高考数学一轮复习课时跟踪检测二十九平面向量基本定理及坐标表示含解析
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(二十九)平面向量基本定理及坐标表示 Word版含解析
可得
解析：如图，
B.1A→C＋1A→B 26
D.1A→C＋3A→B 62
→→ 因为EC＝2AE，
→ → → 2→ 1→ 2→ 1 → → 1→ 1
所以EM＝EC＋CM＝ AC＋ CB＝ AC＋ (AB－AC)＝ AB＋
3232
26
→ AC.
答案：C
8．(2019·南昌十校二模)已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，
D．2
解析：因为 a∥b，所以 a＝λb，即 me1＋2e2＝λ(＝－2.
n
答案：C
→ 7．已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC＝2
→
→
AE，则向量EM＝( )
A.1A→C＋1A→B 23
C.1A→C＋1A→B 62
→→ 解析：因为点 C 是线段 AB 上一点，且|BC|＝2|AC|，
→
→
所以BC＝－2AC.
设点 B 为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．
{ ) { ) 所以 2－x＝－2， 解得 x＝4，
3－y＝－4，
y＝7.
→ 所以向量OB的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
( ) 1
11．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)向量 a＝ ，tan α ，b＝(cos 3
( ) ( ) → 1→ 1
→1
所以OC＝ AC＝ ，5 ，所以CO＝ － ，－5 .
2
2
2
答案：D
3．已知向量 a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数 λ 满足 a＋b＝
λc，则λ＋m 等于( )
A．5
B．6
C．7
平面向量基本定理及坐标表示-高考数学复习
1. 理解平面向量基本定理及其意义.
2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4. 能用坐标表示平面向量共线的条件.
目录
1
C O N T E N T S
2
3
知识 逐点夯实
考点 分类突破
课时 跟踪检测
PART
3
3
2
3
目录
高中总复习·数学
平面向量的坐标运算
【例2】 （1）已知 a ＝（5，－2）， b ＝（－4，－3），若 a －2 b
＋3 c ＝0，则 c ＝（
）
目录
高中总复习·数学
1
解析：∵ a －2 b ＋3 c ＝0，∴ c ＝－ （ a －2 b ）.∵ a －2 b
3
1
＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），∴ c ＝－ （ a －2
2
1
∴ ＝± ，设点 P （ m ， n ），则 ＝（ m ， n ）， ＝（6－
－ y 1） ，｜ ｜＝
（2 − 1 ）2 ＋（2 − 1 ）2
.
目录
高中总复习·数学
提醒
若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则 a ＝ b
1 ＝2 ，
⇔ቊ ＝ .
1
2
目录
高中总复习·数学
3. 平面向量共线的坐标表示
设 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2）， a ∥ b ⇔
不妨设 AB ＝1，则 CD ＝ AD ＝2，∴ C （2，0），
A （0，2）， B （1，2）， E （0，1），∴ ＝
2019版高考数学文一轮复习教师用书：第四章 第二节 平
第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D 因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 3．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得x ＝±2.又m <0，所以x ＝m ＝－2.4．已知平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D ∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC ―→＝12AC ―→＝⎝⎛⎭⎫12，5，∴CO ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. 解析：a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.答案：－66．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：因为AN ―→＝3NC ―→，所以AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，又因为AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b考点一 平面向量基本定理及其应用 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AO ―→＝( )A.12a ＋12b B.12a ＋13b C.14a ＋12b D.12a ＋14b 解析：选D ∵在△ABC 中，BE 是边AC 上的中线， ∴AE ―→＝12AC ―→.∵O 是边BE 的中点，∴AO ―→＝12(AB ―→＋AE ―→)＝12AB ―→＋14AC ―→＝12a ＋14b .2．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝________.解析：由平面向量基本定理可知⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，故2x －y ＝9.答案：93.如图，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别是K ，L ，且AK ―→＝e 1，AL ―→＝e 2，试用e 1，e 2表示BC ―→，CD ―→.解：设BC ―→＝x ，CD ―→＝y ，则BK ―→＝12x ，DL ―→＝－12y .由AB ―→＋BK ―→＝AK ―→，AD ―→＋DL ―→＝AL ―→，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2， ②①＋②×(－2)，得12x －2x ＝e 1－2e 2，即x ＝－23(e 1－2e 2)＝－23e 1＋43e 2，所以BC ―→＝－23e 1＋43e 2.同理可得y ＝－43e 1＋23e 2，即CD ―→＝－43e 1＋23e 2.4．如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作▱OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→.解：∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ， BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ， ∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→ ＝23OD ―→＝23a ＋23b ， ∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[怎样快解·准解]1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．