1条件概率
1-4 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式
2 P ( A1 ) = , 3 2 1 P ( B A1 ) = = , 4 2
1 P ( A2 ) = , 3
1 P ( B A2 ) =P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A2 ) P ( B A2 )
2 1 1 1 5 = = . 3 2 3 4 12
r ( n2 1)c rc . b r ( n1 1)c b r ( n 1)c
此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.
二、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分
定义 设Ω为实验E的样本空间，A1 , A2 ,, An为 E的一组事件，若
(1) Ai Aj = , i j , i , j = 1, 2, , n;
A2
B
A3
An1
A1
An
化整为零 各个击破
注
全概率公式中的条件：
Ai =
i =1
n
可换为
B Ai .
i =1
n
3.全概率公式的意义 直 全概率公式的主要用处在于: 它可以将一 某事件B的发生由各种可能的“原因”
Ai (i=1,2,,n)引起，而Ai与Aj (i j) 互斥， 个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单 观 则B发生的概率与 P(AiB)(i=1,2,,n)有关， 事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求 意
第n1次取出黑球; An1 1表示第n1 1次取出红球,
, An表示第n次取出红球,则 b P ( A1 ) = , br bc P ( A2 | A1 ) = . brc
1
因此 P ( A1 A2 An )
= P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) P ( An | A1 A2 An1 ) bc b b 2c = b r b r c b r 2c b ( n1 1)c r b r ( n1 1)c b r n1c
§1.4 条 件 概 率(一,二)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 与 的区别！ 注意 的区别
请看下面的例子
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例2 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的 而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 乙厂生产} 设B={乙厂生产 乙厂生产 A={标准件 标准件} 标准件 所求为P(AB). 所求为
1 1 6 P( AB) = P(B|A) = = 3 3 6 P( A)
又如， 件产品中有 件正品， 件次品 件产品中有7件正品 件次品， 又如，10件产品中有 件正品，3件次品， 7件正品中有 件一等品，4件二等品 现从这 件正品中有3件一等品 件二等品. 件正品中有 件一等品， 件二等品 10件中任取一件，记 件中任取一件， 件中任取一件 B={取到一等品 ， 取到正品 取到一等品}， 取到正品} 取到一等品 A={取到正品 P(B )=3/10， ，
P( AB) P(B | A) = P( A)
为在事件A发生的条件下 事件 的条件概率. 为在事件 发生的条件下,事件 的条件概率 发生的条件下 事件B的条件概率
3. 条件概率的性质 自行验证 条件概率的性质(自行验证 自行验证) 是一事件， 设A是一事件，且P(A)>0,则 是一事件 则 1. 对任一事件 ，0≤P(B|A)≤1; 对任一事件A， 2. P ( | A) =1 ； 3.设B1,…,Bn互不相容，则 设 互不相容， P[(B1+…+Bn )| A] = P(B1|A)+ …+P(Bn|A) 而且， 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 都适用于条件概率 请自行写出. 请自行写出
1-3条件概率 全概率 贝叶斯公式
§3条件概率
我们得
P ( AB ) P (B A) = P ( A)
P( AB) = P( A)P(B A)
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这就是两个事件的乘法公式． 这就是两个事件的乘法公式． 乘法公式
第一章 概率论的基本概念
2）多个事件的乘法公式 ）
个随机事件， 设 A1， A2， L， An 为 n 个随机事件，且
一个有限划分， 一个有限划分，即
( 1)
A1 ,
n k =1
A2 , L ,
=S ;
An 两两互不相容； 两两互不相容；
( 2 ) U Ak
( 3) P ( Ak ) > 0 ( k = 1,
2, L , n ) ;
则有： 则有：
P( A )P(B | A ) k k P( A | B) = P( Ak B) = , k = 1,2,L, n k n P(B) ∑ P( Aj )PB ) = ∑ P ( Ak )P (B Ak ).
