随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛
鞅
周生笛
• • • •
鞅的概念 多布—迈耶分解 随机积分 测度变换和鞅表示
概念
• 简单地讲，一个随机变量的时间序列没有表现出 任何的趋势，就可以称之为 鞅。他是一种用条件 数学期望定义的随机运动形式。 • 如果对于任意的n≥0， Sn 的值包含在 f n 中，就称 Sn f为 适应的。 n • 离散鞅：假定 Sn 是滤波空间｛ ，f , , F ｝的 一个适应过程，若： E(Sn ) , n Z 1. E(Sn1 f n ) Sn , n Z 2. Sn 为离散鞅 则称
0
鞅变换
• 鞅的数学期望形式是基于相应的概率测度的，通过这个， 我们可以通过适当的改变概率测度，把任意的一个随机过 程变换为鞅。
X n M n An , n Z
• 2.多布迈耶定理： (t )t(0,) 是一个 f n 适应的右连续的下 如果 鞅，E(St ) , t, 则对于任何0≤t≤ , (St ) 都 可分解为下列形式： St M t At At Mt 是右连续鞅 是一个可料增量过 程。
t 1 t
• 由定义可知，上式
X t 是一个鞅，并称( M )n 为对M的鞅变换
• 鞅变换提供了一个简单但很有用的判断鞅的方法： 当且仅当对于任意可料随机过程θ，有：
E ( M ) n 0
则,M是一个鞅。
• 简单过程随机积分
0 t0 t1 ,..., tn T
E(Sn f n ) 0
• 由上式知对 Sn 在下一时间内变化的最好预 测就是 0。换句话说，该随机变量的未来运 动方向和大小是不可预测的，这就是所谓 鞅性
多布迈耶分解
• 问题：当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度下的鞅。那怎样把原本是上 下鞅的资产价格运动过程变成鞅？ • 1.多布分解定理： • 令 ( X n )nz 为一个 f n 的适应下鞅，则它可以唯一 的分解为一个鞅和可料递增随机序列的和：
随机过程-第六章 鞅与停时
E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ） 设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服 从 独 立 同 分 布 ， 且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数， 则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ； （2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 均等。 对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球， 则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次 抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令
独立同分布环境中配对依人口数两性分支过程 L1收敛
存在 ， 且
ｓ ｕ ｐ ｒ ・
证明 ： 对于正整数 ｋ ， ｊ ， 有
（ ｋ＋ ＿ 『 ） ｒ ｋ ． 口＝Ｅ（ ｚ ＾ ＋ １ Ｉ ｚ ＾＝ｋ＋ ， ＝０ ）
＝
ｚ ０＝Ⅳ ， （ 小 ＋ ）＝∑ Ｊ ， ｍ “ Ｊ ） ，
＋ ，＝Ｌ ｚ （ ＋ ， ） ， （ ｎ＝０ ， ｌ ， ２ ， …）（ １ ）
定理 ２ 对 于 一 个 具 有 上 可 加 的模 型 （ １ ）分 枝 过程 ， 则有存 在 一个 随机 变量 Ｗ满 足 Ｅ Ｗ ＜∞ 且
摘 要： 考虑 了随机环境 中配对依人 口数 两性分枝过程模型 ， 并且得到 了独立同分布环境配对 依人 口 数 两性分枝过程 ｛ ｚ ｝ 对应 的过程 ｛ ｝ 的Ｌ 收敛的充分条件．
关 键词 ： 两性 分枝 过程 ； 随机 环 境 ； 依 人 口数 ； Ｌ 收 敛． 中图分 类号 ： ０ ２ １ １ ． ６ ５ 文 献标 识码 ： Ａ
０ 引 言
分枝过程是刻 画生物种群演化过程的数学模
型， １ ８ ７ ３年 ， Ｇ ａ ｌ ｔ ｏ ｎ和 Ｗａ ｔ ｓ ｏ ｎ在探 讨 英 国姓 氏继承 与谱 氏 消亡 问题 时 提 出了一 种新 的 随机过 程模 型 ， 现在人 们称 之 为 Ｇ ａ ｌ ｔ ｏ ｎ—Ｗａ ｔ ｏｎ分 枝 过程 ， ｓ 也称 其 为经典 分 枝过程 ． 后来 ， 以经 典分 枝过 程 为基 准 ， 将
此处 ， ｛ ｝ 。 是一列配对 函数 ， 且 对每个 ｜ Ｉ ｝ ， 取非负整数值 ， 且对每个 自变量均是单 调非降的， （ ， Ｙ ）≤ ｘ ｙ ．
上 可加的， 有： — ’ ∞ 后 咖 （ 后 ）＝｛ Ｉ ｔ － ｉ － ￣ ∞ ． 一 ＝ 存在， ． ’ 一 。
鞅收敛定理
鞅收敛定理鞅收敛定理，在概率论领域中具有重要地位。
在许多概率论的定理和应用中，鞅的概念及其收敛都是十分重要的。
该定理表明，由一系列随机变量构成的鞅在一定条件下，能够收敛于一个确定的极限值。
