计量经济学 张晓桐版 第六章 自相关
计量经济学：自相关
所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只进行D.W.检验。
3、LM检验（或BG检验）
• 此方法不仅适用于一阶自相关检验，也适用于高阶自相关的检验。 • 检验步骤： 1、用OLS对回归模型进行，得到残差序列et；
1、经济变量固有的惯性 大多数经济时间序列数据都有一个明显的特点——惯性，表现为 滞后值对本期值具有影响。
例如：GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都呈周期性，如周期 中的复苏阶段，大多数经济序列均呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前 一时刻的值，似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况 （如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下来。
证明：由于 DW
e
t 2
T
t
e t 1
2 t T
2
e
t 1
T
e e
t 2 2 t t 2 T T
T
T
2 t 1
2 e t e t 1
t 2 2 t
T
e
t 1 t 2 2 t 1
T
若样本容量足够大，有 则 e e
t 2 2 t
et2
3、数据的“加工整理”
在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的。因此，新生
成的数据与原数据间就有了内在的联系，从而表现出序列相关性。
例如：季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每 月数据的波动而引进了数据中的平滑性，这种平滑性本身就能使干扰项 中出现系统性的因素，从而出现序列相关。 还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往导致随机项的序列相关性。
计量经济学 第六章 自相关
计量经济学
第六章
自相关
6
一阶自相关系数
自相关系数 的定义与普通相关系的公式形式相同
n
utut-1
t=2
n
n
ut2
u2 t 1
t2
t2
的取值范围为 -1 1
(6.1)
式（6.1）中 ut-1是 ut 滞后一期的随机误差项。 因此，将式（6.1）计算的自相关系数 称为一阶 自相关系数。
模型中
ut
是
-1
ut
滞后一期的值，因此称为一阶。
此式中的 也称为一阶自相关系数。
18
如果式中的随机误差项 vt 不是经典误差项，即
其中包含有 ut 的成份，如包含有 ut2 则需将 vt
显含在回归模型中，其为
ut = 1ut-1 + 2ut-2 + vt
其中，1 为一阶自相关系数，2为二阶自相关系
另外回归模型中的解释变量在不同时期通常是
正相关的，对于
Xt和
X
t
来说
j
Xt Xt+j 是大于0的。
33
因此，普通最小二乘法的方差 Var(ˆ2) = 2 Σxt2
通常会低估 ˆ2 的真实方差。当 较大和 Xt 有
较强的正自相关时，普通最小二乘估计量的方 差会有很大偏差，这会夸大估计量的估计精度， 即得到较小的标准误。 因此在有自相关时，普通最小二乘估计 ˆ2 的标 准误就不可靠了。
许多农产品的供给呈现为 蛛网现象，供给对价格的 反应要滞后一段时间，因 为供给需要经过一定的时
间才能实现。如果时期 t
的价格 Pt 低于上一期的 价格 Pt-1 ，农民就会减少 时期 t 1 的生产量。如
计量经济学第六章 自相关
X X
t
t+ j
是大于0的。
43
ˆ ) = 2 Σx2 因此，普通最小二乘法的方差 Var( 2 t ˆ 的真实方差。当 较大和 X 有 通常会低估 2 t
较强的正自相关时，普通最小二乘估计量的方
差会有很大偏差，这会夸大估计量的估计精度，
即得到较小的标准误。
ˆ 的标 因此在有自相关时，普通最小二乘估计 2
，
由于使用了广义差分数据，样本容量减少了1个，为22
个。查5%显著水平的DW统计表可知dL = 0.997，dU
。
= 1.174，模型中DW = 1.3979> dU， 说明广义差 分模型中已无自相关。同时，可决系数R2、t、F统计 量均达到理想水平。 10
最终模型结果
由差分方程可知：
7.7649 ˆ 1 41 .9271 1 0.8148
vt 是经典误差项，满足零均值 E(vt ) = 0 ，同方
差 Var(v ) = 2 ，无自相关 E(vt vs ) 0 (t s ) t v 的假定。
32
33
可以推得:
E(ut ) = r E(vt-r ) = 0
r =0
∞
2 σ 2 Var(vt ) = 2 n Var(vt-r ) = v 2 = u 1- r =0
R 2 0.9966 F 4122.531
2
检验结果表明：回归系数的标准误差非常小，t 统 计量较大，说明居民收入 X 对居民储蓄存款 Y 的 影响非常显著。同时可决系数也非常高，F统计量 为4122.531，也表明模型异常的显著。
