《大学物理振动》PPT课件

(3) a 与 x 方向相反，且成
简谐振动的x, v, a三者之间的相位关系
三. 描述简谐振动的物理量（A，ω，
(1)振) 幅A（Amplitude）：离开平衡位置的最大
距离（幅度、范围）。
A2∝E (2) 角频率ω（Angular frequency）：振动的快慢
周期T： Period
T 2
A
的物理意义将在下面讨论
如何判断物体或系统作简谐振动？
在某一平衡位置附近作往复运动的物体，若它到平
衡位置随时间变化的规律，具有
F kx和
d 2x dt 2
2x
0
及
x A cos(t ) 的形式都称为简谐振动。
单摆
C
T
摆球对C点的力矩 M mgl sin
当 sin 时 M mgl
ml 2
x
b
受力分析：
mg 水bl 2g F浮 水 (b x)l 2g
mg
列方程 mg F浮 ma
X
mg 水bl 2 g F浮 水 (b x)l 2g
mg F浮 ma 水bl2g 水l2(b x)g ma
水l
2
gx
m
d2x dt 2
d2x dt 2
g b
x
0
d2x dt 2
水l 2g
其中 x
为新的 M 平衡位置的位移
则
(K1
K2
)
x
m
d 2x dt 2
令 2 K1 K2
m
则 K1 K2
m
由（a）、（b）可见，振动系统除受弹性力之外还受重
力的作用时，并不改变系统的振动规律，只会改变振动
的平衡位置，系统（物体）仍作简谐振动。
由图（c）： K1 1, K2 2
则有 K11 K22 mg K （1）
复杂振动 = 简谐振动
§14--1简谐振动
重点：简谐振动的相关内容（判断、运动方程的建立)
一、简谐振动F的o 运动x方m程Xddt2FF2xmakxkmxd d0t22x(1)(k2x)
d2x dt 2
k m
x 0(3)
令：k m
2
d2x dt 2
2
x
0(4)
微分方程的解：
x Acos(t )(5) 谐振动的运动方程
t 6 2 3 T 2
t2
t 5 s 0.833s
或由
6
t t
5 s 0.833s
6
例：一个质点作简谐振动，振幅为A，，在起始时刻质点的
位移为
1 2
A
，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋
转矢量图为
［B ］
A
x
(A)
ox
1 2
A
A (C) xo
x
1 2
A
A/2
(B)
o
1 2
A
x
A
x
1 2
(D)
A
o
x
A
x
例：一简谐振动曲线如图所示．则振动周期是 ［ B ］
(A) 2.62 s．
(B) 2.40 s．
(C) 2.20 s．
(D) 2.00 s．
x (cm)
4
2
t (s)
O1
感谢下 载
感谢下 载
J
d 2
dt 2
2
0
mg
结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
例 如图所示，一长为L的立方体木块浮于静水中，浸
入水中部分的高度为b。今用手将木块压下去，放手
让其开始运动。若忽略水对木块的黏性阻力，并且水
面开阔，不因木块运动而使水面高度变化，证明木块
作谐振动。
解： 以水面为原点建立坐标OX
F浮
状态，回到平衡位置所需时间。
解（1）首先作参考圆，确定旋转矢量的位置；
其次求出初相
当 t 0时 x0 0.12m
Байду номын сангаас
且 v0 0
易求得
O P•
X
(或 5 )
3
振动方程为：
x
3 0.24
cos(t
)m
3
（2）作矢量图
初态 t1 末态 t2
t1
A
设所经历时间 t
•O
X
所对应的角度
5 A
以t=0代入： x0 v0
Acos (1) A sin (2)
A
x02
v02
2
(3)
arctg v0 (4) x0
/2 0
3 / 2 2
X
X
-A o
A
-A o
A
/2 0
理解注意：
（1）周期、圆频率都是决定系统本身的物理量， 称为固有周
期、固有频率。 （2）一谐振动状态决定其振幅A、频率（或T或）初相。这
1 2
（2）
由（1）、（2）可得：
mg mg mg
K
K1
K2
K (K1K2 ) (K1 K2 )
K1
K2
m （c）
mg 为系统伸长单位长度时产生的弹性力的大
小，即系统的等值倔强（劲度）系数 K
即 K
K1K 2
m
m(K1 K2 )
讨论：1）弹簧的串联、并联求等值倔强系数 K 的方法：
d 2
dt 2
mgl
M J O
f
mg
2 g / l
d 2
dt 2
2
0
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。
角频率,振动的周期分别为：
0
g l
T 2 2 l
0
g
复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体
设：复摆对此固定轴的转动惯量为J
O
当 sin 时
h
mgh
J
d 2
dt 2
C
2 mgh
频率ν：
1 T 2
对弹簧谐振子：
2 T 2 m k
(3)相位（ Phase ）： t 描述运动状态的量
为初相位，Initial Phase
4）振幅和初相的值是由初始条件决定的；
A）初始条件：t=0时的初位移X0、初速度 v0
由： x Acos(t )
v A sin( t )
(2)x Acos( k / m t 1 ) 2
(3)x Acos( m / k t 1 π) 2
(4)x Acos( m / k t 1 ) 2
［B ］
例：求如图
