高等数学：10-4三重积分
《高等数学教学课件》2011 第三节 三重积分的计算法
2a cos
2 2 d
0
2
3 2a cos
4a 2 r 2 rdr
2
2 3
(4a
2
r
2)2
d
2
0
2 3
3
2 [8a 3 (4a 2 4a 2 cos 2 ) 2 ]d
4 3
2 (8a3 8a3 sin3 )d
0
2
32 3
a
3
(
2
2 sin3 d )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
2 sind )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
).
例10、将直角坐标形式的二次积分
2
4 x x2
4
4 x x2
I dx
f ( x, y)dy dx
0
2 x x2
2
0
f ( x, y)dy
化为极坐标形式的二次积分.
解
4 cos
I 2 d rf (r cos , r sin )rdr.
D3 : x 2 y 2 2a 2 , x 0, y 0
( a e x2 dx)2 a e x2 dx a e y2 dy e ( x2 y2 )dxdy
0
0
e ( x2 y2 )dxdy
e
0
(
x
2
y
2
)
D2
dxdy
e ( x2 y2 )dxdy
D1
D2
( )
a 0
e x2 lim
a
dx)2
4
(1
4
(1
高数同济第六版下高等数学2第十章答案
习题10-1 二重积分的概念与性质1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+⎰⎰与2[ln()]Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++⎰⎰，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解(),f x y =，积分区域的面积等于2，在D 上(),fx y的最大值()104M x y ===，最小值()11,25m x y ==== 故0.40.5I ≤≤习题10-2 二重积分的计算法1.计算下列二重积分： （1）22()Dx y d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）x y De d σ+⎰⎰，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化二重积分(,)DI f x y d σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
高等数学三重积分
I=
∫∫ dxdy ∫
D
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
=
∫
4
0
dx ∫
4− x
0
dy ∫
x 2 + y 2 +1
0
f ( x , y , z )dz
. .
Ω
y
y=0
x+ y = 4
1
.
D
o
4
x
8. 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
x y z 所围区域。 Ω : 抛物柱面 2 y = x和平面 + + = 1, z = 0 所围区域。 4 2 2
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
6 x+y+z=6
3x+y=6
计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
0
.
6
y
2
x
6
4.
Ω：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 平面 ， 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域 所围成的区域 z
D
f ( x , y , z )dz
。
y
y= x
y2=x
y=0
.
Ω
0
D
π
o
y
2
x
z=0
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
高等数学三重积分
2
2
2
: {( x , y , z ) | c z c , x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式
c
c
z dz dxdy,
2 Dz
x
x y z Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c
z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c D
三、小结
三重积分的定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下的体积元素
dv dxdydz
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例 1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz为三
次积分，其中积分区域 为由曲面 z x 2 y 及 z 2 x 所围成的闭区域.
2
2
2
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域
x y 1,
2 2
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , x2 2 y2 z 2 x2
1
1 z
1 y z
1
dx
o
0 zdz0 (1 y z )dy
1
1 z
y
1
x
1
1 1 2 0 z (1 z ) dz . 2 24
三重积分的计算与应用
三重积分的计算与应用积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算的一种方法，它可以用于计算三维体积、质心位置、质量、物理场的通量等问题。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的计算方法三重积分在直角坐标系中的计算方法可以分为直角坐标系下的直接计算和变量替换法两种。
