2-3第二章 导热基本定律及稳态导热
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导热基本定律及稳态导热
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
t t t grad t i j k x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量
（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量； 不同方向上的热流密度的大小不同
2 q W m
q -grad t
[ W m2 ]
: 热导率（导热系数） （Thermal conductivity） W (m C) 直角坐标系中： t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
t t t q x ; q y ; q z x y z
a — 热扩散率（导温系数） [ m2 s] （Thermal diffusivity） c
2 — 拉普拉斯算子
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244 W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2 2 2 t t t 2 t 2 0 2 2 x y z
圆柱坐标系 （r, , z）
t t t grad t i j k x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量
（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量； 不同方向上的热流密度的大小不同
2 q W m
q -grad t
[ W m2 ]
: 热导率（导热系数） （Thermal conductivity） W (m C) 直角坐标系中： t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
t t t q x ; q y ; q z x y z
a — 热扩散率（导温系数） [ m2 s] （Thermal diffusivity） c
2 — 拉普拉斯算子
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244 W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2 2 2 t t t 2 t 2 0 2 2 x y z
圆柱坐标系 （r, , z）
第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。
根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。
① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律一 、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。
3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
传热学-第二章-导热基本定律及稳态导热
dQx qx dydz d
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQxdx qxdx dydz d [J]
ห้องสมุดไป่ตู้
qxdx
qx
qx x
dx
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx
dQxdx
qx x
dxdydz d
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q
直角坐标系中：
q
q
q qx i qy j qz k
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律
3、时间条件
说明在时间上导热过程进行的特点
x
y
z
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad t t i t j t k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
导热
1 / 1 2 / 2
n / n
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热工基础与应用
第四章
温度场为分段函数
t
t w1
t w2
t tw1
t w,n1
q
t w3
1
x
0 x 1
1
2
n
tw2 t tw2 q
1 tw1 q 1
1 x (1 2 )
第四章
2. 推导
① 物理问题描述
三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以 外其它形式的热量，如化学反应能、电能等）。
② 假设条件 • 所研究的物体是各向同性的连续介质； • 导热率、比热容和密度均已知； • 内热源均匀分布，强度为 Φ [W/m3]； • 导热体与外界没有功的交换。
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热工基础与应用
第四章
第三类边界条件:给定了边界上物体与周围流体 间的表面传热系数以及流体温度
牛顿冷却定律：
qw h(tw t f )
傅立叶定律：
h qw
tf
qw (t / n)w
t h(tw例：上图中 tf ) n w
0
δ
x
t h(tw t f ) 对于大平板有： x , x x
热工基础与应用
第四章
③ 建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析
dz z y dx x
dy
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热工基础与应用
第四章
• 导入微元体的热量 沿x轴方向导入微元体的热量：
t Φx dydz x
• 导出微元体的热量
第二章导热基本定律及稳态导热
d 边界条件：第一类
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
第二章 导热的基本定律及稳态导热
第二章导热的基本定律及稳态导热从本章开始将深入的讨论三种热量传递方式的基本规律。
研究工作基本遵循经典力学的研究方法，即提出物理现象、建立数学模型而后分析求解的处理方法，对于复杂问题亦可在数学模型的基础上进行数值求解或试验求解。
采用这种方法，我们就能够达到预测传热系统的温度分布和计算传递的热流量的目的。
导热问题是传热学中最易于用数学方法处理的热传递方式。
因而我们能够在选定的研究系统中利用能量守恒定律和傅立叶定律建立起导热微分方程式，然后针对具体的导热问题求解其温度分布和热流量。
