2.1.2认识一元二次方程上课课件
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《一元二次方程》PPT课件
75 1 x 2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
课堂小结
概念
① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 最高次数是2
一元二 次方程
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次 方程的必要条件
讲授新课
知识点 一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现 准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯 ,四周未 铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽为 x m ,那么 x (8 – 2x)
地毯中央长方形图案的长为
x
x
(8 - 2x)m,宽为 (5 - 2x) m,根据
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这两个方程与 一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0； ③ x2 + 12 x - 15 = 0.
特点: 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
根据题意有，
0
3 4
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
《认识一元二次方程》PPT课件
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
14．设 a，b，c 分别是关于 x 的一元二次方程的二次项系数、一 次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程：
(1)a∶b∶c＝3∶4∶5，且 a＋b＋c＝36； 解：设 a＝3k，b＝4k，c＝5k， 则 3k＋4k＋5k＝12k＝36，解得 k＝3， 故 a＝9，b＝12，c＝15. 则方程为 9x2＋12x＋15＝0.
认识一元二次方程ppt课件
析
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件-高一上学期数学人教B版必修第一册
大家一定牢记本节课的学习目标哦！！
1、从函数观点看一元二次方程．
2、会结合一元二次函数的图像，判
断一元二次方程实根的存在性及实根
的个数，了解函数的零点与方程根的
关系．
让我们一起打开知识的大门！！！Байду номын сангаас
一、一元二次方程的解集
1.配方法
(1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为 {- t, t} ;②当t=0时,解集为{0};③
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2,即m的取值范围是(-∞,2).
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
本 课 结 束
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解 (1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有两个不相等的实根.
则
b1
b2
x1=-a ,x2=-a .
1
2
二、一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下
关系:
(1)x1+x2=
b
-a
c
a
.
(2)x1x2=
;
一起来个小
例题吧！
1、从函数观点看一元二次方程．
2、会结合一元二次函数的图像，判
断一元二次方程实根的存在性及实根
的个数，了解函数的零点与方程根的
关系．
让我们一起打开知识的大门！！！Байду номын сангаас
一、一元二次方程的解集
1.配方法
(1)一般地,方程x2=t:①当t>0时,解集为 {- t, t} ;②当t=0时,解集为{0};③
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(-2)2-4(m-1)>0,
即4-4m+4>0,解得m<2,即m的取值范围是(-∞,2).
(2)设方程的另一个实数根为x2,
∵5+x2=2,∴x2=-3.
∴当方程有一个实数根是5时,另一个根为-3.
本 课 结 束
(1)对于任意的实数m,判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若x=-1是这个方程的一个根,求m的值和方程的另一个根.
分析(1)根据判别式的意义判断根的情况;
(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根.
解 (1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,
∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有两个不相等的实根.
则
b1
b2
x1=-a ,x2=-a .
1
2
二、一元二次方程根与系数的关系
当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时,其两根x1,x2满足如下
关系:
(1)x1+x2=
b
-a
c
a
.
(2)x1x2=
;
一起来个小
例题吧！
2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课件-高一上学期数学人教B版【04】
5．已知一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两根分别为 x1，x2，
则x11＋x12＝_－___2__.
解析：因为 x1，x2 是方程 x2－2x－1＝0 的两个根，所以 x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以x11＋x12＝x1x＋1xx2 2＝－2.
求一元二次方程的解集 用适当的方法求下列方程的解集。 (1)x2－2x－8＝0；(2)2x2－7x＋6＝0； (3)(x－1)2－2x＋2＝0. 思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法 或因式分解法解方程。
归纳提升：一元二次方程的常见解法 (1)开平方法：如果方程能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式， 那么可得 x＝± p或 mx＋n＝± p，从而通过降次转化为一元一次方程． (2)配方法： 用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化二次项系数为 1：用二次项系数去除方程两边，将方程化为 x2＋px＋q＝0 的形式；
1．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为 C
()
A．(x＋1)2＝6
B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6
D．(x－2)2＝9
解析：因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.