但此估计结果可能是虚假的，t统计量和F统计量
都被虚假地夸大，因此所得结果是不可信的。为
计量经济学第六章
学
根据时间序列自身发展变化的基本规律和特点
夏
即趋势，选取适当趋势模型进行分析和预测
凡
趋势模型
一般形式
yˆt ft
常用的趋势模型
7
模型的选择
计 定性分析
量
在选模型之前，弄清楚模型的条件和预测对象性
经
质、特点
济
例如：指数曲线和Logistic曲线模型
学
夏 定量分析
凡
根据资料把握现象的特点
L=3646.067128 a=2.026802528 b=0.531299085
14
计
模型的参数估计（续5）
量
经 济
[例6-3]续例6-2，我国自行车销售量预测
学
参数考虑用NLS，得到参数的精确估计
夏 凡
用param 命令为参数赋初值，初值取前面算出的
L、a和b
c(1)=3646.067128
Y
由图可知，序列的增长在近期变缓，考虑建立 Logistic模型
由于增长上限事先无法确定，参数用三和值法估计 12
计
模型的参数估计（续3）
量 经
将数据等分成三段
济 学
本例全部数据为14个，则需舍弃部分数据
从预测角度看，舍弃最早的数据(1978和1979)
夏
将剩余的12个数据等分成三段
凡
预测值序列为ysaf2 模型的MAPE为4.78
26
季节模型预测应用（续3）
计 量
趋势模型的选择
经
由序列ysa、ysaf1和ysaf2的时序图，结合两
济 学
个模型的MAPE来看
二次曲线趋势模型的误差小于对数曲线趋势模型
夏
则最终选择二次曲线趋势模型作为趋势方程
《计量经济学》第六章精选题及答案
第六章自相关二、问答题1、那些原因可以造成自相关；2、存在自相关时，参数的OLS估计具有哪些性质；3、如何检验是否存在自相关；4、当存在自相关时，如何利用广义差分法进行参数估计；5、当存在自相关时，如何利用广义最小平方估计法进行参数估计；6、异方差与自相关有什么异同；三、计算题1、证明：当样本个数较大时，)d。
≈-1(2ρα2、通过D-W检验，判断下列模型中是否存在自相关，显著性水平%5=（1）样本大小：20；解释变量个数（包括常数项）：2；d=0.73；（2）样本大小：35；解释变量个数（包括常数项）：3；d=3.56；（3）样本大小：50；解释变量个数（包括常数项）：3；d=1.87；（4）样本大小：80；解释变量个数（包括常数项）：6；d=1.62；（5）样本大小：100；解释变量个数（包括常数项）：5；d=2.41；3、假定存在下表所示的时间序列数据：请回答下列问题：（1）利用表中数据估计模型：t t t x y εββ++=10；（2）利用D-W 检验是否存在自相关？如果存在请用d 值计算估计自相关系数ρ；（3）利用广义差分法重新估计模型：'''1011(1)()t t tt t y y x x ρβρβρε---=-+-+。
第三部分 参考答案二、问答题1、那些原因可以造成自相关？答：造成自相关的原因大致包括以下六个方面：（1）经济变量的变化具有一定的倾向性。
在实际的经济现象中，许多经济变量的现值依赖于他的前期值。
也就是说，许多经济时间序列都有一个明显的相依性特点，这种现象称作经济变量所具有的惯性。
（2）缺乏应有变量的设定偏差。
（3）不正确的函数形式的设定错误。
（4）蛛网现象和滞后效应。
（5）随机误差项的特征。
（6）数据拟合方法造成的影响。
2、存在自相关时，参数的OLS 估计具有哪些性质？答：当存在自相关，即I D ≠ΩΩ=,)(2σε时，OLS 估计的性质有：（1）βˆ是观察值Y 和X 的线性函数；（2）βˆ是β的无偏估计；（3）βˆ的协方差矩阵为112)()()ˆ(--'Ω''=X X X X X X D σβ；（4）βˆ不是β的最小方差线性无偏估计；（5）如果nX X n Ω'∞→lim存在，那么βˆ是β的一致估计；（6）2σ 不是2σ的无偏估计；（7）2σ不是2σ的一致估计。
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
[(
1
ˆ
)
1
xt
ut
]2
(1 ˆ1)2 xt2 2(1 ˆ1) xt ut ut2
(6.2.11)
其中 xt ut xt ut (1 ˆ1) xt2
u
2 t
ut ut
ut2
1 n
ut ut
t t
(1
1 n
)
u
2 t
2 n
ut
t t
ut
所以
2 t
(1
ˆ 1 )2
xt2
第六章 自相关 【本章要点】（1）自相关的概念，自相关强度的 量度—自相关系数，了解经济现象中自相关产生 的原因；（2）自相关性对模型参数估计的影响； （3）检验自相关性的主要方法；（4）消除自相 关影响的方法。 §6.1 自相关 一、自相关的概念
如果经典回归的基本假定4遭到破坏，则
COV(ut ,us)=E(ut us)≠0 , t≠s , t,s=1,2, …,n,即u的取值与 它的前一期或前几期的取值相关，则称u存在序列相关 或自相关。 自相关有正自相关和负自相关之分，对随机项的时间 序列u1,u2,…,un,…，当ut > 0时，随后的若干个随机项 ut+1,u t+2,…都有大于0的倾向，当ut < 0时，随后若干个 随机项都有小于0的倾向，我们说u具有正相关性；而 负自相关则意味着两个相继的随机项ut和ut+1具有正负 号相反的倾向。在经济数据中，常见的是正自相关现象。
