常数变易法原理
常数变易法
常数变易法常数变易法是一种常用的数学运算方法，它也可以看作是一种不定积分的求解方法。
它是一种可以用来求解不定积分的简洁且有效的方法。
常数变易法的基本原理是：当一个定积分内部的常数发生变化时，其结果也可以通过加减法运算得到。
因此，根据这种原理，我们可以将一个复杂的定积分转换为一个更简单的不定积分，从而求得更简洁的解决方案。
常数变易法的具体步骤如下：1.定原始积分，将它写成不定积分的形式。
2.变量dt视为一个常数。
3.解不定积分，计算出每一步的结果。
4.每一步的结果加起来，得到原始积分的结果。
5.积分的结果就是常数变易法求解结果。
以上说明了常数变易法的原理，下面我们将通过一个具体实例来进一步说明该方法。
假设我们要求解以下定积分：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx $$我们可以先将上述积分表达式写成不定积分的形式：$$ int sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + C $$ 接下来，将每一个常量变化得到一个新的表达式：$$ int sin xcos x dx = frac{sin (x+dt)cos (x+dt) - sin xcos x}{2dt} + C $$将上述表达式再求导得到：$$ int sin xcos x dx = frac{sin (x+dt) + sin x}{2dt}cos (x+dt) - frac{cos (x+dt) + cos x}{2dt}sin (x+dt) + C $$将积分上下限代入上述表达式，求出最终结果：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin (frac{pi}{2} +dt) + sin 0}{2dt}cos frac{pi}{2} - frac{cos (frac{pi}{2} +dt) + cos 0}{2dt}sin frac{pi}{2} + C = frac{1}{dt} + C $$因此，将上述结果代入原始不定积分表达式，求出定积分的结果，即：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + frac{1}{dt} + C $$由此可知，使用常数变易法求解定积分的结果是：$$ int_{0}^{pi/2} sin xcos x dx = frac{sin xcos x}{2} + frac{1}{dt} + C $$通过以上实例，我们可以很直观地感受到常数变易法的优势。
常微分方程课件--常数变易法
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t),
dI 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 L , RI , dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dI L RI E.Байду номын сангаасdt 取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0. dI R E I . 解线性方程: dt L L
§1.4 线性方程与常数变易法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 的连续函数 x 若Q( x) 0, 则(1)变为 dy P( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程
若Q( x) 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程
x(t ) x(t t ) x(t ) 20 3.08t 1000 t 4000000 20t
因此有 dx
dt 100 x 61.6, x(0) 0. 400000 2t
该方程有积分因子
(t ) exp(
100 dt ) (4000 0.02t )50 400000 2t
积分得
c( x) Q( x)e
p ( x ) dx
p ( x )dx
dx c
~
~
30 故(1)的通解为
ye
( Q( x)e
p ( x ) dx
dx c)
(3)
注 求(1)的通解可直接用公式(3)
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
常数变易公式例子(一)
常数变易公式例子(一)常数变易公式常数变易公式是数学中常用的一种方法，通过适当引入一个常数，可以使复杂的计算问题变得简单。
在很多应用中，常数变易公式都有非常重要的作用。
本文将通过列举一些例子，并详细解释常数变易公式的作用和原理。
例子一：求和公式假设我们要计算1加到100的和，即求1+2+3+...+100。
由于数字较多，一一相加的方法显然不够高效。