基础自测
2．解下列方程，最适合用公式法求解的是( D )
A．(x＋2)2－16＝0
的一元二次方程是A( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 (2)已知方程 x2－5x－7＝0 的两根分别为 x1，x2，求下列式子的值： ①x21＋x22；②xx21＋xx21.
对点训练
解析：(1)因为一元二次方程中， x1＋x2＝7，x1x2＝12， 又因为 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac， 令 a＝1，则 b＝－7，c＝12， 所以原方程为：x2－7x＋12＝0.
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第2课时)
2. 关于x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0，则2m2-4m+3的值
为多少？
解：∵x=0是方程的解，
∴代入得m2-4=0.
∴m=±2.
经检验m=±2都符合题意.
∴2m2-4m+3=2×22-4×2+3=3.
或2m2-4m+3=2×（-2）2-4×（-2）+3=19.
∴代数式2m2-4m+3的值为3或19.
就是方程的一个解.
第四步：若在x的大致范围内取值，没有一个数能够使方程的左边
等于0, 进一步取值,找出最接近于0且小于0的数,这个数就是方程的
近似取值.
目标测试
1.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2=x+a2-1=0的一根是
x=0，则a的值为（ B ）
A.1
B.-1
C.1或-1
D.0
目标测试
-0.06
-0.02
0.03
0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
C 3.24＜x ＜3.25
D 3.25＜x ＜3.26
强化训练
2、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5
米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动
所以x=0不是方程的解.
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数
的值叫一元二次方程的解或根.
知识讲解
例 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m.
分析：一根为2即x＝2，只需把x＝2代入原方程.
解：把x=2代入一元二次方程得：
一元二次方程课件
感谢您的观看
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。
人教版高中数学B版必修一《第二章 等式与不等式——一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件
一
二
课前篇 自主预习
2.填空
方程 ax2+bx+c=a
x+2������������
2+4������������-������2(a≠0),
4������
(1)当 Δ=b2-4ac>0 时,方程的解集为
-������+
������2-4������������ 2������
,
-������-
������2-4������������ 2������
么可得 x=± ������或 mx+n=± ������,从而通过降次转化为一元一次方程. (2)配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为 x2+px+q=0的形式; ②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式; ③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成 为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为 (x+m)2=n(n≥0)的形式; ④用直接开平方法解变形后的方程.
=
4������������ 4������.
(2)原方程等价于(x-2)(x+1)=0,
∴方程的两根为 x1=2,x2=-1.
x1+x2=1,x1x2=-2.
课前篇 自主预习
-8-
-9-
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
反思感悟 一元二次方程的常见解法 (1)开平方法:如果方程能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那
x1+x2= 2������ + 2������
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)
(2) 底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
新知讲解
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
可以看出：
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，
解：当x=3时， x2 – x – 6 =9-3-6= 0
当x=-2时， x2 – x – 6 =4+2-6= 0
∴ x=3或x=-2都是x2 – x – 6 = 0的解
注意,一元二次方程可能不止一个根.
新知讲解
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8
-2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动
前梯子底端距墙的距离吗？
梯子底端滑动的距离x(m)满足方程：
A
(x+6)2+72=102
也就是：
化成了
一般形式
x2+12x-15=0
C
B
新知讲解
(1) 小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗？为什么？
不正确，因为x=1m不满足方程.
当x=1时，(x+6)2+72<100，当x=2时，(x+6)2+72>100
据此猜测x在1和2之间，即1<x?十分位是几?
由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
新知讲解
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
可以看出：
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，
解：当x=3时， x2 – x – 6 =9-3-6= 0
当x=-2时， x2 – x – 6 =4+2-6= 0
∴ x=3或x=-2都是x2 – x – 6 = 0的解
注意,一元二次方程可能不止一个根.
新知讲解
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8
-2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动
前梯子底端距墙的距离吗？
梯子底端滑动的距离x(m)满足方程：
A
(x+6)2+72=102
也就是：
化成了
一般形式
x2+12x-15=0
C
B
新知讲解
(1) 小明认为底端也滑动了1m,他的说法正确吗？为什么？
不正确，因为x=1m不满足方程.
当x=1时，(x+6)2+72<100，当x=2时，(x+6)2+72>100
据此猜测x在1和2之间，即1<x?十分位是几?