鞅收敛定理是鞅理论中的核心定理之一，可以用于解决很多实际中的问题。
一、鞅的定义与性质鞅是一种非常重要的概率过程，它涉及到许多重要的概率定理和实际应用。
鞅的定义相对比较简单，如果一个随机过程M = {M_n}是一列随机变量的序列，并且满足以下三个条件：1）M_n是一个可测的随机变量；2）对于n≥0，E[M_n] < ∞；3）对于n≥0，E[M_n+1 | M_0,M_1,...,M_n] = M_n则我们称之为鞅。
上面的第一个条件保证了鞅可以被测量，第二个条件保证了内部的随机性，第三个条件保证了鞅的期望性质。
鞅有许多重要的性质：1）鞅是一种无偏的估计，即E[M_n] = E[M_0]，其中M_0是鞅的起始点，通常为0；2）鞅通常用来表示一种刻意的结构，以反映出随时间的增长或下降的模式；3）鞅满足马尔科夫性质，即在给定M_n的条件下，未来的发展只取决于M_n，而与之前的结果无关。
二、鞅的收敛与鞅收敛定理由于鞅是一个任意序列的条件期望，因此它可能会收敛到一个确定的极限值。
鞅收敛定理指出，当一个鞅满足Lim E[M_n] < ∞时，则它在一定的条件下可以收敛。
鞅收敛定理有两种形式，分别是条件收敛和几乎处处收敛。
条件收敛是指，在一定的概率空间中，鞅以一定的概率收敛于一个值。
而几乎处处收敛是指，在概率空间上几乎每次试验，鞅以概率1收敛于一个值。
在鞅的收敛过程中，我们需要关注以下两点：1）鞅序列的逐点有界性；2）鞅序列的逐点收敛性。
对于一系列的随机变量构成的鞅序列，若能满足上述两点条件，那么在某些条件下，鞅可以达到收敛。
其中最常见的条件就是马尔科夫条件。
马尔科夫条件是指，鞅的未来值仅仅取决于当前的值，而并不取决于它的过去值。
第四章条件期望与鞅4.4鞅的收敛定理及应用大字体
第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用本节的内容也都是在固定的完备概率空间(,,)P ΩF 上讨论的，而且还假定存在的子F σ域流{,}n n =∈N F F ，{}0,1,2,=N 。
以后大部分内容也还是在带流概率空间(,,,)P ΩF F 上讨论的。
第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用4.4.1 收敛定理设{},n X X n =∈N 为适应随机变量序列，a b <为两个任意实数，令00T =，{}1inf :n T n X a =≤，{}12inf :,n n b T T n X >=≥，(4.4.1) ………………{}2122inf :,j n j n T T n X a −−=>≤， {}221inf :,j n ，(4.4.2) j n T T n X b −>≥=在此规定。
inf ∅=+∞由命题3.4.1，{},0k T k ≥都是停时。
{}1inf :n T n X a =≤表示{},n X X n =∈N 的轨道首次小于等于的时刻，a {}21inf :,n T n n T Xb =>≥为之后1T X 的轨道首次达到或超过的时刻。
b 若，则2T <∞X 自到的轨道穿越了1T 2T [],a b 一次。
21T −是22j j T −后X 的轨道首次小于等于的时刻， a 若，则2j T <∞X 自12−到2j T 的轨道进入[],a b 并穿越了T j[],a b一次，称之为上穿。
()1,,n X X 完成上穿[],a b 的次数，则若以表示(),b aU X n (){}{}2,n b a k U X n k T n ≥=∈≤F ， (){}{}222,b a k k n U X n k T n T +=≤<∈=F 。
命题 4.4.1(上穿不等式) 设{},n X X n =∈N 为下鞅，则其上穿次数满足：(),ba U X n ()[]()1,1ba n n E U X n E X ab a EX a b a ++⎡⎤≤−⎣⎦−≤+−。
随机过程的鞅与鞅收敛定理
随机过程的鞅与鞅收敛定理在概率论与数理统计中，鞅（Martingale）是一类非常重要的随机过程。
它具有很多优秀的性质和应用，并且相关的鞅收敛定理也是概率论研究的热点之一。
一、鞅的定义和性质鞅是一种随机过程，具有无偏性和零相对增殖的特点。
对于一个随机过程X(t)，如果满足以下条件，即可称为鞅：1. 期望有限：E[|X(t)|] < ∞，对于所有的t；2. 可测性：对于任意的s < t，X(t)是关于{X(s), X(s+1), … , X(t-1)}可测的；3. 无偏性：对于任意的s < t，E[X(t) | X(s), X(s+1), … , X(s-1)] =X(s)；4. 零相对增殖：对于任意的s < t，E[X(t) - X(s) | X(s), X(s+1), … ,X(s-1)] = 0。
鞅的定义保证了它在每个时刻的期望都是已知的，且在未来的增量不可被预测。
鞅是许多重要的随机过程的核心组成部分，如布朗运动、泊松过程等。
二、鞅的应用鞅在概率论和数理统计中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 金融市场：鞅在金融领域中有着重要的应用，特别是在期权定价、投资组合管理、风险评估等方面。
其中最著名的例子就是黑-斯科尔斯模型，该模型中的股价就可以看作是一个连续时间的鞅。
