黑龙江省哈三中2021学年高二数学下学期期末考试试题 理
黑龙江省哈尔滨市第三中学高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨市第三中学高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|40B x x x m =-+=，若1B ∈，则B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1,0C ．{}1,3-D ．{}1,5 【答案】A【解析】先根据1B ∈，解得m ，再化简集合B .【详解】因为集合{}2|40B x x x m =-+=，1B ∈，所以140m -+=，解得3m =， 所以{}{}2|430=13B x x x =-+=，. 故选：A【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．已知函数()ln 1x f x +=，则函数()f x 的定义域为（ ） A ．()4,1-B ．()1,1-C ．()1,2-D ．()1,2 【答案】B【解析】根据对数的真数大于零，负数不能开偶次方根，分母不能为零求解.【详解】因为函数()ln 1x f x +=所以210340x x x +>⎧⎨--+>⎩， 所以141x x >-⎧⎨-<<⎩， 解得11x -<<，所以()f x 的定义域为()1,1-.故选：B【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．求函数21y x x =--的值域（ ） A ．[0，+∞）B ．[178，+∞）C ．[54，+∞）D ．[158，+∞） 【答案】D【解析】设1x -=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t +2，由此再利用配方法能求出函数y ＝2x 1x --的值域．【详解】解：设1x -=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，∴y ＝2t 2﹣t +2＝2（t 14-）2151588+≥， 故选：D ．【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用．4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】采用逐层求解的方式即可得到结果.【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =， 又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．5．命题“21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．9a ≥B ．8a ≤C ．6a ≥D ．7a ≤ 【答案】A【解析】根据21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立，求得7a ≥，再根据集合法，选其子集即可.【详解】 因为21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦，成立， 所以21,3,24x a x ⎡⎤∀∈≥-⎢⎥⎣⎦，成立， 所以7a ≥， 命题“21,3,204x x a ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦”为真命题的一个充分不必要条件是9a ≥. 故选：A【点睛】本题主要考查不等式恒成立及逻辑关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．y 2x =B ．3y x =C ．21y x =-+ D ．cos y x =【答案】C【解析】试题分析：偶函数需要满足()()f x f x -=，由此验证可知A ，C ，D 都是偶函数，但要满足在区间(0,)+∞上单调递减，验证可知只有C 符合．【考点】函数的单调性和奇偶性．【易错点晴】B,C,D 都是基本初等函数，单调性和奇偶性很容易区分清楚，而对于A 选项，若2x y =则为单调递增函数且为非奇非偶函数；若2xy =则为偶函数，且在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.对于含有绝对值的函数，按去绝对值的方法分成两段来解决.7．若正数,a b 满足12a b +=ab 取最小值时，b 的值为 （ ） A ．B C ．D 【答案】A【解析】根据正数,a b 满足12a b +=，12a b =+≥再研究等号成立的条件即可.【详解】因为正数,a b 满足12a b +=12a b =+≥ 所以ab ≥，当且仅当12a b =，12a b+=a b ==时取等号. 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式取等号的条件，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是 （ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1或-2【答案】C 【解析】根据条件结构，分0x ≥，0x <两类情况讨论求解.【详解】当0x ≥时，因为输出的是1，所以2log 1x =，解得2x =.当0x <时，因为输出的是1， 所以21x -+=，解得1x =-.综上：2x =或1x =-.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的条件结构，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.9．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（ ）A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125 【答案】C【解析】根据5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解.【详解】因为5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，观察可知415k +的末四位数字3125，425k +的末四位数字5625，435k +的末四位数字8125，445k +的末四位数字0625，又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625.故选：C【点睛】本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.10．下列四个命题中，真命题的个数是（ ）①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”；③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”； ④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()a f x x =的图象判断.④由()222222a b a b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性.【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确.②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a b a b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11．若函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()8,-+∞B ．[)6-+∞,C ．(],6-∞-D ．[]8,6-- 【答案】D【解析】根据复合函数的单调性，同增异减，则235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，再根据定义域则2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立求解.【详解】因为函数()()212log 35f x x ax =-+ 在区间()1,-+∞上是减函数， 所以235t x ax =-+，在区间()1,-+∞上是增函数，且2350t x ax =-+>在区间()1,-+∞上恒成立. 所以16a ≤-且350a ++≥， 解得86a -≤≤-.故选：D【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.12．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ）A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B【解析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈， 令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可. 【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根，所以02m <<，令2122x x m -+=， 得122x x m =，令()ln 3x m -=，所以33m x e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈， 令()()32,0,2mg m e m m =+-∈， 所以()2mg m e '=-， 令()20mg m e '=-=，得ln 2m =， 当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>，所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-.又()()204,21g g e ==-， 所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --.故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.二、填空题13．已知i 为虚数单位，则复数112i z i +=-的虚部为__________． 【答案】35【解析】先化简复数()()()()11211312121255i i i z i i i i +++===-+--+，再利用复数的概念求解. 【详解】 因为复数()()()()11211312121255i i i z i i i i +++===-+--+， 所以复数112i z i +=-的虚部为35. 故答案为：35【点睛】 本题主要考查复数的概念及运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.14．定义域为R 的奇函数()f x 满足：对x R ∀∈，都有()()4f x f x =-，且()0,2x ∈时，()1f x x =+，则()2019f =__________．【答案】2【解析】根据()f x 是奇函数，有()()f x f x -=-，再结合()()4f x f x =-，推出()()8f x f x +=，得到()f x 的最小正周期为8，再求解.【详解】因为定义域为R 的()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又因为()()4f x f x =-，所以()()4f x f x -=--，所以()()4f x f x +=-，即()()8f x f x +=，所以()f x 的最小正周期为8，又因为()0,2x ∈时，()1f x x =+，所以()()()()()20198252334112f f f f f =⨯+==-==.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．已知函数()1f x x =+，()21,02,0x x g x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则当1x ≥-时，()()g f x =__________；当1x <-时，()()g f x =________________.【答案】2-. 222x x ++.【解析】根据分段函数的特点，分1x ≥-，1x <-，两种情况讨论求解.【详解】当1x ≥-时，()10f x x =+≥，所以()()()12g f x g x =+=-.当1x <-时，()10f x x =+<，所以()()()221122g f x x x x =++=++. 故答案为：2-，222x x ++【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.16．设定义域为R 的偶函数()f x 满足()()13f x f x -=+，当02x ≤≤时，()21,012,12x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=恰有两个根，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃-【解析】根据()f x 满足()()13f x f x -=+，得到()f x 的周期是4，再根据方程()0f x ax -=恰有两个根，转化为(),y f x y ax ==两个函数图象交点问题求解.【详解】因为()f x 满足()()13f x f x -=+， 所以()()4f x f x +=， 所以函数()f x 的周期是4，又因为()f x 是偶函数，且当02x ≤≤时，()21,012,12x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩，作出()f x 的图象，如图所示：已知()()()()3,1,1,1,1,1,3,1A B C D --， 所以11,1,1,33OA OB OC OD k k k k ===-=-， 当01x ≤≤时，()ln 22xf x '=⋅，()0ln 2f '=，当10x -≤≤时，()ln 22xf x -'=-⋅，()0ln 2f '=-，因为关于x 的方程()0f x ax -=恰有两个根，所以实数a 的取值范围为{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃-. 故答案为：{}11[ln 2,)(,ln 2]1,133--⋃⋃- 【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合{}{}222|340,|240A x x x B x x mx m =--≤=-+-≤.（1）若[]1,4A B ⋂=，求实数m 的值； （2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3m =（2）6m >或3m <-【解析】（1）先化简集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，根据[]1,4A B ⋂=求解.（2）由（1）得到{|2R C B x x m =<-或}2x m >+，再利用子集的定义由R A C B ⊆求解. 【详解】（1）因为集合{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}22|240|22B x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+，又因为[]1,4A B ⋂=， 所以21m -=， 所以3m =.（2）{|2R C B x x m =<-或}2x m >+， 因为R A C B ⊆，所以42m <-或21m +<-， 解得6m >或3m <-. 【点睛】本题主要考查集合的基本关系及其运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．