材料力学静不定
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(精品)材料力学课件：静不定问题分析-1
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
平面刚架： 三度内力静不定
断开：内力静定
刚性连接：多了三 个约束
两度内力静不定
六度内力静不定
四度内力静不定
封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一
Page5
平面曲杆：
三度内力静不定 两度内力静不定 ➢ 例：判断内力静不定度
Page2
➢ 外力静不定
存在多余外部约束
外力静不定(一度)
外力静不定(三度)
外力静不定(六度)
平面静定结构： 3个约束 空间静定结构： 6个约束
Page3
➢ 内力静不定 存在多余内部约束 平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 n: 节点数
外力静定 内力静不定(一度)
几何可变
M( x3 ) (N P)x3
单位载荷状态：
B
C
1
D
M(
x1 )
1 2
x1
M(
x2
)
1 2
x2
1
A
H
M ( x3 ) x3
m / m
1 EI
(2
N 4
a3 3
(N
P)
a3 3
)
a EA
N
m/m 0
N 5P 9
Page26
B
a
A
B
A
a
a
EI C EI EA
H
EI
P
C
D
➢ 求节点H的垂直位移：
选取单位载荷状态：
材料力学(静不定)
引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠 静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和 尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超 静定问题的例子了。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
由位移互等定理：δij＝δji
11 21
12 22
13 23
XX12
12PP
31 32 33 X3 3P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yA
y
P A
X1L3 3EI
X 2L2 2EI
0
A
P A
X1L2 2EI
X2L EI
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
基本原理： 1、对于弹性体，变形量与外力成正比 2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立 的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部 未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定 结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独 立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定 全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.
由位移互等定理：δij＝δji
11 21
12 22
13 23
XX12
12PP
31 32 33 X3 3P
系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角 线的对称矩阵。
先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可 求出未知量列向量X。
例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。
问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。
利用叠加原理，分别画出外载荷（图b);
支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。
yA
y
P A
X1L3 3EI
X 2L2 2EI
0
A
P A
X1L2 2EI
X2L EI
力法是一种直接求解未知反力的方法。 基本思想:
是以未知约束反力X（反力偶M）为未知数建立 变形方程。
基本原理： 1、对于弹性体，变形量与外力成正比 2、未知力产生的变形量，是单位力产生变形量的X
（M）倍。 3、而单位力产生的变形量可用莫尔积分法求解。
材料力学 静不定
解： 图示刚架有两个多余未知力。但由 于结构是对称、载荷对称，故对称轴 2a a a
横截面上反对称内力X2为零，只有一个
多余未知力X1，只需列出一个正则方程 求解。
F/2
X1 X1 X2
F/2
X2
[例7]
试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。 F
解： 图示刚架有两个多余未知力。但由 于结构是对称、载荷对称，故对称轴 2a a a
A
P
B C
X1
⑤列出变形协调方程： B 0
应用叠加法：
P
B
B 1P 1X 0
1
1P
1X 11X1
1
1X1
X1
变形协调方程
1P 11X1 0
或：
11X1 1P 0
——力法正则方程
11
A 1
系数δ11和Δ1P可由莫尔定理求得(图c、d) P
qa 2 2 qa 2 2
a
1
9qa4 1P 8EI 7a 3 11 3EI
则
7a 3 9qa4 X1 0 3EI 8EI
27 X1 qa 56
q
27 X1 qa 56
由平衡方程求得：
RA
29 qa 56
A MA RA
qa2 MA 56
[例7]
试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。 F
3 X1 F 8
2a
画刚架弯矩图。 F
F/2
2a
a
a
3 X1 F 8
Fa 2 Fa 2 Fa 4
Fa 2 Fa 2 Fa 4 Fa 2 Fa 4
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