1. 直接计算直接计算是指根据积分的定义，将积分区域划分为许多小的体积元，然后对每个小体积元进行积分的方法。
在直角坐标系中，三重积分的计算公式为：∬∬∬_V f(x,y,z) dxdydz其中f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dxdydz表示三维空间中的体积元。
通过将积分区域V划分成小的立方体，求解每个小立方体的体积和函数值的乘积，再将所有小立方体的贡献相加，即可得到三重积分的结果。
2. 变量替换法当被积函数的积分区域V的形状比较复杂时，直接计算的方法可能比较繁琐。
这时可以利用变量替换法来简化计算。
变量替换法是通过引入新的变量替换积分变量，使得积分区域转化为更简单的形式。
常用的变量替换方法包括球坐标系变换、柱坐标系变换和曲线坐标系变换等。
二、三重积分的应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
1. 计算体积三重积分可以用来计算三维空间中各种复杂形体的体积。
通过将被积函数设为1，即可计算出积分区域的体积。
2. 质心位置质心是一个物体的重心位置，对于具有连续分布质量的物体，其质心位置可以通过三重积分来计算。
通过将被积函数分别为x、y、z乘以质量密度，然后对三重积分进行计算，即可得到质心位置的坐标。
3. 质量如果一个物体的质量分布在三维空间中不均匀，可以通过三重积分来计算其质量。
将被积函数设为质量密度，然后对积分区域进行三重积分，即可得到质量的大小。
4. 物理场的通量物理场的通量表示单位时间通过单位面积的物理量。
重积分知识点
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
高等数学中三重积分计算教学实例研究
131高等数学中三重积分计算教学实例研究向 彪三重积分的计算是高等数学课程中老师教学和学生学习的难点内容之一，也是全国研究生入学考试中全国统考科目《数学》的常考内容，在物理学，经济学，管理学等领域应用也十分广泛。
因此，理解和掌握三重积分的计算方法就显得尤为重要。
在三重积分的计算过程中，其落脚点还是定积分和二重积分的计算，若能合理的将三重积分计算问题转化成为一个定积分和二重积分的计算问题，三重积分的计算问题就变得容易多了。
下面从三重积分的基本定义和计算展开方法，三重积分的典型例题等方面来介绍高等数学中常见的三重积分的计算方法。
1定义及基本方法 1.1定义简述若V属于三维空间，三元函数(,,)f x y z 是定义在V上有界，对V 的任意分割T ，当||||T δ<时（δ为任意给的正数）,属于T 的积分和与一定数J 的差的绝对值也是都任意小的正数，则称数定J 是函数(,,)f x y z 在V 上的三重积分。
记作(,,)VJ f x y z dxdydz =⎰⎰⎰或(,,)VJ f x y z dV =⎰⎰⎰.1.2展开的基本方法 若函数(,,)f x y z 在长方体[][][],,,V a b c d e h =** 上的三重积分存在，且对任意()[][],,,x y a b c d ∈*，(,)(,,)h eg x y f x y z dz =⎰存在，则积分(,)Dg x y dxdy ⎰⎰也存在，且(,,)(,,).heVDf x y z dxdydz dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰，这种方法简称“先二后一”.若函数(,,)f x y z 在长方体[][][],,,V a b c d e h =**上的三重积分存在，且对任何[],x a b ∈,二重积分()(,,)DI x f x y z dydz=⎰⎰存在，其中[][],,D c d e h =*,则积分(,,)baDdx f x y z dydz⎰⎰⎰也存在，且(,,)(,,)baVDf x y z dxdydz dx f x y z dydz=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.这种方法简称“先一后二”.2计算方法举例三重积分的计算方法的选取，不能固定思维、僵化选用某一种方法，一定要按照积分区域及被积函数(,,)f x y z 的具体情况来选定，下面举例说明。
三重积分计算(高等数学)
1 r 2
zdz
zdz
Dxy
1
x
I = 0 dθ 0 rdr 0
. .
0
4
1
y
河南理工大学万方科技学院
例2、 计算 I
2 2 2
zdxdydz，其中 是球面
x y z 4与抛物面 x y 3 z
所围的立体.
x cos y sin 解 由 zz ,
4 2
13 zdz . 4
一般地，先对z，后对p，最后对 积分
河南理工大学万方科技学院
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数，
A
x
r
M ( x, y, z )
z
o
P ， 来确定，其中 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角， 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
且 关于zox 面对称,
( xy yz )dv 0 ,
河南理工大学万方科技学院
同理
zx 是关于 x 的奇函数,
且 关于 yoz 面对称,
由区域对称性知
2
xzdv 0,
2
x dv y dv ,
2
则I
( x y z ) dxdydz
x = 0, y = 0, x+2y =1 围成
1 2
y
x =0
y=0
0
Dxy z =0
1 2
1 x 2 y
高等数学(第五版)10-6高斯公式
DxyD xyFra bibliotekD xy
若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 同理
P P ( x, y, z )dydz x dv, Q Q( x, y, z )dzdx y dv ,
A ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 向着指定侧的通量.