2. 数理统计：鞅是统计推断和假设检验的基础之一，它在最大似然估计、贝叶斯估计等方法中发挥着重要的作用。
鞅收敛定理也为统计学家提供了一种判断估计量的一致性的方法。
3. 随机优化：鞅是随机优化中的一个重要工具，可以用来描述随机系统的动态变化过程，并为优化问题的求解提供有效的方法。
例如，在随机最优控制中，鞅可以用来建立随机系统的动态规划方程。
三、鞅收敛定理鞅收敛定理是鞅理论中的重要结果，它研究了鞅序列的收敛性质。
其中最经典的是鞅收敛定理的两种形式：鞅收敛定理一和鞅收敛定理二。
1. 鞅收敛定理一：如果{X_n, n ≥ 1}是对于某个概率空间（Ω, F, P）中的鞅序列，并且满足以下条件：(a) X_n以概率1收敛于一个随机变量X：P(lim n→∞ [X_n = X]) = 1；(b) 存在一个函数g(·)使得E[|X_n - X|] ≤ g(n)，对于所有的n；(c) 存在一个随机变量Y，使得E[|Y|] < ∞，并且E[|X_n - X|] ≤E[|Y|]，对于所有的n；那么，X_n以期望收敛于X，即lim n→∞ [E(X_n)]=E(X)。
鞅的定义及证明
鞅的定义及证明发表时间：2019-11-14T16:03:22.530Z 来源：《教育学文摘》2020年1月总第324期作者：刘与嘉[导读] 鞅是随机过程中一个重要的研究对象，大量的学者对其各方面的应用做了详细的研究。
浙江财经大学东方学院信息分院浙江嘉兴314408摘要：鞅是随机过程中一个重要的研究对象，大量的学者对其各方面的应用做了详细的研究。
本文主要内容是：首先介绍了定义鞅的一个很重要的工具——条件数学期望，其次给出了离散鞅及连续鞅的定义，最后给出了证明随机过程是鞅的常见方法。
本文虽然旨在用通俗的语言解释鞅，但在阅读过程中还是需要一些概率论知识作为基础，希望对于初学者来说有所帮助。
关键词：鞅条件数学期望布朗运动鞅是随机过程中一个很重要的研究对象，从理论的角度来看，鞅的起源是对于独立增量随机序列的研究，如泊松过程、布朗运动等，通俗一些来说，“鞅”可以看做“公平”赌博的数学模型。
关于鞅的应用已经辐射到很多领域，但对于初学者来说，鞅是什么？如何从概率的领域定义鞅？如何证明一个随机过程是鞅？都是很重要的问题。
本文旨在用通俗的语言及概率论中基本的工具来定义鞅，并证明随机过程是鞅。
一、条件数学期望定义及其性质1.条件数学期望定义：（1）离散型随机变量的条件数学期望。
设随机向量（X，Y）中X与Y的联合分布律为：P{X=xi|Y=yj}=Pij，i，j=1，2，…X与Y的边缘分布律为：P{X=xi}=Pi= Pij，i=1，2，…P{X=yi}=Pj= Pij，j=1，2，…则条件数学期望：E（X|Y=yj）= xi? ，j=1，2，…或E （Y|X=xi）= yj? ，i=1，2，…（2）连续型随机变量的条件数学期望。
设有连续型随机向量（X，Y），在Y=y发生条件下X的条件密度函数为：p（X，Y）= ，则条件数学期望期望：E（X|Y=y）= xp（X|Y）dx或E（Y|X=x）= yp（Y|X）dy。
由上述两个定义可以看出，条件数学期望表示随机向量（X，Y）的一种条件期望。
鞅课程总结
鞅课程总结1. 简介鞅课程是一门关于概率与统计学的基础课程，主要介绍了随机变量的概念、性质以及相关的数学方法和理论。
本文将对鞅课程进行总结，从课程内容、学习收获以及未来应用等方面进行分析和总结。
2. 课程内容鞅课程主要分为以下几个部分：2.1 随机变量的概念课程首先介绍了随机变量的概念，包括离散随机变量和连续随机变量。
通过示例和案例分析，讲解了随机变量的定义、特性以及常见的概率分布，如二项分布、正态分布等。
2.2 鞅的定义和性质接下来，课程讲解了鞅的概念和基本性质。
通过引入条件期望的概念，深入探讨了鞅的定义、鞅的停时、鞅的逆序平均等重要概念。
同时，课程还介绍了鞅的基本性质，如鞅的线性性质、鞅的停时定理等。
2.3 鞅的收敛性理论在此部分，课程介绍了鞅的收敛性理论，包括鞅收敛的定义、方法以及相应的收敛定理。
通过实例和证明，深入讲解了鞅收敛的充要条件，并探讨了鞅收敛在实际问题中的应用。
2.4 鞅在金融领域的应用最后，课程将鞅的理论与金融领域相结合，介绍了鞅在金融领域的应用。
课程涵盖了金融市场的随机过程、鞅在金融衍生品定价中的应用等内容，为学生提供了将鞅理论应用于实际问题的思路和方法。
3. 学习收获在学习鞅课程的过程中，我获得了以下几方面的收获：首先，我对随机变量的概念和性质有了更深入的理解。
通过学习不同的概率分布和统计方法，我能更好地理解和分析随机现象，并能够利用随机变量进行建模和预测。
其次，我掌握了鞅的基本概念和性质。
通过学习鞅的定义和特性，我能够将其应用于实际问题中，并能够用鞅的理论解决一些实际的随机过程问题。
此外，我还学会了运用鞅的收敛性理论。
鞅的收敛理论对于研究随机过程的极限性质非常重要，通过学习收敛的定义、方法和定理，我能够更好地理解和分析随机过程的稳定性和收敛性。
最后，鞅在金融领域的应用给我提供了新的思路和方法。
通过将鞅理论与金融领域相结合，我能够将鞅的理论运用于金融市场的建模和分析，为实际问题提供有效的解决方案。
鞅的二次变差概念
鞅的二次变差概念引言鞅是概率论中重要的概念之一，其二次变差是对鞅性质的量化度量。
