过0.6万吨；P6：农场现能提供5 000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好．试就该农场生产计划建立数学模型．【案例6.3】多目标运输问题．已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价，见表6.7有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：P1：B4是重点保证单位，必须全部满足其需要；P2：A3向B1提供的产量不少于120；P3：每个销地的供应量不小于其需要量的80%；P4：所订调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的20%；P5：因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往B4；P6：给B1和B3的供应率要相同；P7：力求总运费最省．试求满意的调运方案．表6.7【案例6.4】电台节目安排问题．一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间．据有关规定，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为17.50美元．根据规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目．问每天的广播节目该如何安排?优先级如下：P1：满足规定要求；P2：每天的纯收入最大．试建立该问题的目标规划模型．【案例6.5】混合配方问题．某酒厂用三种等级的原料酒I、II、III兑制成三种混合酒(A、B、C牌)．这些原料酒的供应量受到严格限制，它们每日的供应量分别为1 500千克，2 000千克和1 000千克，供应价格分别为18元/千克，13.5元/千克和9元/千克．三种混合酒的配方及售价见表6.8．表6.8厂长确定：首先必须按规定比例兑制混合酒；其次是获利最大；再次是混合酒A每天至少生产2 000千克．试建立数学模型．6、公司决定使用100万元新产品开发基金开发A，B，C三种新产品．经预测估计，开发A，B，C三种新产品的投资利润率分别为5％，6％，8％．由于新产品开发有一定风险，公司研究后确定了如下优先顺序目标：第一，A产品至少投资30万元；第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35%；第三，应至少留有10％的开发基金，以备急用；第四，使总的投资利润最大．试建立投资方案的目标规划模型．7、某电子制造公司生产两种立体声耳机，一种为普及型，装配一个需1小时，另一种为豪华型，每个装配时间为2小时．正常的装配作业每周限定为40小时．市场调查表明，每周生产量普及型不超过30件，豪华型不超过15件．净利润普及型为每件40元，豪华型每件60元．已知公司经理对优先级的排序如下：P1：总利润最大；P2：装配线尽可能少加班；P3：销售耳机尽可能多；试建立此问题的目标规划模型．8、某工厂生产甲、乙两种产品，单位甲产品可获利6元，单位乙产品可获得4元．生产过程中每单位甲、乙产品所需机器台时数分别为2和3个单位，需劳动工时数分别为4和2个单位．该厂在计划期内可提供100个单位的机器台时数和120个劳动工时数，如果劳动力不足尚可组织工人加班．该厂制定了如下目标：第一目标：计划期内利润达180元；第二目标：机器台时数充分利用；第三目标：尽量减少加班的工时数；第四目标：甲产品产量达22件，乙产品产量达18件．上述四个目标分别为四个不同的优先等级．请列出该目标规划问题的数学模型，并用图解法、单纯形法(表格形式)分别求解之．9、已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆固醇含量等有关数据如下表，如果只考虑三种食物，并且设立了下列三个目标：第一，满足三种维生素的每日最小需要量；第二，使每日摄入的胆固醇最少；第三，使每日购买食品的费用最少．要求建立问题的目标规划模型．10、某工厂生产白布、花布两种产品，其生产率皆为1 000米/小时；其利润分别为1.5元／米和2.5元／米；每周正常生产时间为80小时(加班时间不算在内)．第一目标：充分利用正常生产时间进行生产；第二目标：每周加班时数不超过10小时；第三目标：销售花布要求达到70 000米，白布达45 000米；第四目标：每周利润达15万元．试建立上述问题的数学模型．11、某工厂生产唱机和录音机两种产品，每种产品均需经A、B两个车间的加工才能完成．表中给出了全部已知条件，要求尽可能实现的目标有以下六个：第一目标：仓库费用每月不超过4 600元；第二目标：唱机每月售出50台；第三目标：勿使A、B车间停工(权系数由两车间的生产费用决定)；第四目标：车间A加班不超过20小时；第五目标：录音机每月售出80台；第六目标：车间A、B加班时数的总和要限制(权系数由两车间的生产费用决定)．