P Q R 而 叫做向量场A 的散度，记作 A. div x y z
高斯公式现在可写成： A ndS divAdv .
2 2 2
( x
解: 根据两类曲面积分的联系，
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 z
z h ( x 2 y 2 h2 ) 补充 1 :
1 : z z1 ( x , y )
{ R[ x , y , z2 ( x , y )] R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy.
R （把R( x , y , z )看作z的函数 [ dz ]dxdy z1 ( x , y ) z 用牛顿 莱布尼兹公式） D xy R dxdydz . z
高斯(1777 – 1855)
德国数学家、天文学家和物理学家,
是与阿基米德、牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、
代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创 性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 在对天文学、大 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 恪守这样的
(完整版)10.3三重积分的概念和计算
z z2( x, y)
z2 S2
y1(x), y2 (x) 在 [a,b] 上连续.
z1 S1
z z1( x, y)
aO b
D
(x, y)
y
y y2( x)
x
y y1(x)
8
三重积分
(2) 对 (x, y) Dxy , 过 (x, y) 作平行于z轴的
直线穿过区域 ,
则由曲面 S1 : z z1(x, y) 穿入,穿入点 M1(x, y, z1(x, y))
截面法的一般步骤
(1) 把积分区域向某轴 (如z轴) 投影,
得投影区间 [பைடு நூலகம்1,c2 ];
(2) 对z [c1,c2 ] 用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz; (红色部分)
即
(x,
y,
z) :
c1
z
c2 , ( x,
y) Dz
z
c2
(3) 计算二重积分 f ( x, y, z)dxdy z
则该区域上的三重积分的被积函数中的
x换成y的积分与y换成z的积分, z换成x的积分相等.
22
三重积分
从而
xdxdydz ydxdydz zdxdydz
于是
(x y z)dxdydz 3 xdxdydz
1 x y
3 dxdy0 xdz
Dxy
1
1 x
1 x y
30 xdx0 dy0 dz
Dxy
Dxy z1 ( x, y )
化为二次积分即可.
11
三重积分
同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.
所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积 分(累次积分).
三重积分
z ≈ d z = f x (x, y)x + f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x + x, y + y) ≈ f (x, y) + f x (x, y)x + f y (x, y)y
(可用于近似计算)
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
内容小结
1. 微分定义:
z =
+ o(ρ)
z = 2e2 y (2,1)
例2. 计算函数 解: d u =
1 cos y + (2 2
的全微分.
yz ) d y ze
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
*二、全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
z = f x (x, y)x + f y (x, y)y + o(ρ)
dz
可知当 及 较小时, 有近似等式:
全增量 z=f(x+x, y+y)f(x, y).
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
2.全微分的定义 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)f(x, y) 可表示为 z = Ax+By+o(ρ) (ρ = (x)2 +(y)2 ) , 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数 z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在 y) (x, y) , Ax+By z=f(x, y) 点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数 在D内可微分.
高等数学A10-3三重积分修订
o
y
r 3
o
A
10-3 三重积分
例8 计算三重积分 ( x2 y2 ) dv , 其中 是由曲
面 z x2 y2 与平面 z H (H 0) 所围成。
z
解: 将 向 xoy 面投影, 得
D : x2 y2 H2
HH
或 D:
0 2 ,
0 r H .
10-3 三重积分
1. 利用直角坐标计算三重积分
用平行于坐标面的平面族：x 常数，y 常数，z 常数 去分割积分区域 , 除边界外,每个小块都是一个长方体 于是得到体积微元
dv dxdydz
从而在直角坐标系下三重积分表示为：
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
任意划分：将 任意分成 n 个小闭区域v1, v2 vn , 其中vi表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积.
