山西省太原市2014届高三模拟考试(一)数学(理)试题
太原市2014年高三年级模拟试题(一)
太原市2014年高三年级模拟试题（一）英语试卷（考试时间：下午2:30—4:30）注意事项：1．本试题分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第I卷1至12页，第II卷13 至14页。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。
3．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在本试题上，否则无效。
域内，写在本试题上无效。
5．第I卷共三部分。
听力满分30分，不计入总分，考试成绩录取时提供给高校作参考。
第I卷第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试题上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．What are they talking about?A．Giving tips．B．Reducing the price．C．Ordering a dinner2．What time should Jenny come here?A．At 1:50pm．B．At 2:20pm．C．At 2:30pm．3．Where are the two speakers?A．At home．B．At school．C．In a library．4．How much did they pay for the repair of the bike?A．25 yuan．B．50 yuan．C．100 yuan.5．Why will Tom be invited to the party?A．Because the woman likes him．B．Because he is the man’s good friend．C．Because the man’s mother wants him to come.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2014年山西省太原市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|3x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）复数等于（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i3．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，则α的一个可能值是（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1C．∃x∈R，x2+x＝﹣1D．5．（5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.66．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15＝（）A．12B．32C．60D．1207．（5分）如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤6？B．k≤7？C．k≤8？D．k≤9？8．（5分）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（）A．8B．C．16D．9．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．112．（5分）已知方程＝k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα＝αcosβB．sinα＝﹣αcosβC．cosα＝βsinβD．sinβ＝﹣βsinα二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos4α＝．14．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，C是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是．15．（5分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x+3y的最大值为8，则k＝．16．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+2＝，a100＝a96，则a9+a10＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 的外接圆的半径为，且a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B．（1）求∠C；（2）求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如图所示茎叶图（单位：cm）．若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．（1）对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．（1）求证：AB1⊥A l C；（2）求点C到平面AA1B1的距离．20．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值．21．（12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：＝+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．选修4一1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O 于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．2014年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|3x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由N中的不等式变形得：3x＞1＝30，得到x＞0，∴N＝{x|x＞0}，∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}．故选：D．2．（5分）复数等于（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i【解答】解：＝＝．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，则α的一个可能值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：原函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，即2×＝2kπ+，α＝2kπ+，k∈Z，当k＝0时，α＝．故选：A．4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1C．∃x∈R，x2+x＝﹣1D．【解答】解：B项是正确的．∀x∈（3，+∞），x2﹣（2x+1）＝（x﹣1）2﹣2＞2＞0，由于对∀x∈R，sin x+cos x ≤，故A错误，方程x2+x+1＝0无实根，故C项错误；对于∀x∈（，π）tan x＜0＜sin x，故D错误．故选：B．5．（5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解答】解：根据题意，从5个数字中选3个，共有C53＝10种情况，满足条件的是剩下两个数字的和是奇数，即取出的三个数为两奇一偶；有C32C21＝6种结果，故剩下两个数字的和是奇数的概率是P＝．故选：D．6．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15＝（）A．12B．32C．60D．120【解答】解：由题意可得a8＝4∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上＝k（为常数）∴a n可写为关于n的一次函数即可设a n＝kn+m，则a n﹣a n﹣1∴{a n}为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15＝2a8＝8∴＝15a8＝60故选：C．7．（5分）如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤6？B．k≤7？C．k≤8？D．k≤9？【解答】解：根据程序框图，运行结构如下：S K第一次循环10 9第二次循环90 8第三次循环720 7此时退出循环，故应填K≤7？故选：B．8．（5分）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（）A．8B．C．16D．【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为＝4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2＝2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4＝16+8，表面积为：2×2+16+8＝20+8．故选：B．9．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|＝y0+2＞4，所以y0＞2故选：C．10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OF|＝c，|OE|＝，∴|EF|＝，∵，∴|PF|＝2，|PF'|＝a，∵|PF|﹣|PF′|＝2a，∴2﹣a＝2a，∴，故选：C．11．（5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．1【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30°得：AC＝2，SA＝2又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30°得：BC＝2，SB＝2则：SA＝SB，AC＝BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD＝＝＝在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD＝＝＝又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V＝AB ，•S△SCD因为：SD＝，CD＝，SC＝4 所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）＝（+﹣16）＝＝则：sin∠SDC＝＝由三角形面积公式得△SCD的面积S＝SD•CD•sin∠SDC＝＝3＝＝所以：棱锥S﹣ABC的体积：V＝AB•S△SCD故选：C．12．（5分）已知方程＝k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα＝αcosβB．sinα＝﹣αcosβC．cosα＝βsinβD．sinβ＝﹣βsinα【解答】解：∵有两个根，∴函数y＝|sin x|和函数y＝kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，如图（1）图1函数y＝|sin x|和函数y＝kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，﹣sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）＝|sin x|＝﹣sin x，f′（x）＝﹣cos x，∴在B处的切线为y+sinβ＝f′（β）（x﹣β），将x＝0，y＝0代入方程，得sinβ＝﹣β×（﹣cosβ），∴＝cosβ，∵O，AB三点共线，∴，∴＝﹣cosβ，∴sinα＝﹣αcosβ．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos4α＝﹣．【解答】解：∵sinα+cosα＝，平方可得1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣．∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×＝﹣，故答案为：﹣．14．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，C是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是3．【解答】解：由圆方程化为变形方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心C（1，1），∵圆心C到直线3x+4y+8＝0的距离d＝＝3，∴|PC|的最小值为3．故答案为：315．（5分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x+3y的最大值为8，则k＝﹣6．【解答】解：画出可行域将z＝x+3y变形为y＝，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，∴k＝﹣6．故答案为﹣616．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+2＝，a100＝a96，则a9+a10＝．