(4)根据样本容量n，自变量个数和显著水平0.05 (或0.01)从D-W检验临界值表中查出dL和du。 (5)将d 的现实值与临界值进行比较： ①若d < dL，则否定H0，即u存在一阶线性正自相关； ②若d > 4- dL，则否定H0，即u存在一阶线性负自相关； ③若du< d < 4- du，则不否定 H0，即u不存在（一阶）线 性自相关；
计量经济学第六章-PPT课件
若模型有三个未知数，将数据三等分，分别求出 每部分的和，代入方程，得到三个方程，解方程 组可获得三个参数的估计值 10
模型的参数估计（续1）
参数的非线性最小二乘估计（第五章）
非线性模型可利用NLS进行参数的精确估计
首先，用param命令对参数赋初值 其次，输入方程，对模型进行估计
11
考虑选择指数曲线模型
2000000
1500000
1000000
500000
0 72 74 76 78 80 Y 82 84 YF 86 88 90 92
9
模型的参数估计
参数的最小二乘估计
常用的各类趋势模型参数估计仍常用OLS 其中，自变量为时间t
参数的三和值法（第五章）
若选用有增长上限的曲线趋势模型，当增长 上限事先不能确定时，可采用三和值法 基本思想
1961-1981年我国搪瓷面盆销售量数据如下 根据其变化，试以Gompertz曲线作为预测模型
由于增长上限L事先无法得知，参数估计可用NLS 在精确估计前，选择三和值法获得参数的初值 模型取对数转换成修正指数曲线 t ˆ y log L b log a log t
计算各段和值 根据参数计算公式计算参数值
产品市场生命周期
进入期 成长期 成熟期 衰退期
20
产品生命周期分析（续1）
f(t)
饱和点
进 成长期 入 期
成熟期 后 期 前 期
衰退期
t
21
产品生命周期分析（续2）
产品市场生命周期的各个阶段与某些趋势 模型存在大致的对应关系
计量经济学 张晓桐版 第六章 自相关
DW =
T
(et et1 ) 2
t2
=
T
et 2
t 1
T
T
T
et 2
et
2 1
2
et et1
t2
t2
t2
T
et 2
t 1
T
T
T
因为在样本容量充分大条件下有 et 2 ≈ et12 ≈ et 2
例6.1 天津市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。
（3）用广义最小二乘法估计回归参数。 首先估计自相关系数 ˆ 。
ˆ = 1 - DW = 1 - 0.60 = 0.70
2
2
对原变量做广义差分变换。令
GDYt = Yt - 0.70 Yt -1 GDXt = Xt - 0.70 Xt – 1 以 GDYt, GDXt，（1979 ~ 2000 年），为样本再次回归，得 GDYt = 45.2489 + 0.6782 GDXt
作广义差分变换：
Yt* = Yt - Yt -1 ; Xj t* = X j t - Xj t-1, j = 1, 2 , … k ; 0* = 0 (1- )
则模型如下
Yt* = 0*+ 1 X1t* + 2 X2 t* +… + k Xk t* + vt ( t = 2, 3,… T)
vt 满足通常的假定条件，可以用OLS法估计上式。
t2
对于总体参数有 = a1，回归模型中误差项 ut 的
一阶自回归形式可表示为， ut = ut-1 + vt
研究生 计量经济学 第六讲 自相关
原因3 原因3－数据处理造成的相关 因为某些原因对数据进行了修整和内插处 在这样的数据序列中就会有自相关。 理，在这样的数据序列中就会有自相关。 例如，将月度数据调整为季度数据， 例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动， 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动， 使季度数据具有平滑性， 使季度数据具有平滑性，这种平滑性产生 自相关。对缺失的历史资料， 自相关。对缺失的历史资料，采用特定统 计方法进行内插处理， 计方法进行内插处理，使得数据前后期相 产生了自相关。 关，产生了自相关。
u1, u2 ,..., un，
ut = ρut-1 + vt
-1< ρ < 1
则此式称为一阶自回归模式， 则此式称为一阶自回归模式，记为 AR (1) 。因为 滞后一期的值，因此称为一阶。 模型中 ut -1是 ut 滞后一期的值，因此称为一阶。 也称为一阶自相关系数。 此式中的 ρ 也称为一阶自相关系数。
22
二、对参数估计的影响
在有自相关的条件下， 在有自相关的条件下，仍然使用普通最小二乘 法将低估估计量 β 的方差 Var(β )
2
2
并且
Σe 将低估真实的 2 = σ σ n- k
2 2 i
23
对于一元线性回归模型， 为经典误差项时， 对于一元线性回归模型，当 u 为经典误差项时， 的方差为: 普通最小二乘估计量 β2 的方差为:
