运筹学 第十章 排队论汇编
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排队论
排队论
❖ 引言 ❖ 生灭过程和Poisson过程 ❖ M/M/s等待制排队模型
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤 现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各 种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统 的最优设计和最优控制问题。
(2)顾客到达方式 这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还 是成批到达。
病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中 如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾 客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔 的分布。 这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确 定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K 个顾客(K=1、2、)的概率是多大。
•先到先服务（FCFS）
•后到先服务（LCFS）
仓库中迭放的钢材，后迭放上去的 都先被领走，就属于这种情况。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如 记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。(K为系统中可容纳的顾 客数)
(2)排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占用且又允许排队，则该 顾客将进入队列等待。例如，排队等待售票，故障设备等待 维修等。服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统Hale Waihona Puke Baidu
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松 流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
2．排队及排队规则
(1)排队 排队分为有限排队和无限排队两类。 有限排队是指排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空 间是有限的，当系统被被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统； 无限排队是指系统中顾客数可以是无限的，队列可以排到 无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， 这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以一般地描述如下：
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图10-1至10-4
图10-1 单服务台排队系统 图10-2 单队列——S个服务台并联的排队系统
图10-3 S个队列——S个服务台的并联排队系统 图10-4 单队——多个服务台的串联排队系统
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
排队的不一定是人，也可以是物：
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修 理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空 而在空中盘旋等等。
显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种 服务的人或物和提供服务的人或机构。
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服 务的人或机构称为“服务员”或“服务机构”。
混合制排队系统（允许排队，但又不允许队列无限长） 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允 许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有 三种：
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时， 后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是 有限的。 如旅馆的床位是有限的。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
(1)顾客总体数 又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可 以是有限的，也可以是无限的。 例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而车间内停机待修得机器显然是有限的。
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时 刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样 的服务系统被称为随机服务系统
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
排队论
❖ 引言 ❖ 生灭过程和Poisson过程 ❖ M/M/s等待制排队模型
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤 现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各 种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统 的最优设计和最优控制问题。
(2)顾客到达方式 这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还 是成批到达。
病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中 如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾 客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔 的分布。 这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确 定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K 个顾客(K=1、2、)的概率是多大。
•先到先服务（FCFS）
•后到先服务（LCFS）
仓库中迭放的钢材，后迭放上去的 都先被领走，就属于这种情况。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如 记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。(K为系统中可容纳的顾 客数)
(2)排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占用且又允许排队，则该 顾客将进入队列等待。例如，排队等待售票，故障设备等待 维修等。服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统Hale Waihona Puke Baidu
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松 流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
2．排队及排队规则
(1)排队 排队分为有限排队和无限排队两类。 有限排队是指排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空 间是有限的，当系统被被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统； 无限排队是指系统中顾客数可以是无限的，队列可以排到 无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， 这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以一般地描述如下：
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图10-1至10-4
图10-1 单服务台排队系统 图10-2 单队列——S个服务台并联的排队系统
图10-3 S个队列——S个服务台的并联排队系统 图10-4 单队——多个服务台的串联排队系统
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
排队的不一定是人，也可以是物：
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修 理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空 而在空中盘旋等等。
显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种 服务的人或物和提供服务的人或机构。
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服 务的人或机构称为“服务员”或“服务机构”。
混合制排队系统（允许排队，但又不允许队列无限长） 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允 许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有 三种：
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时， 后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是 有限的。 如旅馆的床位是有限的。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
(1)顾客总体数 又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可 以是有限的，也可以是无限的。 例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而车间内停机待修得机器显然是有限的。
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时 刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样 的服务系统被称为随机服务系统
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去