6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算

µFQ FQP FN FNP MM P ∆ = ∑∫ dx + ∑ ∫ dx + ∑ ∫ dx EI EA GA （6-11） ）
MP、FNP、FQP——实际荷载引起的内力； 实际荷载引起的内力； 实际荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力。 虚设单位荷载引起的内力 M 、 N 、 Q ——虚设单位荷载引起的内力。 F F
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已知EI=常 例6-3】试求图示简支曲梁点 的水平位移∆AH。已知 】试求图示简支曲梁点A的水平位移 常 数。
y= 4f x (l − x ) l2
FP C f D B a l l-a
y A x
l−a MP = FP x l
FP D K 2
MP = a FP (l − x) l
(2)列写在虚单位荷载作用下的 M 、 N 和 FQ 的表达式 列写在虚单位荷载作用下的 F
ds K dϕ O R
FN M
K A1 A2
FQ
ϕ
1
O
R
ϕ
A1
1
M = 1× R sin ϕ = R sin ϕ
FN = 1× sin ϕ = sin ϕ , FQ = −1× cos ϕ = − cos ϕ
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∆A1 A2
πFP R 3 = EI
I EI 1 + R 2 A + µ GAR 2
为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的影响， 为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的影响，设截面为圆形 截面， π r=R/10；m=10/9，E=2.5G； /4。 截面，A=πr2；r=R/10；m=10/9，E=2.5G；I= πr4/4。代入 最后计算式， 最后计算式，求得
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6.4.3 单位荷载法的计算步骤
1）列写在实际荷载作用下的MP的表达式（或作出 ）列写在实际荷载作用下的 的表达式（ 荷载弯矩图M 荷载弯矩图 P图）； 2）加相应的单位荷载，列写 M 的表达式（或作出 ）加相应的单位荷载， 的表达式（ 单位弯矩图 M 图）； 3）计算位移值：将 M 和MP代入公式（6-12），求 ）计算位移值： 代入公式（ ），求 ）， 注意：须在计算所得的位移值后， 出拟求位移∆。注意：须在计算所得的位移值后，加 圆括号， 圆括号，注明实际方向
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2、桁架 、
在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力， 在桁架中，在结点荷载作用下，各杆只受轴力， 而且每根杆的截面面积A以及轴力和 以及轴力和F 而且每根杆的截面面积 以及轴力和 NP沿杆长一 般都是常数，因此， 般都是常数，因此，位移公式可简化为
x FP C D C FPl l MP=FPx A l B x A MP图 B
M = 1⋅ x
FPl FPx D
C l
l
M = 1⋅ x
D
1
A
B
M图
解：
∆DH = ∑ ∫ 2 = EI
MM P dx 0 EI
l l
2 FP l 3 ∫0 ( x)(FP x)dx = 3EI (→)
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(2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式 列写在虚单位荷载作用下的的表达式 当0≤x≤l时， 时
M = −y
1 A
x y B
4f M = − y = − 2 x (l − x ) l
(3)计算位移值 计算位移值
∆AH = ∑ ∫
a l
1
MM P dx 0 EI 4f l-a FP x dx − 2 x (l − x ) l l 4f a − 2 x(l − x ) FP (l − x ) dx l l
（6-14） ）
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4、拱 、
计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响， 计算表明，通常只需考虑弯曲变形的影响，即可按式 （6-12）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（即两者 ）计算。但当拱轴线与压力线比较接近（ 的距离与杆件的截面高度为同量级）， ），或者是计算扁平 的距离与杆件的截面高度为同量级），或者是计算扁平 拱（f / l<1/5）中的水平位移时，则还需要考虑轴向变形 ）中的水平位移时， 的影响， 的影响，即有 FN FNP MM P （6-15） ） ∆= ∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA 而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构， 而像拱坝一类的厚度较大的拱形结构，剪切变形的影响 则需一并考虑。 则需一并考虑。 本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式， 本节中所列出的在荷载作用下的位移计算公式，不仅 适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。 适用于静定结构，也同样适用于超静定结构。
q
建立x坐标，如图 所示。 建立 坐标，如图6-9a所示。 坐标 所示 当0≤x≤l时，有 时
ql/2
A x
K l
C
B ql/2 B
q M P = (lx − x 2 ) 2
M
P
A
K
C
=
q ( lx − x 2 ) 2
ql2/8 MP图
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(2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式 列写在虚单位荷载作用下的的表达式 1 在点C加一 根据拟求∆CV，在点 加一 竖向单位荷载， 竖向单位荷载，作为虚拟状 态，如图6-9b所示。当 如图 所示。 所示 0≤x≤l/2时，有 时
1 =∫ 0 EI +∫ =−
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l a
1 EI
FP af 2 (l + al − a 2 )(l − a ) (←) 3EIl 2
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【例6-4】试求图示体系中 1与A2截面水平相对错动的位 】试求图示体系中A 已知EI、 、 均为常数 均为常数。 移 ∆ A1 A2 。已知 、EA、GA均为常数。
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6.4.1 在荷载作用下位移计算的一般公式