最后达到解决工程实际问题的目的。
2－1 导热的基本概念和定律1温度场和温度梯度1.1温度场由于热量传递是物质系统内部或其与环境之间能量分布不平衡条件下发生的无序能量的迁移过程，而这种能量不平衡特征，对于不可压缩系统而言，可以用物质系统的温度来表征。
于是就有“凡是有温差的地方就有热量传递”的通俗说法。
因此，研究系统中温度随时间和空间的变化规律对于研究传热问题是十分重要的工作。
按照物理上的提法，物质系统内各个点上温度的集合称为温度场，它是时间和空间坐标的函数，记为yxft=2－1(τz),,,式中,t—为温度; x,y,z—为空间坐标; -- 为时间坐标。
如果温度场不随时间变化,即为稳态温度场，于是有yxft=2—2(z,),稳态温度场仅在一个空间方向上变化时为一维温度场,t=2—3f)(x稳态导热过程具有稳态温度场,而非稳态导热过程具有非稳态温度场。
1.2等温面温度场中温度相同点的集合称为等温面,二维温度场中则为等温线,一维则为点.取相同温度差而绘制的等温线(对于二维温度场)如图2-1所示,其疏密程度可反映温度场在空间中的变化情况。
等温面不会与另一个等温面相交,但不排除十分地靠近,也不排除它可以消失在系统的边界上或者自行封闭。
这就是等温面的特性。
1.3温度梯度温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量。
按照存在温差就有热传的概念,沿着等温面方向不存在热量的传递。
传热学(第二章)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
边界条件：r=r1时，t=t1；r=r2时，t=t2 对（2-25）式积分两次，得其通解： t = c1 ln r + c2 将边界条件代入通解，确定积分常数
t2 − t1 t −t c2 = t1 − ln r 2 1 ln( r2 / r ) ln( r2 / r ) 1 1 t −t t = t1 + 2 1 ln( r / r ) （2-26） 1 ln( r2 / r ) 1 dt λ t1 − t2 q = −λ = （2-27） dr r ln( r2 / r ) 1 c1 =
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁、圆筒壁、
• 1∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp ∂τ r ∂r ∂r) r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 （2-25）
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为 （2-29） 29） 与分析多层平壁—样，运用串联热阻叠加的原则，可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 − t4 ) Φ= （2-30） ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数，无内热源的空心球壁。内、外半径为r1、r2，其内外表面均匀 恒定温度为t1、t2，球壁内的温度仅沿半径变化，等温面是同心球面。 由傅立叶定律得： dt 各同心球面上的热流率q不相等，而热流量Φ相等。 Φ = −4πr2λ dr dr ⇒Φ 2 = −4πλdt r
东南大学传热学 第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律 及稳态导热
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
本章重点讨论稳态导热问题。为此首先介绍 一些相关的基本知识，如温度场、温度剃度、 导热基本定律等；然后应用这些基本知识推 导出求解导热问题的微分方程；最后应用这 些微分方程求解常见的导热问题。
第一节 导热基本定律
温度场
• 定义：某一瞬间物体内的温度分布，称为温度场。 • 分类 1.按温度是否随时间而变化可分为 稳态温度场：物体内温度不随时间的变化而变化的温度场 非稳态温度场：物体内的温度随时间变化而变化的温度场 2.按温度随空间的变化可分为 一维温度场：温度只在一个方向有变化的温度场 二维温度场：温度在两个方向有变化的温度场 三维温度场：温度在三个方向有变化的温度场 • 表示：三种表示方法
n x y z
导热基本定律
• 傅立叶定律：单位时间内通过单位截面积所传 递的热量，正比例于当地垂直于截面方向上的 温度变化率，即温度剃度，其比例系数为导热 系数。
• 表示型式： A t n
n
导热系数
•
定义：
q
t n
n
• 物理意义：单位时间单位面积当温度变化率为1时，由导
热所传递的热量
• 影响因素：主要是物质的种类和物质所处的状态
第三节 通过平壁、圆筒壁、球壳和 其他变截面物体的导热
通过 平壁导热
通过 圆筒壁导热
通过 球壳导热
通过变导热 系数物体 的导热
单层平壁 多层平壁 单层圆筒壁 多层圆筒壁 单层球壳 多层球壳
通过单层平壁的导热
通过单层 平壁的导热
物理模型
数学描写
温度分布
热流量计算
数学描写
d 2t dx2 x
数学描写
温度分布
热流量计算
物理模型
《传热学》第2章-导热基本定律及稳态导热
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、 湿度、压力、密度等
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
不同物质的导热机理
1、气体的热导率 λ气体 ≈ 0.006 ~ 0.6 W (mo C)
0o C : λ空气 = 0.0244 W (moC) ; 20o C : λ空气 = 0.026 W (moC)
dΦv = Φ& dxdydz
v 单位时间内，微元体热力学能的增加 dU = ρc ∂t dxdydz ∂τ
导热微分方程式
dΦλ + dΦV = dU
dΦ λ
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
+
∂ ∂y
λ
∂t ∂y
+
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
dΦv = Φ& dxdydz
q = − dΦ n dA
直角坐标系中： q = qxi + qy j + qz k
导热基本定律
v 1822法国数学家傅里叶（Fourier）在大量实验研究的基础 上, 提出了导热基本定律—傅里叶定律。
v 对于物性参数不随方向变化的各向同性物体, 傅里叶定律度
热流密 度矢量
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法等
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 è温度场
圆柱坐标系（r, Φ, z）
dz
v 感兴趣的同学
课下自己推导
练习.