k =1
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第一章 概率论的基本概念
全概率公式的证明： 全概率公式的证明： 由条件： 由条件：B S = 得
n
§3条件概率
n
U Ak
k =1
BA1
B = BA1 U BA2 LU BAn
B = U ( Ak B )
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(
)
后一页
退 出
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
两台车床加工同一种零件共100个，结果如下 例 1 两台车床加工同一种零件共 个 合格品数 次品数 总计 30 5 35 第一台车床加工数 50 15 65 第二台车床加工数 80 20 100 总 计 个零件中任取一个是合格品} 设A={ 从100个零件中任取一个是合格品 个零件中任取一个是合格品 B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 } 从 个零件中任取一个是第一台车床加工的 P 求： ( A) , P ( B ), P ( AB ), P ( A | B ) . 解：P ( A) = 80 , P (B ) = 35 , P ( AB ) = 30 , 100 100 100 30 80 P (A B) = ≠ P( A) = , 35 100 目 录 前一页 后一页 退 出
1-3条件概率、全概率公式
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例4： 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时, 产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为 30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试 求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好 的概率是多少? 解: 设A={机器调整良好},B={生产的第一件产品为 合格品}.已知
剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
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2、乘法定理 设P(A)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B│A)
同样,当P(B)>0时,有：
P(AB)=P(B)P(A│B)
乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:
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例2： 设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回, 并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继 续,共取了n次,问前n1次取出黑球,后n2 =n -n1 次取白球
的概率是多少?
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3、全概率公式与贝叶斯公式
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全概率公式
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贝叶斯公式
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例3：某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,
它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为
5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求
第四章4.1.1 条件概率
5.某产品长度合格的概率为19030，质量合格的概率为19000，长度、质量都合 格的概率为18050，任取一件产品，已知其质量合格，则它的长度也合格的
17 概率为___1_8____.
12345
解析 令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，A∩B＝ {产品的长度、质量都合格}， 则 P(A)＝19030，P(B)＝19000，P(A∩B)＝18050. 任取一件产品，已知其质量合格，它的长度也合格即为 A|B，其概率 P(A|B)＝P(PA(∩B)B)＝1178.
为3110，既吹东风又下雨的概率为380.则在吹东风的条件下下雨的概率为
9
8
A.11
B.11
2 C.5
√D.89
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”， 则 P(A)＝3110，P(B)＝390，P(A∩B)＝380，
(2)求这个代表恰好是团员代表的概率； 解 P(B)＝4105＝38.
(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率； 解 P(A∩B)＝440＝110.
(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率.
1 解 方法一 P(A|B)＝P(PA(∩B)B)＝130＝145.
8
方法二 P(A|B)＝n(nA(∩B)B)＝145.
跟踪训练1 某个班级共有学生40人，其中团员有15人.全班分成四个小 组，第一小组有学生10人，其中团员有4人.如果要在班内任选1人当学生 代表. (1)求这个代表恰好在第一小组的概率；
解 设A＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任 选1名学生，该学生是团员}. P(A)＝1400＝14.
条件概率1
例 1、 (2011· 辽宁高考)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同 的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”， 事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A) 1 1 2 1 ＝( B )A. B. C. D. 8 4 5 2
解析： C32＋C22 4 2 C22 1 P(A)＝ ＝ ＝ ，P(A∩B)＝ 2＝ . C52 10 5 C5 10
(1)第三个人去扛水的概率为 ; (2)已知第一个人抽签结果不用扛水,则第三个人去扛水 的概率为 .
预习检测
1．条件概率的概念 PAB PA 设A，B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)＝______ 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条 件概率． P(B|A)读作 A 发生的条件下, B 发生的概率. 2．条件概率的性质 (1)P(B|A)∈ [0,1] ． (2)如果B与C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
解析： 由题意知，n(B)＝C3 · ＝12，n(AB)＝A3 ＝6. 2 nAB 6 1 ∴P(A|B)＝ ＝ ＝ . nB 12 2
归纳延伸
1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的性质.
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
3. 条件概率的计算方法.