由(3)可知x的整数部分是1，那它的十分位是几？
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
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• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
《认识一元二次方程》公开课ppt
结论：当一元二次方程的系数满足某些条件时，它的解会具有对称性。这种对称性可以为我们提供更多关于方程的信息，例如当一个一元 二次方程具有根的对称性时，它的系数必须满足特定的条件。
应用：在解决实际问题时，我们可以利用根的对称性来简化计算过程，例如在一些物理问题中，当一个物体做对称运动时，我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 （ a ， b ， c 是 常 数 ， a≠0）
根的判别式：Δ=b²-4ac
配方法：将一元二次方程配成 （ x + m ） ²= n 的 形 式 ， 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法：用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理：解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学：计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学：预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学：设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义：一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。
应用：在解决实际问题时，我们可以利用根的对称性来简化计算过程，例如在一些物理问题中，当一个物体做对称运动时，我们可以利用 根的对称性来求解一些物理量。
如何利用一元二次方程解决实际问题
理解一元二次方 程的概念和解题 思路
掌握求解一元二 次方程的方法
了解一元二次方 程的应用场景
学会利用一元二 次方程解决实际 问题
06
总结与展望
对一元二次方程的认识与收获总结
理解一元二次方程的概念和一 般形式
掌握求解一元二次方程的方法
理解一元二次方程的应用和实 际意义
a x ²+ b x + c = 0 （ a ， b ， c 是 常 数 ， a≠0）
根的判别式：Δ=b²-4ac
配方法：将一元二次方程配成 （ x + m ） ²= n 的 形 式 ， 再 利 用 直 接开平方法求解
公式法：用求根公式解一元二 次方程
一元二次方程的解法
公式法：$ax^{2} + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$
科学中的一元二次方程应用场景
物理：解决与速 度、加速度、重 力等有关的问题
化学：计算化学 反应中物质的质 量、能量等问题
经济学：预测市 场趋势、评估投 资风险等
工程学：设计建 筑结构、机械装 置等
04
一元二次方程的拓 展知识
一元二次方程的根的判别式
定义：一元二次方程的根的判别式是二次项系数a、一次项系数b和常数项c之间的一种关 系式。
《认识一元二次方程》教学PPT课件
回顾反思
本节课你学会了什么？ 还有那些困惑？
Hale Waihona Puke 地毯的长是多少？ 地毯的宽是多少？
四周未铺地毯的条形区域 的宽是多少？
解：设四周未铺地毯的条形区域的宽为 X m
化简得：
探索新知
你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间 的等式吗？
102+112+122=132+142
得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？
你还能找五个连续整数，使前三个数的平方和等于 后两个数的平方和吗？
探索新知
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那 么梯子的底端滑动多少米？
8m
探索新知
定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的 整式方程叫做一元二次方程。
认识一元二次方程
知识 回顾
01 什么叫做方程？曾学过哪些方程？
方程：含有未知数的等式 一元一次方程 二元一次方程组 分式方程
02 什么叫做一元一次方程？
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数是1的整式方程叫做一元 一次方程
探索新知
幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现 准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境， 结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这 个量的什么关系式？
一元二次方程的一般形式是
其中 叫
做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做
常数项。
巩固新知
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、 一次项系数和常数项：
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6m
xm
做一做
☞
估算一元二次方程的解
你能猜得出x取值的大致范围吗?
完成下表(取值计算,逐步逼近): x 0 0.5 1 1.5 2 -15 -8.75 -2 5.25 13 … …
x2+12x-15
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几?如 果x精确到十分位呢?百分位呢?
解：
t t2－5t＋3
0 3
1 －1
2 －3
3 －3
4 －1
5 3
6 9
由表格知0＜t＜1或4＜t＜5.
第2课时 一元二次方程的解的估算
t t2－5t＋3
0.1 2.51
0.2 2.04
0.3 1.59
0.4 1.16
0.5 0.75
0.6 0.36
0.7 －0.01
0.8 －0.36
由表格知 0.6＜t＜0.7， 当 t＝0.65 时，t2－5t＋3＝0.1725， 故 0.65<t<0.7，所以 t1≈0.7.
