2020年哈三中高三学年理科数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高三综合题(七)数学(理)试题(解析版)
哈三中2020届高三综合题（七）数学试卷（理工类）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}1,3,5,7,9,11U =，{}3,5,9M =，{}7,9N =，则集合{}1,11=（ ） A. M N ⋃ B. M N ⋂C. ()U M N U ðD. ()U M N I ð【答案】C 【解析】 【分析】由集合运算的定义判断．【详解】由题意{3,5,7,9}M N =U ，∴(){1,11}U M N =U ð． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2.设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为（ ）A. 12B. 36C. 16D. 48【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3， ∴其体积为1343123V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4.已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点将线段12F F 三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y x =±【答案】A 【解析】 【分析】由已知得3c a =，结合222c a b =+可得ba，得渐近线方程． 【详解】∵左、右顶点将线段12F F 三等分，∴232c a =⨯，即3c a =，∴22229a c a b ==+，ba=y =±． 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,a b 的关系．5.如图，若输入n 的值为4，则输出m 的值为（ ）A. -3B.13C. 2D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：1,2i m ==，开始循环，3m =-，满足4i <，2i =； 12m =-，满足4i <，3i =；13m =，满足4i <，4i =；2m =，不满足4i <，输出2m =．故选：C ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、 6.函数()ln 25f x x x =+-的零点个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数()f x 零点个数.【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()13,240f f e e =-=->，()()10f f e ⋅<，故函数在()1,e 上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点. 故选:B【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题.7.在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 A. 5- B. 4-C. 4D. 1【答案】D 【解析】【详解】分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则(2,3)P ,(2,3),(2,1),(2)(2)(3)11PA PB PA PB =--=-∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r.8.若6x ⎛- ⎝⎭的展开式中常数项为10π，则直线0x =，x a =，x 轴与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为（ ）A. 22-B.C.1D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理求出a ，再由微积分基本定理求出面积．【详解】62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的通项为663166((r r r r r r r T C x C x --+==，由630r -=，得2r =．∴常数项为226(1510C a π==，23a π=， 由于cos y x =与x 轴有一个交点为(,0)2π，∴23202223cos cos sin sin (sin 0)sin sin 2223202S xdx xdx x x πππππππππ=+=+=-+-=⎰⎰．故选：A ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数()f x 的图象是在x 轴上方还是在x 轴下方．9.函数()sin()f x A x ωϕ＝＋（其中0A >，2πϕ<图象如图所示，为了得到()sin g x x ω＝的图象，可以将()f x 的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.考点：正弦型函数解析式 函数图像平移变换 点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为左、右焦点，1A ，2A ，1B ，2B 分别是其左、右、上、下的顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若12B PA ∠为直角，则此椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由12B PA ∠是直角，得斜率乘积为－1，由此可得,,a b c 关系，从而得离心率． 【详解】由题意122(0,),(0,),(,0),(,0)B b B b F c A a -， ∵12B PA ∠为直角，∴1221FB A B k k =-，即1b bc a-⋅=-，即222b ac a c ==-，∴2()10c c aa +-=，210e e +-=，∴e =（12--舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出,,a b c 的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11.已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4APC BPC π∠=∠=，若球O 的体积为323π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A. C.2D.2【答案】B 【解析】 分析】由球体积求出球半径为2，从而可得APC ∆和BPC ∆都是等腰直角三角形，从而,AO PC BO PC ⊥⊥，PC ⊥平面AOB ，这样A PBC -的体积易求．【详解】由343233R ππ=，得2R =，如图，由PC 为球O 的直径，∴2OP OC OA OB AB =====，2PAC PBC π∠=∠=，4APC BPC ACP BCP π∠=∠=∠=∠=，,AO PC BO PC ⊥⊥，∴PC ⊥平面AOB ，AOB S∆212sin 23π=⨯=，∴1()3A PBC P AOB C AOB AOB V V V S PO OC ---∆=+=+143==． 故选：B ．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得PC ⊥平面AOB ，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12.已知函数()323sin f x x x x π=--，则12402440252013201320132013f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （ ） A. 4025 B. -4025 C. 8050 D. -8050【答案】D 【解析】 【分析】应用倒序相加法求和．详解】∵3232(2)()(2)3(2)sin (2)3sin f x f x x x x x x x ππ-+=-----+--232(8126)3(44)sin x x x x x x π=-+---++323sin x x x π+--4=-，记1240244025()()()()2013201320132013S f f f f =+++L ， 则4025402421()()()()2013201320132013S f f f f =++++L ， ∴244025S =-⨯，8050S =-． 故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算(2)()f x f x -+，从而得解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）【13.已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________∥ 【答案】92【解析】分析∥利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b ++∥展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解∥因为2a b +=∥所以12a b+=∥所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立∥∥则14y a b =+的最小值是92∥总上所述，答案为92. 点睛∥该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1∥要做除法运算. 14.已知(),x y 满足：()00,0x y m m x y ⎧+≤>⎨≥≥⎩，若2z x y =+的最大值为2，则m =______.【答案】1 【解析】 【分析】作出可行域（示意图），作直线:20l x y +=，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，l 向上平移时，z 增大，易知当直线l 过点(,0)A m 时，z x y =+取得最大值2m ，所以22m =，1m =． 故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15.某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】【解析】试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．考点：独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16.ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在边AC 上，DB =()0sin sin BA BC BD BA A BC C λλ⎛⎫ ⎪=+> ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，则AC AB +的最大值为______. 【答案】 【解析】【分析】由sin sin BA A BC C =u u u r u u u r，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得D 点就是AC 边中点，这样在ABD ∆中应用正弦定用角理表示出,AB AD ，利用三角函数性质可求得+AB AC 的最大值．【详解】如图，作BE AC ⊥于E ，取AC 中点F 连接BF ，()()sin sin BA BC BA BC BD BE BE BA A BC Cλλ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 2()BA BC AF BE BE λλ=+=u u u r u u u r u u u r ，∴BD u u u r 与BF u u u r共线，从而D 与F 重合，即D 是AC 中点．ABD ∆中，603A π==，记ABD α∠=，则203πα<<，sin sin()3ADB πα∠=+， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠sin BD A =，即sin sin()sin33ABADππαα==+，∴2sin()3AB πα=+，2sin AD α=，22sin()4sin 3AB AC AB AD παα+=+=++2(sin coscos sin )4sin 5sin 33ππααααα=++=+，)αθ=+，其中θ为锐角，cos θ=，sin θ=， ∴2παθ=-时，+AB AC取得最大值故答案为：【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足∥*22()n n S a n N =-∈∥∥1∥求数列{}n a 的通项公式；∥2∥令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ∥【答案】∥1∥2nn a =∥∥2∥1(2)24n n T n +=-+【解析】 【分析】∥1）利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】∥1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =∥由22n n S a =-，可得1122n n S a ++=-，上述两式相减可得1122n n n a a a ++=-∥所以12n na a +=∥120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =∥ ∥2）由（1）可知(1)22n nn n b n a n =-=⋅-∥所以123123(1222322)(2222)n nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++L L ∥令1231222322n M n =⨯+⨯+⨯++⋅L ∥∥ 则234121222322n M n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ∥∥ ①－②得123112(12)222222(22)2212n nn n n M n n n ++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ∥所以(22)22nM n =-⋅+，所以12(12)(22)22(2)2412n nn n T n n +-=-⋅+-=-+-∥【点睛】∥1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.18.小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为12，23，34.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算. （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）2324；（Ⅱ）分布列见解析，2312EX = 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得； （Ⅱ）X 的取值为0,1,2,3，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请A 大，B 大，C 大都不成功的概率为123111123424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则小建至少申请成功一所大学的概率2324. （Ⅱ）()1024P X ==， 1111211131(1)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12111312311(2)23423423424P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()123132344P X ==⨯⨯=，X 的分布列如下：2312EX =. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，且1==PA AB ，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若2AD =，求二面角D EC B --的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由PA ⊥面ABCD ，得PA BC ⊥，再结合矩形可证得BC ⊥面PAB ，从而得BC AE ⊥，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，由空间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角．【详解】（Ⅰ）∵1==PA AB ，E 为中点，∴AE PB ⊥， ∵ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥且BC AB ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴BC AE ⊥，BC PB B =I ，∴AE ⊥面PBC .（Ⅱ）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，11,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量(),,n x y z =r ，则1120220n DE x y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令2z =，得10,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ， 设平面BEC 的法向量()',','m x y z =u r ，则11''0222'0m BE x z m BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，得()1,0,1m =u r ，则cos ,17n m <>=r u r ，∵二面角D EC B --的平面角为钝角，∴二面角D EC B --的平面角的余弦值为17-.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20.已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12pD x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF +=∠∠. （1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ．如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ．在Rt △APF 中，sin ∠P AF1p =，同理可得sin ∠QBF 1p=．即可解出p ． （Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|HA HB -u u u r u u u r |＜8，8BA u u u r ＜，8，m 2＜1．由OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r ，t ≠0．利用向量坐标运算可得22121214y y OH y y t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u u u r ，，把点H 的坐标代入抛物线方程即可得出．【详解】解：（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ． 如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ． 在Rt △APF 中，sin ∠P AF 1p=， 同理可得sin ∠QBF 1p=． ∵11sin PAF sin QBF+=∠∠4， ∴2p ＝4，解得p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，． 联立214x myy x-=⎧⎨=⎩，化为y 2﹣4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4．∵|HA HB -u u u r u u u r|＜8，∴8BA u u u r ＜，=8，化为1+m 2＜2，即m 2＜1．∵222121212()2y y y y y y +=+-=16m 2+8．OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r，t ≠0．∴222121214244y y m m OH y y t t t ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，，． ∵点H 也在曲线C 上，∴()22244216m m t t+=． 化为t 22221m m =+，t ≠0．∵0≤m 2＜1．∴t ∈203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴t 的取值范围是：203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题. 21.已知函数()()2xf x exax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为640x y ++=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()f x kx k R =∈有三个实根，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()()224xf xx ex =--，增区间：(,-∞，)+∞；减区间：(；（Ⅱ）()2222,5,0e e e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，然后由(0)6f '=-，(0)4f =-可求得,a b ，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对()224xe x x kx --=，由0x =不是方程的根，可变形为224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究()g x 的单调性，求出极值后可得结论．【详解】（Ⅰ）()()22'x e x x ax a x b f =++++，由切线方程可得：()()'062044f a b a f b b ⎧=+=-=-⎧⎪⇒⎨⎨==-=-⎪⎩⎩，∴()()224xf xx ex =--，()f x增区间：(,-∞，)+∞；减区间：(.（Ⅱ）()224xe x x kx --=，∵0x =不是方程的根，∴224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()212'2xx x x x e x g -+-=，∴()g x 在(),2-∞-递减，()2,0-递增，()0,1递增，()2,+∞递增.且()0g x =的根为1x =±()222g e-=-，()15g e =-，()222g e =-，()g x 的大致图象如图，∴k 的取值范围为()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论．请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.极坐标与参数方程已知曲线1C：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． （1）将1C 、2C 的方程化为普通方程；（2）若2C 与1C 交于M 、N ，与x 轴交于P ，求PM PN ⋅的最小值及相应α的值． 【答案】（1）x 2+12y 2=1,02x sin ycos αα⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭（2）124，2k k Z παπ=+∈， 【解析】 【分析】∥1）利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可将曲线1C 化为普通方程；消去参数t ，即可得出2C 普通方程.∥2∥C 2与x 轴交于P 02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，把C 2的参数方程代入曲线1C 化为普通方程，整理等关于t 的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM |•|PN |=﹣t 1t 2，进而求出最小值.【详解】解：（1）由曲线C 1：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），利用sin 2θ+cos 2θ=22x +=1，化为x 2+12y 2=1． 由C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数），消去参数t可得：0x sin ycos αα⎛-= ⎝⎭．（2）C 2与x 轴交于P 0⎫⎪⎪⎝⎭， 把C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． 代入曲线C 1可得：（2+22sin 2α）t 2+α﹣1=0． ∴|PM |•|PN |=﹣t 1t 2=21222sin α+≥124，∴|PM |•|PN |的最小值124，此时2k k Z παπ=+∈，．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力. 23.设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围．的【答案】（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U 【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（∥）()3,(2){4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或． （∥）()f x (,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，，由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->， 解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)
C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，因为 ， ，函数 在区间 内恒有 ，所以 ，由复合函数的单调性可知 的单调递减区间 ，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为 ，故选C．
考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出 的底数 的值，由 ，可得到内层函数的值域，再由 恒成立，可得到底数 的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.
【答案】D
【解析】A.根据众数和中位数的性质进行判断；
B.根据系统抽样的定义进行判断；
C.根据充分条件和必要条件的定义进行判断；
D.根据含有量词的命题的否定进行判断.
【详解】
对于A，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A错误；
对于B，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B错误；
故答案为：
【点睛】
本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.
三、解答题
17．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 ， 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC的方程；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将给出的条件： ， ， ， 成等比数列用基本量 表示，求解 ，进而得到前 项和 .
哈三中2020届高三学年第一次调研考试理科数学试卷答案
2020届高三学年第一次调研考试数学科试卷（理科）参考答案1. A2. D3. B4. C5. A6. A7. B8. D9.C 10.B 11. C 12. B ． 13． 250x y +-= 14．－2. 15.2916．4π 17．解：（1）在ABC ∆中，，，解得2BC =，∴．（2）Q，∴，∴在ABC ∆中，，∴， ．∴13CD =18. 证明：（1）如图1，三棱柱中，连结BM ， 11BCC B Q 是矩形，1BC BB ∴⊥，11//AA BB Q ，1AA BC ∴⊥，1AA MC ⊥Q ，，1AA ∴⊥平面BCM ，1AA MB ∴⊥， 1AB A B =Q ，M ∴是1AA 中点， //NP MA ∴，且NP MA =，∴四边形AMNP 是平行四边形，//MN AP ∴， MN ⊂/Q 平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，//MN ∴平面ABC ．解：（2）1AB A B ⊥Q ，1ABA ∴∆是等腰直角三角形，设AB ， 则12AA a =，，在Rt ACM ∆中，2AC a =，MC a ∴=，在BCM ∆中，，MC BM ∴⊥，由（1）知1MC AA ⊥，1BM AA ⊥， 如图2，以M 为坐标原点，1MA ，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0M ，0，0)，(0C ，0，)a ，1(2B a ，a ，0)，(,,)22a aN a ∴，，设平面CMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，则00n MC n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r r g u u u u r rg ，即，取1x =，得(1n =r ，2-，0)，平面ACM 的法向量(0m =r，1，0)，则，Q 二面角A CM N --的平面角是钝角，∴二知识面角A CM N --的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20，40)的频率为，故抽取的学生答卷总数为6600.1=，，18x =． ∴没有90%的把握，认为性别与安全测试是否合格有关．（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X 可能的取值为20、15、10、5、0，，1421735210所以．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：∴．故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育案．⋯⋯⋯⋯ 20. 解（1）可知12(1,0)(1,0)F F -，设0000(,),(,)P x y Q x y - 则22120000005(1,)(1,)1F P F Q x y x y x y =-=+--=--u u u r u u u u rg g ，又2004y x =， 所以200514x x -=-- 解得02x =，所以T （2,0）（2）据题意，直线m 的斜率必不为0，所以设:1m x ty =+，将直线m 的方程代入椭圆的方程中，整理得22(2)210t y ty ++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221(1),(2)22t y y y y t t +=-=-++，因为22F A F B λ=u u u u r u u u u r ，所以12y y λ=且0λ<，将（1）式平方除以（2）式得212221422y y t y y t ++=-+C所以221422t t λλ++=-+，又[]2,1λ∈--，解得2207t ≤≤又1212(4,)TA TB x x y y +=+-+u u r u u r ，2121224(1)4()22t x x t y y t ++-=+-=-+ 所以2221212222288=(4)()162(2TA TB x x y y t t ++-++=-+++u u r u u r ）令212n t =+，则71,162n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以222717169=828+16=8()4,4232TA TB n n n ⎡⎤+---∈⎢⎥⎣⎦u u r u u r所以28TA TB ⎡+∈⎢⎣⎦u u r u u r ，21． 解：（1）因为22321x y lnxx =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx <，即16m <；证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->，所以，所以， 所以．[选修4--4：坐标系与参数方程] 22． 解：（1）由得，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=，设点P 的直角坐标为(,)x y ，因为P 的极坐标为，)4π，所以，，所以点P 的直角坐标为(1,1)．（2）将315415x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2212x y +=，并整理得，因为△，故可设方程的两根为1t ，2t ，则1t ，2t 为A ，B 对应的参数，且，依题意，点M 对应的参数为122t t +，所以．[选修4-5：不等式选讲]23． 解：（Ⅰ）0m >Q ，，∴当2x m -…时，()f x 取得最大值3m ．1m ∴=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，221a b +=，∴．，当且仅当a b =时等号成立．102ab ∴<…， 令1()2h t t t=-，102t <…，则()h t 在(0，1]2上单调递减，，∴当102ab <…时，121ab ab-…，∴331a b b a +…．。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学(理)试题解析
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三下学期第一次调研考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：A由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 解：由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.点评：考查集合并集运算，属于简单题.2．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题． 解：设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D 点评：本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 3．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件答案：B根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：解：a Q ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++答案：C根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 解：由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-.故选：C 点评：本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.5．已知函数1()sin 2f x x x =，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π 答案：A化简()1sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第三次调研数学(理)试题(解析版)
【点睛】
本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
11．已知点 是椭圆 椭上非顶点的动点， 分别是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，若 为 的平分线上一点，且 ，则 的取值范围（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】延长 交 于点 ,由题可得 ,又有 ,可得 为 的中点,即 ,根据 的范围求 范围即可
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出 有两个不同零点时 的范围,再求出 有两个不同零点时 的范围,再画出 与 的图象,可得一交点为 ,进而由图象得到 的范围,使之满足 再与之前所求得交集即可
【详解】
由题, ,当 时, 恒成立,即 在 上单调递增,无法满足题意,故舍去；当 时,令 ,可得 ,则 在 上单调递增, 上单调递减,且 时, ,故由题需满足 ,即 ；
【详解】
（1）由题, ( 为参数), ,
即曲线 的普通方程为 ；
又 , , ,
即曲线 的直角坐标方程
（2）由（1）可得曲线 为 ,则其极坐标方程为
射线 与曲线 分别相交于异于极点的点 ,
,
,
,
【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查极坐标系下的弦长的最值问题,考查运算能力
,
由（1）,则 ,
,
,
【点睛】
本题考查等比数列的证明,考查累加法求通项公式,考查错位相减法求前 项和,考查运算能力
20．已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程;
（2）设 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的内切圆的半径的最大值.