取点作积： (i ,i , i ) vi , f (i ,i , i ) vi (i 1, 2, , n)
n
取和： f (i ,i , i ) vi . i 1
的数 r, , 来确定,其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
10-3 三重积分
例 4 计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由
椭球面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解: 如图所示
z
Dz
o
y
x
10-3 三重积分
例 5 计算三重积分 zdxdydz，其中 为三个
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
三重积分的计算方法_贾建文
收稿日期 :2009 -07 -10 ;修改日期 :2010 -01 -20 . 基金项目 :山西师范大学数学分析精品课程建设项目(2007jpkc-15). 作者简介 :贾建 文(1963 -), 男 , 山 西运城人 , 硕士 , 教授 , 从 事微分方
z = xy ,
类区域 , 且投影区域是圆域 、圆环域或其部分 , 则我们
于是
采用在柱面坐标系下计算三重积分 .区域的表示只要
Ψ=((x ,y ,z)|0 ≤z ≤ xy ,(x , y)∈ Dxy).
将投影区域在极坐标系下表示(通常表示成 θ- 型区
解 由公式(1)得
域 , 即先 r 后 θ的累次积分顺序)即可 .
程及其应用研究 , Email :jiajw .2008 @163 .com .
域可加性 , 只要能计算在上述两类区域上的积分即可 . 所以下面仅就上述两类区域讨论三重积分的计算 .
1 直角坐标系下三重积分计算方法 计算三重积分的基本方法是将三重积分转化为 累次积分进行 计算 , 一般 教材[ 1 , 2] 都讲到首 先化为 “先一后二” 的累次积分 , 再将二重积分化为累次积 分 , 从而完成计算 .那么我们自然会想到能否首先化 为“先二后一” 的累次积分再计算 , 结果是肯定的 .现 在的关键问题是面对一个三重积分如何选择使用恰 当的累次积分顺序 , 一般来说 , 需要根据积分区域的 类型和被积函数的特点综合考虑 , 并正确确定出积分 的上下限 . 1 .1 “先一后二” 法 一般地 , 若积分区域 Ψ属于(ⅰ)类区域 , 则采用 “先一后二” 法 .比如 Ψ是 X Y -型区域 , 采用先对 z 积 分后对 x , y 求二重积分的积分顺序 , 即
三重积分的计算方法
学法教法研究任水平,对公司、对社会也将是一件善事。
一是建立明晰的伦理道德责任。
从目前来看,各种类似“天津港的爆炸案”的案例已经不在少数,每天可能都在上演着,尽管造成这种事故的原因各式各样,有的是自然因素,有的是人为因素,但只要我们细细分析,大多与我们工程师的道德观念崩塌有着或多或少的关系,更有甚者,工程师没有履行职责,尤其是伦理责任没有到位而造成了巨大的损失。
二是建立责任评价和追究机制。
目前,我国的工程师主要是在公司、企业、政府担任一定的职责,在承担责任时往往都是单位,尤其是在追究道德层面的责任,由于责任不清晰,无法认定。
或者根本就没有单独制定这样的评价机制。
对工程师的约束就很少以至于没有,所以,建立公开、公正、公平的工程责任评价和追究机制是非常必要的,从制度机制层面明确工程活动主体的责任,对于社会、对企业或者工程师个人都是大有裨益的。
三是加强伦理教育,提升工程师伦理责任意识。
我们无论大学还是社会,对于工程师的伦理道德教育都不能放松,没有一定的伦理道德教育作为基础,想要工程师们的伦理责任有大幅的提高也是不可能的。
目前,我们的高校在人才培养上,可能注重工程专业技术的培训多,而对于工程师伦理责任的培养却是非常的少,重视程度还不是很够。
所以我们大学应该采取多种措施,加大对工程师伦理道德的培养。
当然,在现实社会中,工程伦理又是实践性和应用性很强的学科,必须结合工程的实际问题,培养出具有生态伦理价值观、思维观和执行力的工程技术人才。
通过以上结合天津港爆炸事件分析,对工程师的伦理责任有了更深层次的认识。
社会的进步和发展离不开工程建设活动,生态文明建设更离不开有效的工程活动,我们的工程师要切实树立增强伦理责任的理念,在工程的设计、施工中既要体现对企业、对公司的经济效益负责,又要体现出对社会、对环境的责任。
参考文献:[1]李世新.谈谈工程伦理学[J].哲学研究,2013(02).[2]张铁山.论阻碍工程师伦理责任发挥的因素及其对策[J].漯河职业技术学院学报,2012(01).[3]何放勋.论工程师的伦理责任[J].湖南工程学院学报,2012(04).[4]胡岩.对工程师伦理责任的探讨[J].中北大学学报(社会科学版),2012(04).三重积分的计算方法张辉李应岐陈春梅(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法,给出相应的求解思路,并辅以典型例题,旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。
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记作
bd
a
z
DZ
f (x, y, z)dxdy
z b
z Dz a
y x
面密度≈
f (x, y, z) d z
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方法3. 三次积分法
设区域 :
z1(x, y) z z2 (x, y)
(
x,
y)
D
:
y1(
x) a
y x
y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
作业
P175-176 A类：1(2)(4); 3; 5; 7; 9; 10 (2) B类：1(2)(3); 2; 3; 4
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记作 dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
微元线密度≈
f (x, y, z) dxdy
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
