函数图像和方程
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
题型专题九基本初等函数、函数与方程
• 基本初等函数 • 函数与方程 • 函数的应用
目录
Part
01
基本初等函数
一次函数
一次函数是形如$y=kx+b$的 函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。
一次函数的图像是一条直线， 斜率为$k$，截距为$b$。
一次函数的单调性由斜率$k$ 决定，当$k>0$时，函数单调 递增；当$k<0$时，函数单调 递减。
函数的奇偶性和对称性是相互联 系的，它们在解决一些数学问题 时可以相互转化。
详细描述
在解决一些数学问题时，可以根 据奇偶性和对称性的定义进行相 互转化。例如，利用奇函数的性 质可以简化一些计算，或者利用 对称性来理解函数的图像和性质 。
函数的周期性与最值
• 总结词：函数的周期性描述了函数值重复出现的规律，而最值则是函数 在某个区间内的最大值或最小值。
指数函数的图像是单调递增或递 减的曲线。
指数函数的单调性由底数$a$决 定，当$a>1$时，函数单调递增； 当$0<a<1$时，函数单调递减。
对数函数
对数函数是形如$y=log_a x$的函数，其中$a>0$且$a neq 1$。
对数函数的图像是单调递增或递减的曲线。
对数函数的单调性由底数$a$决定，当$a>1$时，函数单调递增；当$0<a<1$时， 函数单调递减。
• 详细描述：周期函数是指函数在某个固定周期内重复变化的函数，例如正弦函数和余弦函数。最值则是函数在某个区间 内的最大值或最小值，可以通过求导数或者比较区间端点函数值的方法来求解。
• 总结词：函数的周期性和最值在解决一些数学问题时具有重要应用。 • 详细描述：在解决一些数学问题时，可以利用函数的周期性和最值进行求解。例如，利用周期性可以将一个复杂的问题
高等数学公式大全及常见函数图像
高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹Leibniz 公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/11/28
29
解： 由于x的任意性，则只有当 T1的时候可能恒成立 ①当 T1时，sik ( n x 1 ) sik n x k () sik nx 恒成立 k2m ，mZ
②当T1时，
sik (n x 1 ) sik n x k () sikn 恒x 成立
20
解：（2）
已知f(x)图像关于x=1对称（ xR，都有 2x x 1 ）
2 xR有 f(2x)f(x)
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解： 又f(x)是R上的偶函数 f(x)f(x) f[2(x) ]f(x) f(2x)f(x)
f(2x)f(x) 即f(x)是以2为周期的周期函数
abc2c，且 ab1c
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11
解： 即a,b是一元二次方程 x2(1c)xc2c0的两个不相等 的根，且两根都大于c，令 f(x)x2(1c)xc2c，则图像与 x轴有两个交点且都在 (c,) 内， 又图像开口向上
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12
解：
函数、方程、不等式 以及它们的图像
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1
函数是中学数学的一个重要概念。函数 的思想，就是用运动变化的观点，分析和 研究具体问题中的数量关系，建立函数关 系，运用函数的知识，使问题得到解决。
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2
和函数有必然联系的是方程，方程
f(x) 0的解就是函数 yf(x) 的图像 与x轴的交点的横坐标，函数 yf(x)
2
f(x)f(y)f1xxyy 。（1）证明： f ( x ) 在 (1,1) 上是奇函数；
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32
（2）对于数列 {x n } ，若
3.1函数与方程
.
－2 －1
y
2Leabharlann .－1.1
0
1
2
.
3 4
x
－3 －4
－2
.
即：f (2) f (0) 0 ，函数在(2,0)上有零点；
f (2) f (4) 0 ，函数在(2,4)上有零点．
思考：
任意画几个函数图象，观察图象看是否有同样的结果？
y
.
a
0
.
