-导热理论基础-3

得微分方程为：
d 2
dx 2
m 2
1
s
这里一个二阶线性齐次常微分方
程，通解为
δ 0 x
x+dx
x
c1emx c2emx
dx H
肋根 x=0 处边界条件为： x 0, 0 t0 t；
另一边界条件取决于肋片端部 x = H 处的条件，一般可
认为肋片端部绝热：
Ac
l
H
Baidu Nhomakorabea
l P 2l
1
记 AL=H 为肋片纵剖面积。
Qs
1
mH
2h H 3 2
2
h

2
H
3 2
H
AL
δ 0 Qx
Qx+dx
x
可见，mH与参量
1

h

2
H
3 2
AL
dx H
有关，其关系曲
线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公
肋片效率是衡量肋片散热有效程度的指标，但衡量肋片
使用是否合理则一般用另一个参数 f 来反映。 f —肋片 有效度，其意义是肋片的传热速率与没有肋片时具有的
传热速率的比值：
f

qf
hFb0
Fb
肋基处的截面积
例1：摩托车发动机头部为一环形肋壁，肋片材料为铝合金
186 W m k , h 50W m2 k ,t f 300 k,
➢热导率愈大，肋片效率愈高； ➢肋片愈高，肋片效率愈低，肋片不宜太高； ➢肋片愈厚，肋片效率愈高；
➢h愈大，即对流换热愈强，肋片效率愈低。一般总是
在表面传热系数较低的一侧加装肋片。
几点说明：
➢ 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对 于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若
必须考虑肋端散热，取：Hc=H + /2 ➢ (2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。当Bi=h/
Ac
dt dx
Ac为截面积
1
s
Qxdx

Qx

dQ dx
dx

Ac
dt dx
Ac
d 2t dx2
dx
δ 0 x
x+dx
dx H
x
Φs hPdx(t t ) P为肋片截面周长
将以上三式代入守恒方程得：
Ac
d 2t dx2

hP(t
t )
令 m hP
Ac
t t 为过余温度

0
cosh(mH )
等截面直肋片中的温度变化为一双曲
θ θ0
函数.
由于肋片散入外界的全部热量都必须
通过x=0处的肋根截面，于是
0 h
Φx0

A

d
dx

x0
Ac0 (m)
sinh(mH ) cosh(mH )

Ac0m tanh(mH )

hP m

0
tanh(mH )
0 x
矩形环肋片
三角形肋片
对于三角形和抛物线形肋
对于环肋：
f
Q Q0
Q Qm a x
其中: Qmax hUHcb ,

Hc H 2
f
Q ;其中 Qm ax
Qmax

2h
r2 2,c

r12
b ,
r2,c

r2

2
对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋 片散热量计算公式相当复杂，也可以利用肋片效率曲 线来计算。
sh(x)
ex
ex ; 2
ch(x) ex
ex ; 2
th
(
x)

e e
x x
ex ex
双曲正弦
双曲余弦
双曲正切

0
emx e2mHemx 1 e2mH
0
cosh[m(x H )] cosh(mH )
当 x=H 时：
H
0
cosh(0) cosh(mH )
从图中取出一个肋片：设肋片与基础表
面相交处（肋根）的温度t0已知，周围 流体温度为t，肋片与环境之间有热交
换（对流、辐射）复合表面传热系数为
直肋
h。
严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常 物性、第三类边条的导热问题。但由于三维问题比较复杂， 故此，在忽略次要因素的基础上，将问题简化为一维问题。
H
r1 25mm, r2 45mm, L 20mm
H 0.15m,t0 500 k, N 5片
式计算，而直接用图查出，然后，散热量
Q f h (PH ) (t0 t )
f

tanh(mH ) mH
1
mH
2h H 3 2
2
h

2
H
3 2
H
AL
➢影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片表 面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片的几何形状 和尺寸（P、A、H）
0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维 温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面
传热系数h不是均匀一致的 ——数值计算
2-4-2 通过环肋及三角形截面直肋的导热
为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不 变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是 其中的两种。
y
r 0
假定：
➢宽度 l >> 且沿
肋片长度方向温度均匀
1
Qs
➢ 大、 << H，认为 δ 0
x
温度沿厚度方向均匀。
Qx
Qx+dx
dx H
因此， / << 1/h，温度仅沿x变化，于是可以把通
过肋片的导热问题视为沿肋片方向上的一维导热问题 。
由能量守恒： Qx Qxdx Qs
Qx

x 0: xH:
0 d 0
dx
c1emx c2emx
1
s
应用边界条件可得：
c1

0
1 e2mH
,
c2

0e2mH
1 e2mH
δ 0 x
x+dx
dx H
x
最后可得等截面内的温度分布：

0
emx e2mHemx 1 e2mH
0
cosh[m(x H )] cosh(mH )
工程上经常采用肋片（或翅片）来强化换热。 肋片：依附于基础表面上的扩展表面。
①肋片导热的特点： ➢在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射换热， 因而热流量沿传递方向不断变化。 ➢肋片表面的所传递的热量都来自（或进入）肋片根部， 即肋片与基础表面的相交面。 ➢分析目的：得出温度场、热流量。
2-4-1 等截面直肋的导热
θL x
③肋效率:从散热的角度评价加装肋片后换热效果（Fin
efficiency）
实际散热量
f 假设整个肋表面处于肋 基温度下的散热量
对于等截面直肋，其肋效率为：
f

hP m
0
tanh(mH
)
hPH0

tanh(mH ) mH
故肋效率只与(mH)有关。
m hP
Ac

mH hP H h2l H 2h H 3 2