试列出该问题的目标规划数学模型．12、某公司下设三个工厂，生产同一种产品，现在要把三个工厂生产的产品运送给四个订户．工厂的供应量、订户的需求量以及从三个工厂到四个订户的单位运费如表所示(表格中方格内数字为单位运费)．现在要作出一个产品调运计划，依次满足下列各项要求：p1：订户4的订货量首先要保证全部予以满足；p2：其余订户的订货量满足程度应不低于80％；p3：工厂3调运给订户1的产品量应不少于15个单位；p4：因线路限制，工厂2应尽可能不分配给订户4；p5：订户1和订户3的需求满足程度应尽可能平衡；p6：力求使总运费最小．试建立上述问题的目标规划模型．。
运筹学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
运筹学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.如果在运输问题或转运问题模型中，Cij都是从产地i到产地j的最小运输费用，则运输问题同转运问题都将得到相同的最优解参考答案:正确2.在求解整数规划问题时，不可能出现的是参考答案:无穷多最优解3.下列那种办法可以求解指派问题参考答案:匈牙利法4.0-1规划的隐枚举法是分支定界的特例。
参考答案:正确5.匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
参考答案:错误6.整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是参考答案:割平面法7.整数问题的可行解一定是它松弛问题的可行解，反之则不一定成立。
参考答案:正确8.求指派问题的匈牙利方法要求系数矩阵中每个元素都是参考答案:非负的9.运输问题一定有最优解参考答案:正确10.产地个数为m,销地个数为n的平衡运输问题的对偶问题有【图片】个约束参考答案:正确11.在运输问题中，调整对象的确定应选择参考答案:检验数为负且绝对值最大12.在解决运筹学问题时，根据对问题内在机理的认识直接构造出模型的方法称为：参考答案:直接分析法13.当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非基变量的检验数等于零，则说明该运输有（）参考答案:多重最优解14.运筹学是一门在第一次世界大战期间发展起来的新兴科学参考答案:错误15.用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
参考答案:正确16.用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
参考答案:错误17.模型是对各种变量关系的描述，是解决问题的关键参考答案:正确18.运输问题的解有四种情况：分别为：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。
参考答案:错误19.人工变量一旦出基就不会再进基参考答案:正确20.用匈牙利法求解指派问题时，不可以进行的操作是参考答案:效益矩阵乘以一个常数21.X是线性规划的基本可行解则有参考答案:X中的基变量非负，非基变量为零22.整数规划的最优解中，决策变量满足什么条件参考答案:决策变量必须都是整数23.运筹学具有多学科交叉的特点参考答案:正确24.下例错误的结论是参考答案:检验数就是目标函数的系数25.若线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点参考答案:错误26.线性规划具有唯一最优解是指参考答案:最优表中非基变量检验数全部非零27.标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
浙江大学盛骤概率论第1-5章课后答案
第二章 随机变量及其分布1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101 3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2 P ：351,3512,3522 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
x1 2O P（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
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School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