b
x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
y ln x 的零点有１．
2
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零 点。零点就是y=f(x)图像与x轴交点的横坐标。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象: 我们发现： 函数 f ( x) x2 2x 3在区间[2,0] 上有零点， 在区间 [2,4] 上有零点． 请计算：f (2) f (0), f (2) f (4)
△＜0 没有实数根
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 (a≠0)的根
y
有两个相等的 实数根x1 = x2
函数y= +c(a≠0)的图象
ax2 +bx
x1
y
0 x2 x
y
0
x1
x
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的 根的关系，即
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程、不等式之间的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
各种函数图象
各种函数图象底数与指数函数图像:(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
(如右图)》。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2) 对数函数的值域为全部实数集合。
(3) 函数图像总是通过(1，0)点。
(4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。
(5) 显然对数函数无界。
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,，?)。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
一次函数的概念_图像和性质复习
一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。
一次函数的定义域是一切实数。
当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。
一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。
Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。
二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)，点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。
函数与方程的图像知识点
函数与方程的图像知识点1. 引言函数与方程是数学中的重要概念，它们描述了数学关系和数学对象之间的规律和性质。
在图像的表示和分析中，函数与方程的知识是关键。
本文将介绍函数与方程的图像知识点，包括函数图像的一般特征、常见函数图像的形状以及方程在坐标平面上的表现形式等。
2. 函数图像的一般特征在坐标平面上，函数图像可以通过绘制函数的所有点来表示。
函数图像的一般特征包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性等。
其中，定义域是指函数的输入值的范围，值域是函数的输出值的范围。
单调性描述了函数在定义域内的递增或递减趋势，奇偶性描述了函数图像关于y轴的对称性，周期性描述了函数图像的重复性，对称性描述了函数图像关于某条直线的对称性。
3. 常见函数图像的形状常见函数图像的形状包括直线、抛物线、圆、椭圆、双曲线和指数函数等。
直线的函数图像呈现为一条直线，斜率可以决定直线的倾斜程度。
抛物线的函数图像呈现为一个开口朝上或朝下的弧线，可以通过顶点的坐标和开口的方向来确定抛物线的具体形状。
圆的函数图像呈现为一个闭合的曲线，以原点为中心，半径相等的圆具有相同的图像形状。
椭圆的函数图像呈现为一个椭圆形的曲线，可以通过椭圆的长轴和短轴长度来确定椭圆的具体形状。
双曲线的函数图像呈现为两个分离的曲线，分别沿x轴和y 轴展开。
指数函数的函数图像呈现为一个递增或递减的曲线，可以通过底数的大小来决定曲线的形状。
4. 方程在坐标平面上的表示在坐标平面上，方程可以通过绘制方程的解来表示。
方程的解是使方程成立的变量值组成的集合。
常见的方程包括线性方程、二次方程、三角函数方程和指数函数方程等。
线性方程的图像表现为一条直线，可以通过斜率和截距来确定直线的具体位置。
二次方程的图像表现为一个抛物线，可以通过顶点的坐标和开口的方向来确定抛物线的形状。
三角函数方程的图像表现为各种形状的曲线，具体形状取决于方程中三角函数的类型和参数的取值。
指数函数方程的图像表现为递增或递减的曲线，可通过底数的大小和指数的正负来决定曲线的形状。
第七讲函数图像及函数与方程解析版
第七讲：函数图像、函数与方程【考点梳理】 1、函数的图象 (1)平移变换：0,0,||()()a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−→=-向右移个单位向左移个单位 0,0,||()()+b b b b y f x y f x b ><=−−−−−−→=向上移个单位向下移个单位(2)伸缩变换：101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍1,01,()()A A A A y f x y Af x ><<=−−−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍(3)对称变换：()()x y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y y f x y f x =←−−−−→=-关于轴对称()()y f x y f x =←−−−−→=--关于原点对称(4)翻折变换：()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−→=去掉轴左侧图象，保留轴及右侧图象将轴右侧的图象翻折到左边()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴及其上方图象将轴下方的图象翻折到上方去2、函数与方程(1)判断二次函数()f x 在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程()0f x =的判别式0,0,0∆>∆=∆<来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数()f x 在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又()()0f a f b ⋅<，则()y f x =在区间(,)a b 内有唯一零点．【典型题型讲解】考点一：函数的图像【典例例题】例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,xf x a a ag x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC【方法技巧与总结】1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换 【变式训练】1.