考点二 平面向量的坐标运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]1．若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B ．－12a －bC.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2．(2018·江西九校联考)已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.答案：723．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点， ∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)．[怎样快解·准解]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 考点三 平面向量共线的坐标表示 (重点保分型考点——师生共研)已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→， ∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.[解题师说]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[冲关演练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B 因为a ＋λb ＝(1＋λ，2)，(a ＋λb )∥c ， 所以1＋λ3＝24，所以λ＝12.2．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证：A ，B ，C 三点共线．证明：由题意得AB ―→＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，AC ―→＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．因为2×6－4×3＝0，所以AB ―→∥AC ―→，又直线AB 和直线AC 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A 级——基础小题练熟练快1．向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3,4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)解析：选A 由a ＋b ＝(－1,5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b ＝12(－6,8)＝(－3,4)．2．若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BC ―→＝( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析：选B 由题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(AC ―→－AB ―→)－AB ―→＝AC ―→－2AB ―→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(c os A ，sin B )平行，则A ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以a sin B －3bc os A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B c os A ＝0，又sin B ≠0，从而t a n A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 7．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－38．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －139．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 解析：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， 所以u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0， 即10x ＝5，解得x ＝12.答案：1210．已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ， ∴DC ―→＝2AB ―→.设点D 的坐标为(x ，y )， 则DC ―→＝(4－x ，2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 答案：(2,4)B 级——中档题目练通抓牢1．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.当m ＝－6时，a ∥(a ＋b )，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．2．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC ―→＝2AE ―→，则EM ―→＝( )A.12AC ―→＋13AB ―→B.12AC ―→＋16AB ―→C.16AC ―→＋12AB ―→D.16AC ―→＋32AB ―→ 解析：选C 如图，因为EC ―→＝2AE ―→，所以EC ―→＝23AC ―→，所以EM ―→＝EC ―→＋CM ―→＝23AC ―→＋12CB ―→＝23AC ―→＋12(AB ―→－AC ―→)＝12AB ―→＋16AC ―→.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ―→＝2PC ―→，点Q 是AC 的中点，若PA ―→＝(4,3)，PQ ―→＝(1,5)，则 BC ―→＝________.解析：AQ ―→＝PQ ―→－PA ―→＝(－3,2)，因为Q 是AC 的中点，所以AC ―→＝2AQ ―→＝(－6,4)，PC ―→＝PA ―→＋AC ―→＝(－2,7)，因为BP ―→＝2PC ―→，所以BC ―→＝3PC ―→＝(－6,21)．答案：(－6,21)5．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC ―→＝λOA ―→＋OB ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA ―→＝(－3,0)，OB ―→＝(0，3)， 则OC ―→＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以t a n 150°＝3－3λ， 即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：16．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0， 解得k ＝－1613. 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ―→＝a ，BC ―→＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ―→，DF ―→，CD ―→.