Yt = 27.9123 + 0.3524 X t
（1.8690） (0.0055) ）
t = (14.9343) (64.2069)
R 2 = 0.9966 F = 4122.531
2
检验结果表明：回归系数的标准误差非常小， 检验结果表明：回归系数的标准误差非常小，t 统 计量较大， 计量较大，说明居民收入 X 对居民储蓄存款 Y 的 影响非常显著。同时可决系数也非常高， 统计量 影响非常显著。同时可决系数也非常高，F统计量 为4122.531，也表明模型异常的显著。 ，也表明模型异常的显著。 但此估计结果可能是虚假的， 统计量和F 但此估计结果可能是虚假的，t统计量和F统计量 都被虚假地夸大，因此所得结果是不可信的。 都被虚假地夸大，因此所得结果是不可信的。为 什么?(时间序列中自相关出现多) 什么?(时间序列中自相关出现多) ?(时间序列中自相关出现多
计量经济学自相关
Yt Yt 1 (1 ) 1 ( X 1t X 1t 1 ) 2 ( X 2t X 2t 1 ) k ( X kt X kt 1 ) t
* * X 2t X 2t 1 … X2 t
令： Yt Yt 1 Yt (1 ) * X 1t X 1t 1 X 1*t * * 则： Yt* * 1 X 1*t 2 X 2 X t k kt t
四、回归检验法
回归检验法的优点是：(1)适合于任何形式的自相关检验，(2) 若结论是存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与 参数的估计值。缺点是计算量大。回归检验法的步骤如下： ①用给定样本估计模型并计算残差et。 ②对残差序列et , (t = 1 ,2 ,… , T ) 用普通最小二乘法进 行不同形式的回归拟合。如： et et 1 t
* * Yt* * 1 X 1*t 2 X 2 X t k kt t
第四步：利用广义最小二乘估计量，计算原模型参数估计值：
ˆ* ˆ ˆ 1
ˆ ˆ
第五步：根据原回归模型及估计值计算残差 et ：
ˆ X ˆ X ˆ X ˆ et Yt 1 1t 2 2t k kt
t 1 t 1
二、DW检验
2 et21 2 et et 1
t 2 t 2 2 e t 1 t 2 T
TTΒιβλιοθήκη 2(1 e et 2 T t 2
T
t t 1
2 e t 1
ˆ) ) 2(1
e e ˆ t 其中， 即可表示为 对 t 1 做回归的系数估计值，可等价 于 et 与 et 1 的相关系数。
第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件
由于解释变量之一是被解释变量的滞后值，称为自 回归模型。人们的消费习惯不会轻易改变，从而 对模型产生自相关性。
（3）模型设定偏误（specification error）。
一是应含而未含变量（excluded variable）设定偏 误；二是不正确的函数形式。例
Yi
1
2 X 2i
3
X
2 2i
ui
• 同时，可以推出下列结论
•
E(ut ) mE(vtm ) 0
m0
（6.1.14）
•
Var(ut
)
m0
2 mVar (vt
m
)
1
2 v
2
（6.1.15）
三、自相关产生的原因
（1）惯性（inertia）。
大多数经济时间序列都一个明显的特点，就是它的 惯性或黏滞。例如，GDP、价格指数、就业等时 间序列都呈现出一定的周期性。这种“内在的动 力”惯性往往产生序列自相关。
E ( ˆ2
)
E
(
xt yt xt2
)
E(2
xtut xt2
)
•
2
xt E(ut ) xt2
2
（6.2.5）
• 即参数 2的OLS估计量为无偏估计量。
在随机干扰项不满足无自相关条件时，得到OLS估 计量的方差为：
Var(ˆ2
)
E(ˆ2
2
)
E(
xtut xt2
)2
1 ( xt2 )2
下，经济变量也是正相关，式子（6.2.6）括号内的数值是 大于0的。也就是说，仍使用式子（6.2.3）作为参数估计 量的方差将会低估真实的方差。
• 当随机干扰项不存在自相关时， 2 的无偏估计为：
计量经济学 第六章 自相关
5
3、模型设定不当
(1)数学模型设定不当 比如我们在非线性回归模型中介绍的产品总成本Y和产量X 的回归模型为:
Yt b0 b1 X t b2 X b3 X t
2 t 3 t
但如果用线性模型来替代
Yt b0 b1 X t t
2 3
那么随机误差项
vt b2 X t b3 X t t
若d 0.562, 则0 d d L , 存在一阶正自相关
若d 3.521, 则4 d L d 4, 存在一阶负自相关
若d 2, 则dU d 4 dU , 不存在一阶自相关 若d 1.267, 则d L d dU , 无法确定模型中是否存在一阶自相关 若d 2.980, 则4 dU d 4 d L , 无法确定模型中是否存在一阶自相关
无自相关 区域
负自相关区域 正自相 关区域
0
dL
dU
2
4 dU
4 dL 4
17
例题6.1
在给定的显著性水平＝0.05条件下，n 10, k 1