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运筹学教程
第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
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运筹学教程
第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
运筹学1至6章习题参考答案
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
运筹学 第一章 线性规划 清华
① ② ③
x2
②
Q3 Q2
Q4
③
3
①
o
4 Q1
x1
*
6
首先取z = 0，然后，使z逐 渐增大，直至找到最优解所对 应的点。
x2
②
Q3
Q4
③
Q2(4,2)
3
①
*
4 Q1
x1
可见，在Q2点z取到最大值。 因此， Q2点所对应的解为最优解。 Q2点坐标为(4，2)。 即: x1 = 4，x2 = 2
5
1.2 图解法 eg. eg. [eg.3]用图解法求eg.1。 max z = 2x1 + 3x2 1x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ，x2 ≥ 0 解： (1)建立x1 - x2坐标； x (2)约束条件的几何表示； (3)目标函数的几何表示； z = 2x1 + 3x2
15
1.4 线性规划解的概念 设线性规划为 max z = CX ① AX = b ② X≥0 ③ 矩阵, (A为行满秩矩阵） A为m × n矩阵, n > m, Rank A = m (A为行满秩矩阵） 为行满秩矩阵 1、可行解：满足条件②、③的X； 可行解：满足条件② 2、最优解：满足条件①的可行解； 最优解：满足条件①的可行解； 条件 子矩阵， 则称B 3、基：取B为A中的m × m子矩阵，Rank B = m，则称B为线性 中的m 规划问题的一个基。 规划问题的一个基。 取B = (P1,P2,,Pm) ,P Pj = (a1j,a2j,,amj)T ,a 则称x1,x2,,xm为基变量，其它为非基变量。 则称x ,x 为基变量，其它为非基变量。
运筹学第一章习题完整版
i 周推迟交货的产品Ⅰ和Ⅱ的量， ai 、 bi 表示第 i 周对产品Ⅰ和Ⅱ的需求量。
8
7
8
∑ ∑ ∑ minZ= 12Zi + 50× 360×8 + [120× 2 + 240× (7 − i)]ni + (αi × 0.5 + βi × 0.6)
yi × 6 × 40 + zi2 × 6 + βi = bi
xi , yi , zi , zi1, zi2 , ni ,αi , βi , ai , bi ≥ 0 综上所述得：
8
7
8
∑ ∑ ∑ minz= 12(zi1 + zi2 ) +14400 + [240 + (7 − i)240]ni + (0.5αi + 0.6βi )
i =1
i =1
i =1
7
st. ∑ ni = 50 i =1
ni ≤ 3(50 − xi − yi )
xi + yi ≤ 50 + ni−2 − ni / 3 ( i ≥ 2 )
x1 + y1 ≤ 50 − n1 / 3
x2 + y2 ≤ 50 − n2 / 3
400xi +10zi1 + αi = ai
○4 0 1/2 2 0
∨
∨
○5 0 -1/2 0 2
○6 0 0 1 1
∨
∨
8.基的定义
106 B = 2 1 3 = −5 ≠ 0
314
∴X1 X2 X3 所对应的列向量可以构成基
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
浙大版数理统计第一章
则S＝{ 1，2，3，4，5，6 }
例 测量某块地中玉米的株高。（单位：厘米）
01
则S＝{x|a≤ x≤b }
02
必然事件 : 每次试验都发生的事件，即全集、样本空间。记 S。 不可能事件: 每次试验都不发生的事件，即空集。记 Φ 。
例 掷一颗骰子，观察其出现的点数。
01
该试验共有6个基本事件，i=“出现的点数为i”，
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定理 设S为试验E的样本空间，A为E的事件，B1,B2 ,…,Bn为E的一个划分，且P(A)>0，(Bi)>0(i=1,2,…,n)，则有贝叶斯公式。
P(AB)= P(A)P(B)
贰
定义 如果对于事件A、B有
壹
则称事件A与B相互独立。
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01.
定义 设A、B为随机试验E的二事件，且P（A）>0，称
02.