材料力学简单静不定问题
a
上增加的约束，称为多余约束。相应
的反力称为多余约束力。
F
多余约束并不“多余”，通过增加多
A
CBa
余约束，可提高安全度，减少变形。
a
精品课件
4
2、静不定结构的类型
外力静不定结构
仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力 平衡方程求出。
q
q
FAx
A
B CD
FAy
FB
FC FD
精品课件
5
2、静不定结构的类型
精品课件
9
m
（基） （相）
X1
P
m
P
X2 X3
精品课件
X1
X1
P
X1
X3
1X02
P X2 X3
X1
P X1
X2 X3
P X1
X2 X3
精品课件
11
静不定次数
1． 外静不定结构 约束反力数-平衡方程数
2 ．内静不定结构 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束，使其变 成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数
FN2 l EA
,
B
DlTaDT品,课N件2
3EAalDT,
10
RC
6E
AalDT
5 37 ,
❖第三节 扭转静不定问题
精品课件
38
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
Dl2
FN2l EA
联立静力方程求解得到：
FN15 3F
FN2
6F 5
材料力学课件：静不定问题分析-1
是否是原结构静力 许可场？
Page20
例2：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力
a
a
4
2
a 57
8 3
1
6
解： 判断静不定度： P 存在1个多余内部约束
内力静不定度： 8 - 25 + 3 = 1
4
m
5 N7m’N7 8 3
2 1
6
1、 去除多余约束，建立相当系统
P
2、 建立补充方程(找变形协调条件)
内力静定
5度
5度
4度
Page6
➢ 混合(一般)静不定
2度
6度
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
Page7
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
安装法 2度
拆卸法
2度
Page8
拆卸法
1度
安装法 两杆多余，2度内力静不定
Page9
➢ 静不定问题的分析方法： 力法： 以多余未知力为待定量，利用变形 协调条件列方程。 位移法： 以位移为待定量，利用平衡条件求解。
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
Page4
平面刚架： 三度内力静不定
断开：内力静定
刚性连接：多了三 个约束
两度内力静不定
六度内力静不定
四度内力静不定
封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一
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平面曲杆：
三度内力静不定 两度内力静不定 ➢ 例：判断内力静不定度
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
材料力学之静不定系统
目录
§11-3 用力法解静不定系统
一．力法及正则方程的概念
举例说明：曲杆如图a所示，试求支座B的约束反力
P P
B
B
A
4
4
O
a
A
X1
4
O
P
B
1P
B 1
11
A
4
A
O
4
O
B
X1
P
B
A
4
X1
A
O
4
4
O
a
解：
（一）建立基本静定系如图b所示。 （二）将静定系分解成图C和图e两种情况的叠加 若B点的竖向位移用 1 表示，则： 如图d所示，若以 11 表示曲杆在B点处作用垂直向上的 单位力时的竖向位移，因在线弹性范围内，位移与力成正比， 故 X 1 是单位力的 X 1 倍，相应地 1X 也应该是 11 的 X 1 倍，即：
§11-2 变形比较法
一.叠加法：
1.求解步骤： (1)建立基本静定系 (2)将基本静定系分解成各个载荷单独作用情况的叠加，并 求出各种情况下的某特殊位置（多余约束处）的变形量。 (3)建立变形协调条件，求出未知约束反力。
2.举例说明：
例1：试求图示静不定梁的约束反力：
q B
L
解：
（1）建立基本静定系统如图<a>所示 （2）将图<a>分解成图<b>和图<c>两种情况的叠加 图中：
杆件编号
1 2
Ni
-P -P
Ni0
1 1
Li
a a
NiNi0 Li
-Pa -Pa
Ni0 Ni0 Li
a a
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
材料力学 第十四章 静不定问题分析
第十三章
静不定问题分析
思考：计算 BH ，下图相当系统选取是否正确？
M0 3R M0 3R
R A
M0
o
B
对应的单位载荷系统：
R A
o
B
1
Page16
第十三章 例：求B 端反力
q A
l l
静不定问题分析
q A B
FBx
A B 1 B FBy
单位载荷系统 1
相当系统
A B 1
单位载荷系统 2
Page17
F
F
4度内力静不定,加一根二力杆增加一 度静不定
Page 6
第十三章 混合静不定
F
静不定问题分析
F
1（内）＋1（外）＝ 2 度
3（内）＋3（外）＝ 6 度
F
圆环
梁：外3 环：内3 梁环接触：1 3+3+1=7 度
圆环在水平方向有一自由度
Page 7
第十三章
静不定问题分析
混合静不定（梁杆结构）
Page24
第十三章
静不定问题分析
B A R D
例：已知圆环EI，求B、D相对位移d
解：（1）利用对称性，选取相当系统
F
C
F
F
B
B R
F
R A
C
B
A
MA
o
F 2
A
MA
C
MA
MA
F 2
FN A
FN A
A 0
A 0
1 FN A F 2 A C 0
Page25
第十三章 解：（2）利用单位载荷法，计算MB
Page12
第十三章
材料力学第14章(静不定)
a
qa4 8EI
( M1 M1) ( M1 M2) ( M2 M2)
( MF M1)
(MF M2)
⑤代入力法正则方程：
