2-3第二章 导热基本定律及稳态导热

§2-3 一维稳态导热
一、通过平壁的稳态导热 二、通过圆筒壁的稳态导热 三、变截面或变热导率的导热问题
一、通过平壁的稳态导热
1、通过单层平壁的导热
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无内热源，λ为常数，平壁厚δ
第一类边界条件（λ=const）
t t1 t2 o
能否求出tw1、tw2 ？
o
x
一、通过平壁的稳态导热
2、通过多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料 组成的平壁。 例：房屋的墙壁 — 白灰
t1
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t2 t3 t4
内层、水泥沙浆层、红砖
（青砖）主体层等组成。
t1 t2 t3 t4
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例 1 ： q=1000W/m2 的 热 流 密 度 沿 x 方 向 通 过 厚 δ=20mm的平板。已知在x=0、10及20mm处的温 度分别为100℃、60℃及40℃。试据此数据确定 平板材料导热系数λ=λ0(1+bt)（t为平板温度）中 的λ0及b。 t 100℃ q=1000W/m2 60℃ 40℃
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例6：如图所示的几何形状，假定图中阴影部分所示 的导热体没有内热源，物性为常数，且过程处于稳态。 中心圆管内部表面温度保持t1不变，而正方形外边界 处于绝热。有人分别用不锈钢和铜作为该导热体的材 料进行实验测定。实验前他预测两种不同材料的导热 体中的温度分布不一样。 你认为对吗？
三、定解条件
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（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布， 称为第二类边界条件。
t qw ( ) w n
• 稳态导热： qw • 非稳态导热：
t qw ( ) w n
const
qw
t • 特例：绝热边界面：qw 0 n w
知识回顾：
一、导热微分方程
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微元体 微元体内 导入微 导出微 元体的 + 热源的生 = 元体的 + 内能的 增量 成热 总热量 总热量
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
t2
0 1 bt） 0、b （
为常数
o
x
b 2 d dt dt （ （ ） 0 c1 0 t t ） c1 x c2 2 dx dx dx
一、通过平壁的稳态导热
b 2 b 2 t1 t2 b t t t1 t1 ） （ （ 1 2 t1 t2） x 2 2
t 2 a t c
·
t 2 2 a t t 0
·
t0
2
知识回顾：
二、热扩散率（导温系数）
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c
表征温度传递速度的快慢。
三、定解条件 ——几何、物理、时间、边界
dt d dt 0 积分得： 0 (1 bt ) c1 dx dx dx 1 2 再次积分得：0 (t bt ) c1 x c2 2 dt dt q 0 (1 bt ) c1 1000 dx dx
代入边界条件： x=0处，t=100℃； x=10mm = 0.01m处，t =60℃; x=20mm = 0.02m处，t =40℃
0 δ
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列出以下问题的的数学描述
例5：一块厚δ 的平板，平板内有均匀的内热源，热 源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。 t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
d 2t 数学描述： dx 2 0 x 0, t t 1 x , t t2 dt c1 t c1 x c2 积分得： dx t2 t1 代入边界条件：c1 ，c2 t1
x
t2 t1 t x t1
温度分布
ì ï g ï 抖 t ï ï ï 抖 (l x ) + F = 0 ï x ï 骣t ÷ ï ï x = 0, - l ç ¶ ÷ = 0 ç ÷ í ç¶ n ÷ ï ç 桫 w ï ï ï 骣t ÷ ¶ ï ï x = d, - l ç ÷ = h(t w - t f ) ç ÷ ï ç¶ n ÷ ç ï 桫 w ï î
三、导热微分方程适用范围
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傅里叶定律及导热微分方程的不适用范围 ：
—— 非傅里叶导热过程
1 ）导热物体的温度接近0K时。
2）极短时间的传热过程； 微细尺度传热
3）或极短时间的传热过程；
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一、通过平壁的稳态导热
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t2 t1 t x t1
dt t2 t1 dx
t
t1 面积热阻 热阻 o t2
t2 t1 t 热流密度： q
热流量：
t ( A )
（1）给定物体边界上任何时刻的温度分布；
（2）给定物体边界上任何时刻的热流密度分布；
（3）给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度tf 。