设函数()()24143xf x mx m x m e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，求实数m 的值； （2）若函数()f x 在2x =处取得极小值，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m =（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】（1）由()()24143xf x mx m x m e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦，求导()()2212xf x mx m x e '⎡⎤=-++⋅⎣⎦，再根据曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，由()()112120f m m e '=-++⋅=⎡⎤⎣⎦求解.（2）由()()()()221212xxf x mx m x e mx x e '⎡⎤=-++⋅=--⋅⎣⎦，分0m < ，102m ≤<， 12m =，12m >，四种情况讨论函数的极值.【详解】（1）因为()()24143xf x mx m x m e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦.所以()()2212xf x mx m x e '⎡⎤=-++⋅⎣⎦所以()()11212f m m e '=-++⋅⎡⎤⎣⎦又因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直 所以()()112120f m m e '=-++⋅=⎡⎤⎣⎦解得1m =（2）()()()()221212xxf x mx m x e mx x e '⎡⎤=-++⋅=--⋅⎣⎦当0m <时，12x m<<时，()0f x '>，2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2x =处取得极大值. 当102m ≤<时，2x <时，()0f x '>，2x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2x =处取得极大值.当12m =时， ()()21202xf x x e '=-⋅>， ()f x 递增，无极值. 当12m >时，12x m <<时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在2x =处取得极小值. 综上：实数m 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的极值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =；1b =（2）13k <-【解析】（1）先由()00f =求出1b =，然后由()()11f f =--求出2a =（2）由12111()22221x x xf x +-+==-+++得()f x 在R 上为减函数，然后将不等式()()22220f t t f t k -+-<化为2320t t k -->即可.【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数， 所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2x x f x a+-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =.经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意（2）由（1）知12111()22221x x xf x +-+==-+++， 由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-. 【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型. 20．设函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为t ，若,,a b c 为正实数，且a b c t ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（1）5(,1][,)3-∞-⋃+∞（2）43【解析】（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩求解.（2）由（1）函数()f x 的最小值为2，得到2a b c t ++==，再由柯西不等式求222a b c ++的最小值.【详解】（1）原不等式等价于：1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得1x ≤-或53x ≥， 所以不等式()4f x ≥的解集是5(,1][,)3-∞-⋃+∞. （2）由（1）函数()f x 的最小值为2， 所以2t =，所以2a b c t ++==， 所以()()222234a b ca b c ++⨯≥++=，所以22243a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时，取等号. 所以222a b c ++的最小值是 43.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式求最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox ，极坐标系中357,,,4444A B C D ππππ⎫⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎭，弧»»»»,,,AB BC CD DA 所在圆的圆心分别为()()31,,1,,1,,1,022πππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线1C 是弧»AB ，曲线2C 是弧»BC，曲线3C 是弧»CD ，曲线4C 是弧»DA .（1）分别写出1234,,,C C C C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为22x ty tλ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），点P 的直角坐标为()2,2，若直线l 与曲线1C 有两个不同交点,M N ，求实数λ的取值范围，并求出PM PN +的取值范围.【答案】（1）132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭；42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤）（2）1(0,]3λ∈，710(4,5【解析】（1）设弧»AB 上任意一点()1,M ρθ根据ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1，求得132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，同理求得其他弧所对应的极坐标方程.（2）把直线l 的参数方程和1C 的极坐标方程都化为直角坐标方程，利用数形结合求解，把直线l 的参数方程化为直线l 的标准参数方程，1C 直角坐标方程联立，再利用参数的几何意义求解. 【详解】（1）如图所示：设弧»AB 上任意一点()1,M ρθ因为ABCD 是边长为2的正方形，AB 所在的圆与原点相切，其半径为1， 所以132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所以1C 的极坐标方程为132sin ,44ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；同理可得：2C 的极坐标方程为2352cos ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 3C 的极坐标方程为3572sin ,44ππρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭； 4C 的极坐标方程为42cos ρθ=，04πθ≤≤（或724πθπ≤≤） （2）因为直线l 的参数方程为22x ty t λ=+⎧⎨=+⎩所以消去t 得()22y x λ=+-，过定点P ()2,2，1C 直角坐标方程为()2211x y +-=如图所示：13PQ k =因为直线l 与曲线1C 有两个不同交点,M N ， 所以103λ<≤因为直线l 的标准参数方程为222121x y λλ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪+⎩，代入1C 直角坐标方程()2211x y +-=得22401t λ++=+1212241t t t t λ+=⋅=+()221212212421t t P t t M PN t t λλ⎛⎫+++- ⎪+⎝=+==⎭+= ()()22222244541121122255λλλλλ++⎛⎫-+-+⎪+++⎝⎭===令131[,)272λμ+=∈ 所以21211015[,)255494m λ⎛⎫=-+∈ ⎪+⎝⎭所以710(4,5PM PN +∈ 所以PM PN +的取值范围是710【点睛】本题主要考查极坐标方程的求法和直线与曲线的交点以及直线参数的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于难题. 22．（1）当 0x >时，求证：12ln x x x-≥； （2）当0x >时，212ln x a x x+-≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(],1-∞ 【解析】（1）根据不等式12ln x x x-≥的特征，分 1x =， 1x >，01x <<，构造1()2n f x x l x x=--，研究其单调性即可.（2）将当0x >时，212ln x a x x +-≥恒成立，转化为0x >时，22ln a x ≥恒成立，当1x =时，显然成立，当0x >且1x ≠时，转化为，2a ≤⎝⎭，利用（1）的结论求解. 【详解】（1）当 1x =时，原不等式左边与右边相等， 当 1x >时，原不等式12ln x x x -≥，等价于12n x l x x-≥， 令1()2n f x x l x x=--， 所以()2222211221()10x xx f x x xxx--+'=+-==>，所以()f x 在()1,+∞上递增，()()10f x f >=， 所以12n x l x x->， 当 01x <<时，原不等式12ln x x x -≥，等价于12n x l x x-≤， 令1()2n f x x l x x=--，所以()2222211221()10x x x f x x x x x--+'=+-==>， 所以()f x 在()0,1上递增，()()10f x f <=， 所以12n 0x l x x-<<， 综上：当 0x >时，12ln x x x-≥； （2）因为当0x >时，212ln x a x x+-≥恒成立， 所以当0x >时，22ln a x ≥恒成立，当1x =时，显然成立，当0x >且1x ≠时，2a ≤⎝⎭恒成立， 由（1）知当0x >且1x ≠时，12ln x x x ->，所以21>⎝⎭，所以1a ≤.实数a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
黑龙江省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
黑龙江省高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。
）1.复数12ii -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）． A. 15 B. 15i C. 15i -D. 15-【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。
【详解】()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+，因此，该复数的虚部为15，故选：A 。
【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。
2.已知X ～1(5,)4B ，则(21)E X += ( )．A.54B.72C. 3D.52【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望，计算出()E X ，再利用期望的性质求出()21E X +的值。
【详解】1~5,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()15544E X ∴=⨯=，因此，()()5721212142E X E X +=+=⨯+=，故选：B 。
【点睛】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值为（ ）. A. 17 B. 12C. 32D. 24【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值。
【详解】()3128f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令()2f x '=±，列表如下：所以，函数()y f x =的极大值为()224f -=，极小值为()28f =-，又()317f -=，()31f =-，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为24， 故选：D 。
黑龙江省最新2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
齐齐哈尔市2021学年度高二下学期期末考试数学试卷(理科)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}ln(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A. (1,2)B. [1,1)-C. (1,2]D. (1,1)-【答案】B 【解析】 【分析】分别计算集合A 和B ，再计算AB .【详解】{}{}22012A x x x x x =--≤=-≤≤{}{}ln(1)1B x y x x x ==-=<[1,1)AB =-故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.2.若复数z 满足，24iz i =+（i 为虚数单位）则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A. (2,4) B. (2,4)-C. (4,2)-D. (4,2)【答案】C 【解析】 【分析】 化简复数2442iz i i+==-得到答案. 【详解】242442iiz i z i i+=+⇒==- 在复平面内z 对应的点的坐标是(4,2)- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<=A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.2【答案】D 【解析】 略4.《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ） (注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误 根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.5.函数31()(13)xxf xx+=-的图象的大致形状为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】取特殊值排除得到答案.【详解】31()(1)20(13)xxf x fx+=⇒=-<-，排除ACD故答案选B【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.6.如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ） A. 4 B. 4.5C. 3D. 3.5【答案】A 【解析】 由题意可得11(3+4+5+6)=4.5,(2.53 4.5)0.25 2.544x y m m ==+++=+，故样本中心为(4.5,0.25 2.5)m +。