2020届 黑龙江省哈尔滨市 第三中学高三综合题(七)数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（七）数学（理）试题一、单选题1．已知全集{}1,3,5,7,9,11U =，{}3,5,9M =，{}7,9N =，则集合{}1,11=（ ） A ．M N ⋃ B ．M N ⋂C ．()U M N U ðD ．()U M N I ð【答案】C【解析】由集合运算的定义判断． 【详解】由题意{3,5,7,9}M N =U ，∴(){1,11}U M N =U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为（ ）A ．12B ．36C ．16D ．48【答案】A【解析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积． 【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3， ∴其体积为1343123V =⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点将线段12F F 三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =±C ．22y x =±D ．y x =±【答案】A【解析】由已知得3c a =，结合222c a b =+可得ba，得渐近线方程． 【详解】∵左、右顶点将线段12F F 三等分，∴232c a =⨯，即3c a =， ∴22229a c a b ==+，22ba=2y x =±． 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,a b 的关系． 5．如图，若输入n 的值为4，则输出m 的值为（ ）A ．-3B ．13C ．2D ．12-【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：1,2i m ==，开始循环，3m =-，满足4i <，2i =； 12m =-，满足4i <，3i =；13m =，满足4i <，4i =；2m =，不满足4i <，输出2m =．故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、 6．函数()ln 25f x x x =+-的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数()f x 零点个数. 【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()13,240f f e e =-=->，()()10f f e ⋅<，故函数在()1,e 上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点.故选:B 【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题. 7．在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 A ．5- B ．4-C ．4D ．1【答案】D 【解析】【详解】分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则(2,3)P ,(2,3),(2,1),(2)(2)(3)11PA PB PA PB =--=-∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r.8．若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式中常数项为10π，则直线0x =，x a =，x 轴与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为（ ） A．22-B．2C1D ．1【答案】A【解析】由二项式定理求出a ，再由微积分基本定理求出面积． 【详解】62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的通项为663166((r r r r r rr T C x C x --+==，由630r -=，得2r =．∴常数项为226(1510C a π==，23a π=， 由于cos y x =与x 轴有一个交点为(,0)2π，∴2322223cos cos sin sin (sin 0)sin sin 2223222S xdx xdx x x πππππππππ=+=+=-+-=-⎰⎰． 故选：A ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数()f x 的图象是在x 轴上方还是在x 轴下方． 9．函数()sin()f x A x ωϕ＝＋（其中0A >，2πϕ<的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω＝的图象，可以将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.【考点】正弦型函数解析式 函数图像平移变换 点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为左、右焦点，1A ，2A ，1B ，2B 分别是其左、右、上、下顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若12B PA ∠为直角，则此椭圆的离心率为（ ） A ．212B ．512C ．22D ．32【答案】B【解析】由12B PA ∠是直角，得斜率乘积为－1，由此可得,,a b c 关系，从而得离心率．【详解】由题意122(0,),(0,),(,0),(,0)B b B b F c A a -， ∵12B PA ∠为直角，∴1221FB A B k k =-，即1b bc a-⋅=-，即222b ac a c ==-，∴2()10c c aa +-=，210e e +-=，∴12e -=（12-舍去）． 故选：B ． 【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出,,a b c 的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11．已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4APC BPC π∠=∠=，若球O 的体积为323π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】由球体积求出球半径为2，从而可得APC ∆和BPC ∆都是等腰直角三角形，从而,AO PC BO PC ⊥⊥，PC ⊥平面AOB ，这样A PBC -的体积易求． 【详解】 由343233R ππ=，得2R =，如图，由PC 为球O 的直径，∴2OP OC OA OB AB =====，2PAC PBC π∠=∠=，4APC BPC ACP BCP π∠=∠=∠=∠=，,AO PC BO PC ⊥⊥，∴PC ⊥平面AOB ，AOB S ∆212sin 23π=⨯=，∴1()3A PBC P AOB C AOB AOB V V V S PO OC ---∆=+=+1433==． 故选：B ．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得PC ⊥平面AOB ，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12．已知函数()323sin f x x x x π=--，则12402440252013201320132013f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （ ） A ．4025 B ．-4025C ．8050D ．-8050【答案】D【解析】应用倒序相加法求和． 【详解】∵3232(2)()(2)3(2)sin (2)3sin f x f x x x x x x x ππ-+=-----+--232(8126)3(44)sin x x x x x x π=-+---++323sin x x x π+--4=-， 记1240244025()()()()2013201320132013S f f f f =+++L ， 则4025402421()()()()2013201320132013S f f f f =++++L ， ∴244025S =-⨯，8050S =-． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算(2)()f x f x -+，从而得解．二、填空题13．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 【答案】92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算. 14．已知(),x y 满足：()00,0x y m m x y ⎧+≤>⎨≥≥⎩，若2z x y =+的最大值为2，则m =______.【答案】1【解析】作出可行域（示意图），作直线:20l x y +=，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，l 向上平移时，z 增大，易知当直线l 过点(,0)A m 时，z x y =+取得最大值2m ，所以22m =，1m =． 故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．非统计专业统计专业男 15 10 女 520参考公式：0．0250．0100．0050．0015．024 6．635 7．879 10．828【答案】【解析】试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．【考点】独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16．ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在边AC 上，3DB =，且()0sin sin BA BC BD BA A BC C λλ⎛⎫ ⎪=+> ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则AC AB +的最大值为______. 【答案】27【解析】由sin sin BA A BC C =u u u r u u u r，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得D点就是AC 边中点，这样在ABD ∆中应用正弦定用角理表示出,AB AD ，利用三角函数性质可求得+AB AC 的最大值． 【详解】如图，作BE AC ⊥于E ，取AC 中点F 连接BF ，()()sin sin BA BC BA BC BD BE BE BA A BC Cλλ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 2()BA BC AF BE BE λλ=+=u u u r u u u r u u u r ，∴BD u u u r 与BF u u u r共线，从而D 与F 重合，即D 是AC 中点．ABD ∆中，603A π==，记ABD α∠=，则203πα<<，sin sin()3ADB πα∠=+， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠sin BD A =，即3sin sin()sin33ABADπαα==+， ∴2sin()3AB πα=+，2sin AD α=，22sin()4sin 3AB AC AB AD παα+=+=++2(sin coscos sin )4sin 5sin 333ππααααα=++=+， 7)αθ=+，其中θ为锐角，cos 27θ=，3sin 7θ=∴2παθ=-时，+AB AC 取得最大值27故答案为：27 【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键．三、解答题17．已知数列{}n a 满足：*22()n n S a n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）1(2)24n n T n +=-+【解析】（1）利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =，由22n n S a =-，可得1122n n S a ++=-，上述两式相减可得1122n n n a a a ++=-， 所以12n na a +=，120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =．（2）由（1）可知(1)22n nn n b n a n =-=⋅-，所以123123(1222322)(2222)n nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++L L ，令1231222322n M n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①， 则234121222322n M n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ②， ①－②得123112(12)222222(22)2212n n n n n M n n n ++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，所以(22)22n M n =-⋅+，所以12(12)(22)22(2)2412n nn n T n n +-=-⋅+-=-+-．【点睛】（1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.18．小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为12，23，34.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算. （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望. 