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
例 一盒中混有新旧二种乒乓球，在新乒乓球中有白色的40只，红色的30只；在旧乒乓球中有白色的20只，红色的10只。在盒中任取一只发现是新的，问这个球是白色的概率是多少？
例 甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球，现从甲箱中任取1个球放入乙箱中，然后从乙箱中任取1球，问从乙箱取得白球的概率是多少？
单击此处添加大标题内容
例 甲箱中有5个正品和3个次品，乙箱中有4个正品和3个次品，从甲箱中任取3个产品放入乙箱中，然后从乙箱中任取1个产品，求这个产品是正品的概率。
如果随机试验具有以下两个特点： 试验的基本事件的总数是有限的，即 Ω={ω1，ω2，…ωn}； 每个基本事件出现的可能性是相等的，即
运筹学第一章
30
1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
OR1
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
5
例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
OR1
6
例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划及单纯形法1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型：12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100(1,2,3,4,5,6)0j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则123456161223344556min .607060502030(1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则：111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600().6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333122232112131132333865300086515008650.158658650.158658650.18650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. （1）Z = 4（2）12121212max .6101207051038z x x st x x x x x x =++≤+≥≤≥≤≥ 解：如图：由图可得： **(10,6)16T x Z == ； 即该问题具有唯一最优解*(10,6)Tx =（3）无可行解(4)12121212max 56.22232,0z x x st x x x x x x =+-≥-+≤≥ 如图：由图知，该问题具有无界解。
浙大简介
我的梦想是你浙大签名：浙大历年录取分数线（理科）：浙大历史：浙江大学的渊源——求是书院创建于1897年，是中国近代史上效法西方学制最早创办的几所新式高等学校之一。
1901年起曾几度易名并一度停办；1927年在原校址成立国立第三中山大学（由浙江公立工业专门学校和浙江公立农业专门学校改组为第三中山大学工学院和劳农学院）；1928年4月1日改名为浙江大学，1928年7月1日起，冠以“国立”二字，称国立浙江大学，下设工、农、文理三个学院。
日本侵华战争爆发后，浙江大学被迫辗转西迁贵州。
在中国著名气象、地理学家、校长竺可桢先生领导下，浙江大学历经艰辛，筚路蓝缕，崛起为当时国内有影响的几所著名大学之一，被英国著名学者李约瑟称誉为“东方剑桥”。
1946年秋学校迁返杭州。
至1948年3月底，浙江大学已发展为拥有文、理、工、农、师范、法、医７个学院、25个系、9个研究所、1个研究室的综合性大学。
1952年，全国高等学校院系进行调整，浙江大学的学科和院系设置发生了很大变动。
其部分系科调整到省外兄弟院校，部分院系或独立成校，或与之江大学、浙江省立医学院等院校组合重新建校。
之江大学前身为建于1897年的育英书院；浙江省立医学院前身为建于1912年的浙江医学专门学校。
浙江大学文学院、理学院的一部分、之江大学的文理学院和浙江师范专科学校合并，建立浙江师范学院，1958年又与新建的杭州大学合并，定名杭州大学；浙江大学的农学院单独分出成立浙江农学院，1960年更名为浙江农业大学；浙江大学的医学院与浙江省立医学院合并，成立浙江医学院，1960年更名为浙江医科大学。
调整后的浙江大学成为一所多科性的工业大学。
经过近半个世纪的发展，特别是改革开放以来，源出一脉的浙江大学、杭州大学、浙江农业大学、浙江医科大学的建设和发展均取得了较大成就。
浙江大学成为在国际上有较大影响的、以工为主、理工结合、人文经管协调发展的全国重点高校，1995年成为首批列入国家“211工程”建设计划的重点大学之一。
《运筹学》第一章 线性规划jssk
1.2 线性规划问题的图解法 及几何意义
线性规划的图解法
• 最简单、直观的方法 • 但只适用有两个决策变量的情况
x2
非负约束 The non-negative constraints
x1
1.2 线性规划问题的图解法 及几何意义 ②
x2
②
6 4 2 0 0 2
Max Z=2X1+3X2 X1+2X2≤8 ① 4X1 ≤16
min Z =200 x1 290 x2 0.15x1 0.50 x 2 ≥ 15 s.t. 0.20x 1 0.30 x 2 ≥ 12 0.50x 1 0.15 x 2 x1 、x2 0
≥
12
1.1 线性规划问题及其数学模型
线性规划的模型结构:
从以上两个例子中可以归纳出线性规划问题的一 般形式：对于一组决策变量x1,x2,xn，取
min Z = - x1 2 x2 - 3 x3 x1 x2 x3 7
s. t.