v 球坐标系方程 见教材P26.
=
−λ ∂t ∂n w
=0
⇒
λ金属 > λ非金属; λ固相 > λ液相 > λ气相
不同物质的导热机理
1、气体的热导率 λ气体 ≈ 0.006 ~ 0.6 W (mo C)
0o C : λ空气 = 0.0244 W (moC) ; 20o C : λ空气 = 0.026 W (moC)
dΦv = Φ& dxdydz
v 单位时间内，微元体热力学能的增加 dU = ρc ∂t dxdydz ∂τ
导热微分方程式
dΦλ + dΦV = dU
dΦ λ
=
∂ ∂x
λ
∂t ∂x
+
∂ ∂y
λ
∂t ∂y
+
∂ ∂z
λ
∂t ∂z
dxdydz
dΦv = Φ& dxdydz
q = − dΦ n dA
直角坐标系中： q = qxi + qy j + qz k
导热基本定律
v 1822法国数学家傅里叶（Fourier）在大量实验研究的基础 上, 提出了导热基本定律—傅里叶定律。
v 对于物性参数不随方向变化的各向同性物体, 傅里叶定律度
热流密 度矢量
导热微分方程式的求解方法
积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法等
导热微分方程＋单值性条件＋求解方法 è温度场
圆柱坐标系（r, Φ, z）
dz
v 感兴趣的同学
课下自己推导
练习.
v 球坐标系方程 见教材P26.
=
−λ ∂t ∂n w
=0
⇒
传热学-第二章 导热基本定律及稳态导热第二讲-动力工程
当导热系数 const或qV 0时，
平壁内的温度分布将不再呈现出线性分布的特 点，热阻形式也将发生变化。
切不可盲目引用一些既成的结论而忽视该结论 成立的条件！ ★ ★
(2) 随温度变化、无内热源
d dT 0
dx dx
x 0,
x ,
T T
Tw1 Tw2
（0 1 bT） 0、b为常数
c T
(
x
T ) x
(
y
T ) y
z
(
T z
)
qv
本讲要点
单值性条件 尤其是边界条件
一维稳态导热的基本解法 注意体会： (1) 不同物理条件(导热系数是否常数、有无内热 源)对于温度分布的影响 (2) 第三类边界条件下的传热过程 (3) 圆筒壁和平壁的温度分布特征
二、 导热过程的单值性条件
Tw2 Tw2
dT r dr c1 T c1 ln r c2
Tw1 c1 ln r1 c2; Tw2 c1 ln r2 c2
Tw1 Tw2
Tw1
Tw2
圆筒壁内温度分布：
c1
Tw2 Tw1 ln(r2 r1)
;
c2
Tw1
(Tw2
Tw1)
ln r1 ln(r2 r1)
T
Tw2 ln( r2
d 2T dx2
qv
0
x 0, T Tw1
x , T Tw2
直接积分，得：
dT dx
qv
x c1
T
qv
2
x2
c1x
c2
根据边界条件，得：
Tw1 c2 ;
Tw2
qv
2
2
c1
c2
平壁内的温度分布将不再呈现出线性分布的特 点，热阻形式也将发生变化。
切不可盲目引用一些既成的结论而忽视该结论 成立的条件！ ★ ★
(2) 随温度变化、无内热源
d dT 0
dx dx
x 0,
x ,
T T
Tw1 Tw2
（0 1 bT） 0、b为常数
c T
(
x
T ) x
(
y
T ) y
z
(
T z
)
qv
本讲要点
单值性条件 尤其是边界条件
一维稳态导热的基本解法 注意体会： (1) 不同物理条件(导热系数是否常数、有无内热 源)对于温度分布的影响 (2) 第三类边界条件下的传热过程 (3) 圆筒壁和平壁的温度分布特征
二、 导热过程的单值性条件
Tw2 Tw2
dT r dr c1 T c1 ln r c2
Tw1 c1 ln r1 c2; Tw2 c1 ln r2 c2
Tw1 Tw2
Tw1
Tw2
圆筒壁内温度分布：
c1
Tw2 Tw1 ln(r2 r1)
;
c2
Tw1
(Tw2
Tw1)
ln r1 ln(r2 r1)
T
Tw2 ln( r2
d 2T dx2
qv
0
x 0, T Tw1
x , T Tw2
直接积分，得：
dT dx
qv
x c1
T
qv
2
x2
c1x
c2
根据边界条件，得：
Tw1 c2 ;
Tw2
qv
2
2
c1
c2
第二章导热基本定律及稳态导热
– 固体
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
金属（以自由电子的迁移为主） 金属T↑， λ↓； 合金T↑， λ↑
非金属（以弹性波） T↑， λ↑
– 气体 分子间的相互碰撞 T↑， λ↑ – 液体 分子运动、弹性波 T↑， λ↓
由以上分析可看出，在一般情况下：
– ①λ固>λ液>λ气； – ②λ导>λ非导； – ③λ湿>λ干； – ④λ多孔<λ实体 – 习惯上把λ<0.15 的材料称为隔热材料
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
表示物体内部温度趋向一致能力的大小。
二、圆柱体坐标中的导热微分方程
三、单值性条件
1 几何条件 物体的形状、大小及相对 位置。
2 物理条件 热物性λ、ρ、Cp等 3 时间条件 （初始条件）tτ=0=f(x,y,z) 4 边界条件 表征导热体的边界与导热
第三节 一维稳态导热
一、平壁的一维稳态导热
1 单层平壁
（1）壁面等温
t
已知有一平壁，导热系数为λ ， 且为常数，二壁温为t1和t2 （ t1>t2 ），壁面截面积为A， 厚为δ，无内热源。
求（1）温度分布；（2）热流 量Q（q）
t1
δ
t2 x
方法一：利用导热微分方程式
方法二：直接利用付里叶定律