【答案】（Ⅰ）2324；（Ⅱ）分布列见解析，2312EX =【解析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得；（Ⅱ）X的取值为0,1,2,3，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请A大，B大，C大都不成功的概率为1231 11123424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则小建至少申请成功一所大学的概率23 24.（Ⅱ）()124P X==，1111211131(1)2342342344P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12111312311(2)23423423424P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()123132344P X==⨯⨯=，X的分布列如下：2312EX=.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19．如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且1==PA AB，E为PB中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若2AD =，求二面角D EC B --的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）234【解析】（Ⅰ）由PA ⊥面ABCD ，得PA BC ⊥，再结合矩形可证得BC ⊥面PAB ，从而得BC AE ⊥，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，由空间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角． 【详解】（Ⅰ）∵1==PA AB ，E 为中点，∴AE PB ⊥， ∵ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥且BC AB ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴BC AE ⊥，BC PB B =I ，∴AE ⊥面PBC .（Ⅱ）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量(),,n x y z =r ，则1120220n DE x y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令2z =，得10,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，设平面BEC 的法向量()',','m x y z =u r ，则11''0222'0m BE x z m BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，得()1,0,1m =u r，则234cos ,17n m <>=r u r，∵二面角D EC B --的平面角为钝角， ∴二面角D EC B --的平面角的余弦值为23417-.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20．已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12p D x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF+=∠∠.（1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ．如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ．在Rt △APF 中，sin ∠PAF 1p =，同理可得sin ∠QBF 1p=．即可解出p ．（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|HA HB -u u u r u u u r|＜8，8BA u u u r ＜，可得8，m 2＜1．由OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r ，t ≠0．利用向量坐标运算可得22121214y y OH y y t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u u u r ，，把点H 的坐标代入抛物线方程即可得出． 【详解】解：（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ． 如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ． 在Rt △APF 中，sin ∠PAF 1p=， 同理可得sin ∠QBF 1p=． ∵11sin PAF sin QBF+=∠∠4，∴2p ＝4，解得p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，． 联立214x myy x-=⎧⎨=⎩，化为y 2﹣4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4．∵|HA HB -u u u r u u u r|＜8，∴8BA u u u r ＜，=8，化为1+m 2＜2，即m 2＜1．∵222121212()2y y y y y y +=+-=16m 2+8．OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r，t ≠0．∴222121214244y y m m OH y y t t t ⎛⎫⎛⎫++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，，．∵点H 也在曲线C 上，∴()22244216m m t t+=． 化为t 22221m m =+，t ≠0． ∵0≤m 2＜1． ∴t ∈203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴t 的取值范围是：203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题. 21．已知函数()()2xf x exax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为640x y ++=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()f x kx k R =∈有三个实根，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()()224xf xx ex =--，增区间：(,6-∞-，)6,+∞；减区间：(6,6-；（Ⅱ）()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U 【解析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，然后由(0)6f '=-，(0)4f =-可求得,a b ，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对()224xe x x kx --=，由0x =不是方程的根，可变形为224xx x k e x--=⋅，令()42xe x g x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，利用导数研究()g x 的单调性，求出极值后可得结论． 【详解】 （Ⅰ）()()22'xexx ax a x b f =++++，由切线方程可得：()()'062044f a b a f b b ⎧=+=-=-⎧⎪⇒⎨⎨==-=-⎪⎩⎩， ∴()()224xf xx ex =--，()f x 增区间：(),6-∞-，()6,+∞；减区间：()6,6-.（Ⅱ）()224xe x x kx --=，∵0x =不是方程的根，∴224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()212'2xx x x x e x g -+-=，∴()g x 在(),2-∞-递减，()2,0-递增，()0,1递增，()2,+∞递增.且()0g x =的根为15x =±.()222g e-=-，()15g e =-，()222g e =-，()g x 的大致图象如图，∴k 的取值范围为()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论． 22．极坐标与参数方程已知曲线1C：6x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． （1）将1C 、2C 的方程化为普通方程；（2）若2C 与1C 交于M 、N ，与x 轴交于P ，求PM PN ⋅的最小值及相应α的值．【答案】（1）x 2+12y 2=1,02x sin ycos αα⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭（2）124，2k k Z παπ=+∈， 【解析】（1）利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可将曲线1C 化为普通方程；消去参数t ，即可得出2C 的普通方程.（2）C 2与x 轴交于P 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把C 2的参数方程代入曲线1C 化为普通方程，整理等关于t 的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM|•|PN|=﹣t 1t 2，进而求出最小值. 【详解】解：（1）由曲线C 1：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），利用sin 2θ+cos 2θ=22x +=1，化为x 2+12y 2=1．由C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数），消去参数t可得：0x sin ycos αα⎛-= ⎝⎭． （2）C 2与x 轴交于P 02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，把C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． 代入曲线C 1可得：（2+22sin 2α）t 2+22tcos α﹣1=0． ∴|PM|•|PN|=﹣t 1t 2=21222sin α+≥124，∴|PM|•|PN|的最小值124，此时2k k Z παπ=+∈，．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力.23．设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U 【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（Ⅰ）()3,(2){4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或． （Ⅱ）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，，由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->，解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学(南岗校区)高三上学期期末数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校高三上学期期末数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{}|1P x x =≤，集合1|1,Q x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则P Q =（）A ．∅B ．{}|01x x x <=或 C ．{}|0x x < D ．{}12．设i 为虚数单位，复数11z i =+，2i z ，则复数12z z ⋅在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，4．已知椭圆22143x y +=,则与椭圆相交且以点()1,1A 为弦中点的直线所在方程为（）A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录.按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为（） A ．甲巳年B ．壬辰年C ．癸巳年D ．辛卯年6．设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面（） ①,//,m n αα⊂则//m n ；②//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥；③,//,//=n m n m αβα⋂，则//m β； ④若//,//,//m n m n αβ,则//αβ. 上述四个命题中,正确的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC ∆中,1CA =,3CB =,2ACB π∠=,点M 满足3CM CB CA =+,则MA MB ⋅=（）A ．0B ．3C ．6D ．98．由直线1y x =-上的点向圆22231x y 引切线,则切线长的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D ．39．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()121nn a n =--，则2019=S （）A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．403710．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．174π B ．1724C ．172πD 1717【答案】C11．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．2.512．已知定义在()0+∞，上的函数()f x 满足()2()xx f x f x e'+=，2122f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意正数a ，b 都有2221146441322x abf b e a ⎛⎫<++ ⎪⎛⎫- ⎪⎪⎭ ⎝⎝⎭，则x 的取值范围是（） A ．