激光原理教案第4章

《激光原理技术及应用》讲义（第4章高斯光束）

王菲

长春理工大学

2007年4月

第四章 高 斯 光 束（4学时）

§1.高斯光束的基本性质

一、波动方程的基模解

在标量近似下稳态传播的电磁场满足赫姆霍茨方程

（4-1-1）

其中标量u 0表示相干光的场分量。缓变振幅近似下的特解

（4-1-2）

（4-1-3）

是Z 的缓变函数。 将（4-1-3）代入（4-1-1）得

（4-1-4）

设解

（4-1-5）

参数P(z)是与光束传播有关的复相移，q(z)是复曲率半径，表示光束强度随与光轴的距离22y x r +=

呈高斯变化，在近轴处是球面。

（4-1-4）→（4-1-5）

=> （4-1-6）

=>

（4-1-7a ）

（4-1-7b ）

（4-1-7a ）=>

（4-1-8）

Z 0为输入与输出面间距离。（4-1-8）→（4-1-5）=>

（4-1-9）

振幅r 下降到中心值的1/e 时，光斑尺寸k

z r 02==0ω，即

（4-1-10）

=> （4-1-11）

又

（4-1-12）

（4-1-12）→（4-1-5）=>

（4-1-13）

（4-1-14）

（4-1-14）（4-1-10）=> （4-1-15）

（4-1-13）=>

（4-1-16）

由（4-1-7b ）→（4-1-8）=>=>

（4-1-17）

（4-1-11）→（4-1-17）=> （4-1-18） 又

（4-1-19）

=> （4-1-20）

综上知 （4-1-21）

（4-1-21）是波动方程（4-1-1）的一特解，称基模高斯光束。

基模高斯光束的性质由三参数决定。

（4-1-22）

二、高斯光束的基本性质

1.高斯光束在z ＝常数的平面内，场振幅以高斯函数

)

)

(exp(2z r ω-

的形式从中心(即传播轴

线)向外平滑地减小。当振幅减小到中心值的l/e 处的r 值定义为光班半径。 光斑半径随坐标z 按双曲线规律向外扩展。

（4-1-22）

2．高斯光束的等相面

等相面是指相位相同点的轨迹，一般为空间曲面。令相位为常数，则

const z z R r k =ψ-+))(2/(2 （其中)/(20πωλz arctg =ψ） （4-1-23）

近轴下，const z z R r =+)(2/2 （4-1-24）

即高斯光束等相面为球面

（4-1-25）

波高斯光束的等相面曲率中心随着

光束的传播而移动。 3.高斯光束的相移

（4-1-26）

描述高斯光束在点（r,z ）处相对于原点的相位差。kz 为几何相移，

，

ψ为在空间传输距离z 相对于几何相移产生的附加相移。

4.瑞利长度（共焦参数）

物理意义：

即光斑从最小半径0ω增大到

02ω ，

，从最小光斑处算起的这个长度即瑞利长度。

5.远场发散角

∞→z 时，高斯光束振幅减小到中心最大值1/e 处与z 轴的交角。即

（4-1-27）

即远场发散角包含在传播距离z 处光束的几何张角和衍射效应二部分的贡献。 理论上为双曲线的渐近线与光轴的夹角。

三、高阶高斯光束

波动方程的存在很多解，其各种组合也是波动方程的解，是一种实际存在的激光束，称多模。

1.直角坐标系下高阶高斯光束场的形式

（4-1-28）高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定。，即厄米-高斯分布。通常把由整数m 和n所表征的横向分布称为高阶横模。高阶模的总相移

（4-1-29）

2.在圆柱坐标系，其解拉盖尔多项式与高斯函数乘积决定。

（4-1-30）

拉盖尔-高斯光束的横向分布由振幅决定，振幅

（4-1-31）

（4-1-32）四、高斯光束的孔径

高斯光束通过孔阑a后的功率透过率（4-1-33）

拉盖尔高斯光束场结构

§2.高斯光束的传输定律

一、球面波的传输

球面波在自由空间的传输规律：

（4-2-1）

波面通过薄透镜变换

（4-2-2）

规定：沿光传输方向的发散球面波的曲率半径为正，会聚球面波的曲率半径为负。

=> （4-2-3）

反映了近轴球面波曲率半径的传输和变换与光学矩阵元之间的关系。

二、高斯光束的复参数q 及其传输

高斯光束可由波前曲率半径

R(z)、光斑半径z ω和位置z 中任意两个量来描述。 引入复参数q ：

（4-2-4）

（4-2-5）

→（4-1-21）=>

（

4-2-6）

（4-2-4）

→ （4-2-7

）

高斯光束传输变化规律

（4-1-15） （4-1-16）

即当光束从束腰向外传输时，波面的曲率半径从无穷大迅速变小，通过一个极小值

02z 又逐渐变大，最后以表征球面波曲率半径变化的直线为渐近线趋于无穷大。

1/0<

（4-1-15）（4-1-16）=>

（4-2-8）

（4-2-9）

已知R(z)和该位置光斑)(z ω由（4-2-8）（4-2-9）式可确定束腰位置和大小。 （4-1-15）（4-1-16）→（4-2-4）=>传输规律 （4-2-10）