已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C 【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分， 然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的， ∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-. 故选：C.2.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，3.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞，故排除A 、B.当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在1,上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增. 故选:D.由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.4.函数()ln f x x x =的图象如图所示，则函数()1f x -的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】将函数()f x 的图象作以y 轴为对称轴的翻折变换，得到函数()f x -的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数()()()11f x f x -=--的图象． 故选：D ．考点二：求函数的零点或零点所在区间判断【典例例题】例1.已知函数()f x 满足()()1f x f x =--，且0x 是()e x y f x =+的一个零点，则0x -一定是下列函数的零点的是（ ）A ．()e 1xy f x =-B ．()e 1xy f x =--C ．()1e xy f x =+ D ．()e xy f x =-【答案】A 【详解】 因为()()1f x f x =--，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数．由已知可得()00e 0x f x +=，即()00e x f x =-．所以()00e 1x f x -=-，所以()00e 1x f x --=，故0x -一定是()e 1x y f x =-的零点，故A 正确，B错误； 又由()00e1x f x --=，得()001e x f x --=，所以()0011120e e e e x x x x f x -----+=+=≠，故C 错误；由()()000000e e e e 0x x x x f x f x -----=--=-≠，故D 错误.故选：A ．例2.函数()e 26xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1【答案】C 【详解】函数()e 26x f x x =+- 是R 上的连续增函数, 2(1)e 40,(2)e 20f f =-<=->,可得(1)(2)0f f <,所以函数()f x 的零点所在的区间是(1,2). 故选：C【方法技巧与总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【变式训练】1.已知函数()()21,01,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则1()2y f x =-的所有零点之和为（ ）A B C ．2 D ．0【答案】D 【详解】0x ≥时，由21(1)02x --=得1x =±，0x <时，由1102x +-=得12x =-或32x =-，所以四个零点和为1311022-=． 故选：D ．2．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C 【详解】 由已知条件得()f x 的零点可以看成2x y =与4y x =-的交点的横坐标，()g x 的零点可以看成e x y =与4y x =-的交点的横坐标，()h x 的零点可以看成ln y x =与4y x =-的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2x y =，e x y =，ln y x =，4y x =-的函数图象，如下图所示, 可知c a b >>， 故选：C .3.（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：94．若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________. 【答案】y x z << 【详解】依题意，0,0,0x y z >>>，223log 3log x x x x ⋅=⇔=，3232y yy y ⋅=⇔=，ln 3z z ⋅=3ln z z⇔=，因此，2log 3x x ⋅=成立的x 值是函数12log y x =与43y x=的图象交点的横坐标1t ， 23y y ⋅=成立的y 值是函数22x y =与43y x=的图象交点的横坐标2t ， ln 3z z ⋅=成立的z 值是函数3ln y x =与43y x=的图象交点的横坐标3t ， 在同一坐标系内作出函数1223log ,2,ln xy x y y x ===，43y x=的图象，如图，观察图象得：213t t t <<，即y x z <<，所以x 、y 、z 由小到大的顺序是y x z <<. 故答案为：y x z <<6.函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数，222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B考点三：函数零点个数的判断【典例例题】例1.函数()32,03e ,0xx x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 【答案】2 【详解】当0x ≤时，令320x +=，解得x =0<，此时有1个零点；当0x >时， ()3e x f x x =-+，显然()f x 单调递增，又1215e 0,(1)2e>022f f ⎛⎫=-+<=-+ ⎪⎝⎭，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.例2.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【详解】∴()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
初中数学教案：函数图像和方程的关系
初中数学教案：函数图像和方程的关系一、引言函数图像和方程的关系是初中数学重要的内容之一，它涉及到了函数的概念及其图像和方程之间的联系。
了解和掌握函数图像和方程的关系对于初中生来说是非常重要的，不仅可以帮助他们更好地理解函数的性质，还可以提高解决问题的能力。
本教案将介绍函数图像和方程的关系的概念和性质，并提供相应的教学活动和练习，以帮助学生巩固所学知识。
二、函数图像与方程的关系1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在数学中，函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)表示函数的定义域和值域，即函数的图像。
2. 图像与方程的联系函数的图像可以通过方程来描述。
对于一元函数来说，可以将函数的方程表示为y=f(x)，其中x表示自变量的取值范围，y表示对应的因变量值。
函数图像上的每个点都满足函数的方程。
通过观察和分析函数的方程，我们可以得到函数的特性和性质，进而绘制出函数的图像。
三、教学活动1. 导入活动 - 探索函数图像与方程的关系教师可以提供一些简单的函数方程，让学生分析方程与图像之间的联系。