()2,1-- B ．(),1-∞-C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、填空题13．若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为______________． 14．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有__________种不同分法．（结果用数字作答）15．如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米）关于t （分钟）的解析式为______16．已知ABC ∆的三个顶点、、A B C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题：①若直线BC 过点3,08M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心； ②若直线BC 过点()1,0N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，2BM =，则ABC ∆的面积为23其中正确的序号为______________． 三、解答题17．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,26,2a b B A ===. （I ）求cos A 的值； （II ）求c 的值.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小． 19．已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点+1n n A a a ，在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(),n n b T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得112020n T -<成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =⋅，求证：数列{}n c 为递减数列．20．已知抛物线2:4C y x =上一点()2,1A ,D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）13y x =+21．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合； （2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x xx <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）{}1；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 22．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标． 23．已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a ++≥+++++． 2020届黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合{}|1P x x =≤，集合1|1,Q x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则P Q =（）A ．∅B ．{}|01x x x <=或 C ．{}|0x x < D ．{}1【答案】B【解析】化简集合Q ，按交集定义即可求解. 【详解】1110x x x-≤⇔≥，解得1x ≥或0x <，{|1Q x x =≥或0}x <，P Q ={}|01x x x <=或.故选:B 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查交集的运算，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，复数11z i =+，2i z ，则复数12z z ⋅在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】求出12z z ⋅的值，即可求解. 【详解】11z i =+，2i z ，12(1)1z z i i i ∴⋅=+=-+，12z z ⋅在复平面对应的点在第二象限.故选:B 【点睛】本题考查复数的乘法运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4．已知椭圆22143x y +=,则与椭圆相交且以点()1,1A 为弦中点的直线所在方程为（）A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=【答案】D【解析】用点差法，求出相交弦的斜率，即可求解. 【详解】设以点()1,1A 为弦中点的直线与椭圆交于()()1122,,,M x y N x y ， 依题意所求直线的斜率存在，()()1122,,,M x y N x y 代入椭圆方程得，222211221,14343x y x y +=+=，两式相减得 12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，121234y y x x -=--，即所求直线的斜率为34-，所求的直线方程为3470x y +-=. 故选:D 【点睛】本题考查直线与椭圆的相交关系，涉及相交弦的中点用点差法求直线的斜率，属于中档题.5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录.按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为（） A ．甲巳年 B ．壬辰年C ．癸巳年D ．辛卯年【答案】C【解析】到2013年中华人民共和国成立65年，根据60年为一周期，即可得出结论. 【详解】到2013年中华人民共和国成立65年，1949年为己丑年， 根据60年为一周期，2013年为癸巳年. 故选:C 【点睛】本题考查周期数在生活中应用，属于基础题.6．设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面（） ①,//,m n αα⊂则//m n ；②//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥； ③,//,//=n m n m αβα⋂，则//m β； ④若//,//,//m n m n αβ,则//αβ. 上述四个命题中,正确的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】逐个命题判断真假：①假，②真，③假，④假，即可得出结论. 【详解】①,//,,m n m n αα⊂可能是异面直线，可能平行，故是假命题； ②//,//,//,,m m αββγαγαγ∴⊥∴⊥，故为真命题； ③满足条件的直线m ，可能在β平面内，故为假命题； ④当l αβ=，只需////m n l ，即可满足条件//,//,//m n m n αβ，此时l αβ=，故为假命题.故选:A【点睛】本题考查空间垂直、平行的命题的真假判定，要注意相关定理成立的条件，属于基础题， 7．在ABC ∆中,1CA =,3CB =,2ACB π∠=,点M 满足3CM CB CA =+,则MA MB ⋅=（）A ．0B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】将,MA MB 用向量,CA CB 表示，根据向量的数量积定义即可求解. 【详解】2MA CA CM CA CB =-=--，3MB CB CM CA =-=-，2(2)(3)66MA MB CA CB CA CA ∴⋅=--⋅-==故选:C 【点睛】本题考查向量的基本定理，向量的数量积的运算，属于基础题. 8．由直线1y x =-上的点向圆22231x y 引切线,则切线长的最小值为（）A ．1B ．2CD【答案】A【解析】切点与圆心的连线垂直切线，利用勾股定理，切线段长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】设M 是直线1y x =-的一点，22231x y 圆心为C过M 引圆22231x y 的切线的切点为A ，则AC MA ⊥，||MA =，||MC 的最小值为圆心C 到直线1y x =-的距离，根据点到直线的距离公式可得||MC ，||MA 的最小值为1.故选:A 【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查切线性质，属于中档题. 9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()121nn a n =--，则2019=S （）A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．4037【答案】B【解析】根据通项公式，相邻两项和为定值，即可求解. 【详解】2019=(-1+3)+(-5+7)+(-4033+4035)-4037=21009-4037=-2019S ⨯.故选:B 【点睛】本题考查用并项相加求数列的前n 项和，数列求和要注意通项公式的特征，属于中档题. 10．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．174π B 1717C ．172πD 1717【答案】C【解析】将三视图还原成三棱锥，再根据三棱锥的结构特征，确定外接球的球心，解关于外接球半径的方程，即可求解. 【详解】将三视图还原如下三棱锥,S ABC D -为BC 中点，2,,1SD AD AD BC BD CD ==⊥==，SD ⊥平面ABC ，由ABC ∆为等腰三角形，ABC ∆的外接圆圆心M 在AD 上，外接圆的半径为AM ，由正弦定理可得5552,2sin 245AC AM AM ABC ===∴=∠， 过点M 作//MN SD ，则MN ⊥平面ABC ，根据球的截面性质，球心O 直线MN 上，设外接球的半径为R ，2253,,164OA OS R OM R MD ===-=， 2222253(2)()164R R --=-，解得2178R =， 棱锥S ABC -外接球的表面积为棱锥21742R ππ=. 故选:C【点睛】本题考查三视图与直观图的关系，考查几何体的外接球的表面积，寻找确定外接球的球心是解题的关键，属于中档题.11．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．2.5【答案】A【解析】根据清洁钢球能擦净凹槽的最底部的轴截面图，只需圆与双曲线的顶点相交，联立圆与双曲线方程，得到关于y 的一元二次方程，要满足方程的根不能大于1，即可求解. 【详解】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如下图所示， 圆心在双曲线的对称轴上，并与双曲线的顶点相交， 设半径为r ，圆心为(0,1)r +，圆方程为：222(1)x y r r +--=代入双曲线方程221y x -=， 得2(1)0,1,y r y r y y r -++=∴==， 要使清洁球到达底部，1r ≤. 故选:A【点睛】本题考查圆锥曲线方程的实际应用，关键要把实际问题抽象转化为数学问题，属于较难题.12．已知定义在()0+∞，上的函数()f x 满足()2()xx f x f x e'+=，2122f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意正数a ，b 都有2221146441322x abf b e a⎛⎫<++ ⎪⎛⎫- ⎪⎪⎭ ⎝⎝⎭，则x 的取值范围是（） A ．()2,1-- B ．(),1-∞-C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．102⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【解析】根据基本等式求出222114644abb e a ++最小值1()2f =，不等式转化为解不等式1(1)2322x f f ⎛⎫< ⎪⎛⎫- ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝，构造函数2()()x g x e f x =，由条件可得()2()f x f x '=-，转化为与()g x 相关的函数，通过求导可得()0f x '≤，即()f x 在()0+∞，是减函数，即可解不等式. 【详解】222111110,0,()()4644422ab a b ab f b e a abe >>++≥+≥=，当且仅当a b ==. 所求不等式转化为1(1)2322x f f ⎛⎫< ⎪⎛⎫- ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝，设2()()x g x e f x =，2222()2()()(2()())x x x x xg x e f x e f x e f x f x e e e '''=+=+=⋅=()2()f x f x '+=得()2()f x f x '=-===，设()2(),()x xx eg x x e ϕϕ'===令1()0,2x x ϕ'==，当()0x ϕ'>时，102x <<， 当()0x ϕ'<时，11,22x x >∴=时()x ϕ取得极大值，112()2()0,()0,()022g ef x f x ϕ'==∴≤≤，()f x 在()0+∞，是减函数，1(1)2322x f f ⎛⎫< ⎪⎛⎫- ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝等价于，1311,2,12222x xx ⎛⎫⎛⎫->>∴<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性，属于难题. 二、填空题13．若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为______________．. 【解析】根据渐近线与离心率的关系，即可求解. 【详解】双曲线的焦点在y 轴上，渐近线方程为2y x =±，=故答案为. 【点睛】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，要注意焦点的位置，属于基础题.14．