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二(下)期末数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=2+i1−i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A. 12B. 32C. 32i D. −32i2.命题“若ab>0，则ba +ab≥2”的逆命题、否命题、逆否命题的真假分别为()A. 假，假，假B. 假，假，真C. 真，真，真D. 真，假，真3.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在√2+√2+√2+⋅⋅⋅中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程√2+x=x确定出来x=2，类似的不难得到1+11+11+1⋅⋅⋅=()A. −√5−12B. √5−12C. √5+12D. −√5+124.曲线f(x)=ax−xlnx在点(1,f(1))处的切线与直线x+y=0垂直，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 25.执行如图所示的程序框图，若输出y=4，则输入的x为()A. −√6B. 4C. 2−√2D. 2+√26.设x∈R，则1+x3−x≥0是|x−1|≤2的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.命题“∀n≥3，n∈N∗，x n+y n=z n无正整数解．”的否定是()A. ∀n≥3，n∈N∗，x n+y n=z n有正救数解B. ∀n≥3，n∉N∗，x n+y n=z n有正整数解C. ∃n0≥3，n0∉N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解D. ∃n0≥3，n0∈N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解8.“更相减损术”是一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，将该方法用算法流程图表示如图，若输入a=63，b=35，i=0，则输出的结果为()A. a=7，i−4B. a=7，i=6C. a=7，i=5D. a=7，i=79.已知命题p：∀x>0，lnx≤x−1；命题q：若x>y，则|x+1|>y.下列命题为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢p∧￢q10.已知函数y=f(x)是R上的可导函数，f′(x)+f(x)>1且f(100)=2021，则不等式f(x)−1>2020e100−x的解集为()A. (−∞,100)B. (100,+∞)C. (−∞,2020)D. (2020,+∞)11.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρ=4cosθ，过极点的直线与曲线C1，C2分别交于异于极点的A，B两点，则|AB|的最大值为()A. √5B. 4C. 2√5D. 512.已知函数f(x)=x+1+lnx，g(x)=x(e2x+a)，若存在x>0，使f(x)>g(x)成立，则实数a的取值范围为()A. (−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−∞,−e)D. (−∞,e)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）x+sinx)dx的值等于______．13.∫(π14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)=______．15. 设a ，b ，c ∈R ，若a +2b +c =3，则(a +1)2+(2b +3)2+(c −1)2的最小值为______．16. 四面体ABCD 中，AB =CD =√5，AD =BC =√13，AC =BD =√10，则直线AB和平面BCD 所成角的正弦值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 哈三中高二数学备课组对学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如表所示：(Ⅰ)请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力． (参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2−∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．18. 已知函数f(x)=|x +m|+|x −5|．(Ⅰ)当m =1时，求不等式f(x)≤8的解集； (Ⅱ)若f(x)>2m +3恒成立，求实数m 的取值范围．19.已知函数f(x)=xlnx−a(x−1)．(Ⅰ)当a=2时，求函数y=f(x)的极值；(Ⅱ)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．20.在直角坐标系中，曲线C方程为x29+y24=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+a=0．(Ⅰ)当a=10时，在曲线C上求一点M，使点M到直线l的距离最大，并求出最大距离；(Ⅱ)当a=1时，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，定点P(3,−2)，求|PQ||PA|⋅|PB|的值．21.如图，四棱锥P−ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=√5，侧面PAD⊥平面ABCD，且三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°．(Ⅰ)求证：PD⊥平面PAB；(Ⅱ)设Q为线段PA上一点，若BQ//平面PCD，求二面角P−CD−Q的余弦值．22.已知函数f(x)=e x+ln(x+1)−asinx，其中a>0．(Ⅰ)求证：e x≥x+1；(Ⅱ)若函数y=f(x)为定义域上的增函数，求a的取值范围；(Ⅲ)若函数g(x)=f(x)−ln(x+1)在(0,π)上有两个零点x1，x2，求参数a的取值范围，并证明：x1+x2<π．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z=2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i，则z的虚部是32．故选：B．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由基本不等式可知，命题“若ab>0，则ba +ab≥2”为真命题，则逆否命题为真命题，逆命题为“若ba +ab≥2，则ab>0”，因为ba +ab=b2+a2ab≥2，则ab>0，故逆命题为真命题，所以否命题为真命题，则命题“若ab>0，则ba +ab≥2”的逆命题、否命题、逆否命题的真假分别为真、真、真．故选：C．利用基本不等式判断原命题的为真，再判断逆命题的真假，然后由互为逆否命题同真假的结论，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，四种命题的关系，基本不等式的应用，解题的关键是掌握互为逆否命题同真假的结论，考查了逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：可以令1+11+11+⋯=t(t>0)，由1+1t=t解的其值为√5+12，故选：C．由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解(舍去负根)，可得要求的式子本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题4.【答案】D【解析】解：f(x)=ax −xlnx 的导数为f′(x)=a −1−lnx ， 可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为a −1， 由切线与直线x +y =0垂直，可得a −1=1， 解得a =2， 故选：D ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a 的方程，解方程可得所求值．本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：框图显示的算法函数为y ={−(x +2)2−2,x <−2,x,−2≤x ≤2,(x −2)2+2,x ≥2,，∵y =4，又∵当x ≥2时，f(x)=(x −2)2+2，∴(x −2)2+2=4，解得x =2+√2 或x =2−√2(舍去)， 故x =2+√2． 故选：D ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵1+x 3−x ≥0，∴{(x +1)(x −3)≤0x −3≠0，∴−1≤x <3，∵|x −1|≤2，∴−2≤x −1≤2，∴−1≤x ≤3，∵{x|−1≤x<3}⊊{x|−1≤x≤3}，≥0是|x−1|≤2的充分不必要条件，∴则1+x3−x故选：A．先解出分式不等式和绝对值不等式的解集，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题考查了分式不等式和绝对值不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n0≥3，n0∈N∗，x n0+y n0=z n0有正整数解，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．8.【答案】B【解析】解：由程序框图可得，输入a=63，b=35，i=0，第1次循环，i=1，a=28，b=35，第2次循环，i=2，a=28，b=7，第3次循环，i=3，a=21，b=7，第4次循环，i=4，a=14，b=7，第5次循环，i=5，a=7，b=7，第6次循环，i=6，a=1，b=7，循环结束，输出a=7，i=6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a，i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】A【解析】解：令f(x)=lnx−x+1(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，令f′(x)=0，则x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=0，则f(x)≤0，故lnx≤x−1恒成立，所以命题p为真命题，命题q：若x>y，则|x+1|>y，当y≤0时，若x>y，则|x+1|>y成立，当y>0时，因为x>y>0，则x+1>y>0，故|x+1|>y成立，所以命题q为真命题，则p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢p∧￢q为假命题．故选：A．构造函数f(x)=lnx−x+1(x>0)，利用导数证明f(x)≤0，则lnx≤x−1恒成立，从而判断命题p为真命题，再利用不等式的基本性质判断命题q为真命题，然后由复合命题真假的判定法则进行分析，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，不等式恒成立问题的证明，利用导数研究函数的性质的应用，复合命题真假判定法则的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：令g(x)=f(x)e x−e x=[f(x)−1]e x，∵f′(x)+f(x)>1∴g′(x)=[f′(x)+f(x)−1]e x>0，∴g(x)为增函数，又f(100)=2021，∴f(x)−1>2020e100−x⇔[f(x)−1]e x>[f(100)−1]e100，即g(x)>g(100)∴x>100，故选：B．可构造函数g(x)=[f(x)−1]e x，依题意知g(x)为增函数，又f(100)=2021，故f(x)−1>2020e100−x⇔[f(x)−1]e x>[f(100)−1]e100，即g(x)>g(100)，从而可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：利用|AB|=ρ1−ρ2|=2sinθ−4cosθ|=2√5|sin(θ−α)|，当θ−α=π2时，|AB|的最大值为2√5．故选：C．直接利用极径的关系式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点极径的应用和三角函数的关系式的变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：存在x>0，使f(x)>g(x)成立，即x+1+lnx>x(e2x+a)，由于x>0，所以可得1+1 x +lnxx>e2x+a当x>0时，设m(x)=1+1x +lnxx，n(x)=e2x+a，由m′(x)=−lnxx2，可知m(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，由n′(x)=2e2x，可知n(x)在(0,+∞)上递增，若存在x>0时，m(x)>n(x)，则临界状态是m(x)图象与n(x)相切，且m(x)图象位于n(x)上方，如图设此时函数m(x)与n(x)的切点横坐标为t，则有1+1t +lntt=e2t+a，①−lnt t2=2e2t，②由②可得，e2t=1t，即lnt=−2t由①得，a=1+1 t +lntt−e2t=1+1t+−2tt−1t=−1所以要满足x>0时，m(x)>n(x)，只需a<−1即可．故选：A．由于f(x)>g(x)成立，即x+1+lnx>x(e2x+a)，变形得1+1 x +lnxx>e2x+a，然后利用不等号两侧函数的图象求得a的范围．本题考查导数与函数最值，解题时先进行一定的化简，然后利用函数图象解题，属于难题．13.【答案】π22+2【解析】解：∫(20x+sinx)dx=(12x2−cosx)|0π=(π22+1)−(−1)=π22+2．故答案为：π22+2．找出被积函数的原函数，利用牛顿莱布尼兹公式可得出答案．本题考查定积分的计算，解决这类问题的关键在于找出被积函数的原函数，属于基础题．14.【答案】0.3【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，μ=2，得对称轴是x=2．P(ξ<4)=0.8∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，∴P(0<ξ<4)=0.6∴P(0<ξ<2)=0.3．故答案为：0.3．根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，P(0<ξ<4)，得到结果．根据正态曲线的特点，得到P(0<ξ<2)=12本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．15.【答案】12【解析】解：根据题意，若a+2b+c=3，则(a+1)+(2b+3)+(c−1)=6，则有[(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2](1+1+1)≥[1×(a+1)+1×(2b+3)+1×(c−1)]2，变形可得(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2≥12，即(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2的最小值为12；故答案为：12．根据题意，将a+2b+c=3变形可得(a+1)+(2b+3)+(c−1)=6，由柯西不等式可得[(a+1)2+(2b+3)2+(c−1)2](1+1+1)≥[1×(a+1)+1×(2b+3)+1×(c−1)]2，据此变形可得答案．本题考查柯西不等式的性质以及应用，注意柯西不等式的形式，属于基础题．