4a3
a3
qa4
3EI
X1 2EI
X2
6EI
0
a3 2EI
X1
a3 3EI
X
2
qa4 8EI
0
X1
1 7
qa
X2
5 28
qa
⑥画弯矩图
A 5qa
28
q
qa
7
B
qa2 qa2 7
1 6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
( P78)
表14.1
杆件 编号 FNi FNi
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
FNPi FNi FNi X1
－F/2 －F/2 F/2 F/2
F/ 2 －F/ 2
[题2-43] 求三杆的轴力，各杆的EA相等。 解：
1
2
3
l
a
a
1
A
q
MF图
B
1 2
qa
2
a
a
A
1
B M1图
A
1
M2图
Ba
11
1 EI
1 2
a
2
2 3
a
a
2
a
4a3
3EI
12
1 EI
1 2
a2
a
a3 2EI
22
1 EI
1 2
a2
2 3
a
材料力学 静不定系统
第十三章静不定问题分析§13-1 静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。
2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。
静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。
在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。
外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。
对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。
3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。
2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。
根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。
如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。
3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。
图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。
刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。
材料力学-第14章 静不定问题分析
材料力学
第十四章 静不定问题分析
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
本章主要研究如何运用能量方法求解一次静 不定问题。 不定问题。
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
g 静不定次数 g 相当系统 g 能量法求解静不定系统 g 对称与反对称性
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
Fa
x1
A F
a
q
x2
C
qa 横梁弯矩 M ( x1 ) = − F x1 2 1 2 竖梁弯矩 M ( x2 ) = − qx2 − ( F − qa ) x2 2
M ( x1 ) = 1 ⋅ ( − x1 ) = − x1
M ( x2 ) = 1 ⋅ ( − x2 ) = − x2
g 静不定次数
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
静定问题与静定结构——未知力 内力或外力） 未知力（ 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数
F FAx FAy
三个）： 平衡方程 （三个）： M(x)
q
FAx FBy
= 0,
FAy
三个）： 平衡方程 （三个）：
单位载荷法
1 qx 2 M ( x) ∂M ( x) ∆B = ∫ dx = ∫l ( FB − 2 )xdx = 0 l EI EI ∂FB 1 qx 2 1 ∆B = ∫l M ( x)M ( x)dx = EI ∫l ( FB − 2 ) xdx = 0 EI q Fl FB l M C1
q
B
q
例如： 例如：
相当系统 FBy
额外的约束方程： 额外的约束方程：∆ By = 0
第十四章 静不定问题分析
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
本章主要研究如何运用能量方法求解一次静 不定问题。 不定问题。
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
g 静不定次数 g 相当系统 g 能量法求解静不定系统 g 对称与反对称性
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
Fa
x1
A F
a
q
x2
C
qa 横梁弯矩 M ( x1 ) = − F x1 2 1 2 竖梁弯矩 M ( x2 ) = − qx2 − ( F − qa ) x2 2
M ( x1 ) = 1 ⋅ ( − x1 ) = − x1
M ( x2 ) = 1 ⋅ ( − x2 ) = − x2
g 静不定次数
材料力学－ 材料力学－第14章 静不定问题分析 章
静定问题与静定结构——未知力 内力或外力） 未知力（ 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数
F FAx FAy
三个）： 平衡方程 （三个）： M(x)
q
FAx FBy
= 0,
FAy
三个）： 平衡方程 （三个）：
单位载荷法
1 qx 2 M ( x) ∂M ( x) ∆B = ∫ dx = ∫l ( FB − 2 )xdx = 0 l EI EI ∂FB 1 qx 2 1 ∆B = ∫l M ( x)M ( x)dx = EI ∫l ( FB − 2 ) xdx = 0 EI q Fl FB l M C1
