索洛增长模型

（一）模型的基本假定
❖ 资本的增长（投资）：
Kt sY t K t
s：储蓄率（外生）；
：折旧率（外生）。
索洛经济
❖ 经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A 是生产的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时 刻都处于充分就业的均衡状态，储蓄总是等于投资；
❖ 生产的规模报酬不变； ❖ 技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型
（一）模型的基本假定
❖ 进一步假设：
f k 0 f k 0
边际报酬递减
满足稻田(Inada)条件：
lim f k
k 0
lim f k 0
k
保证经济增长路径不发散
（一）模型的基本假定
f( k)
k
新古典生产函数——新古典增长理论
❖ 第一，每种投入的边际产品为正且递减。 ❖ 第二，规模报酬不变。 ❖ 第三，稻田条件：
❖ 其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为 外生参数，表示不变增长速度
有效劳动的增长
❖ 劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增 长，其增长率为：
d A(t)L(t) dt A(t)L(t) A(t)L(t) A(t) L(t) g n
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
A(t) L(t)
即（n+g+）k(t)。
（二）模型的动态学
每单位有效劳动 平均投资
n g kt
sf k
k*
k
（二）模型的动态学
❖ k的相图（三维空间在平面的投影）
•
k (t )
k
k*
k
稳态
定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k&(t)=0。
当sf(k(t))f (n+g+ )k(t)时，k&(t)f 0（资本存量增加） 当sf(k(t))p (n+g+ )k(t)时，k&(t)p 0（资本存量减少） 当sf(k(t))＝(n+g+ )k(t)时，k&(t)＝0
Y t F K t , At Lt K t ：资本存量； At ：知识水平； Lt ：劳动力
❖ 产量取决于三个变量：资本、劳动、知识； ❖ A和L以相乘形式影响Y
（一）模型的基本假定
❖ 规模报酬不变
FcK,cL cFK, L c 0
❖ 这意味着：
a 经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。
n g kt ：持平投资，使k保持现有水平所
必需的投资
经济解释
k&(t)=sf(k(t))-(n+g+ )k(t)
是索洛模型的基本微分方程， 它表明k&(t)是k的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t)) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k&(t)，二是“资本的广化”（持平投资），
Lt Lt
K t At Lt
At At
sY t K t At Lt
k t n
k t g
sf kt n g kt
（二）模型的动态学
❖ 索洛模型的核心公式：
kt sf kt n g kt
❖ 单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之 差：
sf k ：单位有效劳动的平均投资
❖ Y=F(K,AL)（哈罗德型，劳动增进型） ❖ Y=F(AK,L)（索洛型，资本增进型） ❖ Y=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型）
新古典经济增长模型的提出
❖ 由美国经济学家R·Solow(索洛)和T·Swan(斯旺)提 出,即Solow- Swan Model
❖ 模型认为:H-D模型所指出的经济增长途径是很难实 现的(即GA=Gw=Gn)
❖ 他们把H-D模型提出的经济增长途径称为“刃锋”。 ❖ Solow模型就是要通过改变资本-产量比来解决这一
“刃锋”，并且考虑技术进步对经济增长的作用。
索洛模型
（一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论
（一）模型的基本假定
1.关于生产函数的假定
（劳动密集型）； ❖ 生产函数的集约形式满足新古典假设； ❖ 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，
人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
❖ k的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
K t
At Lt
2
AtLt
wk.baidu.com
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
Lt nLt At gAt
则可得到：
Lt L0ent At A0e gt
指数增长
❖ 假设时间t是连续的（非离散的）
❖
（1）劳动力的增长：
•
L(t
)
/
L(t
)
[dL(t
)
/
dt]
/
L(t
)
n
❖ （2）知识的增长：
•
A(t) / A(t) [dA(t) / dt] / A(t) g
替代弹性：1
（一）模型的基本假定
❖ 满足索洛模型的CD函 数形式为：
Yt F (Kt , At Lt ) K ( AL)1 ;
y Y F ( K ,1) k ;0 1
AL AL f '(k) 0, f ''(k) 0
（一）模型的基本假定
2.关于投入品的假设 资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、 知识以不变速度（外生）增长：
索洛增长模型
高伟 中央财经大学经济学院
问题的引出
❖ 自1950年以来，美国的储蓄率(即储蓄占GDP的比 例)仅为18.7％左右，而德国为24.8％，日本为33.8 ％。这一事实能否解释美国同大多数OECD国家相 比增长率低的原因？储蓄率不断上升能否带来经济 的长期持续增长？
预备知识：技术进步的类型
（一）模型的基本假定
❖ 根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集 形式：
F K ,1 1 FK, AL
AL AL
y f k
y为单位有效劳动的平均产量；
k为单位有效劳动的平均资本量。
❖ 其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有
效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k)
（实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。
lim
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
因此，索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
（一）模型的基本假定
❖ 通常使用CD生产函数（索洛）：
Q AL K A0
0 1 0 1
：劳动的产出弹性； ：资本的产出弹性； ：决定规模报酬性质；