系统聚类的方法解析共32页文档
系统工程32聚类分析
dij ( p | xik x jk |q ) q k 1
◦ 明氏距离有三种特殊形式：
✓ 绝对距离（Block距离）：当q=1时
p
dij 1 xik x jk k 1
常用距离
◦ 明氏距离有三种特殊形式：
✓欧氏距离(Euclidean distance):当q=2时
1
dij
聚类分析的方法：
✓系统聚类（层次聚类） ✓非系统聚类（非层次聚类）
系统聚类法包括：凝聚方式聚类、分解方式聚类 非系统聚类法包括：模糊聚类法、K－均值法（快
速聚类法）等等
以系统聚类法为例
样本或变量的相似性程度的数量指标：
✓距离 它是将每一个样品看作p维空间的一个点，并用某种 度量方法测量点与点之间的距离，距离较近的归为一类， 距离较远的点应属于不同的类。
9.01 9.32 15.99 9.10 1.82
10.52 10.05 16.18 8.39 1.96
x8 13.29 14.87 9.76 11.35 10.81
将每一个省区视为一个样本： G1={辽宁}，G2={浙江}，G3={河南}，G4={甘肃}，G5={ 青海}
采用欧氏距离：
➢ d12 =[(7.9-7.68)2+(39.77-50.37)2+(8.49-11.35)2+(12.9413.3)2+(19.27-19.25)2+(11.05-14.59)2+(2.04-2.75)2+(13.2914.87)2]0.5=11.67
d13=13.80 d14=13.12 d15=12.80 d23=24.63 d24=24.06 d25=23.54 d34=2.2 d35=3.51 d45=2.21
系统聚类分析
（3.3.10）
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① 在9×9阶距离矩阵D中，非对角元素中最小者是d94=0.51，首先将第4区与第9区并为一类，记为即G10=｛G4，G9｝。按照公式（3.3.10）式分别计算G1，G2，G3，G5，G6，G7，G8与G10之间的距离得： d1，10=min｛d14，d19｝= min｛2.19，2.62｝=2.19d2，10=min｛d24，d29｝= min｛1.47，1.66｝=1.47
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聚类分析是根据各变量的观测值予以分类的，它涉及到通过各种途径和手段所得到的有意义的地理数据。由于要素的量纲、数量级和数量变化幅度的差异，如用原始数据进行聚类分析，就是将不同性质、不同量纲、不同数量变化幅度的数值都统计在一起，这样就可能突出某些数量级特别大的变量对分类的作用，而压低甚至排除了某些数量级很小的变量对分类的作用。为了有利于分析、对比和使分类清晰，常对原始地理数据进行适当和必要的处理和变换，使其在某种共同的、相对均匀化的数值范围内。
61.0
7.6
7.018
3.728
4.111
2.028
莎车
1231.2
42.5
93.0
11.0
7.116
3.750
4.533
2.398
于田
1427.0
46.4
81.0
1.4
7.263
3.837
4.394
0.336
数据变换表
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② 地理数据的标准化：标准差标准化、极差标准化标准差标准化，即把变换后的数据 减去其均值，再除以其标准差Sj
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⑧ 在第六步所得的3×3阶距离矩阵中，非对角线元素中最小者为d1，15=1.32，故将G1与G15归并为一类，记为G16，即G16=｛G1，G15｝=｛（G1，（G2，G8），（G3，（G4，G9））｝。再按照公式（3.3.10）式计算G13与G16之间的距离，可得一个新的2×2阶距离矩阵：
第一节系统聚类分析
第一节系统聚类分析第五章聚类分析(一)教学目的通过本章的学习，对聚类分析从总体上有一个清晰地认识，理解聚类分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
(二)基本要求了解聚类分析的定义，种类及其应用范围，理解聚类分析的基本思想，掌握各类分析方法的主要步骤。
