函数图像和方程

一、选择题 1．函数y ＝ln

1

|2x －3|

的图象为( )

答案 A

解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <3

2时，函数为增函数，

所以选A.

2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝log 1

2x

C ．y ＝4x

2

D ．y ＝log 21

x

＋1

答案 C

3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (2)>f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)>f (6) 答案 D

解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.

4．(2009·安徽)设a

答案 C

解析 由解析式可知，当x >b 时，y >0；当x ≤b 时，y ≤0，故选C.

5．已知下图①的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )

A ．y ＝f (|x |)

B ．y ＝|f (x )|

C ．y ＝f (－|x |)

D ．y ＝－f (|x |)

答案 C

6．(2010·江南十校联考)函数f (x )＝1

1＋|x |

的图象是( )

答案 C

解析 本题通过函数图象考查函数的性质．f (x )＝1

1＋|x |＝

⎩⎨⎧

1

1＋x (x ≥0)1

1－x (x <0)

.当x ≥0时，x 增大，1

1＋x

减

小，所以f (x )当x ≥0时为减函数；当x <0时，x 增大，1

1－x 增大，所以f (x )当x <0时为增函数．本题也可以

根据f (－x )＝11＋|－x |＝1

1＋|x |

＝f (x )得f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，选C.

7．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数f (|x |)的图象大致是( )

答案 B

8．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1 C ．|a |<1 D ．a ≥1

答案 B

9．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[ 2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( ) A ．f (0)

解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )．

∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数 而f (5)＝f (－1)，∴f (5)

10．若函数y ＝(12)|1－

x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．

答案 －1≤m <0

解析 首先作出y ＝(12

)|1－

x |的图像(如右图所示)，

欲使y ＝(12

)|1－

x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.

11．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________． 答案 1≤m < 2

解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如右图．

要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2. 12．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(1

2)x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且

g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．

答案 g (x )＝2|x |

解析 画出函数f (x )＝(1

2)x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由

图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |

三、解答题

13．作图：(1)y ＝a |x －

1|，(2)y ＝log |(x

－1)|

a

，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)．

答案

解析 (1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x －

1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －

1→y ＝a |x －

1|，这需要理解好y ＝

f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．

14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|

(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；

(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．

解析 f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

(x －2)2

－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)

－(x －2)2

＋1，x ∈(1，3)作出图象如图所示．

(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]．

(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；

当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2

＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋a

y ＝－x 2

＋4x －3

⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0. 得a ＝－3

4

.

由图象知当a ∈[－1，－3

4]时方程至少有三个不等实根

1.函数f (x )=

+a 的零点为1,则实数a 的值为( )

A .-2

B .-

C .

D .2

答案:B