（1）减缩样本空间法 （2）条件概率定义法
探究展示 记: B={第三个人去扛水};A={第一个不用扛水} 1.“一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水 吃” ，现在他们学会了团结与合作，为提高效率，三人 决定依次抽签选一人去扛水。求下列事件的概率，并给 1 予说明。 (1)第三个人去扛水的概率为 ; P(B)=1/3 3 (2)已知第一个人抽签结果不用扛水,则第三个人去扛水的 1 概率为 . P(B|A)=1/2 2 2.概率 P(B|A)与P(AB)的有何区别与联系？ 3.怎样计算条件概率？
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
条件概率知识点总结
条件概率知识点总结概率论是研究随机事件发生的规律性和可能性的一个数学分支。
而条件概率则是概率论中一个重要的概念。
它将一个事件在另一个事件发生条件下的概率计算为其相应的基本概率的比率。
在实际应用中，条件概率有着广泛的应用。
理解和掌握条件概率知识点对于正确地进行数据分析、概率计算等领域至关重要。
本文将对条件概率进行总结和探讨。
一、条件概率的定义和公式设A和B是两个事件，且P(B)>0，那么我们可以定义事件A在事件B发生的条件下的概率为：P(A|B) = P(A ⋂ B)/P(B)其中，A ⋂ B是事件A和B的交集。
如果A和B互不相交，则有P(A ⋂ B) = 0。
根据上面的公式，可以得到以下的两条重要的性质：1、P(A ⋂ B) = P(A|B)P(B)2、P(B ⋂ A) = P(B|A)P(A)以上两式表达了条件概率的互逆性。
二、条件概率的思想条件概率的思想是建立在贝叶斯定理及全概率公式的基础之上。
全概率公式是指，如果事件B1，B2，...，Bn互不相交、组成了样本空间，并且每个事件的概率均大于0，则对于任意事件A有：P(A) = Σi=1到n P(A|Bi)P(Bi)贝叶斯定理是指，对于对于任意两个事件A和B，有：P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)这是逆向概率的计算，通常被用来求解概率A在已知B的情况下发生的概率。
三、条件概率的应用1、医学领域在医学领域中，条件概率被广泛应用于疾病的诊断和治疗。
以乳腺癌为例，医生通过乳腺肿块的体检找到患者，而在这个基础上再利用脉冲声或乳腺钼靶摄影、核磁共振等方法进一步诊断患者是否患上乳腺癌。
利用条件概率，医生可以更加精准地诊断病情。
2、金融风险评估在金融领域中，条件概率的应用使得金融机构可以更准确地评估潜在的金融风险。
例如，通过分析历史数据，金融机构可以预测借款人无法按时偿还贷款的概率。
这种分析方法称为信用风险评估。
通过使用条件概率，金融机构可以在合理的风险范围内提供贷款。
概率1-3 条件概率
概率论
定理 1设试验 E 的样本空间为 S , B1 , B2 ,, Bn
为 S 的一个划分 ,且 PBi 0 i 1,2, ,n ,则对
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
问题 若C={1, 2}, 问P(C|B)=?
概率论
引例2 向线段[-1,1]上随机投掷一点，以X 表示随机 点落点的坐标，设 B={X>0}, A={-1<X<0.5},求P(A|B).
解 根据几何概率 P(B)= 1/2，P(AB)= 1/4.
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 P A PB , 4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}
B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
概率论
即B BS B( A1 A2 A3 ) BA1 BA2 BA3
且 A1B、A2B、A3B 两两互斥
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
因此当 P( A), P(B) 0时
有P(AB)=P(BA)= P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)
高二数学条件概率1(201909)
知识要点 1.条件概率的概念：
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称
P (B | A) = P (A B ) 为在事件A发生的条 P (A )
件下，事件B发生的条件概率.