隔热材料一般利用气体导热系数小的特 点，把材料做成蜂窝状多孔性。
第二节 导热微分方程
一、直角坐标系中的导热微分方程
假设：
– （1）物性参数为常数 （λ，ρ，c）
– （2）材料各相同性 – （3）物体内具有内热
源 发q出v，的单热位量时。间体积 Qx
思路：取一微元体— 平行六面体
dv=dx·dy·dz
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
第二章稳态导热_传热学
讨论2: 讨论2: 多层平壁
q= tw1 − tw 2
q=λ
tw1 − tw 2
δ
温度分布? 温度分布? 热流密度? 热流密度? t tw1 tw2 tw3
δ1 λ1
1 = ( tw1 − tw2 ) Rλ ,1
q=
q=
t w 2 − tw3
δ 2 λ2
=
1 ( tw 2 − tw3 ) Rλ ,2
回顾: 回顾:
ห้องสมุดไป่ตู้
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ρc = (λ ) + (λ ) + (λ ) + qv ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
均为常数： 1.若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ρc = λ( + + )＋ q 2 2 2 ∂τ ∂x ∂y ∂z
δ2 λ2
tw 3
tw1 − tw 2 = qRλ ,1
t w 2 − t w3 = qRλ ,2
tw3 − tw 4 = qRλ ,3
对于n层平壁, 对于n层平壁,有: tf1
1 h1
tw1
δ λ
tw2
1 h2
tf2
q=
( tw1 − tw,n+1 )
∑ Rλ
i =1 n ,i
第i层与第i+1层平壁之间的温度: 层与第i+1层平壁之间的温度: i+1层平壁之间的温度
q=
t 2 − t3
δ2 λ2
t2 + t3 = 499℃ 硅藻土层的平均温度为 2
§2-2 通过复合平壁的导热 一.复合平壁
在宽度或厚度方向由不同材料组成的平壁,如下图所示: 在宽度或厚度方向由不同材料组成的平壁,如下图所示:
第2章-傅立叶定律
• 非导电固体：导热是通过晶格结构的振 动所产生的弹性波来实现的，即原子、 分子在其平衡位置附近的振动来实现的。
液体的导热机理：存在两种不同的观点 ❖第一种观点类似于气体，只是复杂些，因 液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰 撞的影响比气体大； ❖第二种观点类似于非导电固体，主要依靠 弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡 位置附近的振动产生的）的作用。
t+Δt t t-Δt
2.1.4、导热系数 1、定义
傅利叶定律给出了导热系数的定义 :
Βιβλιοθήκη q tnn
q / gradt w/m·℃
导热系数在数值上等于单位温度梯度作用下单位
时间内单位面积的热量。
导热系数是物性参数，它与物质结构和状态密切 相关，例如物质的种类、材料成分、温度、 湿度、 压力、密度等，与物质几何形状无关。
（Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随 时间的改变而变化的温度场称稳态温度场， 其表达式：
t f (x, y, z)
➢非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 )
高温时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料 采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
说明：只研究导热现象的宏观规律。
2.1.2、温度场 （Temperature field） 1 、概念
传热学第二章
刘彦丰华北电力大学工程应用的两个基本目的：•能准确地预测所研究系统中的温度分布；•能准确地计算所研究问题中传递的热流。
要解决的问题：温度分布如何描述和表示？温度分布和导热的热流存在什么关系？如何得到导热体内部的温度分布？第二章导热基本定律及稳态导热刘彦丰华北电力大学本章内容简介2-1 导热基本定律2-2 导热微分方程式及定解条件2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热（一维稳态导热）2-4 通过肋片的导热分析2-5 具有内热源的导热及多维导热回答问题1和2回答问题3具体的稳态导热问题刘彦丰传热学Heat Transfer 华北电力大学一、温度分布的描述和表示像重力场、速度场等一样，物体中的温度分布称为温度场。
1、温度分布的文字描述和数学表示，如：在直角坐标系中非稳态温度场),,,(τz y x f t =稳态温度场),,(z y x f t =一维温度场二维温度场三维温度场)(x f t =),(τx f t =),(y x f t =),,(τy x f t =),,(z y x f t =),,,(τz y x f t =2-1 导热基本定律刘彦丰传热学Heat Transfer华北电力大学2、温度分布的图示法传热学Heat Transfer 2、温度分布的图示法等温线传热学Heat Transfer二、导热基本定律(傅立叶定律)1822年，法国数学家傅里叶（Fourier ）在实验研究基础上，发现导热基本规律——傅里叶定律.法国数学家Fourier: 法国拿破仑时代的高级官员。
