有限元基本原理与概念 PPT课件

第六章 用有限单元法解平面问题
简史
有限元应用实例
• 有限元法已经成功地应用在以下一些领域：
•
固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；
•
传热学；
•
电磁场；
•
流体力学。
• 转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）
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有限元应用实例
• 金属成形过程的分析（用Deform软件完成） • 分析金属成形过程中的各种缺陷。
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
• （5）将每一单元中的各种外荷载，按虚 功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
FLe (FLi FLj FLm e.
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求解方法
3.整体分析
作用于结点i上的力有： 各单元对i 结点的结点力 Fi , 各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi ,
工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大
的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。
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简史
算法与有限元软件
• 从二十世纪60年代中期以来，大量的理论研究不但拓展了有限 元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。
• 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： • 大型线性方程组的解法，非线性问题的解法，动力问题计算方
• 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能 写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相 同步骤求解。
• 1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指 出 可 以 用 加 权 余 量 法 特 别 是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
基本物理量：
体力: f ( fx f y )T。
面力: f ( fx f y )T。
位移函数: d (u(x, y),v(x, y))T。
应变: ε (εx εy γxy )T 。 应力: σ (σx σ y τxy )T 。 结点位移列阵: δ(ui vi u j v j )T 。 结点力列阵: F (Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单 元形状，如四边形单元？
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§6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性
位移模式
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问
题是如何求应变、应力。
首先必须解决：由单元的结点位移 δe (δi δj δm T 来求出单元的位移函数 d (u(x,y) v(x,y)T。
求解方法
• Fi (Fix Fiy T --结点对单元的作用力，作用
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的
作用力，与 F数i
值相同,方向相反， 作用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
图（c）的单元是三角形块体（注意：三角
形单元内部仍是连续体）。
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求解方法
2.单元分析
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、 各向同性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体， 应按弹性力学方法进行分析。
取各结点位移 δi (ui vi )为T (i基 1本,2,未 知) 量。然后
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简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。
（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要 求的精度。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。
1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。
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(δ* )T F
y
Fiy ,vi*
(ε* )T σdxdyt A
i
Fix ,ui*
其中:
Fjy , v*j j
Fjx ,u*j
• δ* --结点虚位移; o
图6-1
x
ε--*对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡
微分方程，后者不再列出。
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FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
对每个单元,分别求出各物理量,并均用
来表
示。δi (i 1,2, )
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求解方法
单元分析的主要内容： （1）应用插值公式, 由单元结点位移
δe (δi δ，j 求δ单m )T元的位移函数
d (u(x, y),v(x, y))T。
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδe。
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应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程:
ε (u v u v )T x y x y
(a)
物理方程: σ Dε
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 μ 0
D
E 1 μ2
μ
0
1 0
0 1
μ
(c)
2
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应用的方程
虚功方程:
简史
• 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法， 变分原理和加权余量法。
• 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限 元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
法。
• 目前应用较多的通用有限元软件如下表所列：
软件名称 MSC/Nastra n MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最 初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
• 另外还有许多针 对某类问题的专 用有限元软件， 例如金属成形分 析 软 件 Deform 、 Autoform ， 焊 接 与热处理分析软 件SysWeld等。
应用插值公式，可由 δ求e 出位移 。d
这个插值公式表示了单元中位移的分布形式， 因此称为位移模式。
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三角形单元
•
泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。
所以三角形单元的位移模式，可取为：
u v
1 4
2x 5 x
3 6
y, y。
（a）
插值公式（a）在结点 xi , yi (i, 应j, m等)于结点位
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导出方法
•
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，
其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原
理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯
康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，
我国的研究工作受到阻碍。
•
有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的
即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元， 并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构 成所谓‘离散化结构’。
(c) 深梁（离散化结构）
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结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。
• 图（c）与图( a）相比，两者都是离散
化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而
• FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。
其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
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结构离散化
导出方法
• 型材挤压成形的分析。型材在挤 压成形的初期，容易产生形状扭 曲。
• 螺旋齿轮成形过程的分析
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有限元应用实例
• 焊接残余应力分析（用Sysweld完 成）
导出方法
• 结构与焊缝布置
• 焊接过程的温度分布与轴向残余应力
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有限元应用实例
其中 表示对围绕i 结点的单元求和；
e
Fi FLi ,
(i 1,2, )
e
e
FLi 为已知值, F是i 用结点位移表示的值。
通过求解联立方程，得出各结点位移值，从而求
出各单元的应变和应力。
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求解方法
归纳起来，FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析
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求解方法
• （2）应用几何方程，由单元的位移函数d，
求出单元的应变，表示为 ε Bδe。
（3）应用物理方程，由单元的应变 ε，
求出单元的应力，表示为 σ Sδe。
（4）应用虚功方程，由单元的应力 σ，
求出单元的结点力，表示为
F e (Fi Fj Fm kδe。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示 第二节 有限单元法的概念 第三节 单元的位移模式与解答的收敛性 第四节 单Hale Waihona Puke Baidu的应变列阵和应力列阵 第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵 第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
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第七节 结构的整体分析结点平衡方程组 第八节 解题的具体步骤 单元的划分 第九节 计算成果的整理 第十节 计算实例 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
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FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。
（1）单元的位移模式 （2）单元的应变列阵 （3）单元的应力列阵 （4）单元的结点力列阵 （5）单元的等效结点荷载列阵
3.整体分析
建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。
第六章 用有限单元法解平面问题
思考题
• 1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角
形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。 前者可用结构力学方法求解，后者只能用弹性 力学方法求解，为什么？
• 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽 约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移 法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和 矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与 节点位移关系的单元刚度矩阵。
1. 结构离散化－－将连续体变换为离散化结构
• 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联
系（图（a））。
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
(a) 桁架
(b) 深梁（连续体）
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结构离散化
• 将连续体变换为离散化结构（图（c））：
移值 ui ,。vi (由i,此j,可m)求出
1
~
。
6
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三角形单元
• 其中1 ~ 6包含 xi , yi , 及ui ,vi , 。
将式（a）按未知数 ui ,vi ,归 纳为:
u Niui N uj j N um m , v Nivi N vj j Nmvm。
简史
有限单元法的形成与发展
• 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不
同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以 回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和 工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架 结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在 结构上存在相似性。
• 淬火3.06 min 时的 温度分布
导出方法
• 淬火3.06 min 时的 马氏体分 布
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
• 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量 原理和结构分析论文。
• 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element） 这一术语。
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