2二元函数极限

§2二元函数极限

2222

1x y (1)x y →+(x,y)(0,0)、试求下列极限lim

分析：对趋近于原点且含有22x y +类的极限问题，采用极坐标变换较为简单。

22222222

222

22

()x r cos ,y r sin (x,y)(0,0)r 0

x y f (x,y)0r sin cos r

x y >0f (x,y)0r x y lim 0x y →=θ=θ→⇔→-==θθ≤+∀εδδ-≤≤ε∴=+(x,y)(0,0)解：1对函数自变量作极坐标变换：这时由于因此，对，取时，就有

22

22

(x,y)(0,0)1x y (2)lim

x y →+++ 222

222(x,y)(0,0)r 0x r cos ,y r sin 1x y 1r lim =lim x y r

→→=θ=θ

+++=+∞+解：令

22(x,y)(3)

lim

→

分析：可以先分母有理化，再使用极坐标变化。

22(x,y)(x,y)(0,0)

r 0

x r cos ,y r sin lim

lim

=1)2

→→→=θ=θ

=解：令

44

(x,y)(0,0)44224444444

(x,y)(0,0)xy 1

(4)

lim

x y x r cos ,y r sin ,(x,y)0r 000<1

sin cos (3cos 4)

4

xy 1r sin cos 142r sin 22M x y r (cos sin )r (3cos 4)4r xy 1

lim →→++=θ=θ→⇔→∀θ+θ=+θ+θθ++θ∴==>≥+θ+θ+θ+∴解：令不妨限制的，则，当0时44

x y =+∞+ (x,y)(1,2)1

(5)lim

2x y

→-

(x,y)(0,0)11M>0x 1,y 24M 2M

111

M

2x-y 2(x 1)(2y)2x 12y 1

lim 2x y →∀-<

-<≠=≥>-++-+-∴=∞

-解：对，当且(x,y)(1,2)时有 22

(x,y)(0,0)2222

(x,y)(0,0)

1

(6)

lim (x y)sin

x y >01

sin x y x y 1

lim (x y)sin

0x y

→→++εε

∀ε≤+<ε

+∴+=+解：对，当x <,y <时有

22

(x+y)

2222

(x,y)(0,0)222222(x,y)(0,0)r 0sin(x y )

(7)lim x y x r cos ,y r sin ,(x,y)0r 0sin(x y )sin r lim = lim 1

x y r

→→→++=θ=θ→⇔→+=+解：令令 2、讨论下列函数在点(0,0)处的重极限与累次极限

2

2

2

y (1)f (x,y)x y =+

2222222(x,y)(0,0)r 0r 02

2

2

22222

x 0y 0x 0y 0x 0y 0y r sin lim lim limsin ,x y r y y y

limlim

lim00,limlim lim 1

x y x y y →→→→→→→→→θ

==θ+====++解：重极限不存在而

(x,y)(0,0)x 0y 0y 0x 011(2)f (x,y)(x y)sin sin

x y >0=211

(x y)sin sin x y 2x y

11

lim (x y)sin sin 0x y

1111

limlim(x y)sin sin limlim(x y)sin sin x y x y →→→→→=+ε

∀ε∃δδδ≠+≤+<δ=ε

∴+=++解：对，，当x =,y <,(x,y)0时

而与均不存在

2222

2

2222

222222

x 0x 0y kx 2222

222222x 0y 0x 0y 0x 0y 0x y (3)f (x,y)x y (x y)1k 1x y k x lim lim 0k 1x y (x y)k x (1k)x y x y lim lim lim 00,lim lim lim 00x y (x y)x y (x y)→→=→→→→→→=+-=⎧==⎨

≠+-+-⎩====+-+-解：所以重极限不存在

而

2

32

332

3336

222

x 0x 0y x

3339876

23x 0x 0y x x

333322x 0y 0x 0y 0x 0y 0

x y (4)f (x,y)x y

x y x x lim lim 0

x y x x x y x x 3x 3x x lim lim 1x y x x y x y lim lim lim lim lim(x y)lim x y x y →→=→→=-→→→→→→+=+++==++++-+-==++++++2解：所以重极限不存在

而=x=0,=y =0

x 0y 0x 0y 0x 01

(5)f (x,y)ysin

x

11

lim lim ysin =lim =lim lim ysin x x →→→→→=解：00，不存在