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列出以下问题的的数学描述
例3：一块厚δ的平板，两侧的温度分别为tw1 和tw2 。 （1）λ为常数；（2）λ是温度的函数。
0 0.892
b 0.009
一、通过平壁的稳态导热
第二类边界条件
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无内热源，λ为常数，平壁厚δ
数学描述： d t
2
0 2 dx q const w
dt c1 t c1 x c2 dx
x
一、通过平壁的稳态导热
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第一类边界条件（ 0 1 bt） 无内热源，平壁厚δ ） （ t 数学描述： d（ dt ） 0 t1
dx dx x 0, t t 1 x , t t2
三层平壁的稳态导热
一、通过平壁的稳态导热
多层平壁，第一类边界条件
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1 t1 t1 t2 r1 1 q q 2 t 2 t3 r 3 t3 t 4 r2 3 3 q 2 q t1 tn1 t1 t n1 q n n i ri i 1 i 1 i
（3）给定物体边界与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度tf，称为第三类边界条件。 • 牛顿冷却定律：
qw h(t f tw )
qw
h tf tw
• 傅里叶定律： q t n w s w
s t n w h(tw t f )
一般情况下tw未知。
x
0 0.01 0.02
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解 ： 已 知 ： q=1000W/m2 ， δ=20mm ， x=0 、 10 、
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20mm处100℃、60℃及40℃。试确定λ=λ0(1+bt)中 的λ0 及b。由题目条件可知，该问题为一维、稳态 无内热源问题。
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t t1
b>0
t2 o
dt 二次曲线的凹向： A dx dt1 dt 2 2 b 0, t 1
dx1
dt 随温度的升高而减小 dx
b<0
dx 2
x
上凸
b 0, t 下凹
qw c1
t
qw
o
x
一、通过平壁的稳态导热
第三类边界条件
2
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dt dx 2
0
tf 2 tf1 q 1 1 h1 h2
无内热源，λ为常数，平壁厚δ （t f 1 - tw1） q w1 h1 t f 1 -t w1） （ 1 / h1 q w1 q w2 =q q w2 h（t w2 -t f2） tw 2 - t f 2） （ 2 1 / h2 tw2 tw1 q tw1 tw 2 t / tf1,h1 tf2,h2
qw f ( )
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列出以下问题的的数学描述
例4：一块厚δ的平板，平板内有均匀的内热源，热源 强度为 ，平板一侧温度为tw1，平板另一侧绝热。
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
h2,tf2
tf1 rh1 t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4 rh2 tf2
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t
例2：如图所示的双层平
壁中，导热系数λ1 ，λ2 为
定值，假定过程为稳态， 试分析图中三条温度分布 曲线所对应的λ1 和λ2 的相 tw1 对大小。
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
ì ¶ 2t ï ï = 0 ï 2 ï ¶x ï ï í x = 0, t = t w 1 ï ï x = d, t = t ï w2 ï ï ï ï î
ì 抖 ï t ï (l )= 0 ï ï抖 x ï x ï x = 0, t = t í w1 ï ï x = d, t = t ï w2 ï ï ï î
ì ï g ï 抖 t ï ï ï 抖 (l x ) + F = 0 ï x ï í x = 0, t = t w 1 ï ï 骣t ÷ ï ï x = d, - l ç ¶ ÷ = 0 ç ÷ ï ç¶ n ÷ ï ç 桫 w ï ï î
三、定解条件
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1 2 0 (t bt ) c1 x c2 2
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b 2 0 (100 100 ) c2 2 b 2 0 (60 60 ) c1 0.01 c2 2 b 2 0 (40 40 ) c1 0.02 c2 2
已知q，如何计算其中 第 i 层的右侧壁温？
t
t1 t2
t3
t4
t1
r1
t2
r2 t3 r3
t4
多层、第三类边条件
一、通过平壁的稳态导热 h1,tf1
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热阻分析法得：
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2