高考数学一轮复习课时跟踪检测二十九平面向量基本定理及坐标表示含解析

课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．(·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

，－34

解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.

2．(·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2

＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.

3．(·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥

c ，则x ＝( )

A ．－1

B ．－2

C ．－3

D ．－4

解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b)∥c ，∴－1×3－x ＝0，∴x ＝－3.故选C.

4．(·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角

θ＝( )

A.π

6 B.π4 C.π3

D.5π12

解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2

θ＝12，

所以sin θ＝±

22，故锐角θ＝π

4

.

5．(·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→

＝( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋13b

C.12a ＋14

b D.13a ＋23

b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，

F 是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，

∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16

(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝

12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝2

3a ＋

1

3

b.故选B. [B 级 保分题——准做快做达标]

1．(·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10

D. 6

解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.

2．(·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→

＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )

A ．－23

B.43

C.12

D.13

解析：选 A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→

＝(－2k ，－2)．∵A ，

B ，

C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→

共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k ＝－2

3

.

3．(·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )

A.1

3 B ．－13

C.79

D ．－79

解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2

α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79

.故选C.

4.(·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→

，则λ＋μ＝( )

A.43

B.53

C.158

D ．2

解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→

的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→

＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，

因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→

，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝4

3，μ＝1

3，

所以λ＋μ＝5

3

.

故选B.

5．(·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→

＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→

，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )

A ．1∶2

B ．1∶3

C ．1∶4

D ．1∶5

解析：选 B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→

＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，

∴PC ―→＝2AP ―→

，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．

∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13bsin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b

3

sin