鞅的二次变差概念在金融学、统计学等领域有广泛的应用。
本文将全面深入地探讨鞅的二次变差概念，包括其定义、性质、应用等方面。
鞅的定义鞅是一类随机过程，具有一种性质，即在给定过去的信息下，其未来的表现是无偏的。
对于一个离散的随机过程{X n }n=1∞，如果对于任意的正整数n ，均有E [X n |X 1,X 2,...,X n−1]=X n−1，则称其为鞅。
二次变差的定义二次变差是对随机过程波动性的度量。
对于一个离散的鞅{X n }n=1∞，其二次变差可以定义为：[X ]n =∑(X i −X i−1)2ni=1二次变差的性质二次变差具有以下几个重要的性质：鞅的二次变差是逐步增加的对于一个鞅{X n }n=1∞，其二次变差[X ]n 是逐步增加的，即对于任意的正整数n ，均有[X ]n ≥0。
这表明了随机过程的波动性不会减少。
鞅的二次变差是增量的平方和对于一个鞅{X n }n=1∞，其二次变差可以表示为增量的平方和的形式，即[X ]n =∑(X i −X i−1)2n i=1。
这表明二次变差可以通过增量进行计算。
鞅的二次变差是有界的对于一个鞅{X n }n=1∞，如果存在常数C ，使得对于任意的正整数n ，均有[X ]n ≤C ，则称该鞅具有有界的二次变差。
有界的二次变差在金融学中具有重要的应用。
鞅的二次变差与停时的关系对于一个鞅{X n }n=1∞和一个停时τ，则有[X τ]τ=[X ]τ。
这表明鞅的二次变差可以通过停时来进行计算。
鞅的二次变差在金融领域的应用金融市场的波动性衡量鞅的二次变差可以用来衡量金融市场的波动性。
通过计算股票价格序列的二次变差，可以得到该股票的波动性指标，从而为投资者提供参考。
期权定价模型鞅的二次变差在期权定价模型中有广泛的应用。
例如，布朗运动是一种满足鞅性质的随机过程，而利用布朗运动的二次变差，可以构建出著名的布莱克-舒尔斯期权定价模型，为期权定价提供了重要的理论基础。
随机过程--鞅
并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工 作又是至关重要的。
在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学 期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。 介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后，
F a = {{uu},{ud},{du},{dd}} F b = {uu, ud , du, dd}
F c = {{uu,ud},{du},{dd}} F d = {{uu},{uu,ud},{du},{dd}}
F e = {{uu},{ud},{du}} 根据我们在概率论一章中学习过的知识，我们知道 F a ， F b 和 F c 都是对样本空间 Ω 的一种分割。这是因为按照分割的定义，它们各自包含的所有元素的并集构成了整个状 态空间，而它们所包含的元素两两相交的结果是空集。 F d 和 F e 则不是分割，因为 F d 中前两个元素的交集不是空集，而是{uu} ；而 fe 的所有元素的并也没有构成整个状态空 间，缺少了{dd} 。
10．3．2 多布-迈耶定理 10．3．3 二次变差过程 10．4 再论随机积分 10．4．1 鞅变换和随机积分 10．4．2 简单过程随机积分 10．4．3 再论伊藤积分 10．5 测度变换 10．5．1 直观理解 10．5．2 拉登-尼科迪姆导数 10．5．3 哥萨诺夫定理 10．5．4 鞅表示定理
如果不做什么手脚他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的用表示他在赌完第n次后拥有的赌本数如果对于任何n都有成立即赌博的期望收获为0仅能维持原有财富水平不变就可以认为这种赌博在统计上是公平的ex就是对这种价格运动的预测而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦
应用随机过程离散鞅
01
收敛速度
离散鞅的收敛速度是指收敛过程 中收敛的快慢程度，通常用收敛 阶数来表示。
02
收敛阶数
收敛阶数越高，表示收敛速度越 快，离散鞅序列在较短的时间内 就能达到收敛状态。
03
收敛速度的影响因 素
离散鞅的收敛速度受到多种因素 的影响，如初始值、步长大小、 鞅的性质等。
离散鞅收敛的应用
金融领域
离散鞅在金融领域中有着广泛的应用，如股票价格模型、 期权定价等。通过离散鞅的收敛性，可以更好地理解和预 测金融市场的动态变化。
离散鞅在计算机图形学中的应用
图像处理
离散鞅在图像处理中有一定的应用价值。通过分析图像像素值的随机过程，可以利用离散鞅的性质来 优化图像处理算法，例如图像滤波、边缘检测等。
动画与仿真
在计算机动画和仿真中，离散鞅可以用于模拟自然现象或随机过程。通过模拟随机事件的序列，离散 鞅可以生成逼真的动画效果或仿真结果，提高计算机图形学的表现力和应用价值。
离散鞅理论可以用于构建股票价格模型，通过模拟股票价格的随机 波动，预测未来股票价格的走势。
风险评估