所示三 K1
K1
种情况 下振动 系统的 圆频率
O
m
（Ka）2
M
x
K1 K2
K2
m
m
（b） （c）
X
K K 解：图（a）（b）的情况下，
例：如图为物体作简谐振动时的x—t曲线，已知振幅为 0.1m,周期0.5s。求初相位和简谐振动的运动方程。
解：分析，从图可知
t=0 时： x x0 A 2
x
A2
t
v0 0
设振动方程为 x Acos(t )
设振动方程为 x Acos(t )
以t=0代入：
x0 Acos
A ;
2
3
由 v0
Y
A
AX
2A
A 2 cos[(t ) ]
由旋转矢量的参考圆可计算谐振动的一些
相关物理量，例如：相位差、时间差。
例：一物体沿 x 轴作谐振动，振幅为 0.24m,周
期为 2 s 。当 t 0时，x0 0.12m 。且向 x
轴正方向运动，试求 （1）振动方程；
（2）从 x 0.12m且向 x 轴负方向运动这一
教学重点：
1、理解简谐振动的动力学特征及判定 2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法 3、旋转矢量法 4、理解简谐振动的能量特征 5、谐振动的合成
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 位置(数值)附近周期性变化。
对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。 对电磁学系统来讲，振动的形式就是电磁振荡。
串联： 1 n 1
K
i 1 Ki
n
并联 K
Ki
i 1
讨论：2）若将一个劲度系数为 K 的弹簧，均匀分成
n 份，试问每一段的劲度系数：
1 n 1
K
i 1 Ki
K nK
n K
f
1
2
6K m
提问：有一劲度系数为 K 的轻弹簧被截成三等份，取 出其中的两根，将它们并联在一起，再在下面挂一质 量为 m 的物体，则振动系统的频率为：
所以
A sin
0;所以sin 0 由题意知 T 0.5s,
4
3
所以振动方程为
x
A cos(t
)
x 0.1cos(4 )(m)
3
例：一弹簧振子，重物的质量为m，弹簧的劲度系数为k，该振子作 振幅为A的简谐振动．当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动
时，开始计时．则其振动方程为：
(1)x Acos( k / m t 1 ) 2
和
弹簧的伸
12
长量和压缩量均相同，设为
，而各产生的弹性
力分别为 K1 ，K2
在重力作用下，其新的平衡位置移到M点
mg K1 K2
mg (K1 K2)
设在平衡位置附近，有一微小位移 x ，则此时物
体
m
受力为重力和弹性力的合力
mg (K1x K2 x) m
d2x dt 2
令 x x
弹簧振子 X
振荡电路
++
--
力学的和电磁学的振动都是由相同的基本的 数学方程来描述。
振动是波动的基础，波动是振动的传播
机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 机械振动分类
按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动 按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动 按振动位移分：角振动、线振动。 按系统参数特征分：线性、非线性振动 其中简谐振动是最简单最基本的线性振动。
m
x
0
g
b
d2x dt 2
2
x
0
故木块作谐振动（证毕）
二、简谐振动物体的速度和加速度
x Acos(t )(5) v dx A sin( t )(6)
dt
a dv A 2 cos(t )
dt
2x(7)
以上结果表明：
(1) v，a 与 x 的ω相同
(2) vmax A, amax 2 A
例： 如图所示，一质量为m的滑块，两边分别与劲度系数 为k1和k2的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上 ．滑块m可在光滑的水平面上滑动，0点为系统平衡位置．将 滑块m向右移动到x0，自静止释放，并从释放时开始计时．
取坐标如图所示，则其振动方程为：
(1)x x0 cos[
k1 k2 t] m
作大小为A的以 旋转的
旋转矢量 A x的值由 A在X轴上的
投影 表示。
X
优点：除形象化外，还便于
振动的合成。
t
位移、速度、加速度在旋转矢量图中的关系
假设 A 1; 1 x Acos(t )
v x A sin( t ) A cos(t )
2
a v A 2 cos(t )
(2)x x0 cos[
k1k2 t] m(k1 k2 )
(3)x x0 cos[
k1 k2 t π] m
k1
k2
m
0 x0 x
［A ］
(4)x x0 cos[
k1k2 t π] m(k1 k2 )
Y
14--2 谐振动的矢量图示法
(t ) A
X
设有一简谐振动
x Acos(t )
三者称为振动三要素。
3）在比较同频率的谐振动时，往往用到相位差的概念。
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2)
规定(：t22 )
(t
1
1) 2 1
振动“2”超前“1”
2 1 振动“2”落后“1”
1 2 振动“1”和振动“2”同相；
本节重点之一就是如何建立振动的运动方程， 所涉及问题是如何确定振幅、初相、周期或圆频率。