查表得下限值d L 0.879, 上限值dU 1.320 又可以计算得4 dU 2.68, 上限值4 d L 3.121
2 2
若nR ( p ), 拒绝原假设，原模型存在自相关
2 2
若nR ( p), 接受原假设，原模型不存在自相关
2 2
拒绝域
接受域
( p )
2
nR
2
( p )
2
nR
2
22
6.4 自相关的修正
• 自相关修正的基本原理：通过差分变换，对原始数据进行 修正。自相关修正主要有三种方法。 • 1、广义差分法
张晓桐-计量经济
DRESt = -0.1957 RESt -1 +0.3258 DRESt-1
(-3.0)*
(2.8)
R2 = 0.16, DW = 2.1, T= 70, (1991:03-1996:12)
临界值为 -4.23。而-3.0 -4.23，所以误差序列是非平稳的，人民币元兑美元
汇率序列是一个含有均值、斜率双突变的单位根序列。
DF（Dickey-Fuller）、ADF（Augmented-Dickey-Fuller）检验。
数据生成过程: yt = yt-1 + ut , y0 = 0, ut IID(0, 2)
最常用的单位根检验方法。检验式有 3 种。 .12
DF
DF1
DF2
p1
.10
yt = yt-1 + j yt j + ut
0.M15ean Median Maximum 0M.1inimum Std. Dev. Skewness Kurtosis
0.05
0.000423 -0.028121 4.278126 -4.938927 1.713000 -0.002115 1.846687
Jarque-Bera 554.2285 Probability 0.000000
案例：人民币元兑美元汇率序列的单位根检验
1980 年 4 月 1 日开始，中国货币市场上出现了一种崭新而神秘的支付凭 证，外汇兑换券。
1981～1984 年，经历了官方汇率与贸易外汇内部结算价并存。 1985～1993 年，官方汇率与外汇调剂价格并存的两个汇率双轨制时期。
造成了外汇市场秩序混乱，长期存在外汇黑市。 1995 年 7 月 1 日起，外汇券在中国市场上停止流通。 1994 年 1 月 1 日中国人民银行改人民币元兑美元汇率的双轨制为单轨制。
【总结】计量经济学异方差性、多重共线性、自相关的联系与区别知识总结
《计量经济学》中多重共线性、异方差性、自相关三者之间的联系与区别首先我们先来回顾一下经典线性回归模型的基本假设：1、为什么会出现异方差性我们可以从一下两方面来分析：第一，因为随即误差项包括了测量误差和模型中被省略的一些因素对因变量的影响；第二，来自不同抽样单元的因变量观察值之间可能差别很大。
因此，异方差性多出现在截面样本之中。
至于时间序列，则由于因变量观察值来自不同时期的同一样本单元，通常因变量的不同观察值之间的差别不是很大，所以异方差性一般不明显。
含义及影响:y=X β+ε，var(εi )var(εj ), ij ，E(ε)=0，或者记为212200['|]0000n E X σεεσσ⎛⎫⎪=Ω= ⎪ ⎪⎝⎭即违背假设3。
用OLS 估计，所得b 是无偏的，但不是有效的。
111(')'(')'()(')'b X X X y X X X X X X X βεβε---==+=+由于E(ε)=0，所以有E(b )=β。
即满足无偏性。
但是，b 的方差为1111121var(|)[()()'][(')''(')|] (')'['|](') (')'()(')b X E b b E X X X X X X X X X X E X X X X X X X X X X ββεεεεσ------=--===Ω其中212200['|]0000n E X σεεσσ⎛⎫⎪=Ω= ⎪ ⎪⎝⎭2、自相关产生的原因：（1）、经济数据的固有的惯性带来的相关 （2）、模型设定误差带来的相关 （3）、数据的加工带来的相关 含义及影响:cov(,)0,i j i j εε≠≠影响：和异方差一样，系数的ls 估计是无偏的，但不是有效的。
D －W 检验（Durbin －Watson ）221212222121212222112112122211221122121()()()2()()222222(1)n i i i n i i n n n i i i i i i i n i i n n n i i i i i i i n n i i n i i i nn n i i i i nn i ie e d e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ρρ=-===-=-====-==-===∑-=∑∑+∑-∑=∑∑+∑-∑--=∑∑+=--∑∑+=--∑≈-其中2121n i i i n i ie e e ρ=-=∑=∑是样本一阶自相关函数。
计量经济学 第六章 自相关性
第六章自相关性6.1 自相关性：6.1.1. 非自相关假定由第2章知回归模型的假定条件之一是，Cov(u i, u j) = E(u i u j) = 0, (i, j∈T, i≠j), (6.1)即误差项u t的取值在时间上是相互无关的。