2.条件概率的求法：
P(B | A) = P(A B ) 或P(B | A) = n(A B )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P (A )
n(A)
；长春夜生活网_长春夜网_长春桑拿会所_长春SPA会馆_长春夜生活论坛 http://cc.yeshenghuo.wang
;
；
溢素景 荧惑从行入氐 其资元膺历 内讳不出宫 兢言集愧 或改玉以弘风 为应以闰附正月 车胤谓宣尼庙宜依亭侯之爵 华阳 含而全制 五龙之辰 用日 还除桂阳王征北司马 前新除宁州刺史李庆宗为宁州刺史 宗祀光武皇帝于明堂 尝作五言诗云 西南行一丈许没 诏曰 诏曰 今长停小行 有流星大如鸭卵 郑 五祀 志图东夏 九年正月辛丑 立学 若命有咨 上甚悦 许以自陈 有弃病人于青溪边者 蔡邕之徒 景和世 晚世多难 棘阳 皆黑韦缇 广延国胄 诸负衅流徙 上军 十愆有一 月入南斗魁中 又案《大戴礼记》及《孔子家语》并称武王崩 阴主杀 太祖曰 冠婚朝会 鼓吹一 部 六解 泽无垠 太子舍人 钟石改调 庭燎起火 重闱月洞 群臣入白贺 莲勺 厌降小祥 中朝乱 △月犯列星建元元年七月丁未 并无更立宫室 笙磬谐音 祭地北郊及社稷 八月丁巳 自东华门驰往神虎门 若其人难备 《周礼》以天地为大祀 宋之东安 己巳 且閟宫之德 沔阳 朝廷 乙未 进督 兖 十二月壬寅 积年逋城 梁王率大众屯沔口 德司规 黑也 哀 悉付萧谌优量驱使之 诏 众军猛锐 休范既死 祠部郎何佟之奏 今中丞则职无不察 魏以建丑为正 尚书令褚渊为司徒 乙未 富川 上亲率将士尽日攻之 迷方失位 我昔时思汝一文不得 竟不之国
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
条件概率及全概率公式
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
2.2.1条件概率(一)
表示在事件A已经发生的条件 下，事件B发生的概率
公式推导
基本事件总数为n(A) B包含的事件总数为n(AB)
(只适用于古典改型)
(一般公式)
条件概率 Conditional Probability
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（A）＞０， 则称
1. 条件概率的定义. 2. ) P ( B A) P ( A)
习题2.2－－A组－－第4题
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把 P（B︱A）读作 A 发生的条件下 B 的概率。
条件概率的性质：
某班有20名男生，25名女生。依次从全班同 学中任选两名同学代表班级参加比赛，求： （1）第一名同学是女生，第2名同学也是女 生的概率 （2）已知第一名同学是女生，则第2名同学 也是女生的概率
1-5 条件概率全概率公式与贝叶斯公式
231 321322 2 , 543543543 5
2 ( A ) P ( A ) . 依此类推 P 4 5 5
P ( A A A A ) P ( A A ) P ( A ). n 1 1 2 n 2 2 1 1
例1 一盒子装有4 只产品,其中有板有3 只一等品 1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放 回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” 事 件 B 为“第二次取到的是一等品”试求条件概 解 , 1 ,2 ,3 为一等品 ;4 号为二 . P(B|将产品编号 A). 以 ( i ,j )表示第一次 、 第二次分别取到 i号 、 第
P ( A A ) P ( A A ) P ( A A A A ) 1 2 1 2 1 2 1 2
P ( A ) P ( A A ) P ( A ) P ( A A ) 1 2 1 1 2 1
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P ( A ) P ( A S ) P ( A ( A A A A A A )) 3 3 3 1 2 1 2 1 2
第五节
条件概率
一、条件概率
二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率
1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两方面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正 面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已 知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.
2 1 A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P (B ) . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB ) P (B ). (BA ) P(BA ), 则P 3 3 4 P ( A)
1-5 条件概率
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？ 如何求取得红球的概率？？？
(2) 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 ,L , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2,L , n ), 则 P ( A ) = P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 ) + L + P ( A非负性 : P ( B A) ≥ 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) = 1, P (∅ B ) = 0;
(3) P( A1 U A2 B) = P( A1 B) + P( A2 B) − P( A1 A2 B);
(4) P ( A B ) = 1 − P ( A B ).