【解答】解：∵a1＝1，a n+2＝，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，a9＝＝，∵a n+2＝，a100＝a96，∴a100＝a96＝＝，∴a962+a96﹣1＝0，∴a96＝，∴a94＝，∴a10＝，∴a9+a10＝+＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 的外接圆的半径为，且a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B．（1）求∠C；（2）求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（1）已知等式a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，利用正弦定理化简得：a2﹣c2＝ab﹣b2，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝；（2）∵sin C＝sin＝，＝＝2R，即a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴S＝ab sin C＝•2R sin A•2R sin B＝2sin A sin B，∵A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，代入上式得：S＝ab sin C＝2sin A sin B＝2sin A sin（﹣A）＝2sin A（cos A+sin A）＝（sin2A﹣cos2A+）＝sin（2A﹣）+≤+＝，则当2A﹣＝，即A＝时，S max＝．18．（12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如图所示茎叶图（单位：cm）．若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．（1）对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有8株，“非生长良好”的有12株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽取的概率是＝，从“生长良好”中共抽取株，“非生长良好”的有株．设“生长良好”的两株为1，2．“非生长良好”的3株为a，b，c．则所有的基本事件有：（1，2），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有10种，至少有一株“生长良好”的事件有7个∴至少有一株“生长良好”的概率是．（2）依题意，一共有8株生长良好，其中A有5株，B有3株，所有可能的基本事件共有个，树苗都能出售的事件包含的基本事件为个，∴所求概率为．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．（1）求证：AB1⊥A l C；（2）求点C到平面AA1B1的距离．【解答】（1）证明：∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝0，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1，又∵AA1＝AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C．（2）∵CC1∥平面AA1B1，∴点C到平面AA1B2的距离与点C1到平面AA1B1的距离相等，设C1到平面AA1B1的距离为d，∵＝，∴，又∵在△AA 1B1中，，，∴d＝．20．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝1﹣，定义域x∈（0，+∞），由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）．（2）f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，令m（x）＝（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）＝2lnx，x＞0，则f（x）＝m（x）﹣h（x），①当a＜2时，m（x）在（0，）上为增函数，h（x）在（0，）上为增函数．结合图象可知，若f（x）在（0，）无零点，则m（）≥h（）．即（2﹣a）×（﹣1）≥2ln，∴a≥2﹣4ln2．∴2﹣4ln2≤a＜2．②当a≥2时，在（0，）上m（x）≥0，h（x）＜0．∴f（x）＞0，∴f（x）在（0，）上无零点，由①②得a≥2﹣4ln2，∴a min＝2﹣4ln2．21．（12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：＝+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为，由，解得：．∴椭圆方程为．①设直线AB为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）＝0．∴，∵OA⊥OB，∴，即x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝，即4m2﹣3k2﹣3＝0．∵直线AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆的半径，则．∴圆的方程为；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，满足上述方程．综上，所求圆的方程为：．（2）设P（x，y），又A（x1，y1），B（x2，y2），由：＝+3，得，又直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，∴，即x1x2+3y1y2＝0．∵A，B在椭圆上，∴．联立，消去x1，x2，y1，y2，得x2+3y2＝30．当OA斜率不存在时，即x 1＝0，得y1＝±1，y2＝0，．此时．同理OB斜率不存在时，．∴动点P的轨迹方程为x2+3y2＝30（）．选修4一1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O 于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵P A是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C．又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP+∠APD＝∠C+∠CPE．∵∠ADE＝∠BAP+∠APD，∠AED＝∠C+∠CPE，∴∠ADE＝∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP＝∠C，∵∠APC＝∠BP A，∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C∴∠APC＝∠C＝∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP＝180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°．∴∠APC+∠C+∠BAP＝180°﹣90°＝90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BP A中∠BAP＝∠C，∠APB＝∠CP A，∴△APC∽△BP A．∴．∴．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝可得：，【解答】解：解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R＝1．∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+＝＝+＝＝．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，如图，它与y＝4的交点为（﹣8，4）和（2，4）．故不等式f（x）≤4的解集为[﹣8，2]．（Ⅱ）由f（x）的图象知，x ＝﹣时，f（x ）有最小值﹣，存在x使得f（x）+a≤0成立，等价于﹣a ≥﹣，a ≤，故实数a 的取值范围为（﹣∞，]．第21页（共21页）。
2014年山西省高考数学{理}试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
山西省太原五中2014届高三4月月考数学理试卷Word版含答案
太 原 五 中2013—2014学年度第二学期月考(4月)高 三 数 学(理)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}062≤-+=x x x A ,集合B 为函数1-=x y 的定义域，则=B A （ ）A.B.C.D.2．若复数z 满足：34iz i =+，则(=z ）A ．1B ．2C ．5D ．5 3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈4.下列命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； （2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08(4) 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.15．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s 值，则552cos2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．―16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为c b a ,,，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于( )A.2113 B.5 C.41 D.257. 若将函数5)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中5210,,,,a a a a 为实数，则=3a （ ）.A. 15B.5C. 10D.208. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)9. 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是 ( )A ．10B ．100C ．200D ．40010．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为，抛物线21116y x =+与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．22182x y -=B ．22128x y -=C ．2214x y -=D ． 2214y x -=11. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ） A.50种 B.51种 C.140种 D.141种12. 如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②当且仅当x =12时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④FC'B'第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
山西省太原五中2014届高三上学期理科数学12月月考模拟试卷和答案
太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考(12月)高 三 数 学（理）一、选择题：本大题共12题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是（ ） A ．MN R = B ．R N C M R = C ．R M C N R = D ．M N M =2、已知{}n a 为等差数列，{}n b 错误!未找到引用源。
为等比数列，其公比1≠q 且),,2,1(0n i b i =>,若111111,b a b a ==，则（ ） A.66b a >B.66b a =错误!未找到引用源。
C.66b a <D.66b a <或66b a >3、函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是 图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠= （ ）A ．10B ． 8C ．87D ．474、设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 5、已知函数)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ） A ．0 B ．4π-C ．2πD ．π6、已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．767、△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在CB 方向上的投影为( )AB ． 3 C． D ．-3 8、已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．19、函数()()()⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有，则a 的取值范围( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B. )1,21[C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,8510、现有四个函数①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③|cos |x x y ⋅= ④xx y 2⋅=的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是OxyOxy OxyOxyA. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①11、已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)+∞,0上是增函数，如果(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,1]- B ．[5,0]- C ．[5,1]- D ．[2,0]-12、 若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题：本大题共4个小题,每小题4分，共16分 13、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是14、已知函数x exx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 15、当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 16、已知ABC D OE F 0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60=，则〉〈,cos 等于三、解答题：本大题共4小题,共48分。