曾于1798-1801追随拿破仑去埃及。
后期致力于传热理论，1807年提交了234页的论文，但直到1822年才出版。
刘彦丰华北电力大学在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比于垂直于该截面方向上的温度梯度和截面面积，方向与温度梯度相反。
1、导热基本定律的文字表达：nntgradt q ∂∂−=−=λλ2、导热基本定律的数学表达：t+Δt tt-Δt刘彦丰华北电力大学3、意义已知物体内部的温度分布后，则由该定律求得各点的热流密度或热流量。
传热学-2 导热基本定律和稳态导热
(3) a 表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力，所以a反应导热过程动态特 性，是研究不稳态导热重要物理量。
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
2-2 导热微分方程和定解条件
2 圆柱坐标系中的导热微分方程：
c t
1 r
(r
r
t ) r
1 r2
(
t ) ( z
t ) & z
3 球坐标系中的导热微分方程：
2-2 导热微分方程和定解条件
1 笛卡尔坐标系中微元平行六面体
热力学第一定律（能量守恒定律）：
W 0
d V U W U z
单位时间内微元体中： [导入+导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]
y
zdz
x
dz
dx
y
z
ydy xdx
dy x
2-2 导热微分方程和定解条件
tw1
Φ
tw2
R 1 ln d2 2l d1
2-3 一维稳态导热
第一次积分
r
dt dr
c1
t c1㏑r c2
tw1 c1㏑r1 c2;
tw2 c1㏑r2 c2
第二次积分 应用边界条件
c1
tw2 tw1
㏑r2 / r1
;
c2
tw1
tw2
tw1
㏑r1
㏑r2 / r1
获得两 个系数
t
t1
注意：①上式对稳态和非稳n态均使用； ②导热现象依 gradt 的存在而存在， 若 gradt＝0，则 q＝0； ③“－”不能少，“－”表示 q与 gradt 方向相
反， 若无，则违反热二定律。
2-1 导热基本定律和热导率
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h2,tf2
tf1 rh1 t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4 rh2 tf2
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t
例2：如图所示的双层平
壁中，导热系数λ1 ，λ2 为
定值，假定过程为稳态， 试分析图中三条温度分布 曲线所对应的λ1 和λ2 的相 tw1 对大小。
三、定解条件
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（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布， 称为第二类边界条件。
t qw ( ) w n
• 稳态导热： qw • 非稳态导热：
t qw ( ) w n
const
qw
t • 特例：绝热边界面：qw 0 n w
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例6：如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示 的导热体没有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。 中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界 处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材 料进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热 体中的温度分布不一样。 你认为对吗？
ì ï g ï 抖 t ï ï ï 抖 (l x ) + F = 0 ï x ï 骣t ÷ ï ï x = 0, - l ç ¶ ÷ = 0 ç ÷ í ç¶ n ÷ ï ç 桫 w ï ï ï 骣t ÷ ¶ ï ï x = d, - l ç ÷ = h(t w - t f ) ç ÷ ï ç¶ n ÷ ç ï 桫 w ï î
（3）给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度tf，称为第三类边界条件。 • 牛顿冷却定律：
qw h(t f tw )
qw
h tf tw
• 傅里叶定律： q t n w s w
s t n w h(tw t f )
一般情况下tw未知。
一、通过平壁的稳态导热
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t2 t1 t x t1
dt t2 t1 dx
t
t1 面积热阻 热阻 o t2
t2 t1 t 热流密度： q
热流量：
t ( A )
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t t1
b>0
t2 o
dt 二次曲线的凹向： A dx dt1 dt 2 2 b 0, t 1
dx1dt 随温度的升高而来自小 dxb<0dx 2
x
上凸