q
B
q
例如： 例如：
相当系统 FBy
额外的约束方程： 额外的约束方程：∆ By = 0
材料力学课件：静不定问题分析
1
C
l
A
B
1、以相当系统为真实载荷状态
l
2、单位载荷法的本质
C
1A
1 EI
[
l
0 M( x1)M( x1 )dx1
l
0 M( x2 )M( x2 )dx2]
M
l
A
B
3、分解式的证明
l
C
21
3、分解式的证明
M
l
A
B
A
l
C
静不定问题分析
M l
B l HC C
x1 l
A 1
B l x2 C
静不定问题分析
上一讲回顾
1.梁的横向剪切变形效应 Euler梁直法线假设的本质
•
矩形截面梁应变能
V
l M2(x) dx
0 2EIz
l 6 FS2( x)dx 0 5 2GA
对一般实心截面梁，当l/h>5时，可不计剪力的影响。
2.冲击应力分析
机械能
应变能
分析方法： 功能原理 E V
d st (1
➢ 分析要点： 1、 去除多余约束，建立相当系统 2、 建立补充方程（找变形协调条件） 3、 确定多余未知力(多余内力和多余外力)
14
静不定问题分析
一、 外力静不定结构分析 解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
建立补充方程
M
A
l
BA
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
RC
2、 位移法： 以位移为待定量，利用平衡条件求解。
KU F 刚度法，平衡法
材料力学11-第十一章静不定结构
第十一章静不定结构目录第十一章静不定结构 (3)§11.1 静不定结构概述 (3)一、基本构件 (3)二、静不定结构 (3)§11.2 用力法解静不定结构 (4)一、只有一个多余约束的情况 (4)二、有多个多余约束情况 (5)§11.3 对称及反对称性质的利用 (7)§11.4 连续梁及三弯矩方程 (8)第十一章 静不定结构§11.1 静不定结构概述一、 基本构件1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。
2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。
3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。
二、 静不定结构1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。
分外力静不定结构和内力静不定结构。
2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。
3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。
桁架（内力静不定结构）刚架1（内力静不定结构）连续梁（外力静不定结构）维持结构几何不几何可变多余约束多余约束用4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。
多余约束RR解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。
6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。
§11.2 用力法解静不定结构一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力解：1. 将约束解除得到基本静定系B1XF R2F R22. 何载单独作用在B 点产生的位移()a l EIPa P －3621-=∆3. 沿约束反力方向单位何载1单独作用在B 点产生的位移EIl 311＝δ4. 协变条件 1111X P ∆+∆∆＝ ，即 01111=∆P X ＋δ解之得： ()a l lPa X -=32321二、有多个多余约束情况 如图所示结构，求其约束反力将B 端约束解除：变形协变条件⎪⎭⎪⎬⎫=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ对于n 次静不定结构⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∆+⋯⋯++=∆+⋯⋯++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 上述求图示刚架中杆DE 中点C 点的水平位移。
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B
B
7 qa
qa 16
16
q
B
qa 16
qa 16
A
X1
9 qa 16
7 qa 16
49 qa 2 512
qa 2 16
qa 2 16
[例4] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 F
解：①刚架有一个多余约束。
a
a
A
②选取并去除多余约束，代以多
a
余约束反力，得到相当系统。
B
③建立力法正则方程 F
④计算正则方程的系数： 1P和11程，两图互乘得1P ，单 位力图自乘得11。
⑤建立力法正则方程：
11X11P0
[例2] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架为一次超静定。
②选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
q B
1X 111P0
q
a
a A
A
X1
表14.1
li FNi F N i li F N i F N i li
a －Fa
a
a －Fa
a
a
0
a
a
0
a
2 a 2 2Fa 2 2a
2a
0 2 2a
FNiFNi li Fa(22 2)
FNiFNi li 4(1 2)a
1P
E1AFNiFNi
li
(22 2) EA
Fa
11
1 EA
FNiFNi
静不定问题分类
第一类：外力静不定：仅在结构外部存在多余约束， 即支反力是静不定的。
第二类：内力静不定：仅在结构内部存在多余约束， 即内力是静不定的。