山西省太原市第五中学2014届高三第二学期5月月考试题数学理科
山西省太原市第五中学2014届高三第二学期5月月考试题数学理科第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x xM，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M （ ） A 、∅ B 、{})0,2(),0,3( C 、 ]3,3[- D 、{}2,32.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21zz 等于（ ）A ．3i +B ．3i -C ．13i -+D ．3i --3．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a 2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( ) A ．600 B ．400 C ．300 D ．2004.已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A.32D.525. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．26. 函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f(x )的递增区间是（ ）A.[61,62]()k k k Z -+∈B. [64,61]()k k k Z --∈C. [31,32]()k k k Z -+∈D. [34,31]()k k k Z --∈7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A.B.C.D.8．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9.在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π10在△ABC 中，D 为边BC 上一点，DC =2BD ，∠ADC=45°，若，则BD 等于（ ）A.4.B.2C. 2+D. 311.点S,A,B,C 是球O 的球面上的四个点,S,O 在平面ABC 的同侧，∠ABC=120°,AB=BC=2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S-ABC则该球的表面积为（ ） A.18π B.16π C. 20π D. 25π12.已知点(1,0)B ，P 是函数e x y =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论： ①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形；②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
太原市2014年高三年级模拟试题(一)
太原市2014年高三年级模拟试题(一)二、选择题：本题包括8小题，每小题给出的四个选项中，14～18小题只有一个选项正确，19～21小题有多个选项正确，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分。
14．如图所示，一只小鸟沿着较粗的均匀树枝从右向左缓慢爬行，在小鸟从A运动到B的过程中A．树枝对小鸟的作用力先减小后增大B．树枝对小鸟的摩擦力先减小后增大C．树枝对小鸟的弹力先减小后增大D．树枝对小鸟的弹力保持不变15．CTMD（中国战区导弹防御体系）是一种战术型导弹防御系统，可以拦截各类型的短程及中程超音速导弹。
在某次演习中，检测系统测得关闭发动机的导弹在距地面高为H处，其速度为v且恰好水平，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度V竖直向上发射一颗炮弹成功拦截。
已知发射时炮弹与导弹的水平距离为s，不计空气阻力，则A．V=H/sv B.V=[KF(]H/s[KF)]vC.V=s/Hv D．V=v16．如图是原、副线圈都有中心抽头(匝数一半处)的理想变压器。
原线圈通过单刀双掷开关S1与电流表连接，副线圈通过另一单刀双掷开关S2与定值电阻R0相连接，通过S1、S2可以改变原、副线圈的匝数。
现在原线圈上加一电压为U的正弦交流电，当S1接a，S2接c时，电流表的示数为I，下列说法正确的是A．当S1接a，S2接d时，电流为2IB．当S1接a，S2接d时，电流为I/2C．当S1接b，S2接c时，电流为4ID．当S1接b，S2接d时，电流为I/217．如图1所示，正电荷Q均匀分布在半径为r的金属球面上。
以圆心O为坐标原点，向右建立x轴，选取无穷远处电势为零，用E表示沿x轴上各点电场强度的大小、φ表示沿x轴上各点电势的高低。
下列E - x和φ - x图象大致正确的是18．将小球以10 m/s的初速从地面竖直向上抛出，取地面为零势能面，小球在上升过程中的动能Ek、重力势能EP与上升高度h间的关系分别如图中两直线所示。
取g = 10 m/s2，下列说法正确的是A．小球的质量为0.2 kgB．小球受到的阻力(不包括重力)大小为0.20 NC．小球动能与重力势能相等时的高度为 20/13mD．小球上升到2 m时，动能与重力势能之差为0.5 J19．如图所示，带等量异种电荷的平行金属板a、b处于匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。
山西省太原五中2014届高三2月月考数学理试卷Word版含答案
山西省太原五中2013—2014学年度第二学期月考（2月）高三数学(理)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,2lg P x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题2．设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射),(),(:y x y x y x f -+→在映射下，B 中的元素为（4，2）对应的A 中元素为 （ ）A ．（4，2）．（3,1） 329,,则5（ ）项.A.19B.20C.21D.22 4．复数ii+12（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．i B.i - C ．1 D.1- 5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37 B.29 C ．27D.496．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函A C7展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．458．在△ABC 中，若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形9像如图示，则将()y f x =的图像向右平移 ）A ．x y 2sin = B.x y 2cos =10．已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ） A ．123+ B．1313+ D11．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ）A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015]12．设x ，y ∈R ，且满足33(2)2sin(2)2,(2)2sin(2)6,x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩则x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
山西省太原五中2014届高三5月月考数学理试卷Word版含答案
太 原 五 中2013—2014学年度第二学期月考(5月)高 三 数 学(理)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M （ ） A 、∅ B 、{})0,2(),0,3( C 、 ]3,3[- D 、{}2,32.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21zz 等于（ ）A ．3i +B ．3i -C ．13i -+D ．3i --3．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a 2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( ) A ．600 B ．400 C ．300 D ．2004.已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A.32D.525. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．26. 函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f(x )的递增区间是（ ）A.[61,62]()k k k Z -+∈B. [64,61]()k kk Z --∈ C. [31,32]()k k k Z -+∈ D. [34,31]()k k k Z --∈7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为俯视图（ ）A.B.C.D.8．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9.在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为A ．18π B ．14π C ．12πD ．1π10在△ABC 中，D 为边BC 上一点，DC =2BD ，，∠ADC=45°，若AB ，则BD 等于（ ）A.4.B.2+C. 2+D. 311.点S,A,B,C 是球O 的球面上的四个点,S,O 在平面ABC 的同侧，∠ABC=120°,AB=BC=2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S-ABC 则该球的表面积为（ ） A.18π B.16π C. 20π D. 25π 12.已知点(1,0)B ，P 是函数e x y =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论： ①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形；②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。