16.【答案】12√535【解析】解：设四面体ABCD 所在的长方体如图所示，设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，因为AB =CD =√5，AD =BC =√13，AC =BD =√10，所以{a 2+b 2=10b 2+c 2=13a 2+c 2=5，解得{a =1b =3c =2，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0，2)，B(3,0，0)，D(0,1，0)，A(3,1，2)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,0)， 设平面BCD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +2z =0−3x +y =0，令x =2，则y =6，z =3， 故n⃗ =(2,6,3)， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−2)，所以|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12√4+36+9×√1+4=12√535， 则直线AB 和平面BCD 所成角的正弦值为12√535． 故答案为：12√535． 将四面体ABCD 放入长方体中，求出长方体的棱长，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCD 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，x −=4+6+8+104=7，y −=2+3+5+64=4，∑x i 4i=1y i =8+18+40+60=126，∑x i 24i=1=16+36+64+100=216，故b ̂=126−4×7×4216−4×72=1420=0.7，则a ̂=y −−b ̂x −=4−0.7×7=−0.9，所以线性回归方程为y ̂=0.7x −0.9； (Ⅱ)当x =9时，y ̂=0.7×9−0.9=5.4， 故预测记忆力为9的学生的判断力为5.4．【解析】(Ⅰ)先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程； (Ⅱ)将x =9代入回归方程求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)当m =1时，不等式f(x)≤8即为|x +1|+|x −5|≤8，等价为{x ≤−1−x −1+5−x ≤8或{−1<x <5x +1+5−x ≤8或{x ≥5x +1+x −5≤8，解得−2≤x ≤−1或−1<x <5或5≤x ≤6， 所以原不等式的解集为[−2,6]；(Ⅱ)f(x)>2m +3恒成立，即为2m +3<f(x)min ， 由f(x)=|x +m|+|x −5|≥|−x −m +x −5|=|m +5|， 当(x +m)(x −5)≤0时取得等号． 所以2m +3<|m +5|，可得m +5>2m +3或m +5<−2m −3， 即为m <2或m <−83， 所以m 的取值范围是(−∞,2)．【解析】(Ⅰ)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)f(x)>2m +3恒成立，即为2m +3<f(x)min ，由绝对值不等式的性质可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值的性质，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=xlnx −2(x −1)，f′(x)=lnx +x ⋅1x −2=lnx −1，当x>e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当0<x<e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)极小值=f(e)=elne−2(e−1)=2−e，无极大值；(Ⅱ)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，xlnx−a(x−1)≥0恒成立，令g(x)=xlnx−a(x−1)，x≥1g′(x)=lnx+x⋅1x−a=lnx+1−a，所以g′(x)在(1,+∞)上单调递增，①当1−a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=1×ln1−a(1−1)≥0，符合题意，②当1−a<0，即a>1时，令g′(x)=lnx+1−a=0，得x=e a−1，此时a>1，则e a−1>e0=1，所以在(1,e a−1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(e a−1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，由于g(1)=1×ln1−a(1−1)=0，所以在(1,e a−1)上，g(x)<g(1)=0，所以不符合x≥1时，f(x)≥0恒成立，所以a≤1，综上所述，a的取值范围为(−∞,1]．【解析】(Ⅰ)当a=2时，f(x)=xlnx−2(x−1)，求导分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，即可得出答案．(Ⅱ)根据题意问题可转化为若x≥1时，xlnx−a(x−1)≥0恒成立，令g(x)=xlnx−a(x−1)，x≥1，分两种情况：①当1−a≥0，②当1−a<0，讨论g(x)min≥0时，a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)曲线C方程为x29+y24=1，转换为参数方程为{x=3cosθy=2sinθ(θ为参数)，当a=10时，直线l的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+a=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x +2y +10=0．设M(3cosθ,2sinθ)，利用点到直线的距离公式d =|3cosθ+4sinθ+10|√12+22=|5cos(θ−α)+10|√5(cosα=35,sinα=45)，当θ=α时，d max =15√5=3√5，即点M(95,85).(Ⅱ)当a =1时，直线的直角坐标方程为x +2y +1=0． 转换为参数方程为{x =3−2√55ty =−2+√55t(t 为参数)，代入x 29+y 24=1，得到25t 2−84√5t +180=0， 所以t 1+t 2=84√525，t 1t 2=365，所以|PA||PB|=|t 1t 2|=365，|PQ|=|t 1+t 2|2=42√525， 所以|PQ||PA|⋅|PB|=42√525365=7√530．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出最大值；(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AD 的中点O ，连接PO ，因为三角形PAD 为等腰直角三角形，所以PD ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ， 则AB ⊥PO ，又AB ⊥AD ，且PO ∩AD =O ，PO ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥PD ，又∠APD =90°，即PD ⊥PA ， 因为AB ∩PA =A ，AB ，PA ⊂平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)因为AC =CD ，点O 为AD 的中点，所以OC ⊥AD ， 以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则P(0,0，1)，D(0,−1,0)，C(2,0，0)，B(1,1，0)， 设Q(0,m ，1−m)，则BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m −1,1−m)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)， 设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −z =0−y −z =0， 令x =1，则y =−2，z =2，故m⃗⃗⃗ =(1,−2,2)， 因为BQ//平面PCD ，所以BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−1−2(m −1)+2(1−m)=0，解得m =34，所以Q(0,34,14)，则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,74,14)， 设平面CDQ 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a +b =074b +14c =0，令a =1，则b =−2，c =14，故n ⃗ =(1,−2,14)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√1+4+4×√1+4+196=11√201201，故二面角P −CD −Q 的余弦值为11√201201．【解析】(Ⅰ)利用面面垂直的性质定理证明PO ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的判定定理证明AB ⊥平面PAD ，可得PD ⊥AB ，结合PD ⊥PA ，由线面垂直的判定定理即可证明PD ⊥平面PAB ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，设点Q(0,m ，1−m)，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的PCD 法向量，由BQ//平面PCD 结合向量垂直的坐标表示，求出点Q 的坐标，再利用待定系数法求出平面CDQ 的法向量，再由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)证明：设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1，所以当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=e0−0−1=0，即e x−x−1≥0恒成立，所以e x≥x+1得证．(Ⅱ)f(x)=e x+ln(x+1)−asinx，(x>−1)，f′(x)=e x+1x+1−acosx，若函数y=f(x)为定义域上的增函数，所以f′(x)≥0对于x∈(−1,+∞)恒成立，则f′(0)=1+1−a⩾0⇒a⩽2，所以0<a⩽2．当0<a⩽2时，由(1)的结论可知f′(x)=e x+1x+1−acosx⩾x+1+1x+1−acosx⩾2−acosx⩾0，所以a的取值范围为(0,2]．(III)g(x)=e x−asinx，令g(x)=0，得e x−asinx=0在(0,π)上有两个解，所以a=e xsinx在(0,π)上有两个解，令F(x)=e xsinx，F′(x)=e x(sinx−cosx)sin2x =√2ex sin(x−π4)sin2x，当x∈(0,π4)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，当x∈(π4,π)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)≥F(π4)=√2eπ4，x→0时，sinx→0，e x→1，故F(x)→+∞，x→π时，sinx→0，e x→eπ，故F(x)→+∞，则a>√2eπ4时，满足条件，所以a的取值范围为(√2eπ4,+∞)．设y=a与y=F(x)图象的交点分别为x1，x2，且x1∈(0,π4)，x2∈(π4,π)，要证x1+x2<π，只需证π4<x2<π−x1，只需证F(x2)<F(π−x1)，又F(x1)=F(x2)=a，所以只需证F(x1)<F(π−x1)，即证F(x1)−F(π−x1)<0，F(x1)−F(π−x1)=e x1sinx1−eπ−x1sin(π−x1)=e x1−eπ−x1sinx1<0．故x1+x2<π．【解析】(I)构造函数ℎ(x)=e x−x−1，求出函数ℎ(x)的最小值为0，即可证明e x≥x+ 1；(II)题意转化为f′(x)≥0对于x∈(−1,+∞)恒成立，由f′(0)≥0得a⩽2，所以0<a⩽2.再证明当0<a⩽2时，f′(x)≥0成立，进而得到答案；(III)①题意转化为a=e xsinx 在(0,π)上有两个解，令F(x)=exsinx，利用导数求出函数的单调性和极值，数形结合可得a的取值范围；②要证x1+x2<π，只需证π4<x2<π−x1，只需证F(x2)<F(π−x1)，即证F(x1)−F(π−x1)<0，进而证明x1+x2<π．本题考查导数的应用，利用导数证明不等式，考查已知函数单调性求参数，利用导数研究函数的零点，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养，属于难题．。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期期末考试数学试题
哈三中2021—2022学年度下学期高二学年期末考试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|),(x y y x A ==，{}(,)|B x y y x ==，则集合B A 的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则11a b <C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则b a a b>3．已知1,0x y >>，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为A ．9B ．10C ．11D ．7+4．函数()f x =的单调递增区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞A ．设随机变量1~62XB ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()2E X =B ．已知随机变量()2~2X N σ，且(4)0.9P X <=，则(02)0.1P X <<=C ．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()E X =0.6D ．四位同学到4所大学访问，每人只去一所大学，设事件A =“4个人去的大学互不相同”，事件B =“甲独自去一所大学”，则2(|)9P A B =6．已知奇函数()f x 满足()()()2f x f x x -=-∈R ，且[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则关于x 的方程()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和是A ．4B ．6C ．8D ．107．已知函数xx x f ln )(=，22)1ln()(ax x x g ++=，若],1[21e x ∈∀，)1,0(2∈∃x 使得)()(21x g x f >成立，则实数a 的取值范围是A ．ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．ln 2,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．已知函数()ln()(0)xf x e a ax a a a =-+->，，若关于x 的不等式0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,eC ．1(,1)eD ．(0,)e （二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．下列关于回归分析的说法中，正确的是A ．