2012高考数学分类汇编-推理与证明

1.湖南16.设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置； （2）当N=2n（n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+ 【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 2.江苏20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221nn n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，（1）设nn n a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设nn n a b b ∙=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【答案】解：（1）∵nn n a b b +=+11，∴1n a +=∴11n n b a ++=。

∴()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴11n a b <a ++=≤（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q若1,q >则212=a a <a q≤1log qn >a时，11n n a a q >+=（﹡）矛盾。

若01,<q <则212=1a a >a >q，∴当11log q n >a 时，111nn a a q <+=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q 。

∴()1*n a a n N =∈，∴11<a ≤。

又∵11=n n nn b b b a a +=∙()*n N ∈，∴{}n b是公比是1a 的等比数列。

若1a ≠11a ，于是123b <b <b 。

又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =，得11n b a -。

∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b矛盾。

∴1a 。

∴=1n b -∴ 12=a b【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和nn n a b b +=+11，求出11n n b a ++=证明22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而得证。

（2）根据基本不等式得到11n <a +=≤{}n a 的公比=1q 。

从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由11=n n n nb b b a a +=知{}n b1a数列。

最后用反证法求出12=a b3.江西6．观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010ab+=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．199 6.C 【解析】本题考查归纳推理的思想方法.观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,…， 故1010123.a b +=【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理.4.全国卷大纲版22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 函数2()23f x x x =--。

定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点(4,5),(,())n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标。

（1）证明：123n n x x +≤<<； （2）求数列{}n x 的通项公式。

解：（1）为2(4)4835f =--=，故点(4,5)P 在函数()f x 的图像上，故由所给出的两点(4,5),(,())n n n P Q x f x ，可知，直线n PQ 斜率一定存在。

故有直线n PQ 的直线方程为()55(4)4n n f x y x x --=--，令0y =，可求得2284355(4)4422n n n n n n x x x x x x x x x --+--=-⇔=-⇔=-++所以1432n n n x x x ++=+下面用数学归纳法证明23n x ≤< 当1n =时，12x =，满足123x ≤<假设n k =时，23k x ≤<成立，则当1n k =+时，1435422k k k k x x x x ++==-++，由551152342512432442k k k k x x x x ≤<⇔≤+<⇔<≤⇔<≤-<++即123k x +≤<也成立综上可知23n x ≤<对任意正整数恒成立。

下面证明1n n x x +< 由22143432(1)4222n n n nn n n n n n n x x x x x x x x x x x +++----+-=-==+++由2231120(1)43n n n x x x ≤<⇒≤-<⇒<--+≤，故有10n n x x +->即1n n x x +<综上可知123n n x x +≤<<恒成立。

（2）由1432n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2230x x --=，解得3x =或1x =-∴14333322n n n n n x x x x x ++--=-=++ ① 14355(1)122n n n n n x x x x x +++--=+=++②两式相除可得11331151n n n n x x x x ++--=⨯++,而1132311213x x --==-++故数列31n n x x ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以13-为首项以15为公比的等比数列[来源:] 1311()135n n n x x --=-⋅+,故11195143351351n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+。

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。

先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。

【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。

既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。

做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。

5.陕西11. 观察下列不等式213122+<231151233++<，474131211222<+++，……照此规律，第五个．．．不等式为 ． 【答案】6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=()2221131211+++++n L ，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++.6上海23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分 记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ； 当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -= 也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211s t t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数， 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x x k qx x ，k =1, 2, ..., n . (18)分【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X 具有性质P ”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 7四川16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。