解：EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ， DF ―→＝DE ―→＋EF ―→＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ―→＝CF ―→＋FD ―→＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . C 级——重难题目自主选做若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→. (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值．解：(1)由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，可知M ，B ，C 三点共线． 如图，设BM ―→＝λBC ―→，则AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→，所以λ＝14， 所以S △ABM S △ABC ＝14，即△ABM 与△ABC 的面积之比为1∶4. (2)由BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，得BO ―→＝xBM ―→＋y 2BA ―→， BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→， 由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝47，y ＝67.。
高考数学一轮复习考点平面向量基本定理及坐标表示必刷题理含解析
考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则__________．【解析】因为向量，()cos ,1x =b ，∥a b ，，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：，8x ∴=，即()1,2=-m ，()8,4=n ，则，据此可知：．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－PA →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝PA →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________.【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________．【解析】5AB =，∴与向量AB 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且，则点P 的坐标是____________．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故，设(),P x y ，则，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2）． 【解析】（1），．（2）向量a 在b 方向的投影．17、已知向量，（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即，化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2，而由m ，n ，因此有，则．18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （13，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？【答案】（1）；（2【解析】（1）由题意得1AP AB =，∴，∴．（2）由题意知．∵AP AB λ=，∴，∴．∵OP AB ⊥，∴，∴，。
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的基本定理及坐标表示》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．已知在平行四边形ABCD 中，()2,6AD =，()4,4AB =-，对角线AC 与BD 相交于点M ，AM =（ ）A ．()2,5--B ．()1,5--C ．2,5D ．()1,5-3．已知ABC 中，G 是BC 的中点，若2AB =，10AC =，则AG BC ⋅的值为（ ） A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线 6．若M 为△ABC 的边AB 上一点，且52AB AM =，则CB =（ ） A ．3522CA CM --B ．3522CA CM -C ．3522CA CM +D ．3522CA CM -+7．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，AB a =，AD b =，1AA c =，则1MC =（ ）A ．1122a b c ++B ．1122---a b cC ．1122-++a b cD ．1122a b c --+8．如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（ ）A ．3144ABAC B ．1455AB AC +C ．4155AB AC +D ．1344ABAC 9．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．1-10．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -11．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH =（ ）A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．25a b --12．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 是AD 的中点，则BE =（ ） A ．2136AB AC -B ．2136AB AC +C ．2136AB AC -- D ．2136AB AC -+二、填空题13．已知平面向量()2,1a =-，(),2b k =-，若ab ，则+=a b ________．14．锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3tan tan aB C =+，若3c =，D 为AB 的中点，则中线CD 的范围为______________.15．已知向量()22OC =，,()2cos CA αα= ，则向量OA 的模的最大值是________.16．在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．三、解答题17．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c = (1)若a b +与c 垂直， 求实数m 的值; (2)若a b -与c 共线， 求实数m 的值.18．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-. (1)求2a b +；(2)若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；(3)若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知O 是平面直角坐标系的原点，()1,2A -，()1,1B ，记OA a =，OB b =. (1)求a 在b 上的投影数量；(2)若四边形OABC 为平行四边形，求点C 的坐标；21．已知向量(1,2),(,1),()//(2)a b x a b a b ==+-． (1)求x 的值；(2)若ka b +与ka b -相互垂直，求k 的值．22．在△ABC 中，P 为AB 的中点，O 在边AC 上，BO 交CP 于R ，且|AO |＝2|OC |，设AB a =，AC b =．(1)试用a ，b 表示AR ；(2)若H 在BC 上，且RH ⊥BC ，设|a |＝2，|b |＝1，a θ∈<,b >，若θ＝[3π,23π]，求CH CB 的取值范围．23．在①2cos cos cos a A b C c B =+；②tan tan 33tan B C B C +=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知______． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 3G 为ABC 重心，点M 为线段AC 的中点，点N 在线段AB 上，且2AN NB =，线段BM 与线段CN 相交于点P ，求GP 的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分。
新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十九平面向量基本定理及坐标表示含解析
课时跟踪检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 反向共线D ．存在正实数λ，使得a ＝λ b解析：选D 由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使得a ＝λb ，故选D.2．设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．|AB ―→|＝|AD ―→|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→一定成立D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立解析：选A 在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立，AD ―→＝BC ―→一定成立，BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立，但|AB ―→|＝|AD ―→|不一定成立．故选A.4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→，设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→＝( )A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.35a ＋45b D.45a ＋35b 解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA ―→＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝23a ＋13b ，故选B.5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ―→＝32a ＋32b ；②PT ―→＝32a －b ；③PS ―→＝32a －12b ；④PR ―→＝32a ＋b.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则1λ＋1μ＝( )A.13 B.23 C.29D.92解析：选 D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA ―→＋23OB ―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D.8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．菱形解析：选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→，即2DA ―→＝CB ―→，∴DA ∥CB ，且2|DA ―→ |＝|CB ―→|，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→ 解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN ―→＝13NC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值为( )A.13B.19 C ．1D ．3解析：选B 因为AN ―→＝13NC ―→，所以AC ―→＝4AN ―→.所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋89AN ―→，因为B ，P ，N 共线，所以m ＋89＝1，m ＝19.11．(2019·河南三市联考)若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：由AP ―→＝12PB ―→可知，点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，所以λ＋1＝－32，解得λ＝－52.答案：－5212．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λμ＝________.解析：∵DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝AB ―→－BC ―→＝AB ―→－2BM ―→＝3AB ―→－2AM ―→，∴AB ―→＝λAM ―→＋3μAB ―→－2μAM ―→，∴(1－3μ)AB ―→＝(λ－2μ)AM ―→，∵AB ―→和AM ―→是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3μ＝0，λ－2μ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝13，λ＝23，∴λμ＝29.答案：2913．(2019·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R)，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 314．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12， 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1215．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m)OB ―→ ＝OB ―→＋m(OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m(OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0. ∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.课时跟踪检测（二十二） 三角函数的图象与性质[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．3．(2018·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C.4．(2019·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( )A ．－12B.12C.716D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.故选D.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[B 级 保分题——准做快做达标]1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．(2019·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴D ．g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sinπ3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C. 3．(2018·晋城一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.故选B.4．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A.5．(2019·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π3解析：选C 函数零点即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x ＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6.故选C.6．(2018·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－x ＋2φ2＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B. 7．(2018·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.8．函数f (x )＝1＋log 12x ＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是____________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 12x ≥0，x ＋π4≠k π＋π2k ∈∴0<x ≤2，且x ≠k π＋π4(k ∈Z)，∴函数f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4 9．(2019·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(2018·郴州二模)已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，给出下列四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；②函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增； ③函数f (x )的最小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4， 故f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故排除①.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2单调递增，故②正确．函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，故函数f (x )的最小正周期不是π，故③错误． 当cos x ≥0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x <0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0， 综合可得，函数f (x )的最大值为2，最小值为－2，故④正确． 答案：②④12．(2018·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，1，k ∈Z.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.13．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4 ](k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(2019·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.3．(2019·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b)∥c ，∴－1×3－x＝0，∴x ＝－3.故选C.4．(2019·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4. 5．(2019·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋13b.故选B. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.2．(2019·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k ＝－23.3．(2019·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )A.13 B ．－13C.79D ．－79解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选C.4.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.5．(2019·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，∴PC ―→＝2AP ―→，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13bsin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b3sinC )＝S △ABC －29×3S △ABC ＝13S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B.6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．7．(2019·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμ·OB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．10．(2019·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，则实数λ的值为________．解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14.答案：1412．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－2313.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→＋4OE ―→＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.答案：3∶214.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，求x ＋y 的值．解：不妨设圆O 的半径为1，则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233，所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， 所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， 所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．。
高考数学一轮复习课后限时集训29平面向量的基本定理及坐标表示文北师大版
课后限时集训 29平面向量的基本定理及坐标表示建议用时： 45 分钟一、选择题1．设平面向量a＝(－1,0)， b＝(0,2)，则2a－3b 等于()A． (6,3)B． ( － 2，－ 6)C． (2,1)D． (7,2)B [2 a－ 3b＝ ( － 2,0) － (0,6) ＝ ( － 2，－ 6) ． ]2．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一直量c 都能够独一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数 m的取值范围是() A． ( －∞， 2)B． (2 ，＋∞)C． ( －∞，＋∞)D． ( －∞， 2) ∪(2 ，＋∞)D [ 由题意可知 a 与 b 不共线，即3m－2≠2m，∴m≠2. 应选 D.]53．若向量a＝ (2,1) ， b＝(－1,2)，c＝0，2 ，则 c 可用向量 a，b 表示为()A．＝1＋b B．c＝－1－c 2a2a b3 1 3 1 C．c＝2a＋2b D．c＝2a－2b A[ 设c＝xa＋yb，易知0＝2 －y ， 1x x＝2，5∴2＝ x＋2y，y＝1.1∴c＝2a＋ b.应选A.]→→→4.如下图，矩形 ABCD的对角线订交于点 O， E 为 AO的中点，若 DE＝λAB＋μAD(λ，μ 为实数)，则λ2＋μ 2等于()5 1A. B.8 45C． 1 D. 16→1→ 1→ 1→ 1→A [ 法一： DE ＝ 2DA ＋ 2DO ＝ 2DA ＋ 4DB1→ 1→→ 1→ 3→＝ 2DA ＋4( DA ＋ AB ) ＝ 4AB － 4AD ，132 25因此 λ＝ 4， μ＝－ 4，故 λ ＋ μ ＝ 8， 应选 A.法二：此题也能够用特例法，如取ABCD 为正方形，解略． ]5．已知向量 a ＝ (1,1) ， b ＝ ( － 1,2) ，若 ( a －b ) ∥(2 a ＋ t b ) ，则 t ＝()1 A ． 0 B.2 C ．－ 2D ．－ 3C [ 由题意得 a － b ＝(2 ，－ 1) ，2a ＋ t b ＝ (2 － t, 2＋2t ) ．由于 ( a －b ) ∥(2 a ＋ t b ) ，因此 2×(2 ＋ 2t ) ＝ ( －1) ×(2 － t ) ，解得 t ＝－ 2，应选 C.]6．如下图， 已知AB 是圆O 的直径， 点 ， 是半圆弧的两个三平分点， → ， →，＝ ＝C DAB a AC b→)则AD ＝(1A ． a －2b1 B. 2a －b1C ． a ＋2b1D. a ＋b2D [连结 (图略)，由点， 是半圆弧的三平分点，得 ∥且 → → ＝1 ， ＝ 1CDC D CD AB CD2AB 2a→ →→ 1因此 AD ＝ AC ＋ CD ＝ b ＋ 2a .]→ →＝→ → → →7．(2019 ·厦门模拟 ) 已知 | OA | ＝ 1， | OB | 3，OA ·OB ＝ 0，点 C 在∠ AOB 内，且 OC 与OA→→→m的夹角为 30°，设 OC ＝ mOA ＋ nOB ( m ， n ∈ R) ，则 n 的值为 ()5A． 2 B. 2C． 3 D． 4→ →→ →C[ ∵OA·OB＝ 0，∴OA⊥OB，→→以 OA所在直线为x 轴， OB所在直线为 y 轴成立平面直角坐标系( 图略 ) ，→，→→→→＝(， 3)．＝ (1,0) ＝(0，3)，＝＋OA OB OC mOA nOB mn3n 3 m∵tan 30 °＝m ＝3 ，∴ m＝3n，即n＝3，应选 C.]二、填空题→→→8．在ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4) ，AC＝(1,3) ，则向量 BD的坐标为________．( －3，－ 5)→→ →→→→[ ∵AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝ ( －1，－ 1) ，→ →→ →→∴BD＝AD－ AB＝ BC－AB＝(－3，－5)．]→1→→→→9．已知A(1,0) ，B(4,0) ， C(3,4) ， O 为坐标原点，且OD＝2( OA＋OB－CB) ，则 | BD| ＝________.→1→→→1→→→2 2 [ 由OD＝2( OA＋OB－CB) ＝2( OA＋OC)知，点D是线段AC的中点，故D(2,2) ，因此BD ＝(－2,2) ．→ 22故|BD|＝－2 ＋ 2 ＝2 2.]10．平行四边形中，→ ＝1，→ ＝2，→ ＝1→，→ ＝1→，则→＝________.( 用1，ABCD AB e AC e NC 4AC BM 2MC MN e e2表示)2 5 →→→→→→2→－3e ＋12e2 [ 如图， MN＝CN－ CM＝ CN＋2BM＝ CN＋3BC11→2→→＝－4AC＋3( AC－ AB)1 2＝－4e2＋3( e2－ e1)2 5＝－3e1＋12e2.]1．如图，向量e1，e2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a 可用基底 e1，e2表示为()A ． e 1＋ e 2B ．－ 2e 1＋e 2C ． 2e 1－ e 2D ． 2e 1＋ e 2B [ 以 e 1 的起点为坐标原点，e 1 所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系( 图略 ) ，由题意可得 e 1＝ (1,0) ，e 2＝ ( － 1，1) ， a ＝ ( － 3,1) ，由于 a ＝ xe 1＋ ye 2＝x (1,0) ＋y ( － 1,1) ＝ ( x － y ，x － y ＝－ 3， x ＝－ 2， y ) ，则解得y ＝ 1，y ＝ 1，故 a ＝－ 2e 1＋ e 2.]2. (2019 ·南充模拟 ) 如图，原点O 是△ ABC 内一点，极点 A 在 x 轴上，∠ AOB ＝150°，∠＝90°， | →| ＝2，| →| ＝1， | → | ＝3，若 →＝→ ＋→ ，则 μ ＝ ()BOCOAOBOCOC λOAμOBλ33 A ．－ 3 B. 3 C ．－ 3D. 33 1 33 3 → → →D [ 由题可得 A (2,0)，B － 2 ， 2 ，C －2，－ 2 . 由于 OC ＝ λOA ＋ μOB ，因此由向量332λ－ 2 μ ＝－ 2， λ＝－ 3， μ 3，相等的坐标表示可得解得μ＝－ 3 3，因此 λ＝μ＝－ 3 3，22应选 D.]→ → →→ → → 3．已知△ ABC 和点 M 知足 MA ＋ MB ＋MC ＝ 0，若存在实数 m 使得 AB ＋ AC ＝ mAM 成立，则 m ＝________.→ →→→ 1 →3 [ 由已知条件得 MB ＋ MC ＝－ MA ，M 为△ ABC 的重心， ∴ AM ＝3( AB ＋→- 4 -→ → →即 AB ＋AC ＝ 3AM ，则 m ＝ 3.]→→ →4．如图，已知 ABCD 的边 BC ，CD 的中点分别是 K ，L ，且 AK ＝ e 1，AL ＝ e 2，则 BC ＝ ________；→CD ＝ ________.( 用 e 1， e 2 表示 ) ．24 4 2 → → → 1 → 1－ 3e 1＋ 3e 2 － 3e 1＋ 3e 2 [ 设BC ＝ x ， CD ＝ y ，则 BK ＝ 2x ， DL ＝－ 2y .→ → → → → →由 AB ＋BK ＝ AK ， AD ＋DL ＝ AL ，1①－ y ＋ 2x ＝ e1得x －1y ＝ e 2 ②21 － 2＝ 1－2 2，即2 1－2 2) ＝－2 42，①＋②× ( － 2) ，得x x＝－ ( 1＋3e2xee3 e e3e →24因此 BC ＝－ 3e 1＋ 3e 2.同理可得y ＝ 2(－2 1＋ 2)，3 e e→42即 CD ＝－ 3e 1＋ 3e 2.]1．已知 G 是△ ABC 的重心，过点 →→ →G 作直线 MN 与 AB ， AC 交于点 M ，N ，且 AM ＝xAB ， AN＝ →)yAC ( x ， y ＞ 0) ，则 3x ＋ y 的最小值是 (8 A.35C. 2B [ 设 BC 的中点为D ，→ 2→1→ 1→ 1→ 1→则 AG ＝ 3AD ＝ 3AB ＋ 3AC ＝ 3x AM ＋3y AN .11∵ M ， G ， N 三点共线，∴ 3x ＋ 3y ＝ 1.B. 4＋ 2 3337D. 2又 x＞0， y＞0，1 1 4 y x 4 1423∴3x＋y＝(3 x＋y)3x＋3y＝3＋3x＋y≥3＋2 3＝3＋3.y x 1 3当且仅当3x＝y，即 x＝3＋9时取等号，4 2 3∴3x＋y 的最小值是3＋3 . 应选 B.]5→→→2．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，P为矩形内一点，且AP＝2，若AP＝λAB＋μAD( λ，μ∈R)，则5λ＋3μ的最大值为 ________．10设 P( x，y)，B( 5，0) ，[ 成立如下图的平面直角坐标系，2C( 5，3)，D(0，3)．5 2 2 5∵ AP＝2，∴ x ＋y ＝4.0≤x≤ 5，点 P 知足的拘束条件为0≤y≤ 3，5 2 2x ＋ y ＝，4→→→∵AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，∴(x，y)＝λ( 5， 0) ＋μ(0 ， 3) ，x ＝ 5 ，λ∴ x＋ y＝5λ＋3μ. ∴3μ，y＝∵ x＋ y ≤ 2 x2＋ y2 ＝2×5＝10，4 2当且仅当 x＝ y 时取等号，10 ∴ 5λ＋ 3 μ的最大值为2 .]。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业26平面向量基本定理及坐标表示+Word版含解析.docx
课时作业26平面向量基本定理及坐标表示［授课提示：对应学生用书第221页］一、选择题―A ―A —A1.在平行四边形ABCD 中，/C 为对角线，若/B=(2,4), /C=(l,3),则 =()A. (一2, —4)B. (一3, —5)C. (3,5)D. (2,4)—► ―► —► —► —► —► —► —► —► —►解析：由题意得BD=AD-AB=BC-AB=(AC-AB)-AB=AC-2AB=(\^) —2(2,4) = ( —3,—5).答案：B2・已知/(—1, -1), B(m, /；7+2), C(2,5)三点共线，则加的值为( )A ・1B ・2C ・3D ・4解析：AB=(m,加+ 2) — (—1, —1)=(加+1, m + 3),AC=(2,5)—(— 1, —1) = (3,6),•・•/, B, C 三点共线,・・・3(加+3)_6(加+1)=0, zw = 1.故选 A.答案：A2PA,则( )人 2 112A . x —亍，尹=亍 E . *—3，y —亍 厂、 1 3 f 3 1C ・兀一才，D ・兀_才，y —~^> > > > —► —► —► 2 > > 2 —►解析：由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+^BA = OB+j(OAf 2 f 1 〜 21—OB)=^OA + 3^5,所以兀=亍，y =y答案:A 4. 已知向量 a=(5,2), 6=(—4, —3), c=(x,叨，若 3a —2b+c=0,贝ij c =()A. ( — 23, -12)B. (23,12)C ・(7,0)D ・(—7,0)23+x=0, 解析：由题意可得3°—2b+c=(23+x, 12+尹)=(0,0),所以仁i 八 解U2+y=0, 仪=—3.如图，在△CUB 中, P 为线段4B 上的一点，OP=xOA+yOB ，且23,得］__】2 所以c=(—23, — 12).答案:A—►5.(2018•广东省五校高三第一次考试)设Q是所在平面内一点，AB=—>2DC,则( )X.BD=AC~^AB B.BD=*AC—ABC.BD=^AC~ABD.BD=AC~^AB解析：BD=BC+CD=BC-DC=AC-AB-^AB=AC-^AB f选A.答案：A6.在平面直角坐标系中,已知向量0=(1,2), 4—*〃=(3,1), c=(x,3),若(2a+b)//c,则x=( )A. —2B. —4C・一3 D. —1解析：•・•〃一如= (3,1),—(3,1)=如，则b=(—4,2). •\2a~\~b=(—2,6).又(2a+方)〃c, /.—6 — 6%, %—— 1.故选D. 答案:D—► —►—►7・已知点力(2,3), 5(4,5), C(7,10), ^AP=AB+AAC(A^R),且点P 在直线x~2y=0±,则久的值为( )人2 “ 2A.yB. —j-3 r 3C，2 D. —2―► —►—►解析:设P(x, y),则由AP=AB+A AC,得(X-2, 3)=(2,2)+2(5,7)=(2+ 52, 2 + 72), ・・・x=52+4, p=72+5.2 又点F在直线x-2y=0±,故5A+4-2(72+5)=0,解得久=一亍故选B.答案:B8. (2018-安徽省两校阶段性测试)已知向量。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测4-2平面向量的基本定理及坐标表示
1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝2MN，则P点的坐标为(B. －1，－2⎪C. 1，2⎪解析：设P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)．而2MN＝2(－8,1)＝ －4，2⎪，∴P －1，－2⎪.故选B.⎩⎩．如图，在△2OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2P A，则()C．x＝，y＝解析：由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2P→A，所以OP＝OB＋3BA＝O B＋3(OA －OB)＝3OA＋3OB，所以x＝3，y＝3.[课时跟踪检测][基础达标]→1→) A．(－8,1)⎛3⎫⎝⎭⎛3⎫⎝⎭D．(8，－1)→1→1⎛1⎫⎝⎭⎧⎪x－3＝－4，∴⎨1⎪y＋2＝2.⎧⎪x＝－1，解得⎨3⎪y＝－2.⎛3⎫⎝⎭答案：B→→→→→21A．x＝3，y＝312B．x＝3，y＝3134431D．x＝4，y＝4→→→→→→2→→2→→2→1→21答案：A4．已知点 A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ＝AB ＋λAC (λ∈R )，且点 P 在直线解析：设 P (x ，y )，则由AP ＝AB ＋λAC ，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5，7)＝(2又点 P 在直线 x －2y ＝0 上，故 5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得 λ＝－ ，故选 B.中点，且 BP ＝2PC .若P →A ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于( 解析：由题知，PQ －P →A ＝AQ ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)．又因为点 Q 是 AC 的中点，所以AQ ＝QC . 所以PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)． 因为BP ＝2PC ，所以BC ＝BP ＋PC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6，21)． 6．已知 AC ⊥BC ，AC ＝BC ，D 满足CD ＝tCA ＋(1－t )CB ，若∠ACD ＝60°，3．已知向量 a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若 3a －2b ＋c ＝0，则 c＝()