=>

（4-2-11）

即高斯光束的复数曲率半径与普通球面波的曲率半径遵循相同的传输规律。

三、高斯光束的ABCD 定律

复参数q 通过传输矩阵M 的光学系统变换遵守ABCD 定律：

（4-2-12）

q 1、q 2分别入射平面和出射平面的复光束参数。

§3 高斯光束通过光学系统的变换

一、高斯光束通过复杂光学系统的变换

（4-3-1）

（4-3-2）

21/ηη=-BC AD （4-3-3）

（4-3-4）

（4-3-1）（4-3-2）（4-3-3）（4-3-4）=>

（4-3-5）

即高斯光束通过复杂光学系统的变换公式。

即研究入射和出射高斯光束束腰间变换时，（4-3-5）变为

（4-3-6）

当0≠c 时，则束腰成像公式

（4-3-7）

二、高斯光束通过薄透镜的变换

（4-3-8）

（4-3-9）

=>空气中1

2

1

=

=η

η，束腰成像公式

（4-3-10）

]

)

(

)

1

[(2

2

1

1

2

1

1f

z

f

s

f

s

f

s

i+

-

=

-

-

=

ω

ω

ω

物距/像距关系物像比例与物距间关系

<

一>f一定，

i

ω随

s变化情况

（4-3-10

）对

s

求偏微分

（4-3-11）

1.

s

，（4-3-12）

即当

s

时，

i

ω<

ω

,不论f何正数，总有聚焦作用，且像距总小于f。

2.

s>f

（理想）

实际中

，

，其中

，即此时

3. 0s =f

i ω达最大，

，。

综上仅当f<0s 时，透镜才有聚焦作用。 <二>0s 一定，i ω随f 变化情况 （4-3-10）对f 求偏微分

(4-3-13)

1. 时，

分别为高斯光束入射在透镜处等相面的曲率半径和光斑半径。

2.

，

3.

，

单透镜除了用于高斯光束的聚焦之外，还常用于高斯光束的准直。

当0s =f 时i 0ω最大，即高斯光束的束腰在透镜的前焦面时输出光斑达到最大，有准直效果，且f 越大，（注：受限于通光孔径，f 不可能无限大）准直效果越好，对基模高斯光束，根据拉赫不变量 λ

θωθω==i i 000101

=>f i 01min ,0ωθ=，01max ,0/πωλωf i = （4-3-14）

三、高斯光束通过望远系统的变换

1.调焦望远系统（0=?）

调焦望远系统光线变换矩阵：

???? ?

?=T T

M l

M m 10

，1

2f f

M T -

=（4-3-15）

代入（4-3-7）式

=>

，

（4-3-16）

=>1）倒置望远系统，即1>T M ，扩束T M 倍，准直范围增大2

T M ； 2）像方发散角压缩

T M 倍，

；

3）

，

；

4

）

，扩束比（准直率）。

最大扩束比=>离焦望远系统

2.离焦望远系统（0≠

?）

代入（4-3-7）式

（4-3-17）

（4-3-18）

实际中两透镜焦距一定，即在（4-3-17）式的

约束下求（4-3-18）的条件极值。

=>， （4-3-19）

，=> （4-3-20）

注：通常用于高功率密度激光束变换的望远系统采用伽利略望远系统。

四、高斯光束的匹配

谐振腔产生的单模入射到一光学系统（如干涉仪、多程反射室等），因光学系统都有自己的本征模式，若二者不匹配，I 腔发出的单模将激发起系统的多模,因交叉激发作用而使损耗增加。在模式匹配时，入射的单模仅激发系统一个相对应的单模。

如图在I 腔产生的基模腰斑0ω，II 腔产生的基模腰斑i ω。如在其间适

当位置插入一个适当薄透镜f ，使由I 腔与II 腔发出的光束互为物像共轭，则该透镜称为二腔的模匹配透镜。

复参数： （4-3-21）

将（4-3-21）式中前两式代入第三式

=> （4-3-22）

又 （4-3-23）

（4-3-23）→（4-3-22），分离实部、虚部

=>高斯光束的模匹配公式： （4-3-24）

其中

讨论：

任意f 值，可求出i s s 、0，但仅当

0f f >，有实数解。

（4-3-25）

联立（4-3-24）（4-3-25）可求出i s s 、0和f 。

§4.激光光学系统设计

参见：萧泽新《工程光学设计》2003.6

§5.光束质量评价方法与测量

一、光束参数乘积BPP

BPP=束腰半径?远场发散角=i i θω（mm*mrad ）

二、光束极限倍率衍射因子M 2

2M =

实际光束的束腰半径与远场发散角的乘积理想高斯光束的束腰半径与远场发散角的乘积=0

0θωθωi i

，=>

2M 因子反映了激光束的质量，是表征激光高亮度、高空间相干性和方向性的本

质参数。基模M 2=1

1.厄米-高斯光束

，

=> ，

2.拉盖尔-高斯光束

=>

三、多点法测量光束质量

1.激光传输方程：

，确定束腰位置z 0，测得束腰直径 d 0和z 处束宽d(z) => M 2

测量精度: 至少测十个位置束宽，且至少5个在一倍瑞利距离内。 2.激光传输方程

根据d(z)和z ，采用最小二乘法拟合求系数A 、B 、C 。光束参数

，