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式
µFQ FQP FN FNP MM P ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA
（6-10） ）
如果各杆均为直杆，则可用dx代替 ，即 代替ds， 如果各杆均为直杆，则可用 代替
ds K dϕ O R FNP A1 A2 FP O MP K R FQP
ϕ
ϕ
A1 FP
列写在实际荷载作用下的M 解： (1)列写在实际荷载作用下的 P、FΝP和FQP的表达式 列写在实际荷载作用下的
M P = FP R sin ϕ
FNP = FP sin ϕ
FQP = − FP cos ϕ
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A x l−a FP l (0≤x≤a)
K1
B
a FP l
x
(a≤x≤l)
l-x
解：(1)列写在实际荷载作用下的 P的表达式 列写在实际荷载作用下的M 列写在实际荷载作用下的 当0≤x≤a时， 时 当a≤x≤l时， 时
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l −a MP = FP x l
MP = a FP (l − x) l
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(3)计算位移值 计算位移值
∆A1 A2
µFQ FQP FN FNP MM P = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA GA 2 π 2 π 2 2 = FP R sin ϕ × Rdϕ + FP sin 2 ϕ × Rdϕ EI ∫ 0 EA ∫0 2 π µFP cos 2 ϕ × Rdϕ + GA ∫ 0 πFP R 3 I EI = 1 + R 2 A + µ GAR 2 EI
A x 1/2 l/2 1/2 K C B
A
K
C
BFra Baidu bibliotek
x M = 2
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x M = 2
l/4
M图
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(3)计算位移值 计算位移值
∆CV = 2∫
l 2 0
MM P 1 xq dx = 2 ∫ (lx − x 2 )dx EI EI 2 2
l 2 0
q = 2 EI
6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
6.4.1 在荷载作用下位移计算的一般公式
当仅考虑荷载作用时， 当仅考虑荷载作用时，无支座位移项
∆ = ∑ ∫ M dθ + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ FQ dv
(a)
式中， 是实际状态中由荷载引起的微段ds上 式中，dθ、du和dv是实际状态中由荷载引起的微段 上 和 是实际状态中由荷载引起的微段 的变形位移，对于弹性结构可由6.1节公式 节公式（ ） 的变形位移，对于弹性结构可由 节公式（6-4）进行 计算，只是须注意，该公式中的各内力M、 计算，只是须注意，该公式中的各内力 、FN、FQ，应 具体采用由实际状态中的荷载引起的内力M 具体采用由实际状态中的荷载引起的内力 P、FNP、FQP。
∫
l 2 0
5ql (lx − x )dx = (↓) 384 EI
2 3
4
计算结果为正，说明点 竖向位移的方向与虚拟单位 计算结果为正，说明点C竖向位移的方向与虚拟单位 荷载的方向相同，即向下。 荷载的方向相同，即向下。
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已知EI=常数。 常数。 【例6-2】试求图示简支刚架点 的水平位移∆DH。已知 】试求图示简支刚架点D的水平位移 常数
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6.4.2 各类结构的位移公式
1、梁和刚架 、 在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的， 在梁和刚架中，位移主要是弯矩引起的，轴力和 剪力的影响较小，因此， 剪力的影响较小，因此，位移公式可简化为
MM P ∆= ∑∫ ds EI
（6-12） ）
∆= ∑∫
FN FNP FN FNP l ds = ∑ EA EA
（6-13） ）
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3、桁梁组合结构 、
在桁梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲， 在桁梁组合结构中，梁式杆主要受弯曲，桁杆只 受轴力， 受轴力，因此位移公式可简化为
FN FNP MM P ∆=∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA
∆A1 A2
πFP R 3 1 1 = + 1 + EI 400 135
由此可见： 由此可见：轴向力及剪力对该位移的影响还不到弯矩 影响的1%。因此，在计算位移时， 影响的 。因此，在计算位移时，可只考虑弯矩的 影响而采用式（ 影响而采用式（6-12）计算。 ）计算。
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【例6-1】试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面 的竖向位 】试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面C的竖向位 即挠度） 已知EI=常数。 常数。 移（即挠度）∆CV。已知 常数 列写在实际荷载作用下的M 解：(1)列写在实际荷载作用下的 P的表达式 列写在实际荷载作用下的
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6.4.1 在荷载作用下位移计算的一般公式
关于内力的正负号可规定如下： 关于内力的正负号可规定如下： 轴力F 以拉力为正； 轴力 NP、——以拉力为正； 以拉力为正 剪力FQP、——以使微段顺时针转动者为正； 以使微段顺时针转动者为正； 剪力 以使微段顺时针转动者为正 弯矩M 的正负号。 弯矩 P、M ——只规定乘积 M M P 的正负号。 只规定乘积 使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。 当 M 与MP使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。
【例6-5】试求图示桁架结点 的水平位移∆AH及垂直位移∆AV。 】试求图示桁架结点A的水平位移
FP
1
a
2 FP FP
-FP
2
1
1 A FP A
1
-1 A
a
1
计算在实际荷载作用下各杆的轴力F 解：(1)计算在实际荷载作用下各杆的轴力 NP 计算在实际荷载作用下各杆的轴力 (2)在点 加水平单位荷载，求各杆的轴力 FN1 在点A加水平单位荷载 在点 加水平单位荷载， (3)在点 加竖向单位荷载，求各杆的轴力 FN 2 在点A加竖向单位荷载 在点 加竖向单位荷载，