这时，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将1+100写成(1+C)+(100−C)的形式。
这样，我们可以得到(1+C)+(100−C)=101。
接下来，我们将(2+C)+(99−C)写成(2+C)+(99−C)=101，以此类推。
最终，我们得到了1+2+3+...+100=50∗101=5050。
通过引入常数C，我们将复杂的计算问题简化为了一个简单的公式。
例子二：平均数公式假设有一组数1,2,3,...,10，我们要求这组数的平均值。
同样地，我们可以运用常数变易公式来简化问题。
首先，我们定义一个常数C，并将这组数写成[(1+C)+(10−C)]/2的形式。
这样，我们可以得到[(1+C)+(10−C)]/2=11/2=。
通过引入常数C，我们将求平均值的计算变得更加简单了。
例子三：代数公式常数变易公式在代数中也经常被使用。
例如，要求(x+2)(x+3)的值，我们可以使用常数变易公式来辅助计算。
首先，我们定义一个常数C，并将(x+2)(x+3)写成(x+C+2−C)(x+C+3−C)的形式。
这样，我们可以得到(x+C+2−C)(x+C+3−C)=x2+5x+6−C2。
通过引入常数C，我们将复杂的运算转化为了一个简单的公式。
例子四：几何公式常数变易公式在几何中也有应用。
例如，要求一个矩形的面积，我们可以使用常数变易公式来简化计算。
假设矩形的长为L，宽为W，我们可以定义一个常数C，并将面积LW写成(L+C)(W−C)的形式。
这样，我们可以得到(L+C)(W−C)=LW−C2。
解一类一阶统一微分方程的常数变易法
解一类一阶统一微分方程的常数变易法
一阶统一微分方程的常数变易法是一种求解一阶统一微分方程的重要方法，它的基本思想是将一阶统一微分方程的解表示为某种形式的积分，然后利用积分的求解方法求解。
具体而言，将一阶统一微分方程化为某种形式的积分，然后利用积分的求解方法，即将积分分解为若干个常数变易积分，每个常数变易积分的积分常数都可以由积分的终点值求得，最终得到一阶统一微分方程的解。
常数变易法求解一阶统一微分方程的优点在于，它不仅能够求解一阶统一微分方程的解，而且简单易行，求解步骤简单，可以有效地解决一阶统一微分方程的求解问题。
第4章_第4节_常数变易法
1 ( x0 ) y0
x
x
0
1 ( t ) f ( t ) dt
x
0
代入(4.1), 得 1 y ( x ) ( x ) [ ( x0 ) y0
x
1 ( t ) f ( t ) dt ]
1 ( x ) ( x0 ) y0
( x )
( 4.4)
其中 W ( t ) W [ y1 ( t ), y2 ( t ), , yn ( t )]
y1 ( t ) y2 ( t ) yn ( t ) (t ) ( t ) yn (t ) y1 y2 ( n1) ( n1) ( n1) ( t ) y1 ( t ) y2 ( t ) yn
a11 ( x )e x a11 ( x ) sin x a12 ( x ) x a21 ( x )e a21 ( x ) sin x a22 ( x )
a11 ( x ) 1, a21 ( x ) a22 ( x ) 0 a12 ( x ) cos x sin x .
y( n) a1 ( x ) y( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y f ( x ) (3.1)
定理2 设 yi ( x ) ( i 1, 2, , n; x I )是与( 3.1) 对应的齐线性方程
y( n) a1 ( x ) y( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0
例1 设有方程组
( 2) 求此方程组满足： y1 (0) y2 (0) 1的特解.
解 (1) 与所给方程组对应的齐线性方程组： a ( x ) a ( x ) dy 11 12 ① y dx a21 ( x ) a22 ( x ) y1 其中 y . ( x ) 是①的基解矩阵 y2
07.06 常数变易法
常数变易法这方法特点是:若 Cy 1(x ) 是齐次线性方程的通解,那么可利用变换 y =uy 1(x ) (这变换是把齐次方程的通解中任意常数C换成未知函数u (x )而得的) 去解非齐次线性方程。
这方法也适用于高阶线性方程,下以二阶线性方程来作讨论。