b 0, t 下凹
0 δ
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列出以下问题的的数学描述
例5：一块厚δ 的平板，平板内有均匀的内热源，热 源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。 t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
x
0 0.01 0.02
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解 ： 已 知 ： q=1000W/m2 ， δ=20mm ， x=0 、 10 、
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20mm处100℃、60℃及40℃。试确定λ=λ0(1+bt)中 的λ0 及b。由题目条件可知，该问题为一维、稳态 无内热源问题。
d 2t 数学描述： dx 2 0 x 0, t t 1 x , t t2 dt c1 t c1 x c2 积分得： dx t2 t1 代入边界条件：c1 ，c2 t1
x
t2 t1 t x t1
温度分布
qw c1
t
qw
o
x
一、通过平壁的稳态导热
第三类边界条件
2
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dt dx 2
0
tf 2 tf1 q 1 1 h1 h2
无内热源，λ为常数，平壁厚δ （t f 1 - tw1） q w1 h1 t f 1 -t w1） （ 1 / h1 q w1 q w2 =q q w2 h（t w2 -t f2） tw 2 - t f 2） （ 2 1 / h2 tw2 tw1 q tw1 tw 2 t / tf1,h1 tf2,h2
知识回顾：
一、导热微分方程
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微元体 微元体内 导入微 导出微 元体的 + 热源的生 = 元体的 + 内能的 增量 成热 总热量 总热量
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
qw f ( )
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列出以下问题的的数学描述
例4：一块厚δ的平板，平板内有均匀的内热源，热源 强度为 ，平板一侧温度为tw1，平板另一侧绝热。
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
0 0.892
b 0.009
一、通过平壁的稳态导热
第二类边界条件
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无内热源，λ为常数，平壁厚δ
数学描述： d t
2
0 2 dx q const w
dt c1 t c1 x c2 dx
§2-3 一维稳态导热
一、通过平壁的稳态导热 二、通过圆筒壁的稳态导热 三、变截面或变热导率的导热问题
一、通过平壁的稳态导热
1、通过单层平壁的导热
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无内热源，λ为常数，平壁厚δ
第一类边界条件（λ=const）
t t1 t2 o
已知q，如何计算其中 第 i 层的右侧壁温？
t
t1 t2
t3
t4
t1
r1
t2
r2 t3 r3
t4
多层、第三类边条件
一、通过平壁的稳态导热 h1,tf1
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热阻分析法得：
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
三层平壁的稳态导热
一、通过平壁的稳态导热
多层平壁，第一类边界条件
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1 t1 t1 t2 r1 1 q q 2 t 2 t3 r 3 t3 t 4 r2 3 3 q 2 q t1 tn1 t1 t n1 q n n i ri i 1 i 1 i
（1）给定物体边界上任何时刻的温度分布；
（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布；
（3）给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度tf 。
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列出以下问题的的数学描述
例3：一块厚δ的平板，两侧的温度分别为tw1 和tw2 。 （1）λ为常数；（2）λ是温度的函数。
能否求出tw1、tw2 ？
o
x
一、通过平壁的稳态导热
2、通过多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料 组成的平壁。 例：房屋的墙壁 — 白灰
t1
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t2 t3 t4
内层、水泥沙浆层、红砖
（青砖）主体层等组成。
t1 t2 t3 t4
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