2014年山西省太原市山大附中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2014年山西省太原市山大附中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={2，0，1，4}，集合B={x|0＜x≤4，x∈R}，集合C=A∩B．则集合C可表示为（）A.{2，0，1，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，4}D.{x|0＜x≤4，x∈R}【答案】C【解析】解：∵A={2，0，1，4}，集合B={x|0＜x≤4，x∈R}，∴C=A∩B={1，2，4}．故选：C．求出A与B的交集，确定出C即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.复数z=|（-i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A.2-iB.2+iC.4-iD.4+i【答案】A【解析】解：由z=|（-i）i|+i5=，得：．故选：A．直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z 的共轭复数可求．本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．3.设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A.α⊥β，α∩β=l，m⊥lB.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC.α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD.n⊥α，n⊥β，m⊥α【答案】D【解析】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故选D根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．4.阅读如图程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A.S＜10？B.S＜12？C.S＜14？D.S＜16？【答案】A【解析】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=0+2=2，不满足输出条件，故判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2+2×3=8，不满足输出条件，故判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=8+4=12，满足输出条件，故此时在判断时判断框中的条件应该不成立，而此时的S的值是12，结合上一次S的值为8，故判断框中的条件应S＜10或S＜12．故选：A，B．由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值．本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题．5.∫sin2dx=（）A.0B.C.D.【答案】B【解析】解：∫sin2dx=====．故选：B．本题考查了定积分，考查了三角函数的倍角公式，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导数公式，是基础的计算题．6.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A.11B.11.5C.12D.12.5【答案】C【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．7.（a+b+c）9的展开式中，a4b3c2项的系数为（）A.126B.420C.630D.1260【答案】D【解析】解：把（a+b+c）9看成9个因式（a+b+c）的乘积形式，从这9个因式中，挑出4个因式得到a4，方法有种；再从剩余的5个因式中挑出3个因式，得到b，方法有种；其余的2个因式得到c2，方法有1种，最后会得到含a4b3c2项．根据分步计数原理，含a4b3c2的项的系数是=1260，故选：D．把（a+b+c）9看成9个因式（a+b+c）的乘积形式，求出得到a4的方法数、得到b3的方法数、得到c2的方法数，把这些方法数相乘，即得含a4b3c2的项的系数．本题主要考查了二项式系数的性质，解答的关键是将：把（a+b+c）9看成9个因式（a+b+c）的乘积形式，利用排列组合的思想方法解决问题，属于中档题．8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．9.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=-1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π-θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=-1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．10.由y=f（x）的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图象，则f（x）为（）A.2sinB.2sinC.2sinD.2sin【答案】B【解析】解：由题意可得y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，可得函数y=2sin（6x-）的图象．（6x-2π-）=2sin的图象，故选B．y=2sin的图象上各个点的横坐标变为原来的，再把所得图象向右平移个单位，即可得到f（x）的图象，再根据y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律求得f（x）的解析式本题主要考查函数y=A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．11.现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A.①②③④B.②①③④C.③①④②D.①④②③【答案】D【解析】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选：D．依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.（0，+∞）B.（-∞，0）∪（3，+∞）C.（-∞，0）∪（0，+∞）D.（3，+∞）【答案】A【解析】解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（x-z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为______ ．【答案】3【解析】解：由得（x-z，1）（2，y+z）=0，即z=2x+y，画出不等式组的可行域，如右图，目标函数变为：z=2x+y，作出y=-2x的图象，并平移，由图可知，直线过B点时，在y轴上的截距最大，此时z的值最大：求出B点坐标（1，1）Z max=2×1+1=3，故答案为：3．画出不等式组表示的平面区域；将目标函数变形，画出其相应的图象；结合图，得到直线平移至（1，1）时，纵截距最大，z最大，求出z的最大值．本题考查画不等式组表示的平面区域、平面向量数量积的运算，考查数形结合求函数的最值．14.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______ ．【答案】4π【解析】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．15.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为______ ．【答案】【解析】解：从8张卡片中取出4张卡片的基本事件有个从两组1234中取4个数之和为10的情况有1234，1144，2233．取出的卡片数字为1、2、3、4时；每个数字都有两种不同的取法，则有24=16种；取出的卡片数字为1、1、4、4时，只有1中取法；取出的卡片数字为2、2、3、3时，只有1中取法；这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的基本事件共18个，∴从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为．故答案为：．先不考虑颜色，只选数字，可得出取4个数之和为10的情况有1234，1144，2233，再考虑每种情况下不同颜色的选择方案有哪些，利用古典概型概率个数计算即可．本题考查组合数和列举法在求古典概型概率中的应用，属于中档题．16.设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2-2b+c2=0，则•的范围是______ ．【答案】，【解析】解：设O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心如图所示，延长AO交外接圆于D．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=∠ABD=90°．∴∠，∠．=∠•cos∠BAD===（∵c2=2b-b2）=b2-b=．∵c2=2b-b2＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=．∴当b=时，f（b）取得最小值．又f（0）=0，f（2）=2．∴＜．即的取值范围是，．故答案为，．如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是∠，∠．可得===．再利用c2=2b-b2，化为=b2-b=．由于c2=2b-b2＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=．利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知数列{a n}中，a1=5且a n=2a n-1+2n-1（n≥2且n∈N*）．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【答案】解：（1）∵数列为等差数列设，===1，（6分）可知，数列为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）（2）由（1）知，，∴a n=（n+1）•2n+1．（8分）∴S n=（2•21+1）+（3•22+1）+…+（n•2n-1+1）+[（n+1）•2n+1]．即S n=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．令T n=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n，①则2T n=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1．②（12分）②-①，得T n=-2•21-（22+23++2n）+（n+1）•2n+1=n•2n+1．∴S n=n•2n+1+n=n•（2n+1+1）．（15分）【解析】（1）设，===1，所以数列为首项是2、公差是1的等差数列．（2）由题设知，，所以a n=（n+1）•2n+1．所以S n=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．由错位相减法能够求出数列{a n}的前n项和S n．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和错位相减求和法的合理运用．18.公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表：（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X的数学期望．【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为=，估计这100名新学员中有100×=10人一次性（不补考）获取驾驶证．（3分）（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P=P（B|A）==（6分）（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，则Y=0，1，2，3，设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，由题设知P（A）=，P（AB）=，P（ABC）=，∴P（B）===，P（C）===，∴P（Y=0）=P（）=1-=，P（Y=1）===，P（Y=2）=P（AB）==，P（Y=3）=P（ABC）==，则Y的分布列为（8分）EY=0×+1×+2×+3×=（10分）而X=100Y，所以EX=100EY=100×=90（12分）【解析】（Ⅰ）先由表中数据求出一次性（不补考）获取驾驶证的频率，再由学员数能求出一次性（不补考）获取驾驶证人数．（Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A，B，C，利用条件概率公式能求出结果．（Ⅲ）设这个学员一次性过关的科目数为Y，由已知条件Y=0，1，2，3，分别求出P （Y=0），P（Y=1），P（Y=2）和P（Y=3）的值，由此能求出Y的分布列和EY．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意条件概率公式的灵活运用．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，，求a的取值范围．【答案】证明：如图，（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF．∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，），，，，，平面BCD的法向量，，，设平面EBD的法向量为，，，由⇒，即，取y=1，得x=2，z=则，，．所以．因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，，所以cosθ∈，，即，．由得：由得：或．所以a的取值范围是，．【解析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．本题考查了面面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间坐标系，该题训练了学生的计算能力，是中档题．20.已知椭圆C1的中心为原点O，离心率，其一个焦点在抛物线C2：y2=2px的准线上，若抛物线C2与直线：相切．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，设动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹为C3．若点T满足：，其中M，N是C3上的点，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（I）由⇒，∵抛物线C2：y2=2px与直线：相切，∴⇒…（2分）∴抛物线C2的方程为：，其准线方程为：，∴．∵离心率，∴，∴a=2，b2=a2-c2=2，故椭圆的标准方程为．