基于离散鞅的股票价格模型可以帮助投资者评估投资风险，通过计 算股票价格的波动率和相关性，评估投资组合的风险水平。
投资策略
离散鞅理论还可以用于制定投资策略，通过分析股票价格的长期趋势 和短期波动，制定买入或卖出的决策。
离散鞅在投资组合优化中的应用
投资组合优化
离散鞅理论可以用于投资组合优化问题的解决，通过模拟资产价格的随机波动，寻找最 优的投资组合配置方案。
风险控制
基于离散鞅的投资组合优化模型可以帮助投资者控制投资风险，通过限制投资组合的波 动率和相关性，降低投资组合的整体风险。
动态调整
分形布朗运动原理-概述说明以及解释
分形布朗运动原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述分形布朗运动是一种具有分形特征的随机运动模型，它结合了分形几何学和布朗运动理论。
分形几何学是一门研究自相似性和自统一性的几何学，而布朗运动则是描述粒子在液体或气体中的随机运动。
分形布朗运动的研究源于对自然界中许多复杂现象的观察和模拟。
自然界中的很多系统表现出分形的特征，如树枝的分支、云朵的形状、山脉的轮廓等。
而布朗运动则是对微观粒子在液体和气体中的扩散运动进行建模，是统计物理学的重要研究内容之一。
本文旨在介绍分形布朗运动的基本原理和特征，并探讨其在不同领域的应用。
首先，我们将介绍分形的概念与特征，包括分形维度、自相似性和分形集合的构造方式。
接着，我们会详细讲解布朗运动的基本原理，包括随机性、随机步长和随机时间。
最后，我们将针对分形布朗运动给出其定义和特性，并探讨其在金融、医学、图像处理等领域的应用前景。
通过深入了解分形布朗运动的原理和特性，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，并为相关领域的研究和应用提供理论基础。
同时，对于金融市场的预测、医学图像的处理和模拟等问题，分形布朗运动也有着重要的应用价值。
在未来的研究中，我们相信分形布朗运动将继续发挥其重要作用，并推动相关领域的进一步发展。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们首先对分形布朗运动的概念进行了概述，介绍了其在自然界和科学领域中的广泛应用。
接着，我们对本文的结构进行了简要的介绍，概括了各个章节的内容和目的。
最后，我们明确了本文的目的，旨在深入探讨分形布朗运动的原理及其应用前景。
正文部分分为两个章节，分别是分形的概念与特征以及布朗运动的基本原理。
在分形的概念与特征章节中，我们先对分形的基本概念进行了阐述，介绍了分形几何学的起源和发展。
然后，我们详细讨论了分形的主要特征，如自相似性、分形维度等，并且给出了一些实例进行说明。
随机变量序列的几种收敛性及其关系000
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
应用随机过程 离散鞅ppt课件
离散鞅
引入：特殊的随机过程—鞅， 起源于“公平博弈”，近来在金
融、保险和医学应用很大.
离散鞅—离散时间的鞅.
定义：随机过程{Xn，n 0}称为关于{Yn，n 0}的下鞅，
如果对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数，EXn ，并且 E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn，
(2)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,a,b是两个常数，
则{aXn bYn , Fn,n 0}是下鞅. (3)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个下鞅,则
{max{Xn ,Yn}, Fn,n 0}是下鞅. (3，)如果{Xn , Fn,n 0},{Yn , Fn,n 0}是两个上鞅,则
E(Mn ) , n 0, 则{(Mn ), Fn,n 0}是下鞅.
特别地，{| Mn |, Fn,n 0}是下鞅； 当E(Mn2 ) , n 0时，{Mn2, Fn,n 0}也是下鞅.
证明作为作业
7
E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn.
注：随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，需满足：
(1)对n 0，Xn是(Y0，Y1，...,Yn )的函数； (2) E( | Xn | )<;
(3) E(Xn+1 | Y0，Y1，...,Yn ) Xn .
证明一个随机过程{Xn，n 0}是关于{Yn，n 0}的鞅，分别 验证上述三个条,...X n ).
证明见黑板.
一个重要的不等式：条件Jenson不等式
随机环境两性分枝过程L1-收敛的对数判别准则
随机环境两性分枝过程L1-收敛的对数判别准则
周远正;王月娇;邱玉梅
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2016(036)004
【摘要】本文讨论随机环境两性分支过程中以条件均值增长率的上界作为规范化因子的L1-收敛问题,给出了L1-收敛的对数判别准则的充要条件.