在回归分析中，散点图内的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，我们称两个变量呈正相关B ．在回归分析中，残差点所在的带状区域宽度越宽，说明模型的拟合精度越高C ．在回归分析中，样本数据中一定有样本点()x yD ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越好A ．函数x mx x f ln )(2-=在)2,1(上单调递增的一个必要不充分条件是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>41|m m B ．“2||>+b a ”是“2||||>+b a ”充分不必要条件C ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件D ．命题“01],3,2[2≥+-∈∃mx mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围为1|6m m ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭11．下列说法中正确的是A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞B．函数2y =的值域为[2,)+∞C．函数y =[2,D ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0,1]12．悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为cosh x y a a =（e e cosh 2xxa ax a a a -+=⋅，其中a 为非零常数，e 为自然对数的底数）．当a ＝1时，记()cosh f x x =，则下列说法正确的是A ．()()2221f x f x =-B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的导函数()f x '是奇函数D ．()f x 在(],0-∞上单调递减二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数(21)f x -的定义域为．14．哈三中理学会组建甲、乙两个数学解题小组，两个小组独立开展解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题成功的概率为23，乙小组解题成功的概率为12．在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为．15．函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤+-=1,231619)(22x a x x x ax x x f ，，若)1()(f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为．16．已知定义在R 上的函数)(x f 满足),0[,)()(212+∞∈∀=-+x x x x f x f ，，均有12121212()())2f x f x x x x x x x -+>≠-（，则不等式21)1()(->--x x f x f 的解集为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|211}B x a x a =-<<+.（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为3 5 .（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.()2P kχ≥0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数（单位：个）进行了统计，得到如下统计数据：年份20182019202020212022年份编号x 12345报考人数y3060100140170（1）经分析，y 与x 存在显著的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+并预测2023年的报考人数；（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布2(,)N μσ，根据往年统计数据，2385,225μσ==.录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385,400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2023年该专业录取的大约人数(最后结果四舍五入，保留整数).参考公式和数据：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.若随机变量X ()2~,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973.P X μσμσ-<<+=随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,03080,30120150x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为14，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望.22．（本题满分12分）已知()2ln(1).x f x e a x =++（1）若()f x 在0x =处的切线恰好与轴平行，讨论此时()f x 的单调性；（2）当1a =-时，判断()sin 1()x g x f x e x ---=的零点个数.哈三中2021—2022学年度下学期高二学年期末考试数学试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案BCBDDBAAADABCDACD二、填空题：13.1[,2]2-14.2515.[2,4]16.1(,)2+∞三、解答题：17.（1）(,1)[2,)A =-∞-+∞ （2）当B =∅时，211a a -≥+，2a ≥当B ≠∅时，21121111212a a a a a a -<+-<+⎧⎧⎨⎨+≤--≥⎩⎩或，3222a a ≤-≤<或综上，322a a ≤-≥或18.（1）（2）零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，220.00125<10.828=6χχ=,依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100（3）X 的可能取值为0,1,2,3，3(3,5X B 3123283236(0)((1)()512555125P X P X C =====⋅⋅=,22333254327(2)(),(3)()551255125P X C P X ==⋅⋅====.X ∴的分布列为X 0123P812536125541252712539()355E X =⨯=.19.（1）()11234535x =++++=，()130601001401701005y =++++=，所以()()()121360ˆ3610niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑，则ˆˆ1003638a y bx=-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是ˆ368yx =-，当2023年时，即6x =时，ˆ3668208y=⨯-=，即2023年的报考人数大约为208人.（2）考试成绩()2~385,15X N ，则40038515=+，10.6827(400)0.158652P X ->==，直接录取人数为2080.1586533⨯≈，[385，400]之间的录取人数为0.68272080.8572⨯⨯≈，所以2023年该专业录取的大约为335790+=人.20.（1）由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入80150kv x=--，解得2400k =，所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤.答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时，240045008080[180(150)]150150x y x x x x=-=--+--4800(33667≤-≈.当且仅当4500150150x x-=-，即30(583x =-≈时等号成立.答：隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.21.（1）已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为14，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现Z 症状的概率为114p =，在第二天接种后当天出现Z 症状的概率为2113131444416p ⎛⎫=-⨯=⨯= ⎪⎝⎭，在第三天接种后当天出现Z 症状的概率为3331944464p =⨯⨯=，所以，一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为123139374166464p p p p =++=++=；（2）设事件C =“某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，则()32333131544432P C C C 2⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,随机变量X 可能的取值为1、2、3，则()()5132P X P C ===,()()()2751352132321024P X P C P C ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦,()()227277293132321024P X P C ==-=⨯=⎡⎤⎣⎦,所以X 的分布列为：X 123P 53213510247291024随机变量X 的数学期望为51357292617()12332102410241024E X =⨯+⨯+⨯=.22.（1）()2,1x a f x e x '+=+()200f a ='+=2a ∴=-()22ln(1).x f x e x ∴=-+()()22,1x f x e f x x '+'=-在()1,-+∞单调递增，且()00.f '=当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时(),0f x '>.所以函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增.（2）证明:略。
黑龙江省2021学年高二数学下学期期末考试试题 理
黑龙江省绥化市安达市第七中学2021学年高二数学下学期期末考试试题 理一、选择题1.已知集合{}{}1,230||A x y x B x x ==-=->，则A B ⋃=（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≥C ．3{|}2x x >D ．3{|0}2x x ≤<2.已知复数z 满足1i1i 2z +=--，则z =( ) A.2B.3C.5D.53.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A.3y x =B.1y x =+C.21y x =-+D.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4.下列命题错误的是（ ）A.命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”B.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C.对于命题:p R x ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：R x ∀∈，均有210x x ++≥D.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.88P x ≤=,则()04P x <<=( ) A.0.88B.0.12C.0.24D.0.766.如图，在正方形OABC 内任取一点M,则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A.14B.25C. 13D. 377.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数x （个） 2 3 4 5 加工时间y （分钟）26a4954根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，则实数a 的值为（ ） A.37.3B.38C.39D.39.58.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A.1320B.920 C. 15D.1209.函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10.一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为1ξ;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为2ξ,则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ<D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>11.2()ln f x x a x =-在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞12.对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） ①函数()f x 的最大值为1； ②函数()f x 的最小值为0；③方程()()12G x f x ==- 有无数个根；④函数()f x 是增函数． A.②③B.①②③C.②D.③④二、填空题13.设ABC △的三边长分别为a ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++；类比这个结论可知：四面体P ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，则R =__________. 14.若)11fx =+，则()f x 的解析式为________________.15.已知函数(0)()2(2)(0)3x a x f x a x a x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是__________________16.已知定义域为R 的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对任意[)0,x ∈+∞，均满足：()2()0xf x f x '+>.若2()()g x x f x =，则不等式g(2)g(1)x x <-的解集是__________．三、解答题17.设命题p :实数x 满足22430x mx m -+<；命题q ：实数x 满足31x -< (1)若1m =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若0m >,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2021年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进．某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：(1)求观众评分的平均数？(2)视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？(3)视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用表示评分为10分的人数，求ξ的分布列及数学期望． 19.已知函数()()32123R 3f x x x x b b =-++∈. (1)当0b =时，求()f x 在[]1,4-上的值域；(2)若方程()2f x =有三个不同的解，求b 的取值范围.20.新高考33+最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目．某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科．经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少10人．(1)估计在男生中，选择全文的概率.(2)请完成下面的22⨯列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由；附：22()()()()()n ad bc K ab c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)。