…（5分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x'，y'），T（x，y）则′′⇒′′′′，∵当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹C3，∴⇒′′′′，∴x'2+2y'2=12，∴C3的轨迹方程为：x2+2y2=12…（7分）由得（x，y）=（x2-x1，y2-y1）+2（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2．设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，因此x1x2+2y1y2=0，…（9分）∵点M，N在椭圆x2+2y2=12上，∴，，故=．∴x2+2y2=60，从而可知：T点是椭圆上的点，∴存在两个定点F1，F2，且为椭圆的两个焦点，使得|TF1|+|TF2|为定值，其坐标为，，，．…（13分）【解析】（Ⅰ）先确定抛物线的方程，再求出该椭圆的标准方程；（Ⅱ）先确定运动轨迹为C3的方程，由得M，N，P坐标之间的关系，根据直线OM与ON的斜率之积为，可知：T点是椭圆上的点，即可得出结论．本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e-x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，′，∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．∴f（x）增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∵′，∴φ′（x）==-，①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即＞＞；②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3-2e＜0；③当0＜t＜1时，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即＜，--（*）由（Ⅰ）知，在[0，1]上单调递减，故，而，所以不等式（*）无解综上所述，存在∞，，∞，使得命题成立．【解析】（Ⅰ）先求出′，得当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0．从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∴′，分别讨论①当t≥1时，②当t≤0时，③当0＜t＜1时的情况，从而求出t的范围．本题考察了函数的单调性，参数的求法，导数的应用，是一道综合题．22.已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【答案】解：（I）l的普通方程为y=（x-1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，-）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=-1时，d取得最小值．【解析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．23.设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2-3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=，，＜，＜，∴原不等式转化为或＜或＜，解得：x≥6或-2≤x≤-或x＜-2，∴原不等式的解集为：（-∞，-]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2-3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=-1，∴t2-3t＞-1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（-∞，）∪（，+∞）．【解析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，，＜，＜，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=-1，从而解不等式t2-3t＞-1即可求得实数t的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2014年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)
2014年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知{}2log ,1U y y x x ==>，1,2P y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（ ）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,+∞D.()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算． 【专题】计算题．【分析】先求出集合U 中的函数的值域和P 中的函数的值域，然后由全集U ，根据补集的定义可知，在全集U 中不属于集合P 的元素构成的集合为集合A 的补集，求出集合P 的补集即可． 【解答】解：由集合U 中的函数2log ,1y x x =>，解得0y >，所以全集()0,U =+∞，同样：10,2P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð． 故选A ．【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．2.复数2i12i +-的共轭复数是（ ）A.3i 5-B.3i 5 C.i - D.i答案：C【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为()i ,a b a b +∈R 的形式，然后求出共轭复数，即可． 【解答】解：复数()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5+++===--+，它的共轭复数为： i -． 故选C【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．3.若函数()f x 同时具有以下两个性质：①()f x 是偶函数，②对任意实数x ，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()πcos 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()πsin 42f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()cos6f x x =答案：C【考点】函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．【解答】解：由题意可得，函数()f x 是偶函数，且它的图象关于直线π4x =对称．()cos f x x =Q 是偶函数，当π4x =时，函数()f x =故不满足图象关于直线π4x =对称，故排除A ．Q 函数()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，是奇函数，不满足条件，故排除B ．Q 函数()πsin 4cos 42f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭是偶函数，当π4x =时，函数()1f x =-，是最小值，故满足图象关于直线π4x =对称，故C 满足条件．Q 函数()cos6f x x =是偶函数，当π4x =时，函数()0f x =，不是最值，故不满足图象关于直线π4x =对称，故排除D ，故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109a a a ++=，14377S S -=，则使n S 取得最小值时n 的值为（ ）A.4B.5C.6D.7 答案：B【考点】等差数列的前n 项和；数列的函数特性． 【专题】计算题．【分析】等差数列{}n a 中，由47109a a a ++=，14377S S -=，解得19a =-，2d =．所以()2192102n n n S n n n -=-+⨯=-，利用配方法能够求出n S 取得最小值时n 的值．【解答】解：等差数列{}n a 中， 47109a a a ++=Q ，14377S S -=，7114311631413321437722a a d S S a d a d =+=⎧⎪∴⨯⨯⎨⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得19a =-，2d =．()1922n n n S n -∴=-+⨯210n n =-()2525n =--，∴当5n =时，n S 取得最小值．故选B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.已知命题0:p x ∃∈R ，e 0x mx -=，:q x ∀∈R ，210x mx ++≥，若()p q ∨-为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A.()(),02,-∞+∞UB. []0,2C.RD.φ答案：B【考点】复合命题的真假． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的真假关系，确定命题p ，q 的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．【解答】解：若()p q ∨-为假命题，则p ，q -都为假命题，即p 是假命题，q 是真命题，由e 0xmx -=得e xm x=，设e x f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()221e e e 'xx x x x f x x x -⋅-==， 当1x >时，()'0f x >，此时函数单调递增，当01x <<时，()'0f x <，此时函数单调递递减， 当0x <时，()'0f x <，此时函数单调递递减，∴当1x =时，()e xf x x=取得极小值()1e f =，∴函数()e xf x x=的值域为()[),0e ,-∞+∞U ，∴若p 是假命题，则0e m <≤；若q 是真命题，则由210x mx ++≥，则240m ∆-=≤，解得22m -≤≤，综上0e 22m m ⎧⎨-⎩≤≤≤≤，解得02m ≤≤．故选：B ．【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．6.有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ） A.24 B.48 C.72 D.96 答案：B【考点】计数原理的应用． 【专题】概率与统计．【分析】满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，分类求出结果，即可． 【解答】解：同类书不相邻的排法种数 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4222132⨯⨯⨯⨯=种可能； 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有412118⨯⨯⨯⨯=种可能； 假设第一本是物理书，则有142118⨯⨯⨯⨯=种可能． 故选：B ．【点评】本题考查计数原理的应用，与浙江卷理科的一道选择题目求解概率的题目类似，是一道变形题，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现．7.给出30个数：1，2，4，7，11，L ，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A.i 30?≤；i 1p p =+-B.i 31?≤；i 1p p =++C.i 31?≤；i p p =+D.i 30?≤；i p p =+ 答案：D【考点】循环结构． 【专题】阅读型．【分析】由程序的功能是给出30个数：1，2，4，7，11，L 计算这30个数的和，我们可以根据循环次数，循环变量的初值，步长计算出循环变量的终值，得到①中条件；再根据累加量的变化规则，得到②中累加通项的表达式．【解答】解：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30 即①中应填写i 30≤； 又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即112+=； 第3个数比第2个数大2即224+=； 第4个数比第3个数大3即437+=；L 故②中应填写i p p =+ 故选D【点评】本题考查的知识点是循环结构，其中在循环次数=（循环终值-初值）÷步长1+，是循环次数，终值，初值，步长的知三求一问题，属于基础题． 8.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图俯视图A.3π32cm 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.3π32cm 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.3π41cm 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.3π41cm 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是两个正四棱柱与一个圆柱的组合体，根据三视图判断正四棱柱的底面边长和高及圆柱的底面直径和高的数据，代入圆锥与棱柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是两个正四棱柱与一个圆柱的组合体， 其中圆柱的底面直径为1，高为1；上边正四棱柱的底面边长为3，高为1； 下边正四棱柱的底面边长为4，高为2，∴几何体的体积22231π3142π141cm 24V ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．