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有__________种不同分法．（结果用数字作答） 【答案】60.【解析】先把5本书分成3组，1组3本，另两组各1本，再把这三组书分配给甲、乙、丙三人,即可求解. 【详解】5本书分成3组，1组3本，另两组各1本，有3510C =分法，把3组书分给甲、乙、丙三人，共有336A =种分法，根据乘法原理共有60种不同的分法. 故答案为:60【点睛】本题考查排列组合混合问题，解题依据是选组后排，属于基础题.15．如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米）关于t （分钟）的解析式为______【答案】250sin 6032y t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；【解析】建立坐标系，根据三角函数的定义，求出P 点的纵坐标，即可求出结论. 【详解】建立如图坐标系，地面所在的直线方程为60y =-，P 点初始位置对应的角为2π-，设在t （分钟）时P 点坐标为(,)m n ， P 点对应的角为232t ππ-，由三角函数定义得250sin()32n t ππ=-， 2(60)50sin()6032y n t ππ∴=--=-+. 故答案为:250sin 6032y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用问题，属于中档题.16．已知ABC ∆的三个顶点、、A B C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题：①若直线BC 过点3,08M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心； ②若直线BC 过点()1,0N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，2BM =，则ABC ∆的面积为其中正确的序号为______________． 【答案】①②.【解析】对于①设出直线BC 方程，与抛物线联立，利用韦达定理，求出,B C 坐标和，再利用重心坐标公式，求出A 点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论；对于②当直线BC 过点()1,0N ，可证OB OC ⊥，即可得出结论为正确； 对于③判断以焦点为圆心的圆与抛物线是否有三个交点；对于④设AC 方程与抛物线联立，利用韦达定理，求出AC 中点坐标，然后转化为B 点坐标，将B 点坐标代入抛物线方程，求出ABC ∆的面积，即可判断结论是否正确. 【详解】设、、A B C 三点坐标分别为112233(,)(,)(,)x y x y x y 、、， ①直线BC 过点3,08M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设BC 方程为38x my =+， 联立238x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x ，得22330,082y my m --=∆=+>，223232323333,,()844y y m y y x x m y y m +==-+=++=+，抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心，2123123113,0,,4x x x y y y x m y m ∴++=++=∴=-=-，将A 点坐标代入抛物线方程22,0m m m ∴=-∴=， 当0m =时，33(0,0),((,88A B C ，①正确； ②直线BC 过点()1,0N ，设BC 方程为1x my =+，联立21x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，210y my --=，22232323232323,1,1,0y y m y y x x y y x x y y +==-==∴+=，0,OB OC OB OC ∴⋅=∴⊥，而点O 在抛物线上，故②正确；③设以抛物线焦点1(,0)4F 为圆心的圆半径为r ， 其方程为2221()4x y r -+=，与抛物线方程联立得2222111(),(),444x x r x r x r -+=+=∴=-±，方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心；③不正确； ④AC 的方程为x my n =+，代入抛物线方程得，2213130,40,,y my n m n y y m y y n --=∆=+>+==-， 21313()22x x m y y n m n +=++=+设AC 中点00(,)M x y ，//BM x 轴，2BM =，22(2,)22m n m B +-，代入抛物线方程得2222()2,4822m m n m n +=-∴+=，1312||2ABC S y y ∆∴=⨯⨯-===≠④不正确. 故答案为:①②. 【点睛】本题考查直线与抛物线的关系，考查抛物线和圆的位置关系以及三角形的面积，灵活运用韦达定理，设而不求是解题的关键，属于较难题. 三、解答题17．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,2a b B A ===. （I ）求cos A 的值； （II ）求c 的值.【答案】（1；（2）5 【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理3sin A =cosA 的值； （2）易求sinA=3，sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin （A+B ）=9，在△ABC 中，此即sinC 的值，利用正弦定理可求得c 的值． 试题解析：(1）由正弦定理可得，即：3sin A =3sin A =cos A =. （2由（1）cos A =，且0180A ︒<<︒，∴sin 3A ===，∴sin sin22sin cos 2333B A A A ===⨯=，221cos cos22cos 1213B A A ==-=⨯-=⎝⎭∴()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦=sin cos cos sin A B A B +133=. 由正弦定理可得：sin sin c aC A=，∴3sin 5sin a C c A ===． 18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）045.【解析】（1）取BC 中点F ，连接,AF EF ，可证AF ⊥平面11BCC B ，//DE AF ，即可得证结论；（2）设2AB AC ==建立空间直角坐标系，直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，得出111CC B C =，确定各点坐标，求出平面DBC 的法向量，（1）可得平面1BCC 的法向量为AF ，即可求出结论. 【详解】（1）取BC 中点F ，连接,AF EF ，,AB AC AF BC =∴⊥， 直三棱柱111ABC A B C -，1BB ⊥平面,ABC AF ⊂平面ABC ， 111,,,BB AF BB BC B BB BC ∴⊥=⊂平面11BCC B ，AF ⊥平面11BCC B .,E F 分别为1B C ，BC 中点，111,//2EF BB EF BB ∴=， D 为1AA 中点，111,//,,//2AD BB AD BB AD EF AD EF ∴=∴=， ∴四边形ADEF 为平行四边形，//,AF DE ∴∴DE ⊥平面11BCC B ；（2）设2AB AC ==，11//AA CC ，11B CC ∴∠为异面直线11,B C AA 所成的角，1111145,22BCC CC BC ∴∠=∴==以A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0)B C ， (1,1,0),(0,0,2),(1,1,0),(2,2,0)F D AFBC ==-， (2,0,2)BD =-，设平面BCD 的法向量为(,,)m x y z =，220220x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则1,2y z ==， 平面1BCC 的一个法向量(1,1,2)m =， 由（1）得AF 是平面1BCC 的一个法向量，2cos ,22m AF ==⨯ 二面角1D BC C --的大小为045.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角，属于中档题. 19．已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点+1n n A a a ，在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(),n n b T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得112020n T -<成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =⋅，求证：数列{}n c 为递减数列．【答案】（1）1n a n =+；23n nb =（2）7；（3）证明见解析. 【解析】（1）由条件可得{}n a 是等差数列，再由已知{}n b 的前n 项和与{}n b 通项关系，即可求出结论；（2）求出n T ，去绝对值，解关于n 的不等式，即可求解.【详解】（1）点A 在双曲线221y x -=上， +11,{}n n n a a a -=∴是以2为首项，公差为1的等差数列，1n a n ∴=+；点(),n n b T 在直线112y x =-+上， 112n n T b =-+，当1n =时，1111121,23T b b b ==-+∴=， 当2n ≥时，111111,223n n n n n n n b T T b b b b ---=-=-+∴=， 1110,0,3n n n b b b b -≠∴≠∴=， {}n b ∴是以23为首项，公比为13的等比数列，23n n b ∴=. （2）111111(),|1|()2332020n n n n n T b T =-+=-∴-=<， 解得6n >，112020n T ∴-<成立n 的最小值为7. （3）2(1)3n n n nn c a b +=⋅=， 1112(2)2(1)2(21)0333n n n n n n n n c c +++++-+-=-=<， 1n n c c +∴<，所以数列{}n c 为递减数列.【点睛】本题考查利用等差数列的定义判定等差数列并求通项，考查运用前n 项和与通项关系求等比数列的通项和前n 项和，并求绝对值不等式，考查数列的单调性证明，考查计算能力，属于中档题.20．已知抛物线2:4C y x =上一点()2,1A ,D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧．（1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）13y x =+ 【解析】（1）要证DA 平分MDN ∠，只需证直线,DM DN 倾斜角互补，只需证,DM DN 斜率和为0，设直线MN 方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理，即可求证；（2）2:4C y x =方程化为214y x =，求导，求出抛物线在M 、N 处切线的斜率，继而求出切线方程，联立两切线方程，求出点E 坐标，EMN DMN S S ∆∆=，,D E 到直线MN 距离相等，即可求出直线MN 的方程.【详解】（1）D 与A 关于抛物线的对称轴对称，(2,1)D ∴-设直线MN 的方程为,13y x n n =+-<<，联立24y x n x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得，2440,16160x x n n --=∴∆=+>， 设11221212(,),(,),4,4M x y N x y x x x x n +==-，121221121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)DM DN y y x n x x n x k k x x x x --+-+++-++=+=++++ =121212122(1)()4(1)844440(2)(2)(2)(2)x x n x x n n n n x x x x ++++--+++-==++++， 直线.DM DN 倾斜角互补，//AD x 轴，MDA NDA ∴∠=∠，DA ∴平分MDN ∠；（2）抛物线2:4C y x =，211,42y x y x '==， 在M 点处的切线方程为211111111(),224y y x x x y x x x -=-=-，① 同理在N 点处的切线方程为2221124y x x x =-，② 由①②得，12122,,(2,)24x x x x x y n E n +====-∴-， ,,EMN DMN S S D E ∆∆=∴到直线MN 的距离相等，由点到直线的距离公式得：113,3223n n n n =-<<∴-=+∴=，所求的直线方程为13y x =+. 【点睛】 本题考查抛物线几何性质的证明，在平面解析几何中证明角的关系，经常转化为斜率的关系，考查用导数求切线方程，考查计算能力，属于较难题.21．已知函数()ln ,0f x x ax a =->．（1）若()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立； （3）当*n N ∈时，证明：()22231ln 2ln ln 224n n n n +⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）{}1；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）()f x a ≤-对0x ∀>恒成立，转化为()max f x a ≤-，利用求导数方法求出()f x 极值，进而求出最值，即可求解；（2）设()12(),g x f x k x x x '=-<<，通过构造函数证明12(),()g x g x 异号，根据零点存在性定理，即可得证；（3）构造函数()ln 1h x x x x =-+，证明()ln 10h x x x x =-+>在(1,)+∞恒成立，1ln 1x x >-，令221111111,ln ,(ln )1(1)(2)(1)n n n x n n n n n n n +++=>>>>++++1112n n =-++，然后相加，即可求证结论.