若已知齐次方程 y ′′+P (x )y ′+Q (x )y =0 [方程(1)] 的通解为 Y (x )=C 1y 1(x )+C 2y 2(x )那么可令 y =v 1y 1(x )+v 2y 2(x ) [方程(10)] 其中v 1,v 2为未知函数v 1(x ),v 2(x ) 则 y ′=y 1v 1′+y 2v 2′+y 1′v 1+y 2′v 2由于两个未知函数v 1,v 2只需使(10)式所表示函数满足 关系式 y ′′+P (x )y ′+Q (x )y =f (x ) [方程(5)] ∴可规定它再满足一个关系式从y ′的上述表示可看出,为了使y ′′的表示不含v 1′′和v 2′′,可设 y 1v 1′+y 2v 2′=0 [方程(11)]从而 y ′=y 1′v 1+y 2′v 2 再求导得 y ′′=y 1′v 1′+y 2′v 2′+y 1′′v 1+y 2′′v 2把y , y ′, y ′′代入得 y 1′v 1′+y 2′v 2′+y 1′′v 1+y 2′′v 2+P ∙(y 1′v 1+y 2′v 2)+Q ∙(y 1v 1+y 2v 2)=f整理得 y 1′v 1′+y 2′v 2′+(y 1′′+Py 1′+y 1)v 1+(y 2′′+Py 2′+Qy 2)v 2=f注意到 y 1, y 2 是齐次方程[(1)]的解 故上式成为 y 1′v 1′+y 2′v 2′=f [方程(12)]联立[方程(10)]与[方程(12)] 在系数行列式 W =|y 1y 2y 1′y 2′|=y 1y 2′−y 1′y 2≠0 时 可解得 v 1=−y 2f W ,v 2=−y 1f W对上式两端积分(假定f (x )连续)得 v 1=C 1+∫(−y 2f W )dx , v 2=C 2+∫y 1f W dx于是得非齐次方程[(5)]的通解为 y =C 1y 1+C 2y 2−∫y 2f W dx +∫y 1f W dx例：已知齐次方程 (x -1)y ′′- xy ′+ y = 0 的通解为 Y (x )=C 1x +C 2e x , 求非齐次方程 (x -1)y ′′- xy ′+ y = (x -1)2 的通解解：将所给方程写成标准形式 y ′′+x x−1y ′+x x−1y =x -1令 y =xv 1+e x v 2 按照 { y 1v 1′+y 2v 2′=0y 1′v 1′+y 2′v 2′=f 有 { xv 1′+e x v 2′=0v 1′+e x v 2′=x −1 解得 { v 1′=−1v 2′=xe −x { v 1=C 1+x v 2=C 2−(x +1)e −x于是所求非齐次方程的通解为 y =C 1x +C 2e x −(x 2+x +1)如果只知[方程(1)]的一个不恒为零的解y 1(x ) ,那么,利用变换 y =uy 1(x ) ,可把非齐次方程[(5)]化为一阶线性方程事实上,把 y =y 1u , y ′=y 1u ′+y 1′u , y ′′=y 1u ′′+2y 1′u ′+y 1′′u 代入[方程(5)],得y 1u ′′+2y 1′u ′+y 1′′u +P(y 1u ′+y 1′u)+Qy 1u =f 即 y 1u ′′+(2y 1′+Py 1)u ′+(y 1′′+Py 1′+Qy 1)u =f由于y 1′′+ Py 1′+ Qy 1≡0,故上式为 y 1u ′′+(2y 1′+Py 1)u ′=f , 令u ′= z ,上式即化为一阶线性方程 y 1z ′+(2y 1′+Py 1)z =f [(13)]按一阶线性方程的解法,设求得[方程(13)]的通解为 z = C 1Z (x ) + z ∗(x ) 积分得 u = C 1+ C 2U (x ) + u ∗(x ) (其中 U ′(x )= Z (x ), u ∗′(x )= z ∗(x ))上式乘以 y 1(x ) ,便得[方程(5)]的通解 y =C 1y 1(x )+C 2U (x )y 1(x )+ u ∗(x )y 1(x )例：已知 y 1(x )=e x 齐次方程 y ′′−2y ′+y =0 的解,求非齐次方程 y ′′−2y ′+y =1x e x 的通解解：令 y =e x u ,则 y ′=e x (u ′+u) , y ′′=e x (u ′′+2u ′+u) 代入非齐次方程得得 e x (u ′′+2u ′+ u)- 2e x (u ′+ u)+e x u = 1x e x e x u ′′= 1x e x , u ′′=1x 这里不需再作变换化为一阶线性方程,只要直接积分得 u ′=C +ln |x | 再积分得 u =C 1+Cx +xln |x | - x 即 u =C 1+ C 2x +xln |x | (C 2=C -1) 于是所求通解为 y =C 1e x +C 2xe x +xe x ln |x |例：已知 y 1(x )=e x 齐次线性方程 (2x −1)y ′′−(2x +1)y ′+2y =0 的一个解,求此方程的通解解：设 y 2(x ) = y 1(x )u (x ) = e x u (x ) 也为方程的解,则 y 1′ = e x u + e x u ′ = e x (u + u ′) , y 1′′ = e x (u + u ′)+ e x (u ′+u ′′) = e x (u + 2u ′+ u ′′)代入原方程得 (2x -1)e x (u + 2u ′+ u ′′) - (2x +1)e x (u + u ′)+ 2e x u = 0 ,即 (2x -1) u ′′+ (2x -3) u ′ = 0令 u ′(x )=p (x ) ,则 u ′′(x )=dp dx 从而方程变为 (2x −1)dp dx +(2x −3)p =0 ,即 dp p =−2x−32x−1dx积分得ln |x |= -x +ln|2x -1|+lnC 1 ,即p =C 1(2x -1)e −x ,从而 u = C 1∫(2x -1)e −x dx = -C 1∫(2x -1)d(e −x ) = -C 1[(2x -1)e −x +2e −x +C 2] 故 y 2(x ) = e x u (x ) = -C 1(2x +1) + C 2e x 令 C 1=-1 , C 2=0 则 y 2(x ) = 2x +1 为原方程的一个特解,且与y 1(x )线性无关所以原方程的通解为y=C1 (2x+1)+C2e x。
线性方程与常数变易法
于是，令
P ( x ) dx y c ( x )e
(2.20)
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
两边微分得到：
dy dc( x) e dx dx
P ( x ) dx
c ( x ) P ( x )e
P ( x ) dx
整理：
dc( x) e dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
~ c
P ( x ) dx P ( x ) dx ye ( Q( x)e dx c )
注意：1、常数变易法的本质实际上是一种变 量变换方法，通过变换（2.20）将原方程变为 可分离变量方程。 2、常数变易方法的特点强调求解过程。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
所以，主要讨论非齐次线性方程(2.19)通解的求法。通
过分析，不难看出，(2.3)是(2.19)的特殊情形，两者既
有联系又有差别。因此，可以设想它们的解之间也应
该有某种联系而又有区别。于是，试图从方程(2.3)的
通解(2.4)的形式去求出方程(2.19)的通解。显然，如果 (2.4)中C恒保持为常数，它必不可能是(2.19)的通解。 故，可以假想，在(2.4)中，将常数C看成x的待定函数 C(x)，使它满足方程(2.19)，从而求出C(x)。
问题中出现的微分方程是多种多样的，如果能够找到 适当地变量代换，把有关的微分方程化为上述规范方 程之一，那么原来的微分方程的通解也就容易求出来 了，这是初等积分法中最常用的方法。当然如何确定 变量代换，是比较困难，且无通法可循。一般而言， 主要根据每一个方程的特点去寻找，这就要靠在实践 中多总结经验，才能够逐步达到熟能生巧的地步。
常数变易法
常数变易法常数变易法是指将一个不定方程的自变量做变换，使其中一变量恒定，从而可以将原来的不定方程转化成一个定方程，较容易求解。
在公式表示中，它可以用x=ax+b来表示，其中a和b是常数。
这种转换技术被广泛应用于数学建模、科学实验数据处理等领域，在理解和解决许多问题中都起着重要作用。
本文旨在介绍常数变易法，其中包括其工作原理，用法，应用和优缺点。
定义：常数变易法是指将一个不定方程的一个自变量x变换成新的自变量y，以使其中一变量x恒定为常数，即：y=ax+ba,b 为常数）工作原理：在进行常数变易前，首先把不定方程中的自变量x系数变为常数。
假设原不定方程为：ax+by+c=0若 x=ax+b，常数变易后得：ay+bx+c=0此时可以看出x的系数从a变为b，系数都变为了常数，这就是常数变易法的工作原理。
用法：常数变易法的用法很简单，只要把不定方程中出现的自变量变换成新的自变量，使其中一变量恒定为常数，即可轻松求解出原本不定方程的解。
其具体步骤如下：1.不定方程中出现的自变量x变换成新的自变量，使其中一变量恒定为常数，即x=ax+b。
2. 代入新的自变量y，把原来的不定方程变成一个定方程；3.过求解定方程的相应方法，即可得到解析解。
应用：常数变易法在数学分析、数学建模和科学实验数据处理等领域有着广泛的应用。
1.学分析：常数变易法可以用来解决不定方程，从而能够用于解决各种类型的数学问题，比如求两个方程的交点、求曲线极值点、求参数范围等等。
2.学建模：常数变易法也可以用来分析和表示复杂的关系，从而用于数学建模，比如把复杂的方程变换成简单的方程便于分析，或者用变量把原来不易理解的数据变成易于理解的数据。
3.学实验数据处理：常数变易法也可以用来处理科学实验数据，比如用变量把原来复杂的实验数据表示成容易理解的数据，或者把数据变换到一个更容易处理的坐标系。
优缺点：常数变易法有其优点也有其缺点。
优点：1.以把不定方程变换成定方程，从而便于求解；2.以用来分析和模拟复杂的关系，从而用于数学建模；3.以用来处理科学实验数据，从而更容易理解和处理数据。
浅析常数变易法
xn t
各方程特解与齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解
• • 暨 第 四 届 大 学 生 “ 数 学 之 美 ” 论 坛 南 开 大 学 第 八 届 大 学 生 文 化 素 质 教 育 节