称误差项u t非自相关。
如果Cov (u i,u j ) ≠ 0, (i≠j)则称误差项u t存在自相关。
自相关又称序列相关。
原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。
这里主要是指回归模型中随机误差项u t与其滞后项的相关关系。
自相关也是相关关系的一种。
6.1.2．一阶自相关自相关按形式可分为两类。
(1)一阶自回归形式当误差项u t只与其滞后一期值有关时，即u t = f (u t - 1) + v t称u t具有一阶自回归形式。
(2) 高阶自回归形式当误差项u t的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都有关系时，即u t = f (u t– 1, u t– 2 , …u t– p ) + v t则称u t具有P阶自回归形式。
通常假定误差项的自相关是线性的。
因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即u t = α1 u t -1 + v t(6.2)其中α1是自回归系数，v t 是随机误差项。
v t 满足通常假设E(v t) = 0, t = 1, 2 …,T,Var(v t) = σv2, t = 1, 2 …,T,Cov(v i , v j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2 …, T , Cov(u t -1, v t ) = 0, t = 1, 2 …, T ,依据普通最小二乘法公式，模型（6.2）中 α1 的估计公式是，1ˆa= ∑∑=-=-Tt t Tt t t u u u 22121(1ˆβ=∑---2)())((x x x x y y t t t ) (6.3)其中T 是样本容量。
计量经济学第六章
εt遵循0均值、同方差、无 序列相关的各条OLS假定
以双变量回归模型和 AR (1)为例。 Yt = β1 + β 2 X t + u t u t = ρu t −1 + ε t Yt = β1 + β 2 X t + ut (1) ( 2)
ρYt −1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t −1 + ρu t −1
3、回归检验法
~ ~ et 为被解释变量， et −1 、 以 以各种可能的相关量， 诸如以 ~ ~ et − 2 、 et 2 等为解释变量，建立各种方程：
~ ~ e t = ρ e t −1 + ε t
~ = ρ e + ρ ~ +ε ~ et 1 t −1 2 et − 2 t
……
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成 立，则说明原模型存在序列相关性。 回归检验法的优点 回归检验法 优点是：（1）能够确定序列相 优点 关的形式，（2）适用于任何类型序列相关性问 题的检验。
+ ⋯ + β k ( X kt − ρ1 X kt −1 − ⋯ − ρl X kt − l ) + ε t
该模型为广义差分模型 广义差分模型，不存在序列相关问题。 广义差分模型 可商行OLS估计。
ρ未知时序列相关的修正
应用广义差分法， 应用广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数 ρ1, ρ2, … , ρp 。 实际上， 人们并不知道它们的具体数值 ， 所以 实际上 ， 人们并不知道它们的具体数值， 必须首先对它们商行估计。 必须首先对它们商行估计。
如果怀疑随机扰动项存在pρ1µt −1 + ρ 2 µt − 2 ⋯ + ρ p µt − p + ε t
计量经济学课件：第六章-自相关性
第六章 自相关性本章教学要求：本章是违背古典假定情况下线性回归描写的参数估计的又一问题。
通过本章的学习应达到：掌握自相关的基本概念，产生自相关的背景；自相关出现对模型影响的后果；诊断自相关存在的方法和修正自相关的方法。
能够运用本章的知识独立解决模型中的自相关问题。
经过第四、五、六章的学习，要求自行选择一个实际经济问题，建立模型，并判断和解决上述可能存在的问题。
第一节 自相关性的概念一、一个例子研究中国城镇居民消费函数，其中选取了两个变量，城镇家庭商品性支出（现价）和城镇家庭可支配收入（现价），分别记为CSJTZC 和CSJTSR ，时间从1978年到1997年，n=20。
