江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)

２01４年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式:

圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中ｃ是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：V 圆柱=Ｓh ,其中S 是圆柱的底面积,ｈ为高.

一、填空题:本大题共14小题，每小题５分，共计７0分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，,{123}B =-，，,则A B = ．

【答案】{13}-，

2．已知复数2(52)z i =+(ｉ为虚数单位），则z 的实部为 ． 【答案】２1

3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 . 【答案】5

4．从1236，，，这４个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13

5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3

π

的交点,则ϕ的值是 ． 【答案】

6

π 6．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中6０株树木的底部周长（单位：c ｍ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于1００ c ｍ． 【答案】2４

7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若21a =,8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】４

8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，

则12

V

V 的值是 . 【答案】32

９．在平面直角坐标系x Ｏy 中,直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255

１0.已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，,都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭

11.在平面直角坐标系x Ｏy 中,若曲线2b y ax x =+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切

线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 . 【答案】3-

12.如图,在平行四边形ABCD 中,已知,85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，

,则AB AD ⋅的 值是 . 【答案】２2

13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[03)x ∈，时,21

()22

f x x x =-+.若函数()y f x a =-在

区间[34]-，上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()

102

，

14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C +=,则cos C 的最小值是 ．

62

- 二、解答题：本大题共6小题， 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分1４ 分）已知()

2

απ∈π，

,5sin α= (1）求()

sin 4

απ+的值；

（2)求()

cos 26

α5π-的值.

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能 力. 满分1４分． （1)∵()5sin 2ααπ∈π=，，,

∴225

cos 1sin αα=-

(

)

210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=++=；

(2)∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55

αααααα==-=-=，

∴()()

3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=１６.(本小题满分14 分)如图,在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．

(1）求证:直线P A ∥平面D ＥF ; （2）平面B ＤE ⊥平面ABC ．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分１4分. (１）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A

∵PA ⊄平面DE Ｆ,ＤE ⊂平面D ＥF ∴P Ａ∥平面DE Ｆ (2)∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==

∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142

EF BC ==

∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴ＤＥ⊥E Ｆ ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC

EF E = ∴ＤE ⊥平面ABC

∵DE ⊂平面ＢＤE ， ∴平面ＢDE ⊥平面AB Ｃ.

17．(本小题满分１４ 分)如图，在平面直角坐标系ｘOy 中,12F F ，分别是椭圆2

222

1(0)

y x a b a b +=>>的

左、右焦点,顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点Ａ，过点Ａ作ｘ轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结1F C ．

(1)若点Ｃ的坐标为()

41

33

，,且22BF =;

（２）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力． 满分14分．

(1）∵()

41

33C ，,∴22161

999a b

+=

∵22222BF b c a =+=,∴22(2)2a ==，∴21b =

∴椭圆方程为2

212

x y += (２)设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，

∵A C ，关于ｘ轴对称,∴()A x y -，

∵2B F A ，，三点共线,∴b y b c x +=

--，即0bx cy bc --=① ∵1

FC AB ⊥，∴1y

b x

c c ⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222

2

22ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩

∴()

2222222a c bc C b c b c --， ∵Ｃ在椭圆上,∴

()(

)2

2

2222

22

2

2

21a c

bc b c b c a b --+

=，

化简得225c a =，∴

5c a = 5

18.(本小题满分１6分)如图，为保护河上古桥ＯA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O Ａ上并与B Ｃ相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量,点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170ｍ处(OC 为河岸)，4tan 3

BCO ∠=． (１）求新桥BC 的长;

(2)当ＯM 多长时，圆形保护区的面积最大?

解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等

基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分１６分. 解法一：

(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴,建立平面直角

坐标系x Ｏy ．

由条件知A (0, 6０),C (１７０， 0）,