湘教版九年级数学上册(初三)3.4.2:相似三角形的性质 课件

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∴ AT AB . AT AB
类似地,我们可以得到另外两组对应角平分线 的比也等于相似比.
结论
由此得到, 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
议一议
已知△ABC∽△ ABC , 若AD、AD 分别为
△ABC ,△ ABC的中线,那么 AD AB 成立吗? AD AB
由此你能得出什么结论?
本课节内容 3.4
相似三角形的判定与性质
——3.4.2 相似三角形的性质
两个三角形相似,除了它们的对应角相等,对应 边成比例等性质外,相似三角形还有哪些性质呢?
动脑筋
如图,已知△ABC∽△ ABC , AH、 AH 分
别为对应边BC, BC 上的高,那么
AH A H
AB AB 吗?
解 ∵ △ABC∽ △ ABC,
∴ AE 1 . AB 3

SVAEF
SV S AEF
四边形BCFE
=
19.
例12
已知△ABC 与△ ABC
的相似比为
2 3

且 SVABC + SVA'B'C' = 91,求△ A'B'C' 的面积.


△ABC

△ABC
的相似比为
2 3


SVABC =(2)2 = 4, S 3 9 VA'B'C'
所以 ABkAB , BCkBC , CAkCA .
从而
△ABC的周长 △ABC 的周长
AB BC C A ABBC CA
k(AABBBBCCCCAA)
k . .
2. 已知 △ABC ∽ △ABC,它们的周长分别为 60cm和72cm,且AB=15cm,BC=24cm,求
BC,AC, AB,AC 的长.
解 在Rt△ABC与Rt△ACD中, ∵ ∠A=∠A, ∠ACB=∠ADC=90°, ∴ △ABC∽△ACD.
又 CD,DE分别为它们的斜边上的高,
∴ CD AB . DE AC
又 CD=2,AB= 8 3 ,AC=4, 3
∴ DE= 3.
例10 如图,已知△ABC∽△ ABC, AT、AT 分别为
动脑筋
如图,已知 △ABC ∽△ABC,相似比为k,则 S△ABC∶S△ ABC 的值是多少呢?
分别作BC,BC 边上的高AD,AD,
则 AADD= k.
因此, SVABC SVA'B'C'
=
1 2
BCAD
12 BC AD'
=
BC BC
AD AD
=
k k =k2 .
结论
由此得到, 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
=
30cm.
66
3. 有一个直角三角形的边长分别为3,4,5,另一个 与它相似的直角三角形的最小边长为7,则另一个 直角三角形的周长和面积分别是多少?
解 由已知可得
这两个直角三角形的相似比为 3 . 7
∴ 另一个直角三角形的两条边分别为
4 3
28 3

5 3
=
35 3
.
7
7
∴ 另一个直角三角形的周长为
35 3
238 + 7
=
28.
另一个直角三角形的面积为
12×238×7= 938.
中考 试题

如图,在△ABC中,若DE∥BC,
AD DB
=
1 2
,DE=4cm,
则BC的长为( B ).
A.8 cm
B.12 cm
C.11 cm
D.10 cm
解 由DE∥BC,可知△ADE∽△ABC,
所以
DE BC
=,AADB即
对应角∠BAC,∠BAC的角平分线.
求证: AT AB . AT AB
解 ∵ △ABC ∽△ ABT',
∴ ∠B=∠B, ∠BAC=∠BAC.
又AT、A'T' 分别为对应角∠BAC,∠ BAC' 的角平分线,

∠BAT=
1 2
∠BAC
=
1 2

BAC=
∠ BAT',
∴ △ABT ∽△ ABT'.
例11 如图,在△ABC中, EF∥BC, AE 1 , EB 2
S 四边形BCFE= 8, 求S△ABC.
解 ∵ EF∥BC,
又 AE 1 , EB 2

SVAEF SVABC
=
(1)2 3
19.
∵ S = 8. 四边形BCFE
∴ SVAEF =1. ∴ SVABC =9.
∴ △AEF∽△ABC.
解 ∵ △ABC ∽ △ABC,
∴ 它们的相似比为 60 5 , 72 6

AB AB
=
BC BC'
=
AC AC'
=
5 6
.

BC
=
5 6
B'C'
=
56×24 = 20cm
A'B'
=
AB 5
=
15 5
=18cm.
66
∴ 在△ABC中,AC=60-15-20=25(cm).

A'C'
=
AC 5
=
20 5
相似三角形对应边上 的中线的比等于相似比.
练习
1. 已知△ABC∽△DEF, AM,DN 分别△ABC, △DEF 的一条中线,且AM= 6cm, AB= 8cm, DE= 4cm,求DN的长.
解 ∵ △ABC∽△DEF,
又 AM,DN分别为它们的斜边上的高,
∴ DN DE, AM AB
∴ DN=3(cm).
B,4C
=
1 3
解得BC=12 cm.
即 DN 4 . 68
2. 如图, △ABC ∽△ABC ,AD,BE 分别是 △ABC 的高和中线, AD ,BE 分别是△ABC 的高和中线 ,且 AD = 4,AD = 3,BE= 6, 求 BE的长.
解 ∵ △ABC ∽△ ABC, ∴ B'E' AD' , BE AD 即 B'E' 3 . 64 ∴ B'E' =4.5.
∴ ∠B =∠ B. 又 ∠AHB =∠ AH'B= 90°, ∴ △ABH∽△ ABH'. ∴ AH AB .
AH AB
类似地,我们可以得到其余两组对应边上的高的 比也等于相似比.
结论
由此得到: 相似三角形对应高的比等于相似比.
例9
如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,DE⊥AC , 垂足为点E. 已知CD=2,AB= 8 33 ,AC=4,求DE的长.
即Fra Baidu bibliotek
SV = 49 S ABC
VA'B'C'.
又 SVABC + SVA'B'C' = 91,

4SV +SV =91.
9 A'B'C'
A'B'C'

SV =63. A'B'C'
练习
1. 证明:相似三角形的周长比等于相似比.
证明:设△ ABC ∽△ABC,相似比为k.
因为
AABB
BC BC
CCAAk,
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