abDZ f (x, y, z) d x d ydz
例1. 计算三重积分 xdxdydz, 其中 为三个坐标
面及平面 x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
0 z 1 x 2y
解: :
0
y
1 2
(1
x)
0 x 1
x d x d y d z
1x2 y
0 d z
1
xdx
1 2
(1
x)
(1
x
2
y
)d
y
0
0
1
1
(x
2x2
x3 )d x
六个平面 x 0, x 2, y 1, x 2 y 4, z x , z 2 所 围成 , f (x, y, z) C().
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
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例4. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
1
40
48
z 1
1 2
y x1
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例2. 计算三重积分
c z Dz z
解: :
c zc
Dz
:
x2 a2
y2 b2
1z2 c2aFra bibliotekbyx
用“先二后一 ”
z
2
d
x
d
y
d
z
c
z c
2
d
z
Dz
d
x
d
y
2
c z 2
c
ab(1
z c
2 2
)dz
4
15
abc3
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例3.
将 I f (x, y, z) d v 用三次积分表示, 其中由
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先一后二” )
:
z1
( (
x, x,
y) y)
z D
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f (,, )V
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二、直角坐标系下三重积分的计算
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
第4节
直角坐标系下 三重积分的计算
一、三重积分的概念回顾 二、三重积分的计算
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一、三重积分的概念回顾
引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的
物质, 密度函数为(x, y, z) C,求分布在 内的物质的
质量 M .
解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
n
M
lim
0
(k ,k , k )vk
k 1
vk
(k ,k , k )
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定义. 设f (x, y, z) , (x, y, z) , 若对 作任意分割:
任意取点
下列
积和式” 极限
“乘
lim
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在上的三重积分.
方法2. “先二后一”
b
a d zDZ f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
b
dx
y2 (x) d y
z2 (x, y) f (x, y, z)d z
a
y1( x)
z1( x, y)
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据
被积函数及积分域的特点灵活选择.
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奇函数
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例5. 计算
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解:
利用对称性
1 2
(
x2
y2
)d
xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
dz
2
d
2z r3 d r 21
21 0
0
其中
z 4
1
Dz
oy x
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投影法
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x, y) f (x, y, z)dz
a
y1 ( x)
z1( x, y)
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
D
z1( x, y)
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当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) f (x, y, z)
z2
(x,
y)
细长柱体微元的质量为
z z2 (x, y)
z
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
y
f (x, y, z) d v
xD
dxd y
D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)
f (x, y, z) f (x, y, z)
2
2
f1(x, y, z) f2 (x, y, z)
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
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小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)d z
D
z1(x, y)