(三)教学要点1、聚类分析概述;2、系统聚类分析基本思想，主要步骤;3、动态聚类法基本思想，基本原理，主要步骤;4、模糊聚类分析基本思想，基本原理，主要步骤;5、图论聚类分析基本思想，基本原理。
(四)教学时数6课时五)教学内容 (1、聚类分析概述2、系统聚类分析3、动态聚类法4、模糊聚类分析5、图论聚类分析统计分组或分类可以深化人们的认识。
实际应用中，有些情况下进行统计分组比较容易，分组标志确定了，分组也就得到了，但是，有些情况下进行统计分组却比较困难，特别是当客观事物性质变化没有明显标志时，用于确定分组的标志和组别就很难确定。
聚类分析实际上给我们提供了一种对于复杂问题如何分组的统计方法。
第一节聚类分析概述一、聚类分析的定义聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。
聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度;另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲疏程度。
二、聚类分析的种类(一)聚类分析按照分组理论依据的不同，可分为系统聚类法，动态聚类法，模糊聚类、图论聚类、聚类预报等多种聚类方法。
1、系统聚类分析法。
是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成n一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。
这种聚类方法称为系统聚类法。
根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。
系统聚类分析方法
系统聚类分析方法聚类分析是研究多要素事物分类问题的数量方法。
基本原理是根据样本自身的属性，用数学方法按照某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间的亲疏关系，并按这种亲疏关系程度对样本进行聚类。
常见的聚类分析方法有系统聚类法、动态聚类法和模糊聚类法等。
1. 聚类要素的数据处理假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象都有个要素构成。
它们所对应的要素数据可用表3.4.1给出。
（点击显示该表）在聚类分析中，常用的聚类要素的数据处理方法有如下几种。
①总和标准化②标准差标准化③极大值标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，其余各数值小于1。
④极差的标准化经过这种标准化所得的新数据，各要素的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
2. 距离的计算距离是事物之间差异性的测度，差异性越大，则相似性越小，所以距离是系统聚类分析的依据和基础。
①绝对值距离选择不同的距离，聚类结果会有所差异。
在地理分区和分类研究中，往往采用几种距离进行计算、对比，选择一种较为合适的距离进行聚类。
例：表3.4.2给出了某地区九个农业区的七项指标，它们经过极差标准化处理后，如表3.4.3所示。
对于表3.4.3中的数据，用绝对值距离公式计算可得九个农业区之间的绝对值距离矩阵：3. 直接聚类法直接聚类法是根据距离矩阵的结构一次并类得到结果。
▲ 基本步骤：①把各个分类对象单独视为一类；②根据距离最小的原则，依次选出一对分类对象，并成新类；③如果其中一个分类对象已归于一类，则把另一个也归入该类；如果一对分类对象正好属于已归的两类，则把这两类并为一类；每一次归并，都划去该对象所在的列与列序相同的行；④那么，经过m-1次就可以把全部分类对象归为一类，这样就可以根据归并的先后顺序作出聚类谱系图。
★直接聚类法虽然简便，但在归并过程中是划去行和列的，因而难免有信息损失。
因此，直接聚类法并不是最好的系统聚类方法。
[举例说明]（点击打开新窗口，显示该内容）例：已知九个农业区之间的绝对值距离矩阵，使用直接聚类法做聚类分析。
系统聚类法
−
nk nr + nk
例 7-3 （续例 7-2）设有六个样品，每个样品 只有一个指标，分别是 1、2、5、7、9、10。试用 重心法和离差平方和法进行分类。
2 解： （1）重心法： Dkr (C ) = ( X k − X r ) ′( X k − X r ) ， 1 2 Xr = ( n p X p + n q X q ) 首先计算距离矩阵 D(0) nr 2 D(0) G3 G5 G6 G1 G2 G4