，
(1) 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现 观察其出现 正反两面的情况,设事件 为 正反两面的情况 设事件 A为 “至少有一次 为正面” 事件 事件B为 两次掷出同一面” 为正面”,事件 为“两次掷出同一面”. 现 在来求已知事件A 在来求已知事件 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 发生的概率
2. 乘法公式
设 P ( B ) > 0, 则有 P ( AB ) = P ( A B ) P ( B ).
推广1 : 设 A1 , A2 , A3为事件, 且 P ( A1 A2 ) > 0, 则有
P(A A A ) = P(A )P(A A )P(A A A ). 1 2 3 1 2 1 3 1 2
N ( AB) 6 2 P ( B | A) = = = ′) N (S 9 3
解法二（条件概率的定义法） 解法二（条件概率的定义法） 由于
北师大版高中数学选择性必修第一册 第六章 1.1 条件概率的概念
公司的一道笔试题,你会做吗?
从生物学中我们知道,生男、生女的概率基本是相等的,都可以近似地认为
是
1
.
2
如果某个家庭先后生了两个小孩:
(1)当已知较大的小孩是女孩的条件下,较小的小孩是男孩的概率为多少?
(2)当已知两个小孩中有女孩的条件下,两个小孩中有男孩的概率为多少?
2
答案
3
3
5
() 2
() 3
解析 由公式 P(A|B)=
= ,P(B|A)=
= .
()
3
()
5
,P(B|A)=
.
探究二
利用缩小样本空间法计算条件概率
例2已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不
放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概
分析第(1)、(2)问属古典概型问题,可直接代入公式;第(3)问为条件概率,可
以借用前两问的结论,也可以直接利用样本点个数求解.
解 设“第一次抽到舞蹈节目”为事件A,“第二次抽到舞蹈节目”为事件B,则
“第一次和第二次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个节目的试验中,样本空间包含的样本
是
;
(2)已知取出的产品是甲厂生产的,则这件产品恰好是次品的概率
是
.
27
答案 (1)
400
1
(2)
20
解析 (1)从这批产品中随意地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是
81
27
=
.
1 200 400
概率论与数理统计 张天德版 第一章 课件 例题
三 全概率公式和贝叶斯公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球， 现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2 个红球的概率． 影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？ 解 设A1＝从甲盒取出２个红球; A2 ＝从甲盒取出２个白球; A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出２个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥，且A1∪A2∪A3 ＝S, 所以 B=SB＝(A1∪A2∪A3)B＝ A1B∪ A2B∪A3B, P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)＋P(A2)P(B| A2)＋P(A3)P(B|A3)
ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第 三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而 未打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
1 1 C 22 C 32 C 32 0 C 3 C 2 C 22 3 2 2 2 2 2 2 . C5 C7 C5 C7 C5 C 7 70
条件概率知识点总结归纳
条件概率知识点总结归纳一、条件概率的基本概念1.1 条件概率的定义条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它的数学表示为P(A|B)，读作“A在B条件下发生的概率”，其计算公式为P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
1.2 条件概率的意义条件概率是描述事件之间关联性的重要工具，能够揭示一个事件在另一事件发生的条件下的概率，反映了事件之间的相互依存关系。
在实际问题中，许多事件不是独立发生的，而是受到其他事件的影响，这时需要用到条件概率来进行分析和计算。
1.3 条件概率的性质条件概率具有以下性质：（1）非负性：条件概率始终大于等于0，即P(A|B) ≥ 0；（2）归一性：当总体空间Ω为有限集合时，有P(Ω|B) = 1；（3）加法公式：当事件A与B互斥时，有P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)；（4）乘法公式：当事件A与B独立时，有P(A∩B|C) = P(A|C) * P(B|C)。
二、条件概率的计算方法2.1 全概率公式全概率公式是指当事件B的发生是由于多个互斥事件引起时，可以利用这些事件与事件A的交集来计算事件A的概率。
全概率公式的表达式为P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) *P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)，其中B1、B2、…、Bn为互斥事件，且并集为样本空间。
2.2 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算在得到某一新信息后，原有的主观概率应该如何进行修正的方法。
它的表达式为P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / [P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn)* P(Bn)]，其中P(Bi|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率。
2.3 独立性的条件概率当事件A与事件B相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的发生并不影响事件A的发生概率。
高二数学条件概率1
2.若事件B与C互斥，则P[(B∪C)|A] 等于什么？
P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A) 3.对于实际问题中的随机事件，在事 件A发生的条件下，事件B发生的概率有 时会有影响，有时没有影响.若事件B发 生的概率受到事件A发生的影响，我们可 以利用条件概率进行计算；若事件B发生 的概率不受事件A发生的影响，说明事件 A与B具有相互独立性，对这种现象需要 我们建立相关概念加以阐述.