9.点P 在双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>上，1F ，2F 是这条双曲线的两个焦点，1290F PF ∠=︒，且12F PF △的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质． 【专题】压轴题．【分析】通过2PF ，1PF ，12F F 成等差数列，分别设为m d -，m ，m d +，则由双曲线定义和勾股定理求出48m d a ==，52dc =，由此求得离心率的值． 【解答】解：因为12F PF △的三条边长成等差数列，不妨设2PF ，1PF ，12F F 成等差数列， 分别设为md -，m ，m d +，则由双曲线定义和勾股定理可知：()2m m d a --=，2m d c +=，()()222m d m m d -+=+， 解得48m d a ==，52dc =，故离心率52e 52d c d a ===，故选D ．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．10．在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） 答案：DA.C.24D.6π【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积． 【专题】综合题． 【分析】由AB BC ⊥，得ABC △的外接圆的圆心'O 为AC 中点，连接'SO ，'BO ，可证'OO ⊥底面ABC ，将平面'SO B 取出，求出SB ，作SB 的中垂线，过'O 作'BO 的垂线，两者必相交于O ，用余弦定理，求得cos 'O BS ∠，从而可知D ，E ，O 三点重合了，可得外接圆的半径，即可求得球的表面积． 【解答】解：由AB BC ⊥，得ABC △的外接圆的圆心'O 为AC 中点，连接'SO ，'BO ，由SA SC =和AB BC =有'SO AC ⊥，'BO AC ⊥而四面体外接球的球心O 在平面'SO B 内，连接'OO ，有'OO ⊥底面ABC 将平面'SO B 取出，则'1BO =，'SO用余弦定理可得cos 'SO B ∠=SB ∴=作SB 的中垂线，过'O 作'BO 的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos 'O BS ∠=如图，'cos '2SBBE O B O BS =÷∠==也就是D ，E ，O 三点重合了外接圆的半径R OB ==∴球的表面积是24π6πR = 故选D ．16ODO'B E S3【点评】本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．11.过x 轴上点(),P a o 的直线与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若2211AP BP +为定值，则a 的值为（ ）A.1B.2C.3D.4 答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线AB 的方程为：x my a =+，与28y x =联立得2880y my a --=，利用韦达定理可求得()2222211441m aAP BP a m ++=+，由它为定值可求得a 的值． 【解答】解：设直线AB 的方程为：x my a =+， 代入28y x =得2880y my a --=；设()11,A x y ，()22,B x y ，则128y y m +=，128y y a ⋅=-，()()()1222222211111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，2222212111111m y y AP BP ⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭()2121222212211y y y y m y y +-=⋅+ ()22264281164m a m a-⨯-=⋅+ ()222441m a a m +=+， 2211BP AP+Q为定值，是与m 无关的常数， 4a ∴=． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的应用，着重考查运算求解能力，属于中档题．12.已知方程sin xk x=在()0,+∞上有两个不同的解α，()βαβ<，则下面结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos22sin ααα=C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ= 答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，sin y x =的图象与直线()0y kx k =>在()0,+∞上有且仅有两个公共点，故直线y kx =与sin y x =在3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(),sin ββ-，切线的斜率为sin cos βββ--=化简可得结论．【解答】解：sin xk x =Q ，sin x kx ∴=，∴要使方程()sin 0xk k x=>在()0,+∞上有两个不同的解，则sin y x =的图象与直线()0y kx k =>在()0,+∞上有且仅有两个公共点，所以直线y kx =与sin y x =在3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(),sin ββ-， ∴切线的斜率为sin cos βββ--=，cos sin βββ∴=，2sin 22sin cos 2cos βββββ∴==，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于中档题． 二、填空题13.若()5cos x φ+的展开式中3x 的系数为2，则cos2φ=_______．答案：35-【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．【分析】先利用二项式定理的展开式中的通项求出特定项的系数，再根据系数相等建立等量关系，求出cos φ，再依据倍角公式即可得到所求值．【解答】解：由于()5cos x φ+的展开式中含3x 的项为3235cos C x φ⋅， 若()5cos x φ+的展开式中3x 的系数为2，则325cos 2C φ= 即有210cos 2φ=，()211cos cos2125φφ∴=+=， 故3cos25φ=-．故答案为：35-．【点评】本题主要考查了二项式定理，考查特定项的系数等，属于基础题．14.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为_______．答案:【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由圆的方程为求得圆心()1,1C 、半径r 为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：222210x y x y +--+= ∴圆心()1,1C 、半径r 为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P 的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时， 切线长PA ，PB 最小圆心到直线的距离为3d =PA PB ∴===122PACB S PA r ∴=⨯=故答案为：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．15.已知O 是锐角ABC △的外接圆圆心，A θ∠=，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r ，则m =____ ．（用θ表示） 答案：sin θ【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意画出相应的图形，取AB 的中点为D ，根据平面向量的平行四边形法则可得AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r ，代入已知的等式中，连接OD ，可得OD AB ⊥u u u r u u u r，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以AB u u u r，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m ，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到()cos cos B A C =-+，代入表示出的m 式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把A θ∠=代入即可用θ的三角函数表示出m ．【解答】解：取AB 中点D ，则有AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r，代入cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=u u ur u u u r u u u r 得：()cos cos 2sin sin B C AB AC m AD DO C B +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由OD AB ⊥u u u r u u u r ，得0DO AB ⋅=u u u r u u u r，∴两边同乘AB u u u r，化简得：()cos cos 2sin sin B C AB AB AC AB m AD DO AB mAB AB C B ⋅+⋅=+⋅=⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即22cos cosC cos sin sin B c bc A mc C B+⋅=， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简得： 22cos cos sin sin sinCcos sin cos sin B CC B A m C C B+=， 由sin 0C ≠，两边同时除以sin C 得：cos cos cos sin B A C m C +=，()cos cos cos cos cos cos sin sinCA C A CB AC m C -+++∴==cos cos sin sinC cos cosC n sin A C A A si A C-++==，又A θ∠=， 则sin m θ=． 故答案为：sin θ.【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16.在数列{}n a 中，已知11a =,211n n a a +=+，10096a a =，则1516a a +=__________．【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用11a =，211n n a a +=+，10096a a =，分别求出15a 、16a ，则可求1516a a +．【解答】解：由11a =，211n n a a +=+， 得312a =，5121312a ==+，7132513a ==+， 9153815a ==+，11813a =，131321a =，152134a =，211n n a a +=+Q ， 10096a a =， 100969896111111a a a a +∴===++， 即9629610a a +-=，解得96a94a ∴，L 16a ，15162134a a ∴+==，【点评】本题主要考查数列递推公式的应用，根据递推公式分别求出15a ，16a 的值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，面积为S ，cos sin 0a C A b c --=． （Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若acos B C 取最大值时S 的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sin C不为0求出A的度数即可；（Ⅱ）由a，sin A的值，利用正弦定理表示出b与c，再由A的度数求出B C+的度数，用B表示出C，原式第一项利用三角形面积公式化简，再将表示出b与c代入，第二项将表示出的C代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得：sin cos sinA sin sin0A C CB C--=，()sin cos sinA sin sin0A C C A C C∴+-+-=，即sin cos sin sin cos cos sin sin0A C C A A C A C C---=，sin cos sin sin0C A A C C--=，sin0C≠Q，cos1A A-=，即π2sin16A⎛⎫-=⎪⎝⎭，π1sin62A⎛⎫∴-=⎪⎝⎭，ππ5π666A-<-<Q，ππ66A∴-=，则π3A=；（Ⅱ）由正弦定理，得：2sin sin sinb c aB C A====，2sinb B∴=，2sinc C=，且2π3C B=-，1cosC sin cos2B bc A B C++12sin2sin cos2B C B C=⨯⨯sin sin cosB C B C=2π2πsin sin cos33B B B B⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132sin sin224B B B B=++())1321cos21cos2sin244B B B B=+-++)2cos2B B=-26Bπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2π3B<<Q，ππ7π2666B∴-<-<，∴当ππ262B-=，即π3B=时，原式取得最大值，此时21πsin23S=⨯⨯=【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18.