黑龙江省哈三中高二下学期期末考试(数学理).doc
黑龙江省哈三中高二下学期期末考试（数学理）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为1；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 不等式23x -≤的解集为( )A ．[]1,5-B ．[]5,1-C ． [)(]5,,1+∞⋃-∞-D ．(][),51,-∞-⋃+∞2. 某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天平均需服务的对象个数是（ ） A ．(1)np p - B ．np C ．n D ．(1)p p -3. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则222AB AC BC +=”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ）A ．222222AB AC AD BC CD BD ++=++ B ．BCD ADB ACD ABC S S S S∆∆∆∆=⨯⨯2222C ．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++D ．222222AB AC AD BC CD BD ⨯⨯=⨯⨯4. 如果X 是离散型随机变量,32Y X =+，那么（ ）A ．()3()2,()9()2E Y E X D Y D X =+=+B ．()3()2,()9()E Y E X D Y D X =+=C ．()3()2,()9()4E Y E XD Y D X =+=+ D ．()9(),()3()2E Y E X D Y D X ==+ 5. 矩形对角线相等,正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( ) A ．正方形的对角线相等 B ．平行四边形的对角线相等 C ．正方形是平行四边形 D ．其它6. 某事件A 发生的概率为(01)P p <<，则事件A 在一次试验中发生的次数X 的方差的最大值为（ ） A ．34B ．13 C ．14D ．127. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭12次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．132s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>8. 已知,a b R +∈，且421,a b +=那么11a b+的最小值为( ) A．6+ B ．12 C．6+ D ．99. 随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ，(1)0.8413P X <=，则(10)P X -<<等于（ ） A ．6587.0 B ．8413.0 C ．1587.0 D ．3413.0 10. 在n xx )1(3+的展开式中，只有第13项的二项式系数最大，那么x 的指数是整数的项共有( ) A ． 3项 B ． 4项 C ． 5项 D ．6项11. 已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（ ）A ．三个方程都没有两个相异实根B ．一个方程没有两个相异实根C ．至多两个方程没有两个相异实根D ．三个方程不都没有两个相异实根 12. 某批产品的次品率为210，现在从10件产品中任意的依次抽取3件，分别以放回和不放回的方式抽取，则恰有一件次品的概率分别为( ) A ．487,12515 B ．487,12545 C ．167,12515 D ．167,12545第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共将答案填在答题卡相应的位置上)13. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人达标的概率是 .1 2 23 4 34 7 7 45 11 14 11 5也抽到A 的概率为 .15. (如图)为一个三角形数阵，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角 （三角形数阵中的数为其肩上两数之和），则第n 行（)2≥n 第2个数是 . 16. 以下四个命题：①221(3)nn n >+≥；②()；1226422≥++=+⋅⋅⋅+++n n n n ③凸n 边形内角和为()()()；31≥-=n n n f π ④凸n 边形对角线的条数是()()().422≥-=n n n n f其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）他能通过初试的概率。
黑龙江省最新2021学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
齐齐哈尔市2021学年度高二下学期期末考试数学试卷(理科)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}ln(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A. (1,2)B. [1,1)-C. (1,2]D. (1,1)- 【答案】B【解析】【分析】分别计算集合A 和B ，再计算A B . 【详解】{}{}22012A x x x x x =--≤=-≤≤ {}{}ln(1)1B x y x x x ==-=<[1,1)A B =-故答案选B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.2.若复数z 满足，24iz i =+（i 为虚数单位）则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (4,2)-D. (4,2) 【答案】C【解析】【分析】 化简复数2442i z i i+==-得到答案. 【详解】242442i iz i z i i +=+⇒==- 在复平面内z 对应的点的坐标是(4,2)-故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<=A. 0.8B. 0.6C. 0.4D. 0.2【答案】D【解析】略4.《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.5.函数31()(13)xxf xx+=-的图象的大致形状为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】取特殊值排除得到答案.【详解】31()(1)20(13)xxf x fx+=⇒=-<-，排除ACD故答案选B【点睛】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.6.如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）A. 4B. 4.5C. 3D. 3.5 【答案】A【解析】 由题意可得11(3+4+5+6)=4.5,(2.53 4.5)0.25 2.544x y m m ==+++=+，故样本中心为(4.5,0.25 2.5)m +。
黑龙江省哈尔滨市第一三○中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析
黑龙江省哈尔滨市第一三○中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如右图所示，则A．以上四个图形都是正确的 B．只有(2)(4)是正确的C．只有(4)是错误的 D．只有(1)(2)是正确的参考答案：C略2. 函数在定义域（）内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为A．B．C．D．参考答案：C略3. 经过点A（，﹣1），且倾斜角为60°的直线方程为（）A． x﹣y﹣4=0 B． x+y﹣2=0 C． x﹣y﹣2=0 D． x+y﹣4=0参考答案：A【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，代入点斜式方程，再转化为一般式，可得答案．【解答】解：倾斜角为60°的直线斜率为，故经过点A（，﹣1），且倾斜角为60°的直线方程为：y+1=（x﹣），即x﹣y﹣4=0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线的斜率，难度不大，属于基础题．4. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f （x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【分析】在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选：C5. 直线在y轴上的截距是( )A．|b| B．－b2 C．b2D．±b参考答案：B略6. 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜4}，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为（）参考答案：D略7. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2参考答案：A【分析】由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率的方程即可．【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，∴，，，∴．故选A．【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础．8. 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜D．＜a＜＜b 参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】举特值计算，排除选项可得．【解答】解：取a=1且b=4，计算可得=2， =，选项A、B、D均矛盾，B符合题意，故选：B9. 将两个数交换,使,下面语句正确一组是 ( )参考答案：B10. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是（）Ａ．和Ｂ．和Ｃ．和Ｄ．和参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点的切线方程为__________;参考答案：12. 函数f （x ）=的值域为．参考答案：（﹣∞，1]【考点】函数的值域．【分析】按分段函数分段求f（x ）的取值范围，从而解得． 【解答】解：∵x≤0， ∴0＜f （x ）=2x ≤1， ∵x＞0，∴f（x ）=﹣x 2+1＜1， 综上所述，f （x ）≤1， 故答案为：（﹣∞，1]．13. 已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为____________.参考答案：14. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }为等比数列，满足a 1=3，b 1=1，a 2=b 2，3a 5=b 3，若对于每一个正整数n ，均有a n =a 1+log a b n ，则常数a= ．参考答案：【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题意列式求得d ，q 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求，代入a n =a 1+log a b n ，求解即可得到a 值． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，∵a 1=3，b 1=1，a 2=b 2，3a 5=b 3，∴，解得d=6，q=9，∴a n =3+6（n ﹣1）=6n ﹣3，，代入a n =a 1+log a b n 得，，即log a 9=6， ∴．故答案为：．15. 一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为．则的概率为 ▲ ．参考答案：略16. 猜想数列的通项公式是参考答案：17. 将数字填入标号为的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？参考答案：解析： 分三类：第一格填，则第二格有，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填，则第三格有，第一、四格自动对号入座，不能自由排列； 第一格填，则第撕格有，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021学年黑龙江省高二(下)期末数学试卷(理科)有答案
