化极原理

2 化极原理

空间域位场转换复杂的褶积关系, 在频率域表现为简单的乘积形式. 即由实测异常的傅里叶变换频谱乘上相应的转换因子, 再反变换, 就是需要的转换结果, 其中转换因子可以是单个, 也可以是多种转换因子的组合, 这是频率域处理转换的突出优点例如实际资料的化极计算, 转换因子就应该包括去除高频干扰的滤波因子与化极因子的组合, 这类组合在频率域实现起来非常方便。化极计算涉及到磁化方向转换与测量方向转换, 该方向转换因子一般形式为H(u,v)=─—, ⑴

其中q k=i(ul k+ vmk)+ nk√u2+ v2,(k=0,1,2,3),i=√-1,u,v为x,y方向的圆频率；lk=cosIk·cosDk，mk=cosIk·sinDk，nk=sinIk为方向余弦，Ik，Dk分别为磁化方向（和测量方向）的倾角和偏角；q0和q1分别为测量方向和磁化强度方向的频率域因子；q2和q3分别为转化后的测量方向和磁化强度方向因子。

当为化极时：I2=I3=90º,q2=q3= u2+ v2,且现在经常测量的是总场磁异常T , 其对应的测量方向是地磁场方向. 假设磁化强度方向与地磁场方向一致( 特别在稍大一点测区, 总是这样考虑) , 因此有q0= q1, 具体化极因子可简化为

用u= rcosθ, v= rsinθ代入( 2) 式, 即得极坐标系下的转换因子H( r,θ ) 为

其中r= u2+ v2, = arctan( u /v ) . 可以清楚看出频率域化极因子H( r, ) 是角度的单一函数, 与频率的高低无关, 因而可写成H(θ) .

上述频率域化极因子为扇形放大因子, 其数值直接依赖于磁倾角. 在I0= 0的极端情况下, 即磁赤道附近, 化极因子为

当θ= D0±90º时, H (θ) →-∞, 其特点见图1所示.

当磁倾角I0较小时, 化极因子的放射状线的极大值近似与磁倾角的平方成反比, 即

在接近该线较窄的扇形区域, 化极因子幅值升幅很快. 由( 5) 式可知, 在θ接近D0±90º时, H (θ) 数值很大, 造成计算结果很不稳定, 表现为化极结果沿磁偏角方向D0条带明显, 这是化极因子在θ= D0±90º方向由低频到高频的放大造成的. 为此, 需要对化极因子进行改造, 压制沿D0±90º方向的放大作用, 使计算稳定, 减少甚至消除条带现象. 然而, 化极因子沿D0±90方向的放大作用是其重要特征,改造得太严重, 就会失去其特征, 同样得不到理想的化极结果. 从理论上讲, 化极因子的所有特征都保留, 对应的必然是理论的化极结果. 但实际计算中,一方面数值必须是有限的, 超过则计算会溢出或误差很大. 另一方面, 数据是有限的、离散的, 其频谱必然与理论谱有误差, 该误差必然会被化极因子传递, 由于化极因子是放大因子, 沿某一方向一定范围内由低频到高频都放大, 计算中的误差就会放大传递, 对计算结果必然带来影响, 有时影响是巨大的.因此, 实际计算过程中应该对化极因子中不致于造成溢出的部分保留( 可逆部分) , 而对会引起数值极度放大的部分( 不可逆部分) 进行压制. 本文为此提出针对性措施压制因子法.

2. 1压制因子法

根据低纬度化极因子的平面、剖面特征( 图1) , θ0= D0±90º为死亡线 ,θ0 ,α0的扇形区域为死亡地带 ,α0为一较小的角度. 为了压制靠近D0±90º附近的过度放大效应, 设计一个压制因子, 该因子在D0±90º附近趋于零, 即压制作用最强; 一定范围以外等于1, 即不压制. 另外要求压制因子足够光滑. 余弦函数具有很好的特点, 对其加以改造, 可以满足上述要求. 为此设计如下压制因子: F( u, v) = F0

( ) , 那么该滤波因子的特征( 图2) 应有

其中 =θ-θ0. ( 6) 式为余弦压制因子的简单形式, 本文将其改造成更复杂、但更合理的形式:

式( 7) 中, I0为地磁场方向倾角, Iactive为低纬度特征角,表示I0小于该角度就采取针对性的低纬度措施. 有了这个角度以后, 对于变倾角地区化极的分块处理方式, 结果的拼接会很自然.

因子Fα0(θ) 只在00的范围内起压制作用. 由图2可见, 越靠近θα0, Fα0(θ) 越小, 故压制越厉害. 可以通过Fα0 (θ) 的多次自乘得Fnα0 (θ ) 来调整局部形态, 该因子在θ-θ0< α0的范围内具有更强的压制性( 见图2b中F2α0 (θ ) 即F2 ( u, v ) 的特征) . 模型计算表明, 在赤道化极时, 2α0= 12º比较合适, Fn中的n可取1~ 10, 实际影响不是很大, 主要是0的选择起关键作用. 因此, 本文提出的低纬度化极方法只依赖于一个参数-α0, 与过去对化极因子改造的方法比较, 显然非常简单, 物理意义也更明确.