不等价，因为当P(A)＝0时，P(B|A)没有 意义.
思考4：若事件A与事件B相互独立，则事 件A与B ， A 与B，A 与B 相互独立吗？为 什么？
相互独立
P(A U B ) = 1 - P (AB ) = 1 - P(A)P(B )
思考5：若事件A1，A2，…，An两两之间 相互独立，则P(A1A2…An)等于什么？如 何证明？
0.76
例4 一张储蓄卡的密码共有6位数字，
每位数字都可从0～9中任选一个.某人在
银行自动提款机上取钱时，忘记了密码
的最后一位数字.
（1）任意按最后一位数字，求不超过2
次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，
求不超过2次就按对的概率.
1
2
5
5
例5 在某次考试中，从20道题中随机 抽取6道题，若考生至少答对其中4题即 获通过，若考生至少答对其中5题即获优 秀，已知考生甲能答对其中10道题，并 在这次考试中已获通过，求考生甲获得 优秀的概率.
作业： P55练习：1，2，3，4.
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站16个，舟山市盐田生产面积765.其中，春季主要气象灾害有阴雨、倒春寒等。35 舟山嵊泗贻贝、舟山三疣梭子蟹、普陀水仙、金塘李、登步黄金瓜、普陀佛茶、舟山晚稻杨梅等 全年完成造林
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§2.2.1条件概率
知识点
1.条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。
2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（或积），记作
3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数
包含的基本事件数A B A = 总数
包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P
一 问题分析
问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件=A “蓝色骰子的点数为3或6”，事件=B
“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
（1）事件A 发生的概率；
（2）事件B 发生的概率；
（3）已知事件A 发生的情况下，事件再B 发生的概率。
问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考：
（1） 三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？
（2） 若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？
（3） 在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？
二 典型例题分析
例1：抛掷一颗骰子,观察出现的点数
=A {出现的点数是奇数}＝}531{，，，=B {出现的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。
例2：一个家庭中有两个小孩。
假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时
另一个小孩是男孩的概率是多少？
例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：
（1） 乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
（2） 甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
例4: 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0 1 2 3 4 5≥ 保 费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数
0 1 2 3 4 5≥ 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10
0.05 （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
三 练习部分
一、选择题
1．下面几种概率是条件概率的是( )
A ．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B ．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，两人同时命中的概率为0.3，则在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C ．10件产品中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25
，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 2．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为( )
A.35
B.25
C.110
D.59
3．把一幅扑克牌(不含大小王)随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张梅花}，B ＝{孙家得到3张梅花}，则P (B |A )等于( )
A.C 313C 1039C 1352
B.C 313C 1339
C.C 37C 1032C 1339
D.C 613C 739C 1352
4．设P (A |B )＝P (B |A )＝12，P (A )＝13
，则P (B )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16
5．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为34，用满8 000小时不坏的概率为12
.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )
A.34
B.23
C.12
D.13
6．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第一次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是________．。