由此，对于最初所研究的一阶线性常微分方程，又增 加了一种十分重要的解法。虽然结果形式上不同，但本质 相同。 形式不同的结果之间只相差一个常数。
y e
p x dx
p x dx (c q x e dx)
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常数变易法的本质
解法：
dy y g 齐次方程： dx x
南 开 大 学 第 八 届 大 学 生 文 化 素 质 教 育 节
可见，通过此方法求得的结果与常数变易法结果实质上是一致 的。我们也可以通过实际例题来加以验证，结论亦成立。
• •
例题1：
dy 2 x y dx x 2
dy 2 y dx x
y ec1 x 2
+
(c1为任意常数）
dy x dx 2
y ce
y ce
p x dx
p x dx 1 q x d ln e p x
p x dx
1 q x d p x
p x dx
p xdx q x dx y ce
暨 第 四 届 大 学 生 “ 数 学 之 美 ” 论 坛
d n 1 x dx 解法： d n x a1 n 1 … an 1 an x 0 dt n dt dt
常数变易法的理论依据
常数变易法的原理
常数变易法的原理
1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。
它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。
2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方法，对于一阶线性非齐次微分方程，y+P（x）y=Q（x）。
二分算法a的概念：就是通过折半查找来进行枚举。
二分答案就是直接对答案进行枚举查找，接着判断答案是否合法。
如果合法，就将答案进一步靠近，如果不合法，就接着判断。
这样就可以大大的减少时间。
我们进行二分答案的时候，会对判断到的答案进行验证是否正确，看看这个答案是小还是大了。
所以，要进行这个算法的时候，就必须要保证数据有单调性。
出现“最大值最小”或“最小值最大”但多时间都可以使用二分，二分法“可以把最优化问题转化为判定性问题。
常数变易法与积分因子法
常数变易法与积分因子法常数变易法与积分因子法是动力学中数值解法的两种常用方法，它们均可解决非线性积分方程或非线性系统方程的运动学问题。
本文将简要介绍这两种方法的基本原理、应用及区别。
一、常数变易法常数变易法是一种基于预算和常数变易的数值求解方法。
它最早由美国物理学家A.J.VanDerPol发现，后被称为VanDerPol变易法。
该方法基于有限差分法，可用来解决微分方程组。
其基本思想是在有限差分求解时，约定一个常数将一个连续的方程划分为两部分，前一部分由差分方程求解，后一部分则通过求解表达式来求解，在求解过程中，可以改变常数的数值，用于调整解的精度及稳定性。
常数变易法的优点在于求得的解比传统有限差分法更为精确，对于求解一些非线性微分方程组，常数变易法也拥有较好的效果。
二、积分因子法积分因子法是一种积分变换方法，它最早由美国物理学家Davidon在1956年提出，后被称为Davidon积分因子法。
它是一种基于积分因子的变换方法，它可以将连续的微分方程变换为离散的微分方程，在求解一定的非线性系统方程的过程中，可以减少运算的复杂度。
积分因子法不仅可以求解线性微分方程组，而且可以应用于求解高次非线性系统方程，拥有较好的效果。
三、常数变易法和积分因子法的区别1.数变易法和积分因子法变换的维度不同。
常数变易法依据预算和常数变易，通过将一个连续的方程划分为两部分，来变换微分方程组；而积分因子法则是依据积分变换方法，将连续的微分方程变换为离散的微分方程。
2.数变易法和积分因子法的解的精度和稳定性不同。
由于常数变易法采用有限差分技术，其解的精度比传统有限差分法高；而积分因子法则可以更有效的解决高次非线性系统方程，其解的稳定性相对较高。
综上所述，常数变易法和积分因子法是动力学中常用的两种数值解法，它们可以解决复杂的非线性微分方程组，并在不同的场合有着不同的应用。
因此，常数变易法和积分因子法对于研究动力学具有重要的价值。
非齐次线性方程通解求法------常数变易法
对应微分方程 y y 0
2)由 四 个 特 解e -x , e x , e2x , e2x可 知
该 微 分 方 程 对 应 的 特 征方 程 有 四 个 根,
r1 1, r2 1, r3 2, r4 2 对应的特征方程为
(r 1)(r 1)(r 2)(r 2) 0 r 4 5r 2 4 0
故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
例4：分别求作一最低阶的常系数齐次线性 微分方程使其特解为
1) sin x,cos x 2) ex , e x , e2x , e2x 3) x,4 x
解：1)由 y1 sin x, y2 cos x 知特征根为 i.
