桥梁设计理论第七讲

第七讲 薄壁杆件的组合扭转上二讲分别讨论了薄壁杆件的自由扭转和约束扭转，建立了相应的扭转角微分方程。

而实际工程中的杆件受扭时，扭转角应该是自由扭转和约束扭转的综合变形。

即作用在截面上的扭矩T M （图7-1）为自由扭转剪应力（z τ）形成的扭矩Z M 及约束扭转剪应力（ωωττ或）形成的扭矩ϖM （或ϖM ）的组合，亦即ωτττ+=z T （或T z ωτττ=+）以及开口截面 z T M M M ω+= （7-1-1） 闭口截面 T T M M M =+ω （7-1-2）第一节 开口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于开口薄壁截面杆件自由扭转和约束扭转，分别取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有T T GI EI M ωφφ''''-= （7-2）上式对z 求导（见图7-2a ）），两边同时除以EI ω，得：2Tm k EI ωφφ''''''-=-（7-3） 此式即为开口薄壁杆件扭转角微分方程。

式中：ωEI GI k T=（7-4） 称为薄壁截面的弯扭特征。

即截面自由扭转刚度和约束扭转刚度之比。

而 TT d d M m z=（7-5） T m 为扭矩沿杆长的分布集度。

ωτ+a) 自由扭转b) 约束扭转c) 组合扭转图7-1第二节 闭口薄壁杆件组合扭转的微分方程对于闭口薄壁杆件，仍从式（7-1）出发，此时约束扭转力矩ωM 以待定函数θ表示，即用式（6-44）代入，于是组合扭转微分方程可表达为：T T m GI EI -=''-''''φθω （7-6）（7-1）方程中包括两个未知函数θ及φ。

现根据静力学条件建立未知量θ及φ间的关系，以便与式（7-6）联立求解。

设自由扭转与约束扭转产生的总剪力流为q ，它对扭转中心的扭矩应等于作用于截面的荷载扭矩T M 。

即T 0d M s q =⎰ρ（7-7）根据虎克定律并引用式（6-2），剪力流可写成：)(zs w Gt t G t q T ∂∂+∂∂===ξγτ 或 )(0φρ'+∂∂=swGt q （7-8） 而 0w w θω'=-+ （7-9）（6-15）上式对s 求导后代入式（7-8），再将式（7-8）代入式（7-7），积分化简得：ρTGI M μμφθ-'=' （7-10） 其中： ρT 1I I -=μ （7-11） 称为截面翘曲系数。

对于单室截面 ⎰=ts A I d 42T对于多室截面 ∑=iiT ]4A q I而⎰=AA I d 20ρρ为截面的极惯矩，下同。

式（7-10）推导如下： 由式（7-8）有： )(0φρωτ'+∂∂=SG 而由式（7-9）有： )()()(0z s z w ωωθ+-= 则式（7-8）的第一项w s sωθ∂∂'=-∂∂ （a ）有式（6-13）有： i0(2)d sq s tωρ=-⎰将其代入式（a ）得：]0(2)i q ws tθρ∂'=--∂ （7-13） 将式（7-13）代入式（7-8）有：i T 00][(2)]q G tτθρρφ''=--+ （b ） 又截面内剪应力τ与内力T M 有如下关系：T 0T Ad M A ρτ=⎰将式（b ）代入后积分得：]22T 0i 00AAA(d 2d )d M G A q s G A θρρφρ''=--+⎰⎰⎰ （c ）又有式（5-46）有：]zTi i M I q q 2=（d ） 而 0d z i sM q s ρ=⎰（e ）将ρI 及式（d ）、（e ）代入式（c ）可得：T T M GI GI GI ρρθθφ'''=-++故()T T GI M G I I ρρφθ'-'=-或TM GI ρφθμμ''=- 其中：ρμI I T-=1。

若T M 为z 的二次或二次以下的函数，即有TM ''，则由式（7-10）可得： φθμ''''''''=（7-14）（7-10） 将其代入式（7-6），便得出闭口薄壁杆件的扭转变形微分方程μφφωEI m k T-=''-''''2 （7-15）（7-6）其中： μωEI GI k T=（7-16）（7-4） 比较式（7-15）与式（7-3）和式（7-16）与式（7-4）可以看出，对于闭口截面，可利用开口截面的扭转微分方程的表达式，而以EI ωμ代替EI ω即可。

这一比拟关系，对以后直接根据开口截面的变形公式写出闭口截面的变形公式，颇为有用。

务必注意，对于闭口截面，尽管可以用EI ωμ代替EI ω，从而直接套用开口截面中关于扭转角φ的微分方程，但因闭口截面约束扭转双力矩B 及扭转力矩M 均与θ的导数有关，故由式（7-10）有：T TTm GI m GI m GI ρρρφθμμφθμμφθμμ⎫''''⎪⎪⎪''''⎪'''=-⎬⎪⎪''''''''''⎪=-⎪⎭＝－ （7-17） 第三节 扭转角微分方程的初参数解法扭转角微分方程式（7-3）及式（7-15）为四阶常系数（等截面）非齐次线性方程，其解由齐次解和特解两部分组成，齐次解将有四个积分常数，由问题的边界条件确定。