第三类：混合静不定：在结构外部和内部均存在多余约 束，即支反力和内力是静不定的。
第一类
第二类
F
F
F F
F
B
F
F ACBiblioteka DCDB F
第三类
分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
8 l3
A
3 EI
38El3IX1
5Pl3 6EI
0
2l
X1
5 16
P
P
B
B 1
④求其它约束反力
11 P
由平衡方程可求得 A 端反
16
P
力，其大小和方向。
⑤ 作弯矩图，见图(e)。
3 Pl A
C
8
(e) –
3 Pl
16
5 Pl 32
+
B
5P 16
注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基 本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多 余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。
4
M图
[例14-2] 已知：F，a ，EA，求桁架各杆的内力。
C
a3
D
4
F
5
1 6
C
X1 D
4
F
X1
5
3
1
6
2
B
A
a
2
B
A
C
3
A
D
4
F
5
1 6
2
B
计算 F N
C 1
3
1 D
4 5
1 6
2
B
A
计算 F N
( P78)
杆件
编号 FNi F N i
1 －F 1
2 －F 1
3
01
401
5 2F 2
6 0 2
li
4(1 2)a EA
11X11P0
X1
1P 11
F 2
求桁架各杆的内力
a3 A
4
F
5
1 6
2
B
a
F X1
2
F4 X1 2 5
F
3
1
6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
C
3
A
D
4
F
5
1 6
2
B
C
F 2
3
F 2D
4 5
1 6
2
B
A
应用叠加法求桁架各杆的内力
( P78)
表14.1
杆件 编号
FNi
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
§14-2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
[ 例1] 如图所示，梁EI为常数。 试求支座反力，作弯矩图。
(a)
A
l
解：①判定静不定次数（一次）
②选取并去除多余约束，得到静定
基，见图(b)。
③加上原载荷,
(b)
A
④加上多余约束反力，
⑤列出变形协调方程： B 0
X1 A
P
B
C
二、力法正则方程
11X11P0
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
X1——多余未知量；
11——在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用点沿
X1方向的位移； 1P——在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿
X1方向的位移；
力法解超静定的基本步骤：
①判定静不定次数 ②选取并去除多余约束，代以多余约束反力。 ③画出两个图：原载荷图和单位力图。
④计算系数11和自由项1P
B
q
B
B
x2
x2
A
x1
A
x1 1
1P 0 E 1I0a(1 2q2 x2)adx2
qa 4 6 EI
11
1( EI
0ax12dx1
0aa2dx2)
4a3 3 EI
⑤代入力法正则方程： 1X 111P0
得
4a3 3EI
X1
q a4 6EI
0
qa X1 8
⑥画弯矩图
第十四章 超静定结构
§14–1 超静定结构概述 §14–2 用力法解超静定结构 §14–3 对称及反对称性质的应用
§14-1 超静定结构概述
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称 为静不定结构(或静不定系统)，也称为超静定结构(或超静定系 统)。
在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多 余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的 数目为结构的静不定次数。
FNi
li
1 －F 1 a 2 －F 1 a
3
01a
4 0 1a
5 2 F 2 2a
A
q
qa
8
B
qa 2 qa 2 8
8
3 qa 2 8
[例3] 试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。 解：①刚架有一个多余约束。
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力，得到相当系统。
③建立力法正则方程
B
11X11P0
④计算系数11和自由项1P
q
B
a
a
A
A X1
A
qa 2
qa 2 2
a
q
a
2
B
M图
M图
A
1
1PE1I[12q2a2a23a
2 3
qa2 2
a
5a] 8
3 qa 4
8 EI
B
11E1I[12aa23a12
a
a
2a] 3
2a3 3 EI
⑤代入力法正则方程： 1X 111P0
得
32Ea3IX1
3qa4 8EI
0
X1
9qa 16
A
X1
9 qa 16
q
q
qa 16
A
X1
9 qa 16
11X11P0
a
a
X1
④计算系数11和自由项1P
A
a
B
B
F 2
a a
B
1 2
Fa F
2
M图
0
M图
1
F
A
2
1PE1[I12F2a2aa2]
Fa 3 4 EI
11E1I[12a2a32a
1 2
a
a
2 3
a]
1 21
a3
EI
11X11P0
X1
F 4
F
a
a
F X1 4
A
a
B
1 Fa
3 Fa 8
4
1 Fa
P
B C
l
P
B C
X1
应用叠加法：
B1P1X10
1X1 11X1
变形协调方程
1P1X 110
或： 1X 111P0 A ——力法正则方程
P
B
1P
1X1
X1
11
1
系数δ11和Δ1P可由莫尔定理求得(图c、d)
1PE 1[I (1 2Pl)(6 52l)] (c)
5 Pl 3
Pl
6 EI
11 E 1[I(1 22l2l)(3 22l)] (d)