随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛

第29卷第4期 湖南文理学院学报(自然科学版) V ol. 29 No. 4 2017年12月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Science and Technology) Dec. 2017 doi : 10.3969/j.issn.1672–6146.2017.04.003

随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛

张影1, 彭雪莲1, 王月娇2

(1. 长沙理工大学 数学与计算科学学院, 湖南 长沙, 410000; 2. 中南大学 数学与统计学院, 湖南 长沙,

410083)

摘要: 随机环境多型分枝过程(MBPRE)在描述类似于突变基因的出现及生存、分析排队论中队伍变化的波动现象等问题时, 比局限于用经典多型分枝过程处理方法能够得到更精确、更深刻的结论。通过整理MBPRE 的相关文献, 发现其发展现状可归纳为5个问题, 即灭绝问题、灭绝时间的渐近性、上临界极限问题、大数指数率及关于MBPRE 的拓展问题; 给出了一些作者对于某些问题研究的见解及疑问; 构造了一个经过正规 化的随机环境多型分枝过程的鞅过程()m n W , 对其鞅性进行了证明, 讨论了()m n W 的极限问题。 关键词: 随机环境; 多型分枝过程; 鞅

中图分类号: O 211.65 文献标志码: A 文章编号: 1672–6146(2017)04–0008–04

Summary of research and a class of martingale convergence for multi-type

branching process in random environments

Zhang Ying 1, Peng Xuelian 1, Wang Yuejiao 2

(1. School of Mathematics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410000, China; 2. School of Mathematics and Statistics of CSU, Changsha 410083, China)

Abstract: Multi-type branching process in random environments (MBPRE) about describing the occurrence and survival of mutant genes, analyzing the fluctuation of team changes in queuing theory, and so on, which can be more precise and deeper than the traditional multi-type branching process.Through the arranging of random environment multi-type branch of the related articles, and reunification of conclusion symbols, its development status is divided into the following five parts: extinction Problem: the extinction time asymptotic, the super critical limit problem, the large exponential rate and the expansion of problem about MBPRE, and some authors' opinions and questions about some problems are given. On this basis, the martingale process ()m n W of a regularized random environment is studied, and the martingale process is proved and discussing the limit of martingale ()m n W . Key words: random environment; multi-type branching process; martingale

MBPRE 是经典多型分枝过程从确定环境[1]到随机环境的一种推广。具有p 型粒子的MBPRE: 令{},0,1,2,n n ζζ==L 为定义在概率空间(,,)ΩℑP 独立同分布的随机变量序列, 取值于Θ, 其中Θ是R

的一个可数子集。用P N 来定义所有1 × p 向量的非负整数坐标, 令1{(,,):01,0,1,p i s s s s i ′===L ≤≤S

,}p L 。利用概率母函数来定义: θΘ∈,有相应的p 维列向量1(;)((;),,(;))p s s s θϕθϕθ′=L ϕ, 其中(;),i s ϕθ

1,2,,i p =L 表示一个p 维概率母函数。1

(;)(,,),i p

p

i i i N s p i s ααϕθθα=∈=∑∏ 12(,,,),p s αααα=∈L S 。其中

通信作者: 张影, 1102573750@ 。收稿日期: 2017–01–20

基金项目: 国家自然科学基金(11571052, 11171044); 湖南省研究生科研创新项目(CX2016B417)。

第4期 张影, 等: 随机环境中多型分枝过程研究概述及一类鞅收敛 9

(,,)p i θα表示在环境n ζθ=的条件下, 第n 代的一个i 型粒子产生1α个1型粒子,… , p α个p 型粒子的

概率。随机环境中具有p 型粒子的G -W 过程描述了粒子数的演变: ()

n

=i Z ()()()((1),(2),,()), n n n Z Z Z p n =L i i i 1,2,,p L 。其中, ()

(),n

j i Z 1,2,,j p =L 表示第n 代j 型粒子的个数,其对应的初始状态为12(,,,)p i i i =L i 。本文所列的研究成果的随机环境多型分枝过程的初始状态为0m Z =e , 其中m e 表示第m 个位置为1, 其