例如，给出y=x+1和y=x^2的方程，让学生画出相应的图像，并观察图像与方程之间的关系。
2. 实验活动 - 用户外运动模型探究函数图像与方程的关系教师可以引导学生进行一个实验活动，通过模拟小车运动的数据来探究速度和时间的关系。
让学生记录小车在不同时间下的位置，并根据数据绘制速度-时间图和位置-时间图。
通过分析图像，学生可以发现速度与位置的关系，并将其表示为函数的方程。
3. 讨论活动 - 探索不同函数图像的方程教师将一些函数图像分发给学生，让他们讨论这些图像的特点，并尝试找出与之对应的方程。
通过讨论，学生可以深入理解函数图像和方程之间的联系，并掌握函数的基本性质。
四、练习1. 基础练习a) 已知函数图像为抛物线，方程为y=ax^2+bx+c，求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
一次函数图像性质总结
一次函数图像性质总结一次函数图像性质总结3、一次函数的图象及性质（1）形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.（2）画法：由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）和b（－，0）的一条直线，当b=0时，即为正比例函数，其图象k是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.（3）性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：（增减性）一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。
①k＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大。
②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。
性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置，反之亦然。
①b＞0直线与y的交点在x轴的上方。
②b=0直线过原点。
③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。
性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；即两直线平行K的值相等。
当b确定k变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。
即当b相等时两直线相交于Y轴一点。
性质四：一般的，一次函数的k、b都未确定，他的图像分为四种情况：注意：一般的画一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)图像时，选取（0，b）、（－，0）两点，即选取直线与两坐标轴的交点。
bk扩展阅读：一次函数图像性质小结与配套练习一次函数的图像性质总结（阅读+理解）一、一次函数的图像姓名1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（-直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18Db，0）两点的一条k3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A（0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（-4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）b，0）.k②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解;若l1与l2平行，则k1=k2.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数ykx(k0)一定经过点，经过(1一次函数ykxb(k0)经，)，过(0，)点，(，0)点．2.直线y2x6与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。
二次函数的图象与方程
交点性质：当a>0时，一个交点在原点，另一个在x轴正半轴；当a<0时， 一个交点在原点，另一个在x轴负半轴
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交点坐标：当a>0时，交点坐标为(0,0)和(√(-b/a),0)；当a<0时，交点坐 标为(0,0)和(-√(-b/a),0)
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交点与方程的关系：二次函数与x轴的交点即为方程的根
二次函数与三角 形、四边形等几 何知识的关系： 通过二次函数的 图象，可以研究 三角形、四边形 等几何图形的性
质和特点。
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二次方程的解法
二次方程的解的概念
二次方程的标准 形式：ax^2 + bx + c = 0
判别式：Δ = b^2 - 4ac
根的性质：当Δ > 0时，方程有 两个不相等的实 根；当Δ = 0时， 方程有两个相等 的实根；当Δ < 0时，方程无实 根。
解的公式：当Δ ≥ 0时，解为x = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a)
二次函数的表达式
二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c， 其中a、b、c为常数 且a≠0
a的符号决定了抛物 线的开口方向，当 a>0时，抛物线开 口向上；当a<0时， 抛物线开口向下
b和c决定了抛物线 的位置，b和c的值 越大，抛物线越偏离 y轴和x轴
二次函数的顶点坐标 为(-b/2a, cb^2/4a)
二次函数的图象与方程
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单击输入目录标题 二次函数的基本概念 二次函数的图象 二次方程的解法 二次函数的实际应用 二次函数与其他数学知识的联系
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二次函数的基本概念
一次函数与二元一次方程的图像解法介绍
y 3x 6
y 4 x2 5
2、 一般地，任何一个二元一次方 程都可以转化为一次函数的形式，所 以每个二元一次方程的图像都是一条 直线.
下面有序数对，哪个是二元一次方程 3x y 6
的解，即那个点在函数 y 3x 6 的图像上.
A（2，0）、B（3，－3）、C（5，-9）、 D（6，-10）、E（-2，10）、F（-3、15）
5 1
方程 ① 可化为y x 5
x 05
y 50
方程 ② 可转化为 y x 1
x 01
y -1 0
如图两直线的交点坐标 是（3，2） 所以此方程组
的解是：
x 3
y
2
x-y=1
3
x+y=5
通过以上探讨我们知道，用图像法解二元 一次方程组时，应先在同一平面直角坐标系内 画出这两个二元一次方程的图像，这两条直线 若相交，其交点的坐标，就是方程组的解。
你能归纳运用图像法解二元一次方程组的 一般步骤吗？
①方程化成函数
一般步骤
②画出函数图像 ③找出图像交点坐标 ④写出方程组的解
➢请问这节课你学到了那些知识和
数学方法？
➢用图像法解方程组是数形结合的
一个典型应用.
➢用图像法解方程组的方法步骤你
会了吗？
复习
1、一次函数y=2x-5的图象是一条直，线通常过（ ，20.5 ）、 （0， -5）两点画直线即可。
方程 2x y 6 的解.所以直线 l1 与 l2 的交点P的坐标就
是方程 x 2 y 2 与 2x y 6 的公共解 .