因此离差平方和法的新类距离递推公式为 nk + n p 2 nk + nq 2 nk 2 2 （7-21） Dpq Dkr = Dkp + Dkq − nr + nk nr + nk nr + nk
D =
2 kr
np nr
D +
2 kp
nq nr
D −
2 kq
np nq nr nr
D
2 pq
(7 −16)
1 由于 X r = (n p X p + n q X q ) ，所以 nr
2 Dkr
n p + nq = ˆ nr
= (Xk −
n p X p + nq X q nr np
nr
)′( X k −
nr
n p X p + nq X q nr
′ Xq Xk
)
′ Xk − 2 = Xk
2 D kp
′Xp −2 Xk
2 G3 , G4 间的距离，得相应的 D(1) 如下：
2 D(1)
G7
0
G3
G4
G8
G7 = G1 ∪ G2 G3
系统聚类分析
聚类分析介绍：系统聚类法（hierarchical clustering）的计算步骤：①计算n个样品两两间的距离{d ij}，记D②构造n个类，每个类只包含一个样品；③合并距离最近的两类为一新类；④计算新类与当前各类的距离；若类的个数等于1，转到⑤；否则回③；⑤画聚类图；⑥决定类的个数和类；Matlab软件对系统聚类法的实现（调用函数说明）:cluster 从连接输出(linkage)中创建聚类clusterdata 从数据集合(x)中创建聚类dendrogram 画系统树状图linkage 连接数据集中的目标为二元群的层次树pdist 计算数据集合中两两元素间的距离(向量)squareform 将距离的输出向量形式定格为矩阵形式zscore 对数据矩阵X 进行标准化处理各种命令解释1.T = clusterdata(X, cutoff)其中X为数据矩阵，cutoff是创建聚类的临界值。
即表示欲分成几类。
以上语句等价与以下几句命令：Y=pdist(X,’euclid’)Z=linkage(Y,’single’)T=cluster(Z,cutoff)以上三组命令调用灵活，可以自由选择组合方法。
2.T = cluster(Z, cutoff)从逐级聚类树中构造聚类，其中Z是由语句likage产生的(n-1)×3阶矩阵，cutoff是创建聚类的临界值。
3. Z = linkage(Y) Z = linkage(Y, 'method')创建逐级聚类树，其中Y是由语句pdist产生的n(n-1)/2 阶向量，’method’表示用何方法，默认值是欧氏距离（single)。
有’complete’——最长距离法；‘average’——类平均距离；‘centroid’——重心法；‘ward‘——递增平方和等。
4. Y= pdist(X) Y = pdist(X, 'metric')计算数据集X中两两元素间的距离，‘metric’表示使用特定的方法，有欧氏距离‘euclid’、标准欧氏距离‘SEuclid’、马氏距离‘mahal’、明可夫斯基距离'Minkowski‘等5. H= dendrogram(Z) H = dendrogram(Z, p)由likage产生的数据矩阵z画聚类树状图。
《系统聚类分析》课件
PART 02
系统聚类分析的基本原理
REPORTING
距离度量
01
02
03
欧氏距离
根据空间中两点间的直线 距离计算，适用于数值型 数据。
曼哈顿距离
在直角坐标系中，两点之 间的距离等于各坐标轴上 绝对值之和的和。
切比雪夫距离
不考虑坐标轴上的比例因 子，只考虑坐标轴上的绝 对距离。
聚类方法
层次聚类
系统聚类分析
REPORTING
• 引言 • 系统聚类分析的基本原理 • 系统聚类分析的步骤 • 系统聚类分析的常用算法 • 系统聚类分析的优缺点 • 系统聚类分析的未来发展
目录
PART 01
引言
REPORTING
聚类的定义
聚类
将数据集划分为若干个组（或称为簇），使得同一组内的数据尽可能相似，不 同组的数据尽可能不同。
系统聚类分析
基于距离度量，通过一定的算法将数据点（或样本）进行分类，使得同一类中 的数据点尽可能接近或相似，不同类中的数据点尽可能远离或差异大。
聚类的目的
探索性数据分析
通过聚类分析，可以发现数据中的隐 藏模式和结构，从而更好地理解数据 的分布和特征。