它位置为0的1 × p 向量, 即初始状态只有一个m 型粒子, 为了方便起见, 记()()

m n

n =e m Z Z 。 本文将对1971年至今的MBPRE 的研究现状进行简要的概述, 并构造一个鞅过程, 讨论其极限随

机变量存在性。

1 MBPRE 的研究情况概述

1.1 灭绝问题

本文将一些文献的研究结论进行符号上统一并做简要概述。首要问题就是研究其分类, 不过在研究灭绝问题之后, 分类问题随之也会解决。Athreya 、Karlin 、E W Weissner 、N Kaplan 、D tanny 都对MBPRE 的灭绝问题进行了研究, 先来看他们所给出的灭绝条件。

Athreya 和Karlin [2]首次对MBPRE 的灭绝问题进行了研究, 并指出M ζ(M ζ是均值矩阵)是严格正及log E ζM (其中,,1max p

i j i j m ==∑M )有限的情况下的灭绝条件: (1) 当0π<时, ()1q =ζ的概率为1; (2)

当0π>时, ()1q ≪ζ(标记≪x y 指每一位置上−y x 都为正)的概率仍恒为1, 其中01(,,)ζζ=L ζ, 其中1lim log ()n n n πλ−→∞

=ζ, ()n λζ是矩阵10()n n n M M M −=L ζζζΓζ的谱半径。

同年, E W Weissner [3]讨论了MBPRE 的几乎处处灭绝和非灭绝2种情形所需要的条件。MBPRE 的几乎处处灭绝: 101lim(1){log ()()()},j n n r n e M M M ζζζ−→∞

+L ≥ a.s.MBPRE 的非灭绝: 1lim(1)n r n −→∞

=+⋅

01{log ()()()},n E M M M ζζζL a.s., 其中101lim(1)log[()()()1], a.s.j n n r n e M M M ζζζ−→∞

=+L 。若0r >,

()1q

()p

i a i →∞∑时, ()0q →a 。

N Kaplan [4]也讨论了有关MBPRE 的灭绝问题, 在存在常数,0C D >情况下有

000min[]max[]C M M D ζζ<<∞≤≤≤, (1)

02

1,,0max k i j k p i j

D s s ζϕ∂∂∂≤≤≤≤, w.p.1 (2)

在式(1)与(2)的条件下, 假设0{log(1,1(0))}E ζϕ−−<∞, 1

1

lim log n i n i X n π−→∞==∏, w.p.1.(1) 当0{:()P q π<⇒<ζζ

1}0=的概率为1; (2) 当0{:()1}1P q π>⇒<=ζζ, 如果去掉以上假设条件0{log(1,1(0))E ζϕ−−}<∞,

那么0{:()1}1P q π=⇒==ζζ，其中n ζϕ是第n 代的概率母函数。

D tanny [5]讨论了MBPR

E 的灭绝问题。令1120limsup log n n n E n M M M −→∞−−=L , 有(1) 0E <就表示{()1}1P q ==ζ; (2) 0E =就表示或者{()1}1P q ==ζ或者MBPRE 0{}n n Z ∞=不是严格规则的。

(3) 0E >, 如果0{}n n Z ∞=是平稳的, 那么在{:()n Z ωω不趋近0,}n →∞, 1

lim log n n n Z E −→∞=。而D tanny 所给出

的灭绝条件相较于其他三位学者给出的灭绝条件而言, 灭绝问题的条件更简单、更直观, 与N kaplan 所得结论对比之后, 不难看出他们所得结论形式上较为相似, 但N kaplan 的条件更苛刻。

1.2 灭绝时间的渐近性

E E Dyakonova [6]研究了满足一定条件下的后代分布的概率母函数的非灭绝概率的渐进性质, 找到 了(),1,1,,i P T n n i p >=L ≥

的上下界21//C C

2002年, E E Dyakonova [7]进一步对以上结论进行研究, 给出了23{},i i P T n cu n −=～ 0c <<∞为一常数, n →∞, 其中1(,,)p u u =L u ,1,,i p =L 。这次他找到了灭绝时刻概率的同阶表达式, 让灭绝时间的