【详解】（1）11()ln ,()ax f x x ax f x a x x-'=-=-=， 令1()0,f x x a '==，当1()0,0f x x a'><<， 当11()0,,f x x x a a'<>=时，()f x 取得极大值， 亦为最大值，max 1()ln 1ln 1f x a a a=-=--≤-， ln 10a a --≤，设11()ln 1,()1a a a a a a a ϕϕ-'=--=-=， 令()0,1,()0,01;()0,0,1a a a a a a ϕϕϕ'''==<<<>>.min ()(1)0,()0a a ϕϕϕ∴==∴≥，又()ln 10a a a ϕ=--≤，()ln 10,1a a a a ϕ=--==；（2）()121212ln1(),x x g x f x k x x x x x x '=-=-<<-， 122211121211ln11()(1ln )x x x x g x x x x x x x x =-=-+--， 121122121222ln11()(1ln )x x x x g x x x x x x x x =-=--+--， 令11()1ln ,()1t u t t t u t t t-'=-+=-+=， ()0,01,()0,1u t t u t t ''><<<>，当1,()0,1ln 0t u t t t ≠<∴-+<，22121111ln 0,0,()0x x x x g x x x ∴-+<-<∴>， 同理2()0g x <，函数12(),(,)g x x x x ∈连续不断，故存在012(,)x x x ∈，使得0()0g x =，即存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立；（3）设()ln 1,()ln ,h x x x x h x x '=-+=，当()0h x '>时，1,()x h x >∴在(1,)+∞递增，11,()0,ln 1x h x x x >∴>∴>-，令11n x n+=> 2211111ln ,(ln )1(1)(2)(1)n n n n n n n n ++>>>++++， 2223111ln 2ln ln .22224n n n n n +∴+++>-=++ 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及不等式恒成立最值问题、函数零点、数列不等式的证明，解题的关键是构造函数，导数性质的合理运用，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上任意一点(,)P x y 经过伸缩变换''2x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=．（1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（1）22134x y +=，80x y --=.（2）最大值2,此时点P ⎛ ⎝⎭. 【解析】（1）根据伸缩坐标关系，可求2C 参数方程，利用22sin cos 1θθ+=消去参数θ；由cos ,sin x y ρθρθ==，即可求直线l 的直角坐标方程；（2）点P 用参数表示，根据点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离，再结合三角函数的有界性，即可求解.【详解】（1）1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，cos ',''22sin sin 2x y y y θθθθ⎧⎧=⎪⎪==⎪⎪∴∴⎨⎨==⎪⎪=⎪⎪⎩⎩消去参数θ，得22134x y ''+=， 所以2C 的普通方程为22134x y +=； 直线:(cos sin )cos sin 8l x y ρθθρθρθ-=-=-=，直线l 的直角坐标方程80x y --=；（2）设,2sin )P θθ，P 点到直线直线l 的距离为d ，d ==其中sin ϕϕ==，当2,2k k Z πθϕπ-=+∈时，d 取得最大值为，此时2,,sin cos sin2k k Z πθϕπθϕθϕ=++∈===-=，点P 的坐标为77⎛- ⎝⎭时，点P 到直线l 的距离的最大为2. 【点睛】本题考查坐标伸缩变化后的曲线方程，考查参数方程化普通方程，极坐标方程和直角坐标方程互化，以及运用参数方程设点坐标求最值，属于中档题.23．已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a ++≥+++++． 【答案】（1）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，解不等式，即可求解；（2）利用绝对值不等式的性质求出()f x 的最小值，并转化为,,a b c 关系，再用基本不等式即可求解.【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++，当2x -≤时，5()227,2f x x x =-+><-； 当22x -<<时，()67,f x x =>∈∅；当2x ≥时，5()227,2f x x x =+>>所以不等式的解集为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()||2f x x b x c a c b a a b c =-+++≥++=++=由柯西不等式可得：2419[()()()]()(213)36a b b c c a a b b c c a+++++++≥++=+++，41999()2a b c a b b c c a ++≥=+++++ ∴不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及利用绝对值不等式求最值，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题.。
哈尔滨市第三中学2020届高三数学综合题七理含解析
【解析】
【分析】
由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积．
【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,底面是矩形，高为3，
∴其体积为 ．
故选:A．
【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．
4。已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点将线段 三等分,则该双曲线的渐近线方程为（ ）
(Ⅱ）设直线AB的方程为x﹣1＝my，A ，B ．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由| |＜8, ，可得 8，m2＜1．由 t ，t≠0．利用向量坐标运算可得 ，把点H的坐标代入抛物线方程即可得出．
【详解】解：（Ⅰ)AB垂直于x轴时，｜AF｜＝|BF|＝p．
如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．
17。已知数列 满足： ．
（1）求数列 的通项公式;
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（1） ；（2)
【解析】
【分析】
（1)利用项和公式求数列 的通项公式.(2)利用错位相减法求数列 的前n项和 ．
【详解】（1)当 时， ，解得 ，
由 ,可得 ，上述两式相减可得 ，
所以 ， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列,所以 ．
10．828
【答案】
【解析】
试题分析：由列联表，可得： ，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填 ．
考点:独立性检验的应用．
【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善 列联表；第二步，根据公式 ，计算 的值；第三步，利用临界值表，比较 与临界值的大小关系,作出统计判断．
A. 向右平移 个单位长度
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三综合题(二)数学(理工类)试题(扫描版)
哈三中2020届高三综合练习题(二)（理工类）第1页共8页哈三中2020届高三综合练习题(二)数学试卷（理工类）本试卷共23题，共150分，共8页，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=9331x x B ，则B A =A ．)2,1(B ．)2,1(-C ．)3,1(D ．)3,1(-2．设n S 为公差为)0(≠d d 的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“0<d ”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ABC ∆中，m )sin ,(cos A A =，n )sin ,(cos B B -=，若21=⋅n m ，则角C 为A ．3πB ．32πC ．6πD ．65π4．已知⎰=e dx x a 11，则6)1(ax x -展开式中的常数项为A ．20B ．20-C ．15-D ．15哈三中2020届高三综合练习题(二)（理工类）第2页共8页5．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与1BC 所成角的余弦值为A ．21B ．41C ．D ．466．已知函数)cos(3)sin()(φωφω+-+=x x x f 2,0(πφω<>，其图象相邻的两条对称轴方程为0=x 与2π=x ，则A ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递增函数B ．)(x f 的最小正周期为π2，且在),0(π上为单调递减函数C ．)(x f 的最小正周期为π，且在)2,0(π上为单调递增函数D ．)(x f 的最小正周期为π，且在)2,0(π上为单调递减函数7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中,被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为31，41，61，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为A ．31B ．125C ．127D ．328．过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若=，36=⋅BC BA ，则抛物线的方程为A ．x y 62=B ．x y 32=C ．x y 122=D ．x y 322=9．在平行四边形ABCD 中，2,AE EB CF FB == ，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+ ，则实数λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．43哈三中2020届高三综合练习题(二)（理工类）第3页共8页10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为A ．%20，14580元B ．%10，14580元C ．%20，10800元D ．%10，10800元11．已知函数1)(2323++++=x n m mx x y 的两个极值点分别为21,x x ，且)1,0(1∈x ，),1(2+∞∈x ，记分别以n m ,为横、纵坐标的点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数)4(log +=x y a )1(>a 的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．]3,1(B ．)3,1(C ．),3(+∞D ．),3[+∞12．设点P 在曲线x e y =上，点Q 在曲线()011>-=x xy 上，则PQ 的最小值为A ．()122-e B ．()12-e C ．22D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合(一)数学(理)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（一）数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++- 对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限. 故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[)(]2,00,2-UD ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】集合{}|22M x x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆， 因此： 当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩； 综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．332π+C ．3π+D ．532π+【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯ 则该几何体的表面积为：332π+故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题.4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误； 对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误； 对于D ，正确. 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞(](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．3B ．3-C ．39D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ） A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题.10．