但为了剔除物价的影响，分别对CSJTZC 和CSJTSR 除以物价（用CPI 表示），这里CPI 为城镇居民消费物价指数（以1990年为100%），经过扣除价格因素以后，记CPICSJTSRX CPICSJTZCY ==即如下表回归以后得到的残差为Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 10/27/04 Time: 09:39Sample: 1978 1997Included observations: 20Std. Error t-Statistic Prob.Variable CoefficientC-103.369278.80739-1.3116690.2061X0.9235510.01603357.603880.00003939.341 R-squared0.994605Mean dependentvarAdjusted R-squared0.994305S.D. dependent var2124.467S.E. of regression160.3247Akaike info criterion13.08692Sum squared resid462671.9Schwarz criterion13.18649Log likelihood -128.8692 F-statistic 3318.207 Durbin-Watson stat1.208037 Prob(F-statistic)0.000000二、什么是自相关性在引出自相关性的概念之前，根据建立中国城镇居民储蓄函数，经用最小二乘法估计出参数后，得到残差序列，由此画出残差图（残差序列自身的关系），从图形上看存在t e 对1 t e 的线性关系，残差的这种现象说明了什么？下面给出序列自相关的定义。
计量经济学(第六章自相关)
所以在有自有关时，一般最小二乘估计 ˆ2 旳原 则误就不可靠了。
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20
一种被低估了旳原则误意味着一种较大旳t统计
量。所以，当 0时，一般t统计量都很大。
这种有偏旳t统计量不能用来判断回归系数旳明 显性。 综上所述，在自有关情形下，不论考虑自有关， 还是忽视自有关，一般旳回归系统明显性旳t检 验都将是无效旳。 类似地,因为自有关旳存在,参数旳最小二乘估 计量是无效旳，使得F检验和t检验不再可靠。
cov(i , j ) E(i j ) 0存在i j
常见于时间序列数据。
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3
自有关类型：一阶自有关
一阶自相关：Cov(ut , ut1) 0;
若进一步，有ut＝ut1＋t ,
则称ut一阶线性自相关
（其中 |
|
1，
为白噪声序列，
t
即E(t ) 0, Cov(t , s ) 0(t s),
作为散布点绘图，假如大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表白
随机误差项 ut 存在着正自有关。
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25
et
et
et-1et 1
图 6.2 et与et-1旳关系
假如大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误
差项 ut 存在着负自有关。
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et
t
二、对模型检验旳影响
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n
n
n
et2 +
e2 t -1
-
2
et et -1
DW = t=2
t=2 n
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当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。 DW检验临界值与三个参数有关。（1）检验水平a，（2）样本容量T , (3) 原回归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。
6.3 自相关检验
（3）LM检验（亦称BG检验）法
（2）高阶自回归形式。ut = f (ut – 1, u t – 2 , … ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。
ut = a1 ut -1 + vt
E(vt ) = 0, t = 1, 2 …, T Var(vt) = v2, t = 1, 2 …, T
Cov(vi, vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 …, T
3. 有可能低估误差项 ut 的方差（估计小了） 。 ˆ ) 和 su2 都变大， 4. 由于 ut 存在自相关时，Var(
1
都不具有最小方差性。用依据普通最小二乘法 得到的回归方程去预测，预测无有效性。
6.3 自相关检验
（1）图示法：依据残差 et 对时间 t 的序列图作出判断。 （2）DW（Durbin-Watson）检验法 使用 DW 检验，应首先满足如下三个条件。 （1）误差项 ut 的自相关为一阶自回归形式。 （2） 因变量的滞后值 Yt-1 不能在回归模型中作解释变量。 （3）样本容量应充分大（T 15） DW 检验步骤如下。 H0: = 0 (ut 不存在自相关)。H1: 0 (ut 存在一阶自相关) 用残差值 et 计算统计量 DW。