数据降维
决策支持
聚类分析可以用于市场细分、客户分 类等场景，帮助企业更好地了解客户 需求和市场趋势，从而制定更有针对 性的营销策略。
将数据点按照某种标准（如距离）进行层次分解，形成一棵聚类 树。
K-means聚类
将数据点分为K个聚类，每个聚类中心点为该聚类的平均值。
DBSCAN聚类
基于密度的聚类方法，将相邻的密集区域划分为同一聚类。
聚类评估
内部评估指标
通过计算聚类内部的紧密程度来 评估聚类的质量，如轮廓系数、 Calinski-Harabasz指数等。
聚类分析(2)系统聚类法
距离的概念
类3
类2
类1
5.4.1最短距离法 §5.4.1最短距离法 个样品， 设有n个样品，用d ij表示样品X与样品 X j之间的 i 距离（ 表示类。 距离（ i, j = 1,2,L n），用 G1 , G2 ,L 表示类。定 , 义类与类之间的距离为两类最近样品的距离， 义类与类之间的距离为两类最近样品的距离， 的距离， 用 D pq表示G p 与 Gq 的距离，则 D pq = min{d ij } （5.12） ） i∈G
由于在分类的过程中， 由于在分类的过程中 ， 类与类间的距离可以 有不同的定义， 有不同的定义，所以系统聚类法又可细分为常 用的八种方法，它们是最短距离法、最长距离 用的八种方法，它们是最短距离法、 中间距离法、可变法、重心法、类平均法、 法、中间距离法、可变法、重心法、类平均法、 可变类平均法、离差平方和法。 可变类平均法、离差平方和法。
注意这里只需计算合并后的58、 号与其他 注意这里只需计算合并后的 、 79号与其他 各岩体距离， 其余岩体距离不变， 照表5.3抄 。 各岩体距离 ， 其余岩体距离不变 ， 照表 抄 4．重复第1步，由表5.5选出最小者 d56,80=0.1558填入综合表 填入综合表5.14中。 填入综合表 中 5． 重复第 步将表 步将表5.4中 56、 80号两岩体 ． 重复第2步将表 中 、 号两岩体 的数据合并，得表5.6。 的数据合并，得表 。 6．重复第 步，计算距离函数得表 ．重复第3步 计算距离函数得表5.7。 。 7．重复第1步，从表5.7中选出最小者 d98,102=0.2170填入综合表 填入综合表5.14中。 填入综合表 中
§5.4 系统聚类法
系统聚类法是目前国内外使用最多的一种聚 类法，属于聚合法。有关它的研究极为丰富。 类法，属于聚合法。有关它的研究极为丰富。 系统聚类法的分类统计量一般采用距离系数统 计量，其基本步骤为： 计量，其基本步骤为： 1．每个样品为一类，计算各样品之间的距 ．每个样品为一类， 离系数； 离系数； 2．把距离最小的两类合并为一类； ．把距离最小的两类合并为一类； 3．计算新的类间的距离； ．计算新的类间的距离； 4．重复 、3步一直到合并为一类为止。 步一直到合并为一类为止。 ．重复2、 步一直到合并为一类为止
系统分析聚类分析推荐精选PPT
聚类分析根据一批样品的许多观测指标，
按照一定的数学公式具体地计算一些样品或 一些参数(指标)的相似程度，把相似的样品 或指标归为一类，把不相似的归为一类。
例如对上市公司的经营业绩进行分类； 据经济信息和市场行情，客观地对不同商品、 不同用户及时地进行分类。又例如当我们对 企业的经济效益进行评价时，建立了一个由 多个指标组成的指标体系，由于信息的重叠， 一些指标之间存在很强的相关性，所以需要 将相似的指标聚为一类，从而达到简化指标 体系的目的。
其中
k p1(xikxi)(xjkxj)
ij [ p(x x)2][ p(x x)2]
k1 ik
i
k1 jk
j
（2）夹角余弦
夹角余弦时从向量集合的角度所定义的一种测度变 量之间亲疏程度的相似系数。设在n维空间的向量
xix1 i,x2i, ,xni xj x1j,x2j, ,xnj
cij cosij
中心化变换的结果是使每列数据之和均为0，即每个变量 的均值为0，而且每列数据的平方和是该列变量样本方差 的(n—1)倍，任何不同两列数据之交叉乘积是这两列变量 样本协方差的(n—1)倍，所以这是一种很方便地计算方差 与协方差的变换。
2、极差规格化变换 规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值
例如，假设有一个二维正态总体，它的分布为：
N200,01.9 01.9
1 1 1 0.9 0.190.9 1