(1)
x1 - x2 x3 2 -3 x1 x2 2 x3 = 5 x1 , x2 0, x3无限制
(2)
(3)
1.1 线性规划问题及其数学模型
解：
x3无限制，令x3=x4-x5，x4,x5≥0；(1)式左端加上非负松 弛变量x6，(2)式左端减去非负松弛变量x7；目标函数取最 小值，令Z’=-Z，同时将x3换成x3=x4-x5，则线性规划问题 化为如下标准型：
1.1 线性规划问题及其数学模型
• 线性规划模型三要素的意义
（1）决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决 定企业经营目标的各产品的产量等。 （2）目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。 例如利润最大、成本最小等。 （3）约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材 料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目标 值所能到达的程度。
浙江大学远程运筹学作业
《运筹学》作业第2章1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）解：①决策变量：本问题的决策变量是第一种产品1和第二种产品2的产量。
可设：x为产品1的产量；y为产品2的产量。
②目标函数：本问题的目标函数是获利最多，则，总利润=40x+50y;③约束条件：本问题有四个约束条件:第一个原材料A的约束，x+2y≦30;第二个是原材料B的约束，3x+2y≦60;第三个是原材料C的约束，2y≦24;第四个是非负约束，由于产量不可能为负值，所以有，x≧0, y≧0.由上述分析可建立本问题的线性规划模型如下：o.b. max 40x+50ys.t. x+2y≦30（原材料A的约束）3x+2y≦60（原材料B的约束）2y≦24（原材料C的约束）x≧0, y≧0(非负约束)x如图C点是本题的最优解。
而C点是约束条件原材料B的约束和原材料A的约束的交点，即同时满足下述方程的点：x+2y=303x+2y=60.则x=15.y=7.5最大利润为40*15+50*7.5=975（万元）答：当工厂生产产品1为15件，产品2为7.5件时，工厂获利最多。
2． 某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解解:决策变量产品1为x ，产品2为y ； 最大获利为300x+500y; o.b. max 300x+500ys.t. x ≦4（原材料A 的约束） 2y ≦12（原材料B 的约束） 3x+2y ≦24（人时的约束) x ≧0, y ≧0(非负约束有约束条件可知，阴影部分为可行区域。
当A 目标函数与可行区域交与A 点时，利益最大 即A(4,6),最大利润为300*4+500*6=4200(万元)当工厂生产产品1为4件，产品2为6件时，是工厂获利最大。
2012级《运筹学》第一次课内实验题目
第一次课内实验题目1．生产计划问题已知某工厂计划生产I，II，III三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生产，具体相关数据如表，试研究下列问题：（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？（2）如果为了增加产量，可租用其它厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万元，试问租用设备B是否合算？（3）如果该厂家拟增加生产两种新产品IV和V，其中产品IV需用A设备12台时，B设备5台时，C设备10台时，单位产品盈利2100元；产品V需用A设备4台时，B设备4台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。
假设A，B，C三种设备台时不增加，试分别考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？（4）如果工厂对产品工艺进行重新设计改造，使改造后生产每件产品I需用A设备9台时，B设备12台时，C设备4台时，单位产品盈利4500元，试问这种改造方案对原计划有何影响？生产计划的相关数据2．快餐店用工问题某快餐店坐落在远离城市的风景区，平时游客较少，而每到双休日游客数量猛增，快餐店主要是为游客提供快餐服务，该快餐店雇用了两名正式员工，主要负责管理工作，每天需要工作8h，其余的工作都由临时工担任，临时工每天要工作4h。
双休日的营业时间为11:00到22:00，根据游客的就餐情况，在双休日的每天营业小时所需的职工数（包括正式工和临时工）如表所示。
营业时间与所需职工数量已知一名正式职工11：00开始上班，工作4h后休息1h，而后再工作4h；另一名正式职工13：00开始上班，工作4h后休息1h，而后再工作4h。
又临时工每小时工资为4元。
（1）在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？（2）如果临时工每班工作时间可以为3h，也可以为4h，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小？这样比方案(1)能节省多少费用？此时需要安排多少临时工班次？2012级《运筹学》第一次课内实验题目3．轰炸方案问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标，已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目标。