也就是二元一次方程组
x 2y 2 2x y 6
的解.
这样用作图求解二元一次方程组的方法，叫做二元一 次方程组的图像解法，利用图象解法解方程组是从“形” 的角度研究代数问题，数与形有着密切联系。
初三数学,二次函数(图像、性质、规律、实际问题)
y=ax^2 (0，0) x=0
y=ax^2+K (0，K) x=0
y=a(x-h)^2 (h，0) x=h
y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。
4。联系实际对函数图像的理解。
5。计算时，看图像时切记取值范围。
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第2课时)
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并能用函数与方程思想分析问题、 提升数学抽象的学科素养.
解决问题．(重点、难点)
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2．二分法的定义
5
(1)二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上过程：通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方
法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分
一次函数的图像和性质
T 一次函数的概念
T 一次函数的图像和性质
教学内容
T 巩固练习
一次函数的概念
一般地，解析式形如 y=kx+b(k,b 是常数，且 k 0 )的函数叫做一次函数。
一次函数的定义域是一切实数。当 b=0 时，y=kx（ k 0 ）是正比例函数。一般地，我们把函数 y=c （c 为常数）叫做常值函数。Y=-1, y , f ( x)
b ，0）两点的一条直线， k
3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线 y=kx+b(k≠0),当 x=0 时,y=b 即直线与 y 轴的交点为 A（0,b）,因此 b 叫直线在 y 轴上的截距.（截距有正负） （2）直线 y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为 A（0，b）和 B（-
3.一次函数 y (m 1) x 5 中， y 的值随 x 的减小而减小，则 m 的取值范围是（ Ａ． m 1 Ｂ． m 1 Ｃ． m 1
Ｄ． m 1 1 4．已知点 A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数 y= x+k(k 为常数)的图像上,则 a 与 b 的大小关系是 2 a____b(填”<””=”或”>”) 5．已知直线 y kx b ，经过点 A( x1，y1 ) 和点 B( x2，y2 ) ，若 k 0 ，且 x1 x2 ，则 y1 与 y2 的大
②与 y 轴平行的直线方程形如 x=b（b 是常数） ，b＞0 时，直线在 y 轴右方，b=0 时，直线与 y 轴重合；b＜0 时，直线在 y 轴左方，(如图 13-20).
三、两条直线的关系
1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若 l1 与 l2 相交，则 k1≠k2， 其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若 l1 与 l2 平行，则 k1= k2.
八年级数学一次函数图像和性质与方程关系ppt
y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚
3.下列一次函数中，y的值随x的增大 (2) (4) 。 而减小的有________ (1) y=10x-9 (2) y=-0.3x+2
(3) y 5x 4
(4) y ( 2
3) x
4.下列哪个图像是一次函数y=-3x+5 和y=2x-4的大致图像（ Ｂ ）
减小 （2） 当k＜0时，y随x的增大而_____ ，这时函数的图象从左到右_____ 下降 ．
一次函数 y＝kx＋b k 决定直线的倾斜程度和方向
1. 当k＞0时，y随x的增大而增大 2.当k＜0时，y随x的增大而减少
y
0
x
y
3.当 k 相等时，直线平行
4.当 |k| 越大时，图象越靠近y轴
0
x
合作探究（一）
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点 . 问题 3：请大家观察这两个函数图象的形状，倾斜程度 你有什么发现？ y 相同点: 5 y=-6x+5 1.这两个函数的图象形状都 y=-6x 是 , 并且倾斜程度 . 不同点: 2.函数y=6x的图象经过原点， 函数y=-6x+5的图象与y轴交 于点 . 联系: 3.函数y=-6x+5可以看作由直线y=-6x向 单位长度而得到.