设 A(1,1)和 B(1,1)两点。
dA(M)1.05 dB(M)20
dA(U)2 dB(U)2
(5) 斜交空间距离
由于各变量之间往往存在着不同的相关 关系，用正交空间的距离来计算样本间的 距离易变形，所以可以采用斜交空间距离。
系统聚类分析
0.26
0.04
0.00
0.15
0.00
0.00
二、距离的计算
常见的距离有 ① 绝对值距离
d ij xik x jk
② 欧氏距离
d ij ( xik x jk ) 2
k 1 n
n
(i, j 1,2,, m)
（3.4.5）
i 1
(i, j 1,2,, m)
（3.4.6）
计算原来各类与新类之间的距离，这样就得到 一个新的（m－1）阶的距离矩阵； 再从新的 距离矩阵中选出最小者dij，把Gi和Gj归并成新 类；再计算各类与新类的距离，这样一直下去， 直至各分类对象被归为一类为止。
例题:以下根据式（3.4.9）中的距离矩阵，
用最短距离聚类法对某地区的9个农业区进行 聚类分析。
1 m x j xij 0 m i 1 sj 1 m ( xij x ) 2 1 j m i 1
③ 极大值标准化，即
xij xij max{xij }
i
(i 1,2, , m; j 1,2, , n)
（3.4.3）
经过这种标准化所得的新数据，各要素的 极大值为1，其余各数值小于1。
假设有m 个聚类的对象，每一个聚类对象 都有n个要素构成。它们所对应的要素数据可 用表3.4.1给出。
表3.4.1 聚类对象与要素数据
要 聚 类 对 象 素
x1
x11 x21 xi1 xm1
x2 x j
x12 x22 xi 2 x1 j xij
xn
x1n xin xmn
d8，10=min｛d84，d89｝= min｛1.29，1.40｝=1.29
系统聚类法——精选推荐
系统聚类法
1. 概述
系统聚类法也称为多层次聚类法，分类的单位由⾼到低呈树状结构，且所处的位置越低其包含的样本点就越少，共同特征越多。
这种⽅法适合于数据量较⼩的情况，当数据量较⼤时系统聚类法的速度较慢。
2. 算法核⼼思想
其做法是开始时把每个样品作为⼀类，然后把最靠近的两个或若⼲个样品（即距离最⼩的群品）⾸先聚为⼩类，再将已聚合的⼩类按其类间距离合并（两两或若⼲），不断继续下去，最后把⼀切⼦类都聚合到⼀个⼤类。
3. 算法实现步骤
以n个样本的聚类分析为例，系统聚类法的步骤如下：
1、将数据标准化。
2、计算n个样本两两之间的距离。
3、将每个样本归为⼀类，根据计算出的样本间的距离合并距离最近的两类为⼀个新类。
4、再计算新类与其他各类的距离，同样再根据计算出的距离合并距离最近的两类为⼀个新类。
5、循环以上过程直⾄类别个数为1。
6、画出各阶段的聚类图并决定类别的个数。
常⽤的空间距离有：绝对值距离、欧⽒距离、切⽐雪夫距离、马⽒距离和兰⽒距离等。
系统聚类法
6
d61=d(3,4)1=min{d13,d14}=13.12 d62=d(3,4)2=min{d23,d24}=24.06 d65=d(3,4)5=min{d35,d45}=2.21 6 6 D2= 1 2 5 0 13.12 2.21 0 0 23.54 0 12.80 24.06 11.67
1
2
d12=[(7.9-7.68)2+(39.77-50.37)2+(8.49-11.35)2+(12.9413.3)2+(19.27-19.25)2+(11.05-14.59)2+(2.04-2.75)2+(13.2914.87)2]0.5=11.67 d13=13.80 d14=13.12 d15=12.80 d23=24.63 d24=24.06 d25=23.54 d34=2.2 d35=3.51 d45=2.21 1 D1= 1 2 3 4 5 0 11.67 0 13.80 24.63 0 13.12 24.06 2.20 0 0 12.80 23.54 3.51 2.21 2 3 4 5
X ( xij ) nm
x11 x 21 x n1
x12 x1m x xx x 2 m x n 2 x nm
（1）
其中 n 为样品数， m 为特征变量数 第 i 个样品的观测值： ( xi1 , xi 2 , xim )T ， i 1,2,n
x6 11.05 14.59 9.42 9.1 8.39
x7 2.04 2.75 1.55 1.82 1.96
x8 13.29 14.87 9.76 11.35 10.81