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《运筹学》作业第2章1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）解：设产品1的数量为X，产品2的数量为Y，总利润为Z。
O．B．MAX 40X+50=ZS．T．X+2Y≤303X+2Y≤602Y≤24X≥0，Y≥0同图解法得可行域如下：①②③假设Z=20时，等利润直线如①所示40X+50Y=20假设Z=40时，等利润直线如②所示40X+50Y=40假设Z=840时，等利润直线如③所示40X+50Y=840如上图所示B点是满足约束直线X+2Y=30和约束直线Y≤12，即同时满足下述方程的点X+2Y=303X+2Y=60解上述方程二元一次方程组，可得最优解为：X=15，Y=7.5，可得最大利润为40*15+50*7.5=975万元答：公司应安排生产产品1和产品2分别为15和7.5个，可获和最大利润975万元。
2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）解：设产品1的数量为X，产品2的数量为YO．B．MAX 300X+500Y=ZS．T．X≤42Y≤123X+2Y≤24X≥0，Y≥0同图解法得可行域如下：①②③假设Z=1500时，等利润直线如①所示300X+500Y=1500假设Z=1800时，等利润直线如②所示300X+500Y=1800假设Z=4200时，等利润直线如③所示300X+500Y=4200如图所示B点是约束条件直线X=4，Y=6的交点；同时也满足约束条件直线3X+2Y=24 可得，X=4，Y=6时最优解MAX Z=300*4+500*6=4200（万元）答：当产品1为4，产品2为6时，可获最大利润4200万元。
3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？Microsoft Excel 9.0 敏感性报告工作表 [ex2-6.xls]Sheet1报告的建立: 2001-8-6 11:04:02可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量$B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20$C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5$D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0$E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量$G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100$G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200解：1）由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为8元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加1小时劳动时间，该厂的利润将增加8元。
因此，付给工人加班11元加班费是不值得的，将亏损8－11＝－3（元）。
2）由敏感性报告可知，家具2的目标系数（即单位利润）允许的增量为10，即当家具2的单位利润增量不超过10，最优解不变。
因此，若家具2的单位利润增加5元，该增量在允许的增量范围内，这时，最优解不变。
4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）（20分）解：设产品1的数量为X，产品2的数量为Y，总利润为Z。
Ｏ．Ｂ．MAX 25X+10Y=ZS．Ｔ．0.6X+0.5Y≤120000.4X+0.1Y≤40000.4Y≤6000Ｘ≥０，Ｙ≥０假设Z=100000时，等利润直线如①所示25X+10Y=100000假设Z=200000时，等利润直线如②所示25X+10Y=200000假设Z=306250时，等利润直线如③所示25X+10Y=306250如上图所示B点是约束条件直线0.4Y=6000,0.4X+0.1Y=4000的交点，即同时满足下述方程的点：0.4Y=60000.4X+0.1Y=4000可得最优解X=6250，Y=15000 相应的MAX Z=25*6250+10*15000=306250（元）答：当产品1为6250，产品2为15000时，可获最大利润306250元。
5. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？Microsoft Excel 9.0 敏感性报告工作表 [ex2-6.xls]Sheet1报告的建立: 2001-8-6 11:04:02可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量$B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20$C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5$D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0$E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量$G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100$G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50$G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200解：1）由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为8元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加1小时劳动时间，该厂的利润将增加8元。