【总页数】6页(P44-49)
【作者】周远正;王月娇;邱玉梅
【作者单位】长沙理工大学数学与统计学院,长沙,410114;中南大学数学与统计学院,长沙,410083;长沙理工大学数学与统计学院,长沙,410114
【正文语种】中文
【相关文献】
1.随机环境两性分枝过程的Lα-收敛 [J], 黄钦;王月娇;谷玉
2.随机环境中两性分枝过程L2-收敛的判别准则 [J], 赵玲;彭朝晖;周远正
3.随机环境中具有随机控制函数两性分枝过程 [J], 任敏; 张光辉
4.随机环境两性分枝过程的大偏差原理 [J], 黄绪兰; 赵玲
5.随机环境中具有迁移的两性分枝过程的极限性质 [J], 任敏;王晶晶
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6 鞅论初步(Martingale)
,Yn
E X n | Y0 , ,Yn E bn1Yn1 | Y0 , ,Yn
X n bn 1E Yn 1 | Y0 , ,Yn
X n bn1E Yn1 X n bn 1 p q
当p＝q时，公平赌博， X n , n 0是鞅；
当p q时，有利赌博， X n , n 0是下鞅；
当p q时，不利赌博， X n , n 0是上鞅；
特例：
例6.1.2独立同分布随机变量和
随 设Y0＝0， Yn , n 1 i.i.d ., EYn 0, X n Yi ,
则 X n , n 0 关于Yn , n 0 Fn Y0 ,
n
表示赌博者在第n次赌博的策略 即下的赌注，则bn取决于前 , Yn 1 .设初始资本为X 0，则他在
X n＝X 0 bkYk , n 1,2,
k 1
取Y0＝0，则 X n : n 0关于Yn : n 0是什么鞅？
随 机 过 程
n 1 E X n 1 | Y0 , ,Yn E X 0 bkYk 1 | Y0 , k 1 E X n bn 1Yn 1 | Y0 , ,Yn
, Yn E Xn
E X0
这说明鞅在任何时刻期望都相等。
例6.1.1
随 机 过 程
设Yn , n 0 是i.i.d .r.v列，P Yn 1 p, P Yn 1 1 p q 赌博者在第n次赌博时，Yn 1表示赢，Yn －1表示输。用bn 面的赌博结果，即bn bn Y1 , 第n次赌博后的资金为：
随 机 过 程
k P X n 1 k 1| X n k n2
随机环境中分支过程的存在性及等价定理
临 沂 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬｉ ｙ ｒ ａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｎ ｉ ｏ Ｎｏ ｍ ｌＵｎ ｖ ｒｉ ｙ
２０ ０ ８年 ｌ ２月
Ｄｅ ． ２ ０ ｃ ０ ８
随机环 境 中分支 过程 的存 在 性及 等价 定理
ｖ ∈Ｘ
则 称 Ｐ是 ０ 中的 随机 半 转 移 函数 （ 记 为 Ｒ Ｔ ）如 果 ｐｏＩ Ｓ ； ） １称 一 个 Ｒ Ｔ ｐ是 随机 转 简 Ｓ Ｆ， （ ， ＋ ） ｓ 工ｘ 三 ， ＳＦ 移 函数 （ 记 为 Ｒ Ｆ． 简 Ｔ） 注 １ 随机 转 移 函数 是 存在 的 【． ３ １
孙 春 香 ，杨 春 志
（ 淮南 师范学 院 数学与计 算科 学系 ， 徽 淮南 ２ ２ ０ ） 安 ３ ０ １
摘 要 ： 明 了随机环境 中分 支过程 的存在 性 ， 出 了分支随机转移 函数 （Ｒ Ｆ 的定 义； 用 Ｂ Ｔ 证 给 ＢＴ） 利 ＲＦ
给 出 了 随机 环 境 中 分 支 过 程 （ Ｐ Ｅ 的 精 确 定 义； 出 了 Ｂ Ｒ ＢＲ ） 给 Ｐ Ｅ存 在 性 的 一 个 等 价 定 理 ．
关键词 ：随机环境 ；随机转 移函数 ；随机 生成母 函数；等价性
中 图分 类号 ： １． Ｏ２ ６ １
文 献标识码 ：Ａ
文章 编号 ：１０ —０ １ ０ ８０ —０６０ ０ ９６ ５（ ０ ）６０ ０ ，４ ２
对 于 随 机 环境 中 的分 支 链 已经有 很 多人 研 究 过， 当前 国 际上 随机 环 境 中随机 过 程研 究成 果 最 是
ｔ ＞０
引理 １ ｐ ［ ＋） Ａ 是 时齐 的 Ｒ Ｔ （ ｒ ，） ， ； Ｓ Ｆ的充 要 条件 ， 存在 一 个 算子 （・， ： 【，ｏｘ Ａ ・， ・ Ｏ× ０ｏ） Ｘｘ ； ・）
上鞅分解定理-概述说明以及解释
上鞅分解定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述上鞅分解定理是概率论领域中重要的定理之一，它在随机过程的理论研究和实际应用中发挥着重要的作用。
该定理提供了一种将一个随机过程表示为其自身的一个可预测部分和一个鞅序列的和的方式。
上鞅是概率论中的一个重要概念，它是一种随机过程，具有平均值不变的性质。
在金融、信号处理、统计学等领域中，上鞅的概念得到广泛的应用。
然而，上鞅的分解在实际问题中往往是非常困难的，因为上鞅的预测部分并不是直接可观测的。
上鞅分解定理在这种背景下应运而生。
它提供了一种将上鞅分解为其预测部分和一个与此无关的鞅序列的方法。
具体地说，上鞅分解定理通过引入一个可测变量，将原始上鞅分解为一个随机演化的鞅和一个预测过程，从而方便了对上鞅性质的研究和分析。
上鞅分解定理的原理基于马尔可夫性，利用了条件期望的特性以及鞅的平均值恒定性。
通过将原始上鞅与相关的可测变量进行组合，定理将上鞅分解为一个可预测的部分和一个鞅序列的和。
这种分解的好处在于，预测部分可以直接观测到，并且鞅序列与预测部分无关，可以通过数学方法进行研究。
总体而言，上鞅分解定理为研究上鞅的性质和应用提供了一种有效的方法。
它不仅为理论研究提供了便利，还在金融工程、风险管理、信号处理等实际问题中具有广泛的应用前景。
展望未来，对上鞅分解定理的进一步研究和拓展将有助于深化我们对随机过程的理解，并在实际应用中提供更多的解决方案。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构：本文按照以下结构进行展开：引言部分将对上鞅分解定理的背景和研究现状进行概述；正文部分将详细介绍上鞅的定义和上鞅分解定理的原理；结论部分将总结上鞅分解定理的应用，并展望未来的研究方向。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面对文章进行介绍。
