(名师导学)2020版高考数学总复习第66讲椭圆练习理(含解析)新人教A版

第66讲 椭 圆

夯实基础 【p 150】

【学习目标】

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．

2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 【基础检测】

1．已知椭圆x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的离心率为1

2，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆

为方程为( )

A .x 2

4＋y 2

2＝1B .x 2

8＋y

2

4＝1 C .x 2

16＋y 2

4＝1D .x 2

16＋y

2

12

＝1 【解析】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得c a ＝1

2，故a ＝2c ，由椭圆的长轴与焦距之差为

4可得2(a －c)＝4，即a －c ＝2，所以a ＝4，c ＝2，故b 2

＝a 2

－c 2

＝12，故该椭圆的方程为

x

2

16

＋y

2

12

＝1. 【答案】D

2．已知椭圆E ：y 2

a 2＋x

2

b

2＝1(a>b>0)经过点A(5，0)，B(0，3)，则椭圆E 的离心率为( )

A .23

B .

53C .49D .59

【解析】由椭圆E ：y 2

a 2＋x

2

b 2＝1(a>b>0)，经过点A(5，0)，B(0，3)，可得a ＝3，b ＝5，

所以c ＝9－5＝2， 其离心率e ＝2

3.

【答案】A

3．设椭圆C ：x 2

25＋y

2

9＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是椭圆C 上任意一点，则△AF 1F 2

的周长为( )

A ．9

B ．13

C ．15

D ．18

【解析】由椭圆C ：x 2

25＋y

2

9＝1知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，

则△PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝10＋8＝18. 【答案】D

4．已知F 是椭圆C ：x 22＋y 2

＝1的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4，

3)，则|PQ|＋|PF|的最大值为__________．

【解析】∵点F 为椭圆x 22＋y 2

＝1的左焦点，

∴F(－1，0)，设椭圆的右焦点为F′(1，0)，

∵点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4，3)，∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋22－|PF′|＝22＋|PQ|－|PF′|，

又∵|PQ|－|PF′|≤|QF′|＝32， ∴|PQ|＋|PF|≤52，

即|PQ|＋|PF|的最大值为52，此时Q 、F′、P 共线． 【答案】5 2

5．已知椭圆方程为x 2

2＋y 2

＝1，则过点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程为

____________．

【解析】设这条弦与椭圆x 2

2＋y 2

＝1交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，

由中点坐标公式知x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 把A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入x 22

＋y 2

＝1，

作差整理得(x 1－x 2)＋2(y 1－y 2)＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1

2.

∴这条弦所在的直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －12，

即2x ＋4y －3＝0. 【答案】2x ＋4y －3＝0 【知识要点】 1．椭圆的定义

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于__|F 1F 2|__)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

2．椭圆的标准方程

(1)__x 2

a 2＋y 2

b 2＝1__(a>b>0)，焦点F 1(－

c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝．

(2)y 2

a 2＋x 2

b 2＝1(a>b>0)，焦点__F 1(0，－c)，F 2(0，c)__，其中

c ＝． 3．椭圆的几何性质(以x 2

a 2＋y

2

b 2＝1(a>b>0)为例)

(1)范围：__|x|≤a，|y|≤b__．

(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O(0，0)．

(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b)，B 2(0，b)；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c.

(4)离心率e ＝__c

a __，0

(5)a ，b ，c 的关系：c 2

＝a 2

－b 2

或a 2

＝c 2

＋b 2

.

典例剖析 【p 151】

考点1 椭圆的定义及应用

例1(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

【解析】由条件知|PM|＝|PF|.

∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 【答案】A

(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2

25＋y

2

16＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，

|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．