2021学年黑龙江省高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1. 已知全集U={0, 1, 2, 3, 4}，M={0, 1, 2}，N={2, 3}，则(∁U M)∩N=()A.{2}B.{3}C.{2, 3, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}2. 复数z=53+4i ，则|z¯|是（）A.25B.5C.1D.73. 若A、B、C是三个集合，则“A∩B=C∩B”是“A=C”（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4. 下列判断正确的是（）A.若p是真命题，则：“p且q”一定为真B.若“p且q”是假命题，则：p一定为假C.若“p且q”是真命题，则：p一定为真D.若p是假命题，则：“p且q”不一定为假5. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角6. 曲线y=x2在(1, 1)处的切线方程是( )A.2x+y+3=0B.2x+y−3=0C.2x+y+1=0D.2x−y−1=07. 下列说法正确的是（）A.任何事件的概率总是在(0, 1)内B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定8. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A.140种B.84种C.70种D.35种9. 设S(n)=1n +1n+1+1n+2+1n+3+...+1n2(n∈N∗)，当n=2时，S(2)=()A.1 2B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+1510. 曲线y=cos x(0≤x≤3π2)与x轴以及直线x=3π2所围图形的面积为( )A.4B.2C.52D.311. 在边长为1的正方形ABCD中任取一点P，则△ABP的面积大于14的概率是()A.1 4B.34C.12D.2312. 若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是（）A. B.C. D.二．填空题.（共四小题，每题5分，共20分）在极坐标系中，点(2, π6)到直线ρsin(θ−π6)＝1的距离是________．某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为________．若(x+1x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为________．已知f(x)=x3+3x2+a（a为常数），在[−3, 3]上有最小值3，那么在[−3, 3]上f(x)的最大值是________．三、解答题（共70分，写出规范的解题的过程）已知函数f(x)=2sin(π−x)cos x．求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在区间[−π6,π2]上的最大值和最小值．设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f′(x)=2x+2．(1)求y=f(x)的表达式；(2)若直线x=−t(0<t<1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．椭圆x245+y2m=1(0<m<45)的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率e=√53，过椭圆的中心O作直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若△ABF2的面积是20，求：（1）m的值（2）直线AB的方程．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．(1)求a，b的值；(2)若对任意的x∈[0, 3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．选做题（从22、23选择一道作答，全做取第1题答案给分）已知曲线C:x24+y29=1，直线l:{x=2+ty=2−2t（t为参数）（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30∘的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．已知函数f(x)=|x−2|−|x−5|（1）证明：−3≤f(x)≤3；（2）求不等式f(x)≥x2−8x+15的解集．参考答案与试题解析2021学年黑龙江省高二（下）期末数学试卷（理科）一．选择题（共12道小题，每题5分，共60分） 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】本题思路较为清晰，欲求(C U M)∩N ，先求M 的补集，再与N 求交集． 【解答】解：∵ 全集U ={0, 1, 2, 3, 4}，M ={0, 1, 2}， ∴ ∁U M ={3, 4}． ∵ N ={2, 3}，∴ (∁U M)∩N ={3}． 故选B ． 2. 【答案】 C 【考点】 复数的模 共轭复数【解析】利用复数的模求解运算法则，直接求解即可． 【解答】 解：复数z =53+4i，z ¯=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=35−45i ， |z ¯|=√(35)2+(−45)2=1． 故选C . 3.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若A =C ，则A ∩B =B ∩C 成立，是必要条件，若B =⌀，满足A ∩B =B ∩C =⌀，此时集合A ，C 可以是任意集合，则A =C 不一定成立，不是充分条件， 故选：B ．4.【答案】C【考点】复合命题及其真假判断【解析】对各个选项逐一判断即可．【解答】解：若p是真命题，则：“p且q”不一定为真，错误；若“p且q”是假命题，则：p不一定为假，错误；若“p且q”是真命题，则：p一定为真，正确；若p是假命题，则：“p且q”一定为假，D错误；故选：C．5.【答案】B【考点】反证法【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”.故选B.6.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．【解答】解：由题意知，y′=2x，∴在(1, 1)处的切线的斜率k=2，则在(1, 1)处的切线方程是：y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0.故选D.7.【答案】C【考点】概率的意义【解析】本题考查频率与概率的概念．【解答】解：任何事件的概率总是在[0,1]内，故A错误．只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的，一般来说，当试验次数不同时，频率也不同，它与试验次数有关，故B错误．当试验次数增多时，频率越来越接近于某个常数，这个常数就是概率，故C正确．概率是一个确定的值，它不是随机的，通过多次试验，不难发现它是频率的稳定值，故D错误．故选C．8.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理．【解答】甲型1台与乙型电视机2台共有4⋅C52＝40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42⋅5＝30；不同的取法共有70种9.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】利用最后一项是1n2的形式即可得出．【解答】解：当n=2时，S(2)=12+13+122，故选C．10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用余弦函数的图象【解析】根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cos x以及直线x=3π2所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．【解答】解：由定积分定义及余弦函数的对称性可得函数的图象如图，可得曲线y =cos x 以及直线x =3π2所围图形部分的面积为：S =3∫cos π20xdx =3sin |0π2=3sin π2−3sin 0=3， 所以围成的封闭图形的面积是3． 故选D . 11.【答案】 C【考点】等可能事件的概率 【解析】本题是一个等可能事件的概率，以AB 为底边，要使面积s >14，则三角形的高要ℎ>12，高即为p 点到AB 的距离，得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，以AB 为底边，要使面积s >14，则三角形的高要ℎ>12，高即为p 点到AB 的距离，∴ 概率为12故选C ． 12.【答案】 A【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】先判断函数f(x)的单调性，根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减得到答案． 【解答】解：函数f(x)=x 2+bx +c 是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f(x)在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A 满足条件 故选A ．二．填空题.（共四小题，每题5分，共20分） 【答案】 1【考点】圆的极坐标方程【解析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P(2, π6)化为x＝2cosπ6=√3，y=2sinπ6=1，∴P(√3，1)．直线ρsin(θ−π6)＝1展开化为：√32ρsinθ−12ρcosθ=1，化为直角坐标方程为：√3y−x−2＝0，即x−√3y+2=0．∴点P到直线的距离d=√3−√3+2|√12+(−√3)2=1．故答案为：1．【答案】65【考点】分层抽样方法【解析】分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．【解答】解：根据题意知分层抽样比例为2000:200=10:1，∵某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人，∴高一学生为2000−630−720=650，故650名高一学生应抽取的人数为650×110=65人．故答案为：65．【答案】20【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用二项式的系数和列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项．【解答】(x+1x)n展开式的二项式系数和为2n∴2n＝64解得n＝6∴(x+1x )n=(x+1x)6展开式的通项为T r+1＝C6r x6−2r令6−2r＝0得r＝3故展开式的常数项为C63＝20【答案】57【考点】导数求函数的最值【解析】要求f(x)的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[−3, 3]上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可．【解答】解析：f′(x)=3x2+6x，令f′(x)=0，得3x(x+2)=0⇒x=0，x=−2．(I)当0≤x≤3，或−3≤x≤−2时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，(II)当−2<x<0时，f(x)单调递减，由最小值为3知，最小为f(−3)或f(0)⇒f(−3)=(−3)3+3×(−3)2+a=a，f(0)=a，则a=3，∴f(x)=x3+3x2+3，其最大值为f(−2)或f(3)，f(−2)=(−2)3+3×(−2)2+3=7，f(3)=33+3×32+3=57，则最大值为57．故答案为：57．三、解答题（共70分，写出规范的解题的过程）【答案】解：(1)∵f(x)=2sin(π−x)cos x=2sin x cos x=sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．(2)∵−π6≤x≤π2，∴−π3≤2x≤π，∴−√32≤sin2x≤1，∴f(x)在区间[−π6,π2]上的最大值为1，最小值为−√32．【考点】二倍角的正弦公式诱导公式正弦函数的周期性三角函数的最值【解析】（1）先将函数f(x)化简为f(x)=sin2x，再由T=2π2可得答案．（2）先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值．【解答】解：(1)∵f(x)=2sin(π−x)cos x=2sin x cos x=sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．(2)∵−π6≤x≤π2，∴−π3≤2x≤π，∴−√32≤sin2x≤1，∴f(x)在区间[−π6,π2]上的最大值为1，最小值为−√32．【答案】解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ， 则f′(x)=2ax +b ， 又因为f′(x)=2x +2， ∴ a =1，b =2，∴ f(x)=x 2+2x +c ．由于方程f(x)=0有两个相等的实根， ∴ Δ=4−4c =0，解得 c =1， ∴ f(x)=x 2+2x +1．(2)由题意可得∫ −t−1( x 2+2x +1)dx =∫(0−t x 2+2x +1)dx ，即 (13x 3+x 2+x)|−1−t =(13x 3+x 2+x)|−t 0，即−13 t 3+t 2−t +13=13 t 3−t 2+t ， ∴ 2t 3−6t 2+6t −1=0， 即2(t −1)3=−1， ∴ t =1√23．【考点】定积分在求面积中的应用 导数的运算函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）设f(x)=ax 2+bx +c ，根据f′(x)=2x +2求出a 、b 的值，再由方程f(x)=0有两个相等的实根，△=0，求得c 的值，即可得到函数的解析式．（2）由题意可得f −1−t ( x 2+2x +1)dx =f −t 0( x 2+2x +1)dx ，即(13x 3+x 2+x)|−1−t =(13x 3+x 2+x)|−t 0，化简得2(t −1)3=−1，由此求得t 的值． 【解答】解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，则f′(x)=2ax +b ， 又因为f′(x)=2x +2， ∴ a =1，b =2， ∴ f(x)=x 2+2x +c ．由于方程f(x)=0有两个相等的实根， ∴ Δ=4−4c =0，解得 c =1， ∴ f(x)=x 2+2x +1．(2)由题意可得∫ −t−1( x 2+2x +1)dx =∫(0−t x 2+2x +1)dx ，即 (13x 3+x 2+x)|−1−t =(13x 3+x 2+x)|−t 0，即−13 t 3+t 2−t +13=13 t 3−t 2+t ， ∴ 2t 3−6t 2+6t −1=0， 即2(t −1)3=−1， ∴ t =1√23．【答案】解：（1）由已知e =c a=√53， a =√45=3√5，解得c =5，∴ m =b 2=a 2−c 2=45−25=20 （2）根据题意S △ABF 2=S △F 1F 2B =20， 设B(x, y)，则S △F 1F 2B =12⋅|F 1F 2||y|，|F 1F 2|=2c =10，∴ y =±4，把y =±4代入椭圆的方程x 245+y 220=1，解得x =±3， ∴ B 点的坐标为(±3, ±4)，∴ 直线AB 的方程为y =43x 或y =−43x ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）由已知e =ca =√53，a =√45=3√5，由此能求出m 的值．（2）根据题意S △ABF 2=S △F 1F 2B =20，设B(x, y)，则S △F 1F 2B =12⋅|F 1F 2||y|，|F 1F 2|=2c =10，由此能求出直线AB 的方程． 【解答】解：（1）由已知e =ca =√53， a =√45=3√5，解得c =5，∴ m =b 2=a 2−c 2=45−25=20 （2）根据题意S △ABF 2=S △F 1F 2B =20， 设B(x, y)，则S △F 1F 2B =12⋅|F 1F 2||y|，|F 1F 2|=2c =10，∴ y =±4，把y =±4代入椭圆的方程x 245+y 220=1，解得x =±3， ∴ B 点的坐标为(±3, ±4)，∴ 直线AB 的方程为y =43x 或y =−43x ．【答案】解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（1）C =A ⋅B ¯+A ¯⋅BP(C)=P(A ⋅B ¯+A ¯⋅B) =P(A ⋅B ¯)+P(A ¯⋅B) =P(A)⋅P(B ¯)+P(A)⋅P(B ¯) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5 （2）D ¯=A ¯⋅B ¯ P(D ¯)=P(A ¯⋅B ¯) =P(A ¯)⋅P(B ¯) =0.5×0.4 =0.2∴ P(D)=1−P(D ¯)=0.8（3）ξ∼B(3, 0.8)，故ξ的分布列P(ξ=0)=0.23=0.008P(ξ=1)=C 31×0.8×0.22=0.096P(ξ=2)=C 32×0.82×0.2=0.384 P(ξ=3)=0.83=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解． （3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望． 