解：根据题意得 5＝10+2.5t-5t2. 即 2t2 –t－2＝0.
根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近):
t 2t2-t-2 … 0 … -2 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 …
-1 -0.68 -0.32 0.08
0.52 4 13 …
根据题意,x的取值范围大致是0<x<11. 完成下表(在0<x<11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x X2+2x-120 … … 8 -40 -21 23 …
由此看出,可以使x2+2x-120的值为0的x=10.故可知 宽为10m,长为12m.
2.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动 员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水 姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和 运动员距水面的高度h(m)满足关系: h＝10+2.5t-5t2.那么他最多 有多长时间完成规定动作？
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即2x2-13x+11 = 0.
你能求出x吗?怎么去估计x呢？ 8 x x可能小于0吗?说说你 x 的理由. （8－2x） x可能大于4吗?可能大5 于2.5吗?说说你的理由.
x
18m2
x
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
做一做
☞
估算一元二次方程的解
由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是 1.2<t<1.3.故可知运动员完成规定动作最多有1.3s.
重难互动探究 第2课时 一元二次方程的解的估算
探究问题一 求一元二次方程的近似解
例 1 求方程 t2－5t＋3＝0 的近似解．(精确到 0.1)
[解析] 首先根据题意，列出表格，然后用估算的方法求出方程的近似解．
你能算出精确到百分位的值吗?
随堂练习 1 观察下面等式：
你能行吗
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于 一 后两个数的平方和吗？ 般 化 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依 次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ． 根据题意，可得方程： 2 2 2 2 2 x (x ＋ 1) (x ＋ 2) (x ＋ 3) (x ＋ 4) ＋ ＋ ＝ ＋
独立 作业
知识的升华
根据题意,列出方程,并估算方程的解： 1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和 x+2 宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为xm，则长为(x ＋2) m, 根据题意得： x (x＋2) ＝120. 即 x2 ＋ 2x－120 ＝0. x
120m2
9 10 0 11 …
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值=? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x 0
40 0.5 28 1 18
…
1.5 10
2 4
2.5
0
(8 － 2x) (5 － 2x)
由此看出,可以使(8 － 2x) (5 － 2x)的值为18的x=1.故可 知所求的宽为1m. 你还有其它求解方法吗?与同伴交流. 如果将(8-2x)(5-2x)=18看作是6×3=18. 则有8-2x=6, 5-2x=3.从而也可以解得x=1.
你能求出这五个整数分别是多少吗?源自即 x2-8x-20=0..
小结
拓展
回味无穷
• 本节课你又学会了哪些新知识呢？ • 学习了估算一元二次方程 • ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０） 近似解的方法； • 知道了估算步骤: • 先确定大致范围; • 再取值计算,逐步逼近. • 想一想,有没有便捷的方法去求方程中的未知 数呢?
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
2.1.认识一元二次方程(2)
做一做
☞
教室地面有多宽
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准
备在地面正中间铺设一块面积为１８m2 的地毯 ，四
周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？
做一做
☞
估算一元二次方程的解
解：设教室未铺地毯区域的宽为xm , 根据题意得
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？ 解：如果设梯子底端 滑动x m，根据题意得 数学化 8m 1m
72+(x+6)2=102 即 x2+12x-15=0
7m
你能猜得出x 取值的大致范 围吗?
t t2－5t＋3 4.1 －0.69 4.2 －0.36 4.3 －0.01 4.4 0.36 4.5 0.75
由表格知 4.3＜t＜4.4， 当 t＝4.34 时，t2－5t＋3＝0.1356. 故 4.3<t<4.34. 所以 t2≈4.3. 综上知，t1≈0.7，t2≈4.3.
做一做
☞
估算一元二次方程的解
在1<x<1.5这个范围中,如果x取整数是几?如 果x精确到十分位呢?百分位呢?
x …
x2+12x-15
…
1.1 1.2 1.3 1.4 … -0.59 0.84 2.29 3.76…
由此看出,可以使x2+12x-15的值接近0的x为整 数的值是x=1;精确到十分位的x的值约是1.2.