首先，概述部分将简要介绍上鞅分解定理的背景和意义，引发读者的兴趣。
其次，文章结构部分将说明本文的组织结构，让读者对接下来的内容有一个整体的把握。
遗传算法的收敛-概述说明以及解释
遗传算法的收敛-概述说明以及解释1.引言1.1 概述遗传算法是一种计算智能算法，通过模拟自然进化过程，通过模拟自然进化过程，利用遗传和进化的思想来解决复杂的优化问题。
遗传算法的收敛是指在优化问题的解空间中，算法逐渐趋向于找到最优解的过程。
本文将探讨遗传算法的基础概念、收敛过程以及影响收敛的因素，希望可以帮助读者更好地理解和应用遗传算法在实际问题中的优化过程。
1.2 文章结构本文将从遗传算法的基础概念出发，介绍遗传算法的原理和基本流程。
随后，重点讨论遗传算法的收敛过程，即算法在优化过程中逐渐趋向于最优解的过程。
我们将探讨影响遗传算法收敛的因素，包括种群大小、交叉概率、变异概率等。
最后，我们将总结遗传算法的收敛特点，并提出一些应用遗传算法的建议。
同时，我们还将展望未来研究方向，探讨如何进一步优化遗传算法的收敛性能，以应对现实问题中的挑战。
通过本文的阐述，读者将对遗传算法的收敛过程有更深入的理解，并能够更好地应用遗传算法解决实际问题。
1.3 目的本文旨在深入探讨遗传算法的收敛过程及影响因素，帮助读者更加全面地理解遗传算法在优化问题中的应用。
通过对遗传算法的收敛特点进行总结和分析，我们可以更好地指导实际应用中的参数选择和优化过程，提高算法的性能和效率。
同时，本文还将探讨未来遗传算法领域的研究方向，为进一步推动遗传算法的发展提供参考和启示。
希望通过本文的介绍，读者能够对遗传算法的收敛机制有更深入的理解，并能够在实际问题中更好地应用和调整遗传算法，取得更好的优化效果。
2.正文2.1 遗传算法基础概念遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，其基本思想源自生物学中的遗传与进化理论。
遗传算法通过模拟自然界中的选择、交叉和变异等遗传操作，来搜索和优化问题的解空间。
遗传算法的基本术语包括个体、染色体、基因、适应度函数等。
个体是问题的一个可能解，染色体是个体的编码形式，基因是染色体上的一个特定位置的值，适应度函数评价了个体的优劣程度。
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第29卷第4期 湖南文理学院学报(自然科学版) V ol. 29 No. 4 2017年12月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology) Dec. 2017 doi : 10.3969/j.issn.1672–6146.2017.04.003随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛张影1, 彭雪莲1, 王月娇2(1. 长沙理工大学 数学与计算科学学院, 湖南 长沙, 410000; 2. 中南大学 数学与统计学院, 湖南 长沙,410083)摘要: 随机环境多型分枝过程(MBPRE)在描述类似于突变基因的出现及生存、分析排队论中队伍变化的波动现象等问题时, 比局限于用经典多型分枝过程处理方法能够得到更精确、更深刻的结论。
通过整理MBPRE 的相关文献, 发现其发展现状可归纳为5个问题, 即灭绝问题、灭绝时间的渐近性、上临界极限问题、大数指数率及关于MBPRE 的拓展问题; 给出了一些作者对于某些问题研究的见解及疑问; 构造了一个经过正规 化的随机环境多型分枝过程的鞅过程()m n W , 对其鞅性进行了证明, 讨论了()m n W 的极限问题。
关键词: 随机环境; 多型分枝过程; 鞅中图分类号: O 211.65 文献标志码: A 文章编号: 1672–6146(2017)04–0008–04Summary of research and a class of martingale convergence for multi-typebranching process in random environmentsZhang Ying 1, Peng Xuelian 1, Wang Yuejiao 2(1. School of Mathematics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410000, China; 2. School of Mathematics and Statistics of CSU, Changsha 410083, China)Abstract: Multi-type branching process in random environments (MBPRE) about describing the occurrence and survival of mutant genes, analyzing the fluctuation of team changes in queuing theory, and so on, which can be more precise and deeper than the traditional multi-type branching process.Through the arranging of random environment multi-type branch of the related articles, and reunification of conclusion symbols, its development status is divided into the following five parts: extinction Problem: the extinction time asymptotic, the super critical limit problem, the large exponential rate and the expansion of problem about MBPRE, and some authors' opinions and questions about some problems are given. On this basis, the martingale process ()m n W of a regularized random environment is studied, and the martingale process is proved and discussing the limit of martingale ()m n W . Key words: random environment; multi-type branching process; martingaleMBPRE 是经典多型分枝过程从确定环境[1]到随机环境的一种推广。