【解答】解：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种， 记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（1）C =A ⋅B ¯+A ¯⋅BP(C)=P(A ⋅B ¯+A ¯⋅B) =P(A ⋅B ¯)+P(A ¯⋅B) =P(A)⋅P(B ¯)+P(A)⋅P(B ¯) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5 （2）D ¯=A ¯⋅B ¯ P(D ¯)=P(A ¯⋅B ¯) =P(A ¯)⋅P(B ¯) =0.5×0.4 =0.2∴ P(D)=1−P(D ¯)=0.8（3）ξ∼B(3, 0.8)，故ξ的分布列P(ξ=0)=0.23=0.008P(ξ=1)=C 31×0.8×0.22=0.096P(ξ=2)=C 32×0.82×0.2=0.384 P(ξ=3)=0.83=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4【答案】解：(1)f ′(x)=6x 2+6ax +3b ，因为函数f(x)在x =1及x =2时取得极值， 则有f ′(1)=0，f ′(2)=0． 即{6+6a +3b =0，24+12a +3b =0，解得a =−3，b =4．(2)由(1)可知，f(x)=2x 3−9x 2+12x +8c ，f ′(x)=6x 2−18x +12=6(x −1)(x −2)．当x ∈[0, 1)时，f ′(x)>0； 当x ∈[1, 2]时，f ′(x)<0； 当x ∈(2, 3]时，f ′(x)>0．所以，当x =1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c ， 又f(0)=8c ，f(3)=9+8c ．则当x ∈[0, 3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c ． 因为对于任意的x ∈[0, 3]，有f(x)<c 2恒成立， 所以9+8c <c 2， 解得c <−1或c >9，因此c 的取值范围为(−∞, −1)∪(9, +∞)． 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的极值【解析】（1）依题意有，f ′(1)=0，f ′(2)=0．求解即可．（2）若对任意的x ∈[0, 3]，都有f(x)<c 2成立⇔f(x)max <c 2在区间[0, 3]上成立，根据导数求出函数在[0, 3]上的最大值，进一步求c 的取值范围． 【解答】解：(1)f ′(x)=6x 2+6ax +3b ，因为函数f(x)在x =1及x =2时取得极值， 则有f ′(1)=0，f ′(2)=0． 即{6+6a +3b =0，24+12a +3b =0，解得a =−3，b =4．(2)由(1)可知，f(x)=2x 3−9x 2+12x +8c ，f ′(x)=6x 2−18x +12=6(x −1)(x −2)．当x ∈[0, 1)时，f ′(x)>0； 当x ∈[1, 2]时，f ′(x)<0； 当x ∈(2, 3]时，f ′(x)>0．所以，当x =1时，f(x)取得极大值f(1)=5+8c ， 又f(0)=8c ，f(3)=9+8c ．则当x ∈[0, 3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c ． 因为对于任意的x ∈[0, 3]，有f(x)<c 2恒成立， 所以9+8c <c 2， 解得c <−1或c >9，因此c 的取值范围为(−∞, −1)∪(9, +∞)．选做题（从22、23选择一道作答，全做取第1题答案给分） 【答案】解：（1）由题意得，曲线C:x 24+y 29=1，所以曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =3sin θ（θ为参数），因为直线l:{x =2+ty =2−2t（t 为参数），所以直线l 的普通方程为2x +y −6=0 … （2）曲线C 上任意一点P(2cos θ, 3sin θ)， 则点P 直线l 的距离为d =5=√5|4cos θ+3sin θ−6|5，则|PA|=dsin 30∘=2√55|4cos θ+3sin θ−6|=2√55|5sin (θ+α)−6|（其中α为锐角且tan α=43），当sin (θ+α)=−1时，|PA|取得最大值，最大值为22√55，当sin (θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2√55…【考点】直线的参数方程 三角函数的最值【解析】（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数t 即可得直线l 的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线C 上任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线l 的距离，利用正弦函数求出|PA|，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（1）由题意得，曲线C:x 24+y 29=1，所以曲线C 的参数方程为{x =2cos θy =3sin θ（θ为参数），因为直线l:{x =2+ty =2−2t（t 为参数），所以直线l 的普通方程为2x +y −6=0 … （2）曲线C 上任意一点P(2cos θ, 3sin θ)， 则点P 直线l 的距离为d =√5=√5|4cos θ+3sin θ−6|5，则|PA|=dsin 30∘=2√55|4cos θ+3sin θ−6|=2√55|5sin (θ+α)−6|（其中α为锐角且tan α=43），当sin (θ+α)=−1时，|PA|取得最大值，最大值为22√55，当sin (θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2√55… 【答案】解：（1）f(x)=|x −2|−|x −5|={−3x ≤22x −72<x <53x ≥5当2<x <5时，−3<2x −7<3， 所以，−3≤f(x)≤3 （2）由（1）可知当x ≤2时，f(x)≥x 2−8x +15的解集为空集；当2<x <5时，f(x)≥x 2−8x +15的解集为{x|5−√3≤x <5} 当x ≥5时，f(x)≥x 2−8x +15的解集为{x|5≤x ≤6} 综上：不等式f(x)≥x 2−8x +15的解集：{x|5−√3≤x ≤6} 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）分x ≤2、2<x <5、x ≥5，化简f(x)={−3x ≤22x −72<x <53x ≥5，然后即可证明−3≤f(x)≤3（2）由（1）可知当x≤2时，当2<x<5时，当x≥5时，分别求出f(x)≥x2−8x+15的解集．【解答】解：（1）f(x)=|x−2|−|x−5|={−3x≤22x−72<x<53x≥5当2<x<5时，−3<2x−7<3，所以，−3≤f(x)≤3（2）由（1）可知当x≤2时，f(x)≥x2−8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2−8x+15的解集为{x|5−√3≤x<5}当x≥5时，f(x)≥x2−8x+15的解集为{x|5≤x≤6}综上：不等式f(x)≥x2−8x+15的解集：{x|5−√3≤x≤6}。
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黑龙江省哈三中2021学年高二数学下学期期末考试试题 理考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数|1|2z i i =++（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i - C ．22i -+ D ．22i - 2．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b > 3．函数()y f x =的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）A ．1()f x dx ⎰B ．20()f x dx ⎰ C ．20|()|f x dx ⎰ D ．121()()f x dx f x dx +⎰⎰4．在复平面内，复数(1)i i +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知不等式|6||3|m x x ≤-+-对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≤ B ．3m ≥ C ．9m ≤- D ．9m ≥-6．“余弦函数是偶函数，()2()cos 32f x x =+是余弦函数，因此()2()cos 32f x x =+是偶函数”，以上推理（ ）A ．大前提不正确B ．小前提不正确C ．结论不正确D ．全部正确 7．已知命题1:,2p x R x x ∀∈+≥；命题0:0,2q x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使00sin cos x x +，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∧ 8．已知命题:,(0,3)P x y ∀∈，6x y +<，则命题P 的否定为（ ） A ．,(0,3),6x y x y ∀∈+≥ B ．,(0,3),6x y x y ∀∉+≥C ．0000,(0,3),6x y x y ∃∉+≥ D ．0000,(0,3),6x y x y ∃∈+≥9．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞ B ．[1,4] C ．(1,4] D ．(1,4) 11．若函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,]a a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13a <≤ B ．4a ≥ C ．3a ≤ D ．14a <≤12．若点P 是曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线40x y --=的最小距离是（ ） AB ．3 C．．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．曲线2y x =与x 轴及直线2x =所围成的图形的面积为______． 14．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =______．15．点(,)P x y 是曲线22:143x y C +=上一个动点，则2x +的取值范围为______． 16．已知函数22(0)()4(0)x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若x R ∀∈，()f x mx ≥，则实数m 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知函数()|2|||f x x x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x a ≥-对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 18．（本小题满分12分） 已知函数31()3()3f x x ax a R =-+∈，且()f x 在2x =处的切线为73y =-． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知M 点的坐标为(0,2)，直线l的参数方程为222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），且与曲线C 交于,A B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求||||MA MB ⋅的值． 20．（本小题满分12分） 已知曲线C 的极坐标方程为2224cos 4sin ρθθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）,P Q 为曲线C 上两点，若OP OQ ⊥，求2211||||OP OQ +的值．21．（本小题满分12分）已知函数()|||3|4()f x x m x m R =-++-∈，()|21|2|1|g x x x =--+．（1）若对任意的2x R ∈，都存在1x R ∈，使得()()12f x g x =，求实数m 的取值范围； （2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：7()2|1|6g x x ≤-+． 22．（本小题满分12分）已知定理：设函数()f x 为[,]a b 上的连续可导函数，则必存在0(,)x a b ∈，使()0()()f b f a f x b a'-=-成立．设函数()y f x =满足：①在R 上可导，且()f x '也为可导函数：②|()|1f x ≤，x R ∀∈；③(0)0f =，(1)1f =． （1）求证：必存在(2,0)a ∈-，使225[()]()4f a f a '⎡⎤+≤⎣⎦； （2）若(0)f '=，求证：至少存在一个0x R ∈，使()()00f x f x ''=-；（3）设*,2n N n ∈≥，求证：必存在12,,,(0,1)n x x x ⋯∈，使()()()12111n n f x f x f x '''+++=成立． 哈三中2021—2021学年度下学期 高二学年第二模块数学（理）考试答案一、选择题D D C B A B D D C C B C 二、填空题 13．83 14．1315．[5,5]- 16．[4,2]e - 三、解答题17．（1）[3,2]- （2）3a ≤18．（1）4a = （2）7()min (2)3f x f ==-，25()max (2)3f x f =-= 19．（1）24y x =，2y x =-+ （2）820．（1）2214x y += （2）5421．（1）[10,4]-（2）217|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326Q x x y y x y y -=-++-≤-++-≤+=7|21|2|1|2|1|6x x x ∴-++≤-+得证 22．（1）只需证：存在(2,0)a ∈-，使1()2f a '≤． 由题，存在(2,0)a ∈-，使(2)(0)(2)()202f f f f a '---==---， 所以|(2)|1()22f f a '-≤≤，所以225[()]()4f a f a '⎡⎤+≤⎣⎦； （2）同理，必存在(0,2)b ∈，使225[()]()4f b f b '⎡⎤+≤⎣⎦． 令22()[()](),[,]g x f x f x x a b '⎡⎤=+∈⎣⎦，则0(,)a b ∈，且(0)2()()g g a g b =>，所以()g x 为[,]a b 上的连续可导函数，()g x 必有最大值，且不是(),()g a g b ． 所以()g x 在(,)a b 内必有极大值，即()0g x '=在(,)a b 内必有实根．而()2()()()0g x f x f x f x ''''⎡⎤=+=⎣⎦，则()0f x '=或()()0f x f x ''+=．当()00f x '=时，()()2001g x f x =≤⎡⎤⎣⎦不是最大值， 所以，必有()()0f x f x ''+= （3）设i a 为使()(1,2,,1)if x i L n n==-最小的实数()(0,1)i a ∈ 则()i if a n=且121n a a L a -<<< 并令00,1n a a ==，则在每一个()1,(1,2,,)i i a a i L n -=内，必存在i x ，使()()()1111(1,2,,)i i i i i i i f a f a n f x i L n a a a a '----===-- 所以()()11i i i n a a f x -'=-所以()()()()()()1021112111n n n L n a a a a L a a n f x f x f x -'''+++=-+-++-=⎡⎤⎣⎦。