生态系统中心焦点判定的新方法_贾建文

第34卷第10期2004年10月数学的实践与认识

M AT HEM A TICS IN PRACTICE A ND T HEORY V o l.34　No.10　

Octo ber ,2004　

生态系统中心焦点判定的新方法

贾建文

(山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾　041004)摘要:　给出在生态系统的研究中,中心焦点判定的一种新方法.利用这种方法对一类生物化学反应模型

进行了中心焦点的判定,从而比较完整地对相应的系统作了研究.

关键词:　生态系统;平衡点;中心;细焦点

0　引 言

收稿日期:2001-11-21基金项目:山西省青年科技研究基金项目(20021004) 众所周知,在生物数学领域,人们利用动力学方法建立许多种群动力学模型、生物化学模型、传染病模型等微分方程模型[1,2].研究的主要问题就是这些生态系统是否具有一个或多个平衡状态?这些平衡态是静平衡还是动平衡?在数学上就是对应微分系统的平衡点(或奇点)和周期解(或极限环).这些问题研究难点之一就是平衡点的中心和焦点的判别问题.过去已有许多文章研究过平面系统,给出了一些判别方法.例如:形式级数法、Po incare-Bir khoff 的PB 规范形法[3].目前有关研究生态系统的文章,其中心焦点的判定都是采用这两种方法之一.由于这两种方法计算很麻烦,实际使用起来很不方便,使得有些文章中计算结果很繁杂,难以判断准确;有的就不得不放弃对这一方面的讨论[4],从而降低了论文的质量.本文介绍一种新方法,其理论证明可详见文[5],这种方法对平面广义Lienard 方程奇点(0,0)给出中心焦点的判定准则.此时只需将f (x ),g (x )作麦克劳林级数展开(通常展到第二、三项即可),在生态系统讨论中使用很方便.这是因为几乎所有生态系统均可化为广义Lienard 方程且对于具体的f (x ),g (x )作级数展开很容易.本文首先介绍这一方法,然后利用此法讨论文[4]中所研究的生态系统平衡点的中心焦点问题.1　中心焦点判定新方法

考虑广义Lienard 方程

x a =<(y )-F (x )

y a =-g (x )

(1)

假定方程(1)满足下列条件:

(i )F (x ),g (x ),<(y )分别在x =0和y =0的某邻域内解析;

(ii)F ′(x )=f (x ),f (0)=0,F (0)=0;

(iii)存在D 1>0,当ûx û0,g ′(0)>0;

(iv)存在D 2>0,当ûy û0,<′(y )>0.

易知在上述条件下,(0,0)是方程(1)的孤立平衡点且构成中心焦点判定问题.此时也

存在D >0,使得当ûx û

f (x )=F ′(x )=b 1x +b 2x 2+…

g (x )=c 0x +c 1x 2+c 2x 3+…　(c 0>0)

(2)记

(c m )′=c m (m +2)c 0

,　m =1,2,…B m -2=1m b m -1-c m -2c 0

b 1,　m =3,4,…(3) 定理　设

V 3=-B 1,　V 5=4c ′1B 2-B 3,　V 7=(-16c ′1c ′2+4c ′3)B 2-6(c ′1)2B 3+6c ′1B 4-B 5

则当满足下述条件之一时:

(i)V 3>0(<0)

(ii )V 3=0,V 5>0(<0)

(iii)V 3=V 5=0,V 7>0(<0)

方程(1)的平衡点(0,0)是不稳定(稳定)细焦点.

证明　参见文[5]

注　从定理结果可看出,其中判定量的计算很简单,而大多数生态系统是一阶细焦点的判定问题,即只要计算V 3(或B 1)即可,从而使用起来比较方便.

2　文[4]中系统的再讨论

文[4]中考虑可逆生物化学反应模型

x a =A -(B +1)x +x 2y -x 3

y a =Bx -x 2y +x 3(4)

其中A >0,B >0,在区域G ={(x ,y )ûx >0,y >0}内有唯一平衡点R A ,A 2+B A ,文[4]对B =2A 2+1时,中心焦点问题未作讨论,下面我们利用本文的定理来研究.

将方程(5)化为Lienar d 方程[4]x a =y -F (x )y a =-g (x )

(5)其中-A

,F (x )=1(A +x )22x 3+2A 2-1A

x 2,<(y )=y .容易验证(5)中F (x ),g (x ),<(y )满足上一段中基本假设(i)—(iv),现将f (x )=F ′(x ),g (x )作麦克劳林级数展开得

f (x )=2A 2-12A 3x +3A 2+62A 4

x 2+…g (x )=1A x -2A x 2+…这时

227510期贾建文:生态系统中心焦点判定的新方法

由(3)式得

B1=1

3b2-

c1

c0

b1=1

3

3A2+6

2A4

+2

A3

A22A

2-1

2A3

=7A

2+4

6A4

>0

所以根据本文定理知V3=-B1<0,即(0,0)为系统(5)的一阶稳定细焦点.也就是当B

=2A2+1时,平衡点R A,A 2+B

A

是系统(4)的一阶稳定细焦点.

参考文献:

[1]　陈兰荪.非线性生物动力系统[M].北京:科学出版社,1993.

[2]　马知恩.种群生态学的数学建模与研究[M].安徽教育出版社,1996.

[3]　张芷芬,丁同仁,黄文灶等.微分方程定性理论[M].北京:科学出版社,1985.

[4]　贾建文.可逆三分子反应模型的系统分析[J].生物数学学报,1999,14(4):415—418.

[5]　蔡燧林,张平光.方程x a=5(y)-F(x),y a=-g(x)的中心焦点判定[J].应用数学学报,1993,16(1):107—

113.

New Method of Decision the Centre

or Focus for Biological System

JIA Jian-w en

(Scho ol of M ath.and Co mp.o f Shanx i T eacher s U niver sity,L infen Shanxi041004,China)

Abstract:　A new method o f decisio n the centr e or focus for biolog ical system intr oduced.and

by using this m ethod fur ther discussed the M o del in biochemical r eact ion[4].

Keywords:　biolog ical system;equilibrium;cent re;fine focus

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