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
2
有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p, 2
一特解为 y1 e r1x ,
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u (r1 p)u (r12 pr1 q)u 0,
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0的通解.
解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0, (r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 i, r4 r5 i,
dt
o x
x
F ma, m d 2 x cx dx ,
dt 2
常微分方程-常数变异法.ppt
即
dc(x) ex dx
积分得
~
c(x) ex c
~
~
故通解为 y (x 1)n (ex c), c为任意常数
例2 求方程
dy y dx 2x y2 通解.
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x y dy y
它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
的通解.
解: 这是Bernoulli 方程, n1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z
e
1 x
dx
(
x
2e
1 x
dx
dx
c)
cx 1 x3 2
将z y2代入得所给方程的通解 为:
y2 cx 1 x3 2
二 线性微分方程的应用举例
例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电 路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数, 试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.
解: 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为L dI , RI,
dt
于是由Kirchhoff第二定律, 得到
L dI RI E. dt
取开关闭合时的时刻为0, 即I (0) 0.
dx x 1
从
dy n y 分离变量得 dx x 1
dy n dx y x 1
两边积分得 ln y nln x 1 c1
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
拉格朗日常数变易法
拉格朗日常数变易法
拉格朗日常数变易法是一种在数学中常用的变换方法，它可以将一个复杂的问题转化为一个更简单的问题。
这种方法可以被应用于许多不同的领域，包括微积分、线性代数和动力学系统等。
拉格朗日常数变易法基于拉格朗日乘数法，它利用了一个关键的观察结果：在最优解处，目标函数和约束函数的梯度在相同的方向上。
这种方法可以被用来求解优化问题、微分方程和变分问题等。
拉格朗日常数变易法在数学中有着重要的应用，它可以帮助研究者更好地理解和解决复杂的问题。
- 1 -。
常数变易法的原理
常数变易法的原理
常数变易法是一种数学方法，用于求解特定类型的问题。
它的原理是通过假设一个未知数为常数，并在后续计算中逐步调整这个常数，以便解决问题。
使用常数变易法的关键是找到一个适当的常数，使得问题的解可以用这个常数来表示。
一般来说，常数经过调整后可以使问题简化，或者使得解的形式更加容易处理。
在使用常数变易法时，首先需要假设一个常数，并将其视为未知数，然后将这个常数代入问题的表达式或方程中进行计算。
根据计算结果，通过适当调整常数的值，逐步逼近或找到问题的解。
常数变易法的思想通常用于求解微积分、微分方程和变分问题等数学领域中的一些特殊问题。
它的目的是通过假设一个常数来简化问题，使得求解变得更加容易和直观。
总之，常数变易法是一种使用常数作为未知数，并通过逐步调整常数的值来求解问题的方法。
它可以简化问题，使得计算更加方便，从而得到问题的解。
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常数变易法原理
我们来看下面的式子：
y’＋P(x).y ＝ Q(x) (1)
对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。
所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。
起初的一些尝试和启示
先直接分离看一下：
dy/dx＋P(x).y ＝ Q(x) dy ＝ [Q(x)－P(x).y].dx (2)
从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。
这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝ u →y ＝ u.x .将y ＝ u.x代入(1)式: u’.x＋u＋P(x).u.x ＝ Q(x) →u’.x＋u.(1＋P(x).x) ＝ Q(x)→du/dx.x ＝ Q(x)－u(1＋P(x).x) →du ＝ [Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3)
这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。
不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。
因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。
比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。