因此，付给工人加班11元加班费是不值得的，将亏损8－11＝－3（元）。
2）当可提供的劳动时间从400小时增加到402小时时，该增加量在允许的增量（25）小时内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为8元。
因此，该厂的利润变为：9200+8*（402-400）=9216（元）3）由敏感性报告可知，家具2的目标系数（即单位利润）允许的增量为10，即当家具2的单位利润增量不超过10，最优解不变。
因此，若家具2的单位利润增加5元，该增量在允许的增量范围内，这时，最优解不变。
第3章1．一公司开发出一种新产品，希望通过广告推向市场。
它准备用电视、报刊两种广告形式。
这两种广告的情况见下表。
要求至少30万人看到广告，要求电视广告数不少于8个，至少16万人看到电视广告。
应如何选择广告组合，使总费用最小（建立好模型即可，不用求解）。
解：据题意，本题的决策变量是各媒体投入的广告数，设X，Y分别为电视和报刊投入的广告数。
O．B．Min 1500X+450YS．T．2.3X+1.5Y>=30X>=82.3X>=16X<=15, Y<=252．医院护士24小时值班，每次值班8小时。
不同时段需要的护士人数不等。
据解：设第1到第6班安排的护士人数分别是X1，X2，X3，X4，X5，X6。
O．B．Min X1+X2+X3+X4+X5+X6S．T．X1+X2≥70X2+X3≥60X3+X4≥50X4+X5≥20X5+X6≥30X6+X1≥60第4章1．对例4.5.1,如果三个工厂的供应量分别是:150,200,80, 两个用户的需求量不变.请重新建立模型,并求解.第5章1．考虑4个新产品开发方案A、B、C、D，由于资金有限，不可能都开发。
要求A与B至少开发一个，C与D中至少开发一个，总的开发个数不超过三个，预算经费是30万，如何选择开发方案，使企业利润最大（建立模型即可）。
解：设产品A,B,C,D是否开发分别用X1,X2,X3,X4来表示,即变量X1=1表示产品A开发,X1=0表示A不开发.O．B．Max 50X1+ 46X2+67X3+61X4S．T．X1+X2>=1X3+X4>=1X1+X2+X3+X4<=312X1+8X2+19X3+15X4<=30第9章1．某厂考虑生产甲、乙两种产品，根据过去市场需求统计如下：答：乐观原则:选乙悲观原则:选甲最大期望值原则:选乙2．某公司准备生产一种新产品，但该产品的市场前景不明朗。
公司一些领导认为应该是先做市场调查，以确定市场的大小，再决定是否投入生产和生产规模的大小，而另一些领导认为没有必要花钱与浪费时间进行市场调查，应立即投入生产。
请你分析这个问题的决策过程，并通过建立概念模型（决策中的主要因素），画出决策过程的决策树结构。
解：刚开始的第一个决策是调查与否，调查必然会产生一个调查费用假设为A 调查会产生2个结果，一个是市场乐观的结果一个事市场悲观的结果市场乐观概率为a%的情况下得到一个好的结果的概率是x%，预计利润为B元，坏的结果概率是（1-x%)，利润为C元。
市场悲观概率为1-a%的情况下得到一个好的结果的概率为y%，预计利润为B元，坏的结果概率为（1-y%），利润为C元不调查直接会产生2个结果，市场乐观概率为a%，利润为B市场悲观概率为1-a%，利润为C比较2个期望值得大小不调查的期望值是B*a%+C*（1-a%）调查的期望值是B*a%*x%+C*a%*(1-x%)+B*y%*(1-a%)+C*(1-y%)*(1-a%)-A比较期望值大小，选择大的一边。
BCBCBC3．某厂考虑生产甲、乙两种产品，根据过去市场需求统计如下答：乐观原则:选乙悲观原则:选甲最大期望值原则:选甲4．某公司准备生产一种新产品，但该产品的市场前景不明朗。
公司一些领导认为应该是先做市场调查，以确定市场的大小，再决定是否投入生产和生产规模的大小，而另一些领导认为没有必要花钱与浪费时间进行市场调查，应立即投入生产。
根据估计，市场调查的成本是3000元，市场调查结果好的概率是0.6,而市场调查结果好时市场需求大的概率是0.8,市场调查结果不好时市场需求大的概率是0.3.在不同市场前景下,不同生产规模下企业的利润如下表.请你分析这个问题的决策过程，并通过建立概念模型（决策中的主要因素），用决策树方法辅助决策。
解：刚开始的第一个决策是调查与否，调查必然会产生一个调查费用假设为A 调查会产生2个结果，一个是市场乐观的结果一个事市场悲观的结果市场乐观概率为a%的情况下得到一个好的结果的概率是x%，预计利润为B元，坏的结果概率是（1-x%)，利润为C元。
市场悲观概率为1-a%的情况下得到一个好的结果的概率为y%，预计利润为B元，坏的结果概率为（1-y%），利润为C元不调查直接会产生2个结果，市场乐观概率为a%，利润为B市场悲观概率为1-a%，利润为C比较2个期望值得大小不调查的期望值是B*a%+C*（1-a%）调查的期望值是B*a%*x%+C*a%*(1-x%)+B*y%*(1-a%)+C*(1-y%)*(1-a%)-A比较期望值大小，选择大的一边。