一、开口薄壁杆件扭转角微分方程的初参数解法先讨论开口薄壁杆件扭转角微分方程式（7-3）的解法。

微分方程2Tm k EI ωφφ''''''-=-（7-18）（7-3） 其齐次解为：1234ˆsh ch c c z c kz c kz φ=+++ （7-19） 据此，不难求得各阶导数，进而得到扭转角的变化率ˆφ'、约束扭转双力矩ˆB 、总扭矩ˆTM 的表达式。

231ˆ(cosh sinh )c k c kz c kz φ'=++ （7-20） 34ˆ(sinh cosh )T B EI GI c kz c kz ωφ''=-=-+ （7-21-1） 34ˆ(cosh sinh )T M EI GI k c kz c kz ωωφ'''=-=-+ （7-21-2） 2ˆT T T M GI EI GI c ωφφ''''=-= （7-22）式中积分常数1c 、2c 、3c 、4c 可表达为杆件在坐标原点处（z =0）的扭转角（0φ）、扭转角的变化率（φ'）、双力矩（0B ）及扭矩（0T M ）的 函数。

将z =0代入式（7-19）、（7-20）、（7-21）及（7-22）有：0140230402T T Tc c c kc B c GI M c GI φφ=+'=+=-= （7-23）解此方程得：1002003004//1()T T T T T Tc B GI c M GI M c k GI B c GI φφ=+='=-=将其代入式（7-19）～（7-22），便得到以初参数0000T B M φφ'、、及表达的ˆφ、ˆφ'、ˆB 及ˆTM 的解析式： 0000sh ˆ(1ch )(sh )T T TB M kz kz kz kz k GI kGI φφφ'=++-+- （7-24）（7-19） 000ˆch sh (1ch )T T TM kkz B kz kz GI GI φφ''=-+- （7-25）（7-20） 000ˆsh ch sh T T M GI B kz B kz kz k kφ'=-++ （7-26）（7-21） 0ˆTT MM = （7-27）-（7-22） 式中0000T B M φφ'、、、仍为未定常数，可根据初始值的物理意义，由起始点（z =0）边界条件直观确定。

微分方程的特解，可根据作用在杆件上的扭转荷载形式，利用微分方程的特征方程式，用待定系数法求得。

对于常见的荷载（图7-2）包括集中双力矩p B ，集中力矩p M ，分布扭矩p m ，特解可写成一般的形式，即111(sinh )(sinh )d (1cosh )bpp p a T TTM B c kc m k kd GI k GI k GI φξξξ=-+-+-⎰ （7-28） 式中a 、b 、c 、d 及ξ均表示自计算截面（z ）沿坐标轴z 的负方向量取的距离，故式（7-28）为z 的线性函数。

式（7-28）对z 求导，得到扭转率、双力矩和扭矩的特解如下：1(1cosh )(1cosh )d sinh b pp p aT TTM kB kc m k kd GI GI GI φξξ'=-+--⎰（7-29）1sinh sinh d cosh bp p p aM B EI kc m k B kd kk ωφξξ''=-=++⎰ （7-30） d b T T p p aM GI EI M m ωφφξ''''=-=+⎰ （7-31）微分方程的通解则为：ˆˆˆˆTTB BB M MM φφφφφφ=+'''=+=+=+ （7-32）将式（7-24）～（7-27）及式（7-28）～（7-31）代入式（7-32），即得到开口薄壁杆件扭转变形的最后解答式。

对于薄壁杆件扭转的具体问题，先按实际作用的荷载，列出式（7-32），由于通常情况下荷载沿杆件纵向是不连续的，故式中必须是分段表达（见本讲算例），然后根据边界条件求解初始参数，再由式（7-32）计算任意截面的扭转角φ，扭转率φ'，双力矩B 和扭矩T M 。

容易看出，这里介绍的初参数法与梁弯曲理论的初参数法是相似的。

二、闭口薄壁杆件扭转角微分方程的初参数解法对于闭口薄壁杆件，由于其扭转角微分方程式（7-15）与开口薄壁杆件扭转角微分方d M M +Ma)b)图7-2程式（7-3）相似，在数学问题上属于同一类问题，故式（7-15）的齐次解，与开口薄壁杆件的具有相同的形式。

由于闭口薄壁杆件的纵向位移、双力矩、扭矩等都与函数θ的导数有关（见式（6-31）、（6-34）、（6-44））,因此，对应于式（7-29）～（7-31），引入闭口薄壁杆件的θ函数，由式（7-10）及式（7-17），考虑微分方程的齐次解（0T m =）时，φ与函数θ间有如下的关系：即φθμφθμφθμφθμ''=''''=''''''=''''''''=（7-33）（7-10）（7-17） 于是仿照（7-24）-（7-27）的推导，可得到闭口薄壁杆件扭转角微分方程的齐次解，这时式中的系数k 取式（7-16）的形式。