当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。
不过我们可以这么想：如果我
1
们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。
Ok，好戏开场了。
进一步：变量代换法
筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。
但结果会让你跌破眼镜。
y＝u·v 就是这么符合要求的一个函数。
其中u和v都是关于x的函数。
这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。
你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。
让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么：
u’.v＋u.(v’＋P(x) .v) ＝ Q(x) (4)
如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋P(x) ·v)就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。
怎么变？这是v的用处就有了。
令v’＋P(x) ·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。
dv/dx＋P(x) ·v ＝ 0
→v ＝ C1.e^(-∫P(x)dx) (5)
现在v解出来了，接下来该处理u了，实际上当v解出来后u就十分好处理了。
把（5）式代入（4）式，则u·(v’＋P(x)·v)这一项便被消掉了。
剩下的是
2
u’·C1·e^(-∫P(x)dx) ＝ Q(x)
而这也是一个可以分离变量的微分方程。
同样可以十分容易地解出来：
du/dx ·C1·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x)→du ＝ 1/C1·e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx
→u ＝ 1/C1.∫e^(∫P(x)dx).Q(x).dx＋C2 (6)
现在u和v都已求出，那么y＝u·v也迎刃而解：
y ＝ u·v ＝ [1/C1·∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx＋C2]·[C1·e^(-∫P(x)dx)]
＝ [∫e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx＋C ]·e^(-∫P(x)dx) ………(7) (这里C ＝ C1·C2) 这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。
这个方法不是没有名字的，它叫“变量代换法”（挺大众的一名字），即用u·v代换了y。
这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。
再进一步：常数变易法
再进一步观察我们可以看出，求v的微分方程（即v’＋P(x)·v＝0）其实就是求
y’＋P(x)·y＝Q(x)当Q(x)＝0时的齐次方程。
所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。
即解出y’＋P(x)·y ＝0 的解来。
得：
y ＝ C.e^(-∫P(x)dx) (8)
3
注意这里的C·e^(-∫P(x)dx)并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是v而已。
而最终答案是u·v ，v仅是其中一部分。
因此这里的C·e^(-∫P(x)dx)并不是我们要的y，因此还要继续。
把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：
y ＝ u.e^(-∫P(x)dx) (7)
y ＝ C.e^(-∫P(x)dx) (8)
（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。
那我们偷下懒好了：把（8）式的那个C换成u，再把这个u解出来，不就ok了么。
所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数C硬生生地变成了u。
接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换y＝u·e^(-∫P(x)dx)代入（1）式，由于e^(-∫P(x)dx)是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得u’·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x)。
从中解出u，再带回y＝u·e^(-∫P(x)dx)便可得到最终答案。
个人觉得这个方法在思路上并无多大突破，只是利用“变量代换法”现成的结论倒推回去，“抄了一条近路”，但这么一抄不要紧，不解释清楚的话还真不知道这条路到底从哪冒出来的。
所以就会引起我们“较劲”的冲动：为什么非齐次要当齐次来解，道理何在？为什么C就可以换成u，道理何在？……这么想想的话教科书（同济5版）也真TM不厚道，你不解释清楚就算了，好歹说两句交代背景的话啊。
4
Ps：1.常数变易法在这里并没有显出比变量代换法更好的优势（因为就是一个思路的正逆推导而已），但在解决高阶线性微分方程时就会方便得多。
因此倒不能说常数变易法是鸡肋（我开始的想法就是这样的）。
2.教科书上最后把方程的解拆成了一个齐次方程的通解和一个非齐次方程的特解之和，我看来简直有点脑残的表现，再往后看才知道，原来在解决高阶非齐次线性方程是要用到这个结构的，怪不得。
3.因此关于中国的教科书以及中国的正统教育我突然有个结论（一排脑瓜子即灵光一现那种）：中国的大多数学生之所以不喜欢学数学是因为觉得难，其实倒不是数学本身难，而是教科书缺少必要的说明逻辑。
真正难的不是知识，而是读懂这些教育家企图教给我们的“知识”。
5。