某园艺师培育了两种珍稀树苗A 与B ，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如茎叶图（单位：cm ）：165432985421998771918171615181247056899BA在这30株树苗中，树高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“生长良好”，树高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非生长良好”，且只有“B 生长良好”的才可以出售．（1）对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选3株，用X 表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式． 【专题】综合题；概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有12株，“非生长良好”的有18株，用分层抽样的方法，求出“生长良好”和“非生长良好”的株数，利用对立事件的概率，即可求出至少有一株“生长良好”的概率； （2）由题设知X 的可能取值分别为0，1，2，3，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，由此能求出X 的分布列和EX ． 【解答】解：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有12株，“非生长良好”的有18株，用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，“生长良好”的有2株，“非生长良好”的有3株．∴至少有一株“生长良好”的概率是23257110C C -=；（2）从所有“生长良好”中选3株，其中A 种树苗有8株，B 种树苗有4株，则X 的可能取值分别为0，1，2，3，()3831214055C P X C ===；()218431228155C C P X C ===；()128431212255C C P X C ===；()343121355C P X C ===，X ∴的分布列为： X 0 1 2 3 P 1455 2855 1255 15514281210123155555555EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 是11A C 的中点，AO ⊥平面111A B C ．已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===．（1）求证：11AB AC ⊥； （2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值．C 1B 1A 1OBCA【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间角． 【分析】（1）由已知条件推导出四边形11AC CA 为菱形，从而得到1A C ⊥平面11AB C ，由此能够证明11AB AC ⊥． （Ⅱ）设点1C 到平面11AA B 的距离为d，利用等积法求出d 11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：AO ⊥Q 平面111A B C ，11AO B C ∴⊥， 又1111AC B C ⊥Q ，且11AC AO O =I ， 11B C ∴⊥平面11AC CA ，111AC B C ∴⊥， 又1AA AC =Q ，∴四边形11AC CA 为菱形， 11AC AC ∴⊥，且1111B C AC C =I ， 1A C ∴⊥平面11AB C ，11AB AC ∴⊥． （Ⅱ）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， 111111A A B C C AA B V V --=Q ，111111111323AA B AC B C AO S d ∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅△， 又Q 在11AA B △中，111A B AB ==，11AA B S △d ∴=， 11A C ∴与平面11AA B【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知中心在原点O ，左右焦点分别为1F ，2FA ，B 是椭圆上两点．（1）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；（2）动点P 满足：3OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，求动点P 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 【专题】压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】（1，焦距为分类讨论，设直线AB 为：y kx m =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA OB ⊥，可得224330m k --=，根据直线AB 与以原点为圆心的圆相切，即可求此圆的方程；（2）利用3OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，确定坐标之间的关系，由直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，可得121213y y x x =-，即121230x x y y +=，结合A ，B 在椭圆上，即可求动点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由2222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩．∴椭圆方程为2213x y +=．①设直线AB 为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得：()()222136310k x kmx m+++-=．122613kmx x k -∴+=+，()21223113m x x k -=+， OA OB ⊥Q ， 0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即()()12121212x x y y x x kx m kx m +=+++()()2212121k x x km x x m =++++()()22222316km 1km 01313m k m k k --⎛⎫=+⋅+⋅+= ⎪++⎝⎭， 即224330m k --=．Q 直线AB 与以原点为圆心的圆相切，∴圆的半径r =222314m r k ==+．∴圆的方程为2234x y +=； ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为X =，满足上述方程． 综上，所求圆的方程为：2234x y +=． （2）设(),P x y ，又()11,A x y ，()22,B x y ，由：3OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，又直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，121213y y x x ∴=-，即121230x x y y +=． A Q ，B 在椭圆上，221113x y ∴+=，222213x y +=．联立121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩，消去1x ， 2x ，1y ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，2x =此时x =±同理OB斜率不存在时，x =±．∴动点P的轨迹方程为(22330x y x +=≠±．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，难度大．21.已知函数()()()221ln f x a x x a =--++，()e ex xg x =．（1）若函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭无零点，求实数a 的最小值；（2）若对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e 上方程()()0f x g x =总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）将()f x 的表达式重新组合，即()()()212ln f x a x x =---，分别研究函数()()()21m x a x =--，()2ln h x x =，0x >，讨论当2a <时和当2a ≥时的情况．（2）求出()'g x ，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出()g x 的值域；对于()f x ，讨论当2a <时和当2a ≥时的情况，只有当()f x 在(]0,e 上不单调的情况才可能满足题意，结合着()g x 的值域，和数形结合，要使在(]0,e 上方程()()0f x g x =总存在两个不等的实根，只需满足()202e fa f ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪⎩≤≥1，即()1ln 2ln 20232e 1a a a ⎧+--⎪⎪⎨⎪-⎪-⎩≤≤，进一步通过求导的方法证明当32e 1a --≤时，()1ln 2ln 202a a +--≤恒成立，从而确定a 的取值范围．【解答】解：()()()212ln f x a x x =---（1）令()()()21m x a x =--， 0x >；()2ln h x x =，0x >，则()()()f x m x h x =-， ①当2a <时，()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，结合图象可知，若()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，则1122m h ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即()11212ln 22a ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭≥，24ln2a ∴-≥，24ln22a ∴-<≤．②当2a ≥时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()()0,0m x h x <≥，()0f x ∴>，()f x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点．由①②得24ln2a -≥． min 24ln 2a ∴=-；（2）()()111'e e 1e x x x g x x x ---=-=-，当()0,1x ∈时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当(]1,e x ∈时，()'0g x <，函数()g x 单调递减． 又因为()00g =，()11g =，()2e e e 0g -=>， 所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1．()()()212ln f x a x x <---Q ，()()222'2a x f x a x x--∴=--=． ①当2a ≥时，()'0f x <，()f x ∴在(]0,e 单调递减，且()10f =，不符合题意， ②当2a <时，令()'0f x =，22x a=-， i ）当2e 2a -≥时，即当222e a -<≤时，()'0f x <，不符合题意． ii ）2e 2a <-时，即当22e a <-时，令()'0f x >，则2e 2x a<<-；令()'0f x <时，则202x a <<-，又Q 当3220,0,e 2a x a -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭I 时，()()()32212ln 22ln e 1a f x a x x a -=--->--=，∴要使()()0f x g x =在(]0,e 上总存在两个不相等的实根，需使()202e 1f a f ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪⎩≤≥即()1ln 2ln 20232e 1a a a ⎧+--⎪⎪⎨⎪-⎪-⎩≤≤ 下证：当32e 1a --≤时，()1ln 2ln 202a a +--≤恒成立，设()()1ln 2ln 22t x x x =+--，32e 1x --≤，则()()11'2222xt x x x -=+=--， 当(),0x ∈-∞时，()'0t x ≥，30,2e 1x ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭时，()'0t x <．()()00t x t ∴=≤．()1ln 2ln 202a a ∴+--≤恒成立， 又2322e e 1->--Q ，32e 1a ∴--≤． 综上，得3,2e 1a ⎛⎤∈-∞- ⎥-⎝⎦．