例1：已知一次函数的图象经过点 (3,5)与（－4，－9）.求这个一次 函数的解析式．
你能归纳出待定系数法求函数解析 式的基本步骤吗？ 解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0） 把x=3,y=5；x=-4,y=-9 分别代入上式得 3k+b=5 -4k+b=-9 k=2 解得 b=-1
1 y x2 2
1 y x 2
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一、选择题 1．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2D ．y ＝log 21x＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (2)>f (5) C ．f (3)>f (5) D ．f (3)>f (6) 答案 D解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．(2009·安徽)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x >b 时，y >0；当x ≤b 时，y ≤0，故选C.5．已知下图①的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案 C6．(2010·江南十校联考)函数f (x )＝11＋|x |的图象是( )答案 C解析 本题通过函数图象考查函数的性质．f (x )＝11＋|x |＝⎩⎨⎧11＋x (x ≥0)11－x (x <0).当x ≥0时，x 增大，11＋x减小，所以f (x )当x ≥0时为减函数；当x <0时，x 增大，11－x 增大，所以f (x )当x <0时为增函数．本题也可以根据f (－x )＝11＋|－x |＝11＋|x |＝f (x )得f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，选C.7．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则函数f (|x |)的图象大致是( )答案 B8．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1 C ．|a |<1 D ．a ≥1答案 B9．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[ 2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( ) A ．f (0)<f (1)<f (5) B ．f (1)<f (5)<f (0) C ．f (5)<f (0)<f (1) D ．f (5)<f (1)<f (0) 答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )．∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数 而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C. 二、填空题10．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 －1≤m <0解析 首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如右图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.11．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________． 答案 1≤m < 2解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如右图．要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2. 12．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x (x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝(12)x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g (x )的图象，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |三、解答题13．作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log |(x－1)|a，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)．答案解析 (1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋ay ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0. 得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根1.函数f (x )=+a 的零点为1,则实数a 的值为( )A .-2B .-C .D .2答案:B解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.故选B.2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下对应值表:那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.5个B.4个C.3个D.2个答案:C解析:由题意知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,故函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上各至少有1个零点,故在[1,6]上至少有3个零点.3.(2015浙江温州十校联考)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:(方法一)∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0,∴f(1)·f(2)<0.∵函数f(x)=ln x+x-2的图像是连续的,且f(x)在(0,+∞)上递增,∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).(方法二)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图像交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).4.函数f(x)=e x+3x,则方程+3x=0实数解的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:B解析:由已知得f'(x)=+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,因此,f(x)的零点个数是1,故方程e x+3x=0有一个实数解.5.(2015山东莱芜一模)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()A.,0B.-2,0C.D.0答案:D解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.6.(2015河北质检)若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+e x的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点()A.y=f(-x)e x-1B.y=f(x)e-x+1C.y=e x f(x)-1D.y=e x f(x)+1答案:C解析:由已知可得f(x 0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.7.(2015皖西七校联考)已知函数f(x)=e|x|+|x|,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,-1)答案:B解析:方程f(x)=k化为方程e|x|=k-|x|,令y=e|x|,y=k-|x|,如图,y=k-|x|表示斜率为1或-1的折线,折线与曲线y=e|x|恰好有一个公共点时,有k=1,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.8.偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=在x∈[0,4]上解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:由f(x-1)=f(x+1),可知T=2.∵x∈[0,1]时,f(x)=x,又∵f(x)是偶函数,∴可得图像如图所示.∴f(x)=在x∈[0,4]上解的个数是4.故选D.9.(2015南宁模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b=.答案:5解析:∵f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为增函数,∴x0∈[2,3],即a=2,b=3.∴a+b=5.10.(2015北京西城质检)设函数f(x)=则f[f(-1)]=;若函数g(x)=f(x)-k存在两个零点,则实数k的取值范围是.答案:-2(0,1]解析:f[f(-1)]=f=log2=-2;令g(x)=0,得f(x)=k,等价于y=f(x)的图像和直线y=k有两个不同的交点,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图像,如图所示,要使得两个函数图像有2个不同交点,需0<k≤1.则实数k的取值范围是(0,1].11.(2015安徽宿州模拟)已知函数f(x)=ln x-x+2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N+),则k的值为.答案:3解析:由题意知,f'(x)=-1,在区间(1,+∞)上f(x)<0,则f(x)在(1,+∞)上是减函数,因为f(3)=ln 3-1>0,f(4)=ln 4-2<0,所以该函数的零点在区间(3,4)内,所以k=3.12.已知函数f(x)=(k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k≤2B.-1<k<0C.-2≤k<-1D.k≤-2答案:D解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图像,要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,选D.13.(2015广州测试)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.f(a)<f(1)<f(b)B.f(a)<f(b)<f(1)C.f(1)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(1)<f(a)答案:A解析:由题意,知f'(x)=e x+1>0恒成立,所以函数f(x)在R上是递增的,而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g'(x)=+1>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上是递增的,又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).故选A.14.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为.答案:8解析:∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x),又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,∴f(x)的图像如图所示,在同一坐标系中作出函数g(x)的图像,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图像有3个交点,∴共有8个交点.15.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.解:∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0,即m2-4=0时,m=±2.当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去),所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.故这种情况不符合题意.综上可知,当m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.。