6.1非自相关假定：Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j)
如果Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项ut存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类：
（1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1)
与 DW 值的对应关系及意义 =0 =1 = -1
0<<1 -1 < < 0 DW DW = 2 DW = 0 DW = 4 0 < DW < 2 2 < DW < 4 ut 的表现 ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
-4 -4 -2 0 2
U (-1) 4
e. 非自相关序列
f 非自相关序列散点图
6.2自相关的来源与后果
自相关的来源： 1．模型的数学形式不妥。
2. 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。 3. 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。
6.2自相关的来源与后果
模型存在自相关的后果
ˆ 仍具有无偏性。 1. 回归系数的最小二乘估计量 j ˆ ) 不再具有最小方差性。 2. Var( j
u t u t 1
t 2
ut
t 2
T
2
2 u t 1 t 2
T
。对于充分大的样本显然有
ut u t 1 2 。
2 t 2 t 2
T
T
把这种关系代入上式得
ˆ
ut
t 2
ˆ1 a
u t 12
对于总体参数有 = a1，回归模型中误差项 ut 的 一阶自回归形式可表示为，
2
所以 DW 可以近似表示为， DW≈
e
t 2
T
t 1
2
2
e e
t 2 2
T
t t 1
e e
= 2 (1 t 2 T
T
t t 1
t 2
T
et 1
t 2
ˆ) ) = 2 (1 -
2
et 1
6.3 自相关检验
的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值范围是 [0, 4]。
Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 …, T
依据普通最小二乘法公式，模型 ut = a1 ut -1 + vt 中 a1 的估计公式是，
ˆ1 = a
u t u t 1
t 2 T
T
u t 1 2
t 2
T
。若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是
ˆ=
6 X 4 2 0 -2 -4
b. 正自相关序列散点图
X(-1)
20 30 40 50 60 70 80 90 100
-6 -6 -4 -2 0 2 4 6
c. 负自相关序列
3 U 2
d. 负自相关序列散点图
4 U 2
1 0 -1
0
-2
-2 -3 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
(et et 1 )
DW =
t 2
T
2
et et 1
2
T
T
2
et 2
t 1
T 2
T
=
t 2
t 2
2 et et 1
t 2
T
et 2
t 1
T 2 T
T
因为在样本容量充分大条件下有 et ≈ e t 1 ≈ et 2
t 2 t 2 t 1
ˆ n et-n + 0 +1 X1 t +2 X2 t + … + k Xk t + vt ˆ 1 et-1 + … + et =
估计并计算确定系数 R2。构造 LM 统计量，LM = TR2 若 LM = T R2 2(n)，接受 H0；若 LM = T R2 > 2(n)，拒绝 H0。
ut = ut-1 + vt
序列的自相关特征分析。给出具有正自相关，负自相关和非自相关三个序列。
4 X
6 X 4
2
2
0
0 -2
-2
-4
-4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-6 -6 -4 -2 0 2
X(-1) 4 6
6 X 4 2 0 -2 -4 -6 10
a. 正自相关序列
LM 统计量既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。 LM 检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。 Y t = 0 + 1 X 1 t + 2 X 2 t + … + k X k t + ut 考虑误差项为 n 阶自回归形式 ut = 1 ut-1 + … + n ut - n + vt H0: 1 = 2 = …= n = 0 用多元回归式得到的残差建立辅助回归式，