3-4工程数学随机变量的数字特征

λk
( k − 1)!
∞
e −λ e −λ
( k − 1)
∞
λk
( k − 1)!
e
−λ
+
∑ (k − 1)!
k =1
λk
= λ2e − λ ∑
λk − 2
( k − 2 )!
+ λe − λ e λ = λ2 + λ
k=2
DX = EX 2 − (EX ) 2 = λ2 + λ − λ2 = λ
第四节
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
1、定义
设 X 是随机变量，若 E ( X − EX ) 2 存在，称其 为随机变量 X 的方差，记作 DX，Var(X)，即： DX=Var(X)= E ( X − EX ) 2 。 DX 称为标准差。
DX = E ( X − EX ) =
2
DX =
∞
( xi − EX ) 2 ⋅ pi ， 离散型。 ∑
随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差
4.均匀分布
1 /(b − a ), a < x < b 。 f ( x) = 0, 其它
∞
EX =
−∞
∫
1 a+b xf ( x)dx = x dx = b−a 2
∫
a
b
1 a + b 2 (b − a) 2 ) = DX = EX 2 − ( EX ) 2 = ∫ x 2 dx − ( b−a 2 12 a
第四节
随机变量的数字特征
一、 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i = 1,2,L k ，
∑n
i =1
k
i
= N ， 求平均成绩。
解：
k ni 1 k 平均成绩为: ∑ ai ni = ∑ ai N i =1 N i =1 ni 若用 X 表示成绩，则 P{X = ai } ≈ N k k ni ai ⋅ ≈ a i ⋅ P{ X = a i } N i =1 i =1
3．泊松分布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
∞
k
λk
k!
e −λ = λe −λ
EX
2
= =
k =0 ∞
∑
k
∞
∑
k2
λkห้องสมุดไป่ตู้
k!
e −λ =
∑
k =1
k =0 ∞
∑
k =1
∞
k =1
k! λ k −1 = λe −λ e λ = λ ( k − 1)!
e − λ ，k=0,1,...
b
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第五节
1．正态分布
(x − µ )2 −
2σ 2
正态分布
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
f (x ) = 1 e 2π σ
(− ∞ < x < +∞ )
2
µ 则称随机变量 X 服从，参数为 ( ， σ )的
正态分布．记作
f (x)
2
(其中 − ∞ < µ < +∞，σ > 0 为参数 ) ，
同样长度的区间，当区间离µ 越远时，随机 变量 X 落在该区间中的概率就越小．
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正态分布密度函数的图形性质（续）
曲线 y = f ( x )以Ox轴为渐近线．
⑶．曲线 y = f ( x )在 x = µ ± σ 处有拐点；
⑷．若σ 固定，而改变 µ 的值，则f ( x )的
图形沿 x 轴平行移动，但不改变其形状． 因此 y = f ( x )图形的位置完全由参数µ 所 确定．
∑
∑
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第四节
随机变量的数字特征
§1 数学期望
1、数学期望定义 (1) 离散型
设离散型随机变量 X 的分布律为： P{ X = x k } = p k ， k = 1,2, L ， 若级数 ∑ x k p k 绝对收敛，
i =1 ∞
则称级数 ∑ x k p k 的和为随机变量 X 的数学期望。
i =1
∞
−∞
∫ ( x − EX )
2
f ( x ) dx ，
连续型。
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第四节
随机变量的数字特征
§2 方差
DX = EX − (EX ) 证明： 2 DX = E (X − EX )
2
注：方差描述了随机变量的取值与其 均值的偏离程度。 均值的偏离程度。 方差也可由下面公式求得：
2
= EX − (2 EX )× + (EX ) EX
µ X ~ N( ， σ )
0
µ
x
标准正态分布
若 µ = 0， σ = 1，我们称 N (0， 1)为标准正态分布．
标准正态分布的密度函 数为
1 ϕ (x ) = e 2π
x2 − 2
(− ∞ < x < +∞ )
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正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数 1 2 (− ∞ < x < +∞ ) f (x ) = e 2σ 2π σ 由高等数学中的知识，我们有： f (x) ⑴．曲线关于直线 x = µ 对称，
II)
EcX=cEX， c 是常数，
III)
E (a X + b Y )= a E X + b E Y
E(
∑ a X ) = ∑ a EX
i i i i =1 i =1
n
n
i
IV)
若x , y独立，则 EXY=EXEY
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第四节
随机变量的数字特征
§2 方差 二、 方差与标准差 在实 际 问题 中 常关 心 随机 变 量与 均 值 的 偏离程 度，可 用 E|X-EX|， 但不方 便；所以 通常用 E ( X − EX ) 2 来度量随机变量 X 与其均 值 EX 的偏离程度。
(x ∑ P g (x
k =1 k
∞
k
) 绝对收敛, 则
(x EY=∑ Pk g (xk )
k =1
∞
(2).若 X 的概率密度为 f (x) ，且 ∫ g(x) f (x)dx 绝对收敛，
∞
则 EY= ∫ g ( x) f ( x)dx 。
−∞
∞
−∞
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第四节
随机变量的数字特征
例2 设风速 V 在(0,a)上服从均匀分布，又设飞机机 翼受到的正压力 W 是 V 的函数：W = kV 2 ，(k>0)； 求 EW。
EX
2
k =1
∑
i=0
2
n −1
§3 几种期望与方差
i C n −1 p i q n −1− i
=
k ⋅C p q
2 k n k
n−k
n ! =p k pk −1qn−k (k − 1)! n − k)! ( k =1
∑
n
n
k =0
n! p kq n−k = ∑ k ⋅ k ! ( n − k )! k=0
µ
0
µ1
x
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正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明： ⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． ⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
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第四节
随机变量的数字特征
3、几种重要随机变量的数学期望及方差 1）两点分布
X 0 pk 1 − p 1 p
EX=p ， DX = EX 2 − ( EX ) 2 = p − p 2 = pq 。
2）二项分布 方法1： k k n−k P{ X = k } = C n p q , k = 0 ,1, L , n 。 n n n! k k n−k EX = ∑ k ⋅ C n p q = ∑k⋅ p kq n−k k ! ( n − k )! k =0 k =0
= E[a( X − EX ) + b(Y − EY )]2
= E [ a 2 ( X − EX ) 2 ] + E [ b 2 (Y − EY ) 2 ] + 2 E [ ab ( X − EX )( Y − EY )]
= a 2 DX + b 2 DY + 2abE ( X − EX ) (Y − EY )
( x − µ )2 −
这表明：对于任意的 h > 0，有 P{µ − h < X ≤ µ } = P{µ < X ≤ µ + h }
0 µ −h µ µ+h
x
正态分布密度函数的图形性质（续）
⑵．当 x = µ 时，f ( x )取到最大值 1 f (µ ) = 2π σ
x离µ 越远，f ( x )的值就越小．这表明，对于