ì ¶ 2t ï ï = 0 ï 2 ï ¶x ï ï í x = 0, t = t w 1 ï ï x = d, t = t ï w2 ï ï ï ï î
ì 抖 ï t ï (l )= 0 ï ï抖 x ï x ï x = 0, t = t í w1 ï ï x = d, t = t ï w2 ï ï ï î
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例 1 ： q=1000W/m2 的 热 流 密 度 沿 x 方 向 通 过 厚 δ=20mm的平板。已知在x=0、10及20mm处的温 度分别为100℃、60℃及40℃。试据此数据确定 平板材料导热系数λ=λ0(1+bt)（t为平板温度）中 的λ0及b。 t 100℃ q=1000W/m2 60℃ 40℃
t2
0 1 bt） 0、b （
为常数
o
x
b 2 d dt dt （ （ ） 0 c1 0 t t ） c1 x c2 2 dx dx dx
一、通过平壁的稳态导热
b 2 b 2 t1 t2 b t t t1 t1 ） （ （ 1 2 t1 t2） x 2 2
t 2 a t c
·
t 2 2 a t t 0
tf1 rh1 t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4 rh2 tf2
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t
例2：如图所示的双层平
壁中，导热系数λ1 ，λ2 为
定值，假定过程为稳态， 试分析图中三条温度分布 曲线所对应的λ1 和λ2 的相 tw1 对大小。
三、定解条件
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（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布， 称为第二类边界条件。
t qw ( ) w n
• 稳态导热： qw • 非稳态导热：
t qw ( ) w n
const
qw
t • 特例：绝热边界面：qw 0 n w
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例6：如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示 的导热体没有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。 中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界 处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材 料进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热 体中的温度分布不一样。 你认为对吗？
ì ï g ï 抖 t ï ï ï 抖 (l x ) + F = 0 ï x ï 骣t ÷ ï ï x = 0, - l ç ¶ ÷ = 0 ç ÷ í ç¶ n ÷ ï ç 桫 w ï ï ï 骣t ÷ ¶ ï ï x = d, - l ç ÷ = h(t w - t f ) ç ÷ ï ç¶ n ÷ ç ï 桫 w ï î
（3）给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度tf，称为第三类边界条件。 • 牛顿冷却定律：
qw h(t f tw )
qw
h tf tw
• 傅里叶定律： q t n w s w
s t n w h(tw t f )
一般情况下tw未知。
一、通过平壁的稳态导热
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t2 t1 t x t1
dt t2 t1 dx
t
t1 面积热阻 热阻 o t2
t2 t1 t 热流密度： q
热流量：
t ( A )
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t t1
b>0
t2 o
dt 二次曲线的凹向： A dx dt1 dt 2 2 b 0, t 1
dx1dt 随温度的升高而来自小 dxb<0dx 2
x
上凸
b 0, t 下凹
0 δ
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列出以下问题的的数学描述
例5：一块厚δ 的平板，平板内有均匀的内热源，热 源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。 t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
x
0 0.01 0.02
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解 ： 已 知 ： q=1000W/m2 ， δ=20mm ， x=0 、 10 、
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20mm处100℃、60℃及40℃。试确定λ=λ0(1+bt)中 的λ0 及b。由题目条件可知，该问题为一维、稳态 无内热源问题。
d 2t 数学描述： dx 2 0 x 0, t t 1 x , t t2 dt c1 t c1 x c2 积分得： dx t2 t1 代入边界条件：c1 ，c2 t1