若函数()()()2log 20,1af x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题.12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+， 从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+，所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点， 可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】7【解析】先计算a r 与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案.【详解】根据题意||||cos 603oa b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，|2|7a b ∴-=r r故答案为：27【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______. 【答案】12【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】 由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cxa b-=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+ 故答案为：12+ 【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若332ABC S ∆=，7c =a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=， 所以()22cos 10C -=， 所以1cos 2C =，3C π=. （2）133sin 22ABC S ab C ∆==6ab =.（1） 又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F⊥平面AEF；（2）求直线1B F与平面1AB E所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF⊥，再结合1AF B F⊥即得证；（2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解.【详解】（1）因为AF BC⊥，1AF BB⊥.所以AF⊥平面11BCC B，所以1AF B F⊥.11AB AC AA===，则2132B F=，234EF=，2194B E=，所以22211B EFF B E+=，所以1B F EF⊥，所以1B F⊥平面AEF；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()11,0,1B，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，111,,122B F⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r，平面1AB E的法向量为()2,1,2u=-r，设直线1B F与平面1AB E所成的角为α，则1116sin cos,6||||B F uB F uB F uα⋅===⋅u u u u r ru u u u r ru u u u r r.【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98Eξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解；（2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S=甲，231839.758S==乙，因为22S S<甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定；（3）3~3,8Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的分布列是：ξ0 1 2 3P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程； （2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，， 转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r ，利用韦达定理即得证. 【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：3333y x =-+，即23A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=；（2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证. 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题. 21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）构造函数()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证； （3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证； 【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立. 当1a >时，()m x 在()10,1a e--上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ， 又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+-⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+，111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解. 【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 1042+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题. 23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立 当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭（2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟数学(理)试题
1.设集合 A = {x | 2x ≥ 8}，集合 B = {x | y = lg ( x −1)} ，则 A ∪ B = （ ）
A. [1,3)
B. (1,3]
C. (1, +∞)
D. [3, +∞)
i 2.在复平面内，复数 1 − 2i 对应点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
A. 2
B. 3
C. 2
D. 2 2
11.已知数列{an} ，
an
=
n2
sin
nπ 2
，则数列{an} 的前
100
项和为（
）
A. 5000
B. −5000
C. 5050
D. −5050
12.已知 △ ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足：AB sin B + AC sin C = AQ ，且 AH = 1 AC ， 2
（2）若 P(−1, 0) ,求
1 AP
+
1 BP
的值.
23.已知函数 f (x) = x + a − x −1 和函数 g ( x) = −2x +1.
（1）当 a = 2 时，求关于 x 的不等式 f (x) ≥ −1的解集；
（2）若对任意 x1 ∈ R ，都存在 x2 ∈ R ，使得 f (x1) = g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围.
x = − p 的垂线，垂足为 M ，若垂足 M 恰好在线段 AF 的垂直平分线上，则直线 l 的斜率为_______ 2
15.新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．第一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
3． 下列函数中是偶函数，且在 ,0 上单调递增的是
2
A． f x x3
B． f x 2 x
C．
f
x log2
1 x 1
4．
数列
2 an
1
是等差数列，且
a1
1，
a3
1 3
，那么
a2020
D．第四象限
D． f x 1 x
x
A． 1009 1010
B． 1009 1010
C． 2019 2020
D． 2019 2020
5． 有一散点图如图所示，在 5 个 (x, y) 数据中去掉 D(3,10) 后，下列说法正确的是
A．残差平方和变小 B．相关系数 r 变小
y
• D(3,10)
• E(10,12)
C．相关指数 R2 变小
D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱
S ABC 的内切球半径为
， SO
．
OM
三、 解答题: 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
(一) 必考题：共 60 分．
17．
函数
f
x
Asin
x
图所示．
y
（1）求函数 f (x) 的解析式；
2
（2） 若 f (x) 2 6 ，且 x 3 ，求 cos 2x ．
3
2
4
O
5π
12
2
18． 如图，三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，
P
11π 12
x
PA 2 ， PA 底面 ABC ，点 E, F 分别为 AC ， PC 的中点．
a b?
否
是
输出 n
A． 2
B． 3
C． 2
D． 2 2
结束
11．已知数列an ，
an
n2
sin
n 2
，则数列an
的前
100
项和为
A． 5000
B． 5000
C． 5050
D． 5050
12．已知 ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足： AB sin B AC sin C AQ ，且
D． 32 或 5 或 4
8． 小李和小王相约本周六在 14：00 到 15：00 进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内 的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人 10 分钟，过时即离去．则两人能在会 议室相遇的概率为
A ． 25 36
B． 11 36
C． 4 9
D． 5 9
9． 某程序框图如图所示，若输入的 a 、 b 分别为 5、3，则输出的 n
6． 函数 f (x) xex 在 x 1处的切线方程是
A． 2ex y e 0
B． 2ex y 3e 0
•A•(B1,(32•),C4)(4,5)
O
x
C． 2ex y e 0 D． 2ex y 3e 0
7．“克拉茨猜想” 又称“ 3n 1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公
理科数学试卷 第 2 页 共 4 页
16． 在三棱锥 S ABC 中， AB 6, BC 8, AC 10 ，二面角 S AB C 、 S AC B 、 S BC A 的
大小均为 ，设三棱锥 S ABC 的外接球球心为 O ，直线 SO 交平面 ABC 于点 M ，则三棱锥 4
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
10．已知 F1、F2 分别是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右焦点， P 为
开始 输入a, b
n 1 a a a
2 b 2b
n n1
y 轴上一点， Q 为左支上一点，若 (OP OF2) PF2 0 ，且 PF2Q 周长 最小值为实轴长的 3 倍，则双曲线 C 的离心率为
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1． 设集合 A {x | 2x 8}，集合 B {x | y lg x 1} ，则 A B
A． 1, 3
B． 1,3
C． 1,
D．3,
2． 在复平面内，复数 i 对应点位于 1 2i
2020 年高三学年模拟考试
数学试卷（理工类）
本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
AH 1 AC ，则 BH 2
A． 4 7 7
B． 4 7
C． 4 3 3
D． 2 7
二、 填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 2 4 x2 dx 2
．
14．直线 l 过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，交抛物线 C 于点 A （点 A 在 x 轴上方），过点 A
作直线 x p 的垂线，垂足为 M ，若垂足 M 恰好在线段 AF 的垂直平分线上，则直线 l 的斜 2
率为
．
15．新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病 毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上 7：00 和晚上 7：00 各服药一次，每次服用该药 药量 700 毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 70%，该药在人体内 含量超过 1000 毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药 （填“会”或者“不会”）对人体产生副作用．
（1）求证：平面 BEF 平面 PAC ；
布的一个猜想：任给一个正整数 n ，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 为奇数就将它乘 3 加 1,
不断重复这样的运算，经过有限步后， 最终都能够得到 1，得到 1 即终止运算，己知正整数 m
经过 5 次运算后得到 1，则 m 的值为
A．32 或 5
B．16 或 2
理科数学试卷
C．16
第1页 共4 页