具有p 型粒子的MBPRE: 令{},0,1,2,n n ζζ==L 为定义在概率空间(,,)ΩℑP 独立同分布的随机变量序列, 取值于Θ, 其中Θ是R的一个可数子集。
用P N 来定义所有1 × p 向量的非负整数坐标, 令1{(,,):01,0,1,p i s s s s i ′===L ≤≤S,}p L 。
利用概率母函数来定义: θΘ∈,有相应的p 维列向量1(;)((;),,(;))p s s s θϕθϕθ′=L ϕ, 其中(;),i s ϕθ1,2,,i p =L 表示一个p 维概率母函数。
1(;)(,,),i ppi i i N s p i s ααϕθθα=∈=∑∏ 12(,,,),p s αααα=∈L S 。
其中通信作者: 张影, 1102573750@ 。
收稿日期: 2017–01–20基金项目: 国家自然科学基金(11571052, 11171044); 湖南省研究生科研创新项目(CX2016B417)。
第4期 张影, 等: 随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛 9(,,)p i θα表示在环境n ζθ=的条件下, 第n 代的一个i 型粒子产生1α个1型粒子,… , p α个p 型粒子的概率。
随机环境中具有p 型粒子的G -W 过程描述了粒子数的演变: ()n=i Z ()()()((1),(2),,()), n n n Z Z Z p n =L i i i 1,2,,p L 。
其中, ()(),nj i Z 1,2,,j p =L 表示第n 代j 型粒子的个数,其对应的初始状态为12(,,,)p i i i =L i 。
本文所列的研究成果的随机环境多型分枝过程的初始状态为0m Z =e , 其中m e 表示第m 个位置为1, 其它位置为0的1 × p 向量, 即初始状态只有一个m 型粒子, 为了方便起见, 记()()m nn =e m Z Z 。
本文将对1971年至今的MBPRE 的研究现状进行简要的概述, 并构造一个鞅过程, 讨论其极限随机变量存在性。
1 MBPRE 的研究情况概述1.1 灭绝问题本文将一些文献的研究结论进行符号上统一并做简要概述。
首要问题就是研究其分类, 不过在研究灭绝问题之后, 分类问题随之也会解决。
Athreya 、Karlin 、E W Weissner 、N Kaplan 、D tanny 都对MBPRE 的灭绝问题进行了研究, 先来看他们所给出的灭绝条件。
Athreya 和Karlin [2]首次对MBPRE 的灭绝问题进行了研究, 并指出M ζ(M ζ是均值矩阵)是严格正及log E ζM (其中,,1max pi j i j m ==∑M )有限的情况下的灭绝条件: (1) 当0π<时, ()1q =ζ的概率为1; (2)当0π>时, ()1q ≪ζ(标记≪x y 指每一位置上−y x 都为正)的概率仍恒为1, 其中01(,,)ζζ=L ζ, 其中1lim log ()n n n πλ−→∞=ζ, ()n λζ是矩阵10()n n n M M M −=L ζζζΓζ的谱半径。
同年, E W Weissner [3]讨论了MBPRE 的几乎处处灭绝和非灭绝2种情形所需要的条件。
MBPRE 的几乎处处灭绝: 101lim(1){log ()()()},j n n r n e M M M ζζζ−→∞+L ≥ a.s.MBPRE 的非灭绝: 1lim(1)n r n −→∞=+⋅01{log ()()()},n E M M M ζζζL a.s., 其中101lim(1)log[()()()1], a.s.j n n r n e M M M ζζζ−→∞=+L 。
若0r >,()1q <a 且当=1()pi a i →∞∑时, ()0q →a 。
N Kaplan [4]也讨论了有关MBPRE 的灭绝问题, 在存在常数,0C D >情况下有000min[]max[]C M M D ζζ<<∞≤≤≤, (1)021,,0max k i j k p i jD s s ζϕ∂∂∂≤≤≤≤, w.p.1 (2)在式(1)与(2)的条件下, 假设0{log(1,1(0))}E ζϕ−−<∞, 11lim log n i n i X n π−→∞==∏, w.p.1.(1) 当0{:()P q π<⇒<ζζ1}0=的概率为1; (2) 当0{:()1}1P q π>⇒<=ζζ, 如果去掉以上假设条件0{log(1,1(0))E ζϕ−−}<∞,那么0{:()1}1P q π=⇒==ζζ，其中n ζϕ是第n 代的概率母函数。
D tanny [5]讨论了MBPRE 的灭绝问题。
令1120limsup log n n n E n M M M −→∞−−=L , 有(1) 0E <就表示{()1}1P q ==ζ; (2) 0E =就表示或者{()1}1P q ==ζ或者MBPRE 0{}n n Z ∞=不是严格规则的。
(3) 0E >, 如果0{}n n Z ∞=是平稳的, 那么在{:()n Z ωω不趋近0,}n →∞, 1lim log n n n Z E −→∞=。
而D tanny 所给出的灭绝条件相较于其他三位学者给出的灭绝条件而言, 灭绝问题的条件更简单、更直观, 与N kaplan 所得结论对比之后, 不难看出他们所得结论形式上较为相似, 但N kaplan 的条件更苛刻。
1.2 灭绝时间的渐近性E E Dyakonova [6]研究了满足一定条件下的后代分布的概率母函数的非灭绝概率的渐进性质, 找到 了(),1,1,,i P T n n i p >=L ≥的上下界21//C C2002年, E E Dyakonova [7]进一步对以上结论进行研究, 给出了23{},i i P T n cu n −=～ 0c <<∞为一常数, n →∞, 其中1(,,)p u u =L u ,1,,i p =L 。