【点评】本题难度较大，较灵活，第一问是将原函数分成两个函数的差，再进一步通过数形结合进行谈论研究，学生也可以直接用求导的方式讨论研究．第二问中需要多次分类讨论和数形结合的思想给出思路的方向，并利用求导的方法进行验证研究，对于学生来说是一个难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．选修4一1：几何证明选讲22.如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，APC ∠的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ．（Ⅰ）证明：ADE AED ∠=∠；（Ⅱ）若AC AP =，求PCPA的值．【考点】弦切角；相似三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到BAP C ∠=∠，结合PE 平分APC ∠，可得BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠，最后用三角形的外角可得ADE AED ∠=∠；（Ⅱ）根据AC AP =得到APC C ∠=∠，结合（I ）中的结论可得APC C BAP ∠=∠=∠，再在APC △中根据直径BC 得到90PAC BAP ∠=︒+∠，利用三角形内角和定理可得190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒．利用直角三角形中正切的定义，得到CAAB=等证明出APC BPA△∽△，从而PC CAPA AB==【解答】解：（Ⅰ）PA Q 是切线，AB 是弦， BAP C ∴∠=∠．又APD CPE ∠=∠Q ，BAP APD C CPE ∴∠+∠=∠+∠．ADE BAP APD ∠=∠+∠Q ，AED C CPE ∠=∠+∠， ADE AED ∴=∠∴∠ADE=∠AED ． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知BAP C ∠=∠， APC BPA ∠=∠Q ， AC AP =Q ， APC C ∴∠=∠APC C BAP ∴∠=∠=∠．由三角形内角和定理可知，180APC C CAP ∠+∠+∠=︒． BC Q 是圆O 的直径， 90BAC ∴∠=︒．1809090APC C BAP ∴∠+∠+∠=︒-︒=︒．190303C APC BAP ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒．在Rt ABC △中，1tan CA C AB =，即1tan30CAAB=︒， CA AB∴= Q 在APC △与BPA △中BAP C ∠=∠，APB CPA ∠=∠， APC BPA ∴△∽△． PC CAPA AB ∴=． PC CA PA AB∴==．【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt ABC △是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．选修4-4：坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩（0a b >>，φ为参数），且曲线1C 上的点(2,M 对应的参数π3φ=．且以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线π4θ=与曲线2C 交于点π4D ⎫⎪⎭．（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的极坐标方程； （2）若()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由曲线1C 上的点(2,M 对应的参数π3φ=可得：π2cos 3πsin3a b ⎧=⎪⎪，解得即可得到曲线1C 的普通方程．设圆2C 的半径为R ，由于射线π4θ=与曲线2C 交于点π,4D ⎫⎪⎭π2cos 4R ，解得即可得到圆2C 的极坐标方程．（2）曲线1C 的极坐标方程为：()()22cos sin 1164ρθρθ+=，化为2221cos sin 164θθρ=+，把()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线1C 即可得出．【解答】解：（1）由曲线1C 上的点(2,M 对应的参数π3φ=可得：π2cos 3πsin3b ⎧=⎪⎪=，解得42a b =⎧⎨=⎩， ∴曲线1C 的普通方程为221164x y +=．设圆2C 的半径为R ，由于射线π4θ=与曲线2C 交于点π4D ⎫⎪⎭．π2cos 4R =，解得1R =．∴圆2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （2）曲线1C 的极坐标方程为：()()22cos sin 1164ρθρθ+=，化为2221cos sin 164θθρ=+，()1,A ρθQ ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，22222212cos sin 11cos sin 22164164ππθθθθρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎪∴+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2222cos sin sin cos 164164θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11516416=+= 【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程与参数方程及其直角坐标方程的互化和应用，考查了计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲 24.选修4﹣5：不等式选讲已知函数()213f x x x =+--． （Ⅰ）解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若存在x 使得()0f x a +≤成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式．【专题】不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）化简()f x 的解析式，并画出图象，找出与4y =的交点，从而得到不等式()4f x ≤的解集．（Ⅱ）由()f x 的图象知，12x =-时，()f x 有最小值72-，由题意知，实数a 大于或等于()f x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）()()14,2121332,24,3x x f x x x x x x x ⎧⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+⎪⎩≤≤<3≥，如图，它与4y =的交点为()8,4-和()2,4． 故不等式()4f x ≤的解集为[]8,2-．（Ⅱ）由()f x 的图象知，12x =-时，()f x 有最小值72-，存在x 使得()0f x a +≤成立，等价于72a --≥，72a ≤，故实数a 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，画出函数图象是解题的关键，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
D．cos2=2sin
2
.
2 2
14．已知 P 是直线 3x 4 y 8 0 上的动点，PA、PB 是圆 x y 2x 2 y 1 0 的切线，A，B 是切点，C 是 圆心，那么四边形 PACB 的面积的最小值是 .
c c os B os AB 15． 已知 O 是锐角ABC 的外接圆的圆心， 且∠A=， 若 sin C sin
x) f ( x) ， 则 f ( x) 4 4
D． f ( x ) = cos 6 x
2
)
C． f ( x ) = sin(4 x
2
)
4．已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, a4 a7 a10 9, S14 S3 77 ,则使 Sn 取得最小值时 n 的值为 A．4 B．5 C．6 D．7
18． （本小题满分 12 分） 某园艺师培育了两种珍稀树苗 A 与 B，株数分别为 12 与Байду номын сангаас18，现将这 30 株树苗的高度编写成如下茎叶图（单 位：cm）: A 9 15 16 17 18 19 7 B 7 8 9 9
6 7
9 8 8 5 0 4 2 1 1
1 2 0
2 3 1
4 4
5 5
8 6
从这 5 株中任选 2 株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？
(II)若从所有“生长良好”中选 3 株，用 X 表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出 X 的分布列，
并求 X 的数学期望.
19． （本题满分 12 分） 如图，在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，点 O 是 A1C1 的中点，AO⊥平面 A1B1C1.已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2． （I）求证：AB1⊥ AlC； （Ⅱ）求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.
10．在三棱锥 S-ABC 中，AB⊥BC, AB=BC= 2 ,SA=SC=2，二面角 S-AC-B 的余弦值是同一球面上，则该球的表面积是 A．8 6 B． 6 C．24 D．6
11．过 x 轴上点 P( a ,0)的直线与抛物线 y 2 8x 交于 A，B 两点，若 A．1 12．已知方程 B．2 C．3
山西省太原市 2014 届高三模拟考试（一）数学（理）试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1 1．已知 U={y| y log2 x, x 1 }, P={y| y , x 2 }, 则 CUP= x
1 A. [ , +∞) 2 2＋i 2．复数 的共轭复数是 1－2i A．3 i 5 3 B． i 5 C．- i D． i B． (0, 1 ) 2 C．(0, +∞) 1 D． （ ,+∞) 2
3． 若函数 f ( x ) 同时具有以下两个性质： ① f ( x ) 是偶函数， ②对任意实数 x， 都有 f ( 的解析式可以是 A． f ( x ) = cos x B． f ( x ) = cos(2 x
3 C． （41+ )㎝ 4 3 D． （41+ )㎝ 2 9．设 P 在双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) 上，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且F1PF2 的三条边 a 2 b2
C．4 D．5 3 , 若 S、A、B、C 都在 3
长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A．2 B．3
表示) 16．在数列 {an } 中，已知 a1 1, an 2
C AC 2mAO ，则实数 m= B
.(用
1 , a100 a96 ，则 a15 a16 an 1
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 12 分） 已知△ABC 三个内角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c , 面积为 S， a cos C 3c sin A b c 0. （I）求角 A 的值； （Ⅱ）若 a = 3 ,求 3 S+ 3cosBcosC 取最大值时 S 的值． 3
9
在这 30 株树苗中，树高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为 “生长良好” ，树高在 175cm 以下 （不包括 175cm) 定义为“非生长良好” ，且只有“B 生长良好”的才可以出售. (Ⅰ)对于这 30 株树苗，如果用分层抽样的方法从“生 长 良 好 ”和“非生长良好”中共抽取 5 株，再
1 AP
2
1 BP
D．4
2
为定值，则 a 的值为
sin x k 在（0，+∞）上有两个不同的解，（＜） ，则下面结论正确的是 x
2 2 2
A．sin2=2cos B．cos2=2sin C．sin2=2cos 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若 (cos x) 的展开式中 x 的系数为 2,则 cos2=
5．已知命题 p: x0 R, ex mx 0, q: x R, x2 mx 1 0 ,若 p∨（q）为假命题，则实数 m 的取值范围是 A． （-∞，0）∪（2，+∞） B．[0,2] C．R D． 6．有 5 本不同的教科书，其中语文书 2 本，数学书 2 本， 物理书 1 本.若将其并排摆放在书架的同一层上，则同 一科目书都不相邻的放法种数是 A．24 B．48 C．72 D．96 7．给出 30 个数：1,2,4,7,11,16，„，要计算这 30 个数的和， 右图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断①处和执行 框②处可以分别填入 A． i ≤30？和 p=p+ i -1 B． i ≤31？和 p=p+ i +1 C． i ≤31？和 p=p+ i D． i ≤30？和 p=p+ i 8．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 3 A.（32+ )㎝ 4 3 B． （32+ )㎝ 2