x
t2 t1 t x t1
温度分布
qw c1
t
qw
o
x
一、通过平壁的稳态导热
第三类边界条件
2
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dt dx 2
0
tf 2 tf1 q 1 1 h1 h2
无内热源，λ为常数，平壁厚δ （t f 1 - tw1） q w1 h1 t f 1 -t w1） （ 1 / h1 q w1 q w2 =q q w2 h（t w2 -t f2） tw 2 - t f 2） （ 2 1 / h2 tw2 tw1 q tw1 tw 2 t / tf1,h1 tf2,h2
知识回顾：
一、导热微分方程
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微元体 微元体内 导入微 导出微 元体的 + 热源的生 = 元体的 + 内能的 增量 成热 总热量 总热量
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
qw f ( )
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列出以下问题的的数学描述
例4：一块厚δ的平板，平板内有均匀的内热源，热源 强度为 ，平板一侧温度为tw1，平板另一侧绝热。
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
0 0.892
b 0.009
一、通过平壁的稳态导热
第二类边界条件
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无内热源，λ为常数，平壁厚δ
数学描述： d t
2
0 2 dx q const w
dt c1 t c1 x c2 dx
§2-3 一维稳态导热
一、通过平壁的稳态导热 二、通过圆筒壁的稳态导热 三、变截面或变热导率的导热问题
一、通过平壁的稳态导热
1、通过单层平壁的导热
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无内热源，λ为常数，平壁厚δ
第一类边界条件（λ=const）
t t1 t2 o
已知q，如何计算其中 第 i 层的右侧壁温？
t
t1 t2
t3
t4
t1
r1
t2
r2 t3 r3
t4
多层、第三类边条件
一、通过平壁的稳态导热 h1,tf1
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热阻分析法得：
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
三层平壁的稳态导热
一、通过平壁的稳态导热
多层平壁，第一类边界条件
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1 t1 t1 t2 r1 1 q q 2 t 2 t3 r 3 t3 t 4 r2 3 3 q 2 q t1 tn1 t1 t n1 q n n i ri i 1 i 1 i
（1）给定物体边界上任何时刻的温度分布；
（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布；
（3）给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度tf 。
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列出以下问题的的数学描述
例3：一块厚δ的平板，两侧的温度分别为tw1 和tw2 。 （1）λ为常数；（2）λ是温度的函数。
能否求出tw1、tw2 ？
o
x
一、通过平壁的稳态导热
2、通过多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料 组成的平壁。 例：房屋的墙壁 — 白灰
t1
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t2 t3 t4
内层、水泥沙浆层、红砖
（青砖）主体层等组成。
t1 t2 t3 t4
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
ì ¶ 2t ï ï = 0 ï 2 ï ¶x ï ï í x = 0, t = t w 1 ï ï x = d, t = t ï w2 ï ï ï ï î
ì 抖 ï t ï (l )= 0 ï ï抖 x ï x ï x = 0, t = t í w1 ï ï x = d, t = t ï w2 ï ï ï î
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例 1 ： q=1000W/m2 的 热 流 密 度 沿 x 方 向 通 过 厚 δ=20mm的平板。已知在x=0、10及20mm处的温 度分别为100℃、60℃及40℃。试据此数据确定 平板材料导热系数λ=λ0(1+bt)（t为平板温度）中 的λ0及b。 t 100℃ q=1000W/m2 60℃ 40℃
t2
0 1 bt） 0、b （
为常数
o
x
b 2 d dt dt （ （ ） 0 c1 0 t t ） c1 x c2 2 dx dx dx
一、通过平壁的稳态导热
b 2 b 2 t1 t2 b t t t1 t1 ） （ （ 1 2 t1 t2） x 2 2
t 2 a t c
·
t 2 2 a t t 0