2021年高考数学一轮精选练习：43《空间向量的运算及应用》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习： 43《空间向量的运算及应用》

一、选择题

1.已知a=(－2,1,3)，b=(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb)，则实数λ的值为( )

A.－2

B.－143

C.14

5

D.2

2.若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有OP →=34OA →＋18OB →＋1

8

OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )

A.不共面

B.共面

C.共线

D.不共线

3.A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →=0，AC →·AD →=0，AB →·AD →=0，M 为BC 的中点，

则△AMD 是( )

A.钝角三角形

B.锐角三角形

C.直角三角形

D.不确定

4.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在

线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，设OG →=xOA →＋yOB →＋zOC →，

则x ，y ，z 的值分别是( )

A.x=13，y=13，z=13

B.x=13，y=13，z=16

C.x=13，y=16，z=13

D.x=16，y=13，z=13

5.已知空间向量a ，b 满足|a|=|b|=1，且a ，b 的夹角为π

3

，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，

B 满足OA →=2a ＋b ，OB →=3a －b ，则△OAB 的面积为( ) A.52 3 B.54 3 C.74 3 D.114

6.如图，在空间四边形OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，则OA

与BC 所成角的余弦值为( )

A.

3－225 B.2－26 C.12 D.3

2

7.若a=(1，λ，2)，b=(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为8

9

，则λ=(

)

A.2

B.－2

C.－2或255

D.2或－2

55

8.a=(2x,1,3)，b=(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( )

A.x=1，y=1

B.x=12，y=－12

C.x=16，y=－32

D.x=－16，y=3

2

9.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 满足

=3

，

=3

，则BE 与DF 所成角正弦

值为( ) A.

B.

C.

D.

10.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上，且AM →

=1

2

MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为

( )

A.216 a

B.66a

C.156 a

D.153

a

二、填空题

11.已知2a ＋b=(0，－5,10)，c=(1，－2，－2)，a ·c=4，|b|=12，则以b ，c 为方向向量的两

直线的夹角为 .

12.已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →=(1,2,3)，OB →=(2,1,2)，OP →=(1,1,2)，且点Q 在

直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是 .

13.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD ，VP →=13VC →，VM →=23VB →，VN →=2

3

VD →.则VA 与平

面PMN 的位置关系是 . 三、解答题

14.如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1

的中点.

(1)试用向量AB →

，AD →

，AA 1→

表示AG →

；

(2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C.

15.如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M ，N

分别是A 1B 1，A 1A 的中点.

(1)求BN →

的模；

(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→

〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M.

答案解析

1.答案为：D ；

解析：由题意知a ·(a －λb)=0，即a 2

－λa ·b=0，所以14－7λ=0，解得λ=2.

2.答案为：B ；

解析：由已知可得OP →－OA →=－14OA →＋18OB →＋1

8

OC →

，

即OP →－OA →=－18OA →＋18OB →＋18OC →－1

8

OA →

，

可得AP →=－18(OA →－OB →)＋18(OC →－OA →)=－18BA →＋18AC →=1

8(AC →＋AB →

)，

所以AP →，AC →，AB →共面但不共线，故P ，A ，B ，C 四点共面.

3.答案为：C ；

解析：∵M 为BC 的中点，∴AM →=1

2

(AB →＋AC →).

∴AM →·AD →=12(AB →＋AC →)·AD →=12AB →·AD →＋1

2

AC →·AD →

=0.

∴AM ⊥AD ，即△AMD 为直角三角形.

4.答案为：D ；

解析：设OA →=a ，OB →=b ，OC →=c ，∵G 分MN 的所成比为2，∴MG →=2

3

MN →

，

∴OG →=OM →＋MG →=OM →＋23(ON →－OM →

)=12a ＋23⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12b ＋12c －12a

=12a ＋13b ＋13c －13a=16a ＋13b ＋13c ，即x=16，y=13，z=13.

5.答案为：B ；

解析：|OA →

|=

2a ＋b

2

=4|a|2＋|b|2

＋4a ·b=7，

同理|OB →

|=7，则cos ∠AOB=OA →·OB →

|OA →||OB →|

=6|a|2

－|b|2

＋a ·b 7=11

14

，

从而有sin ∠AOB=5314，∴△OAB 的面积S=12×7×7×5314=53

4

，故选B.

6.答案为：A ；

解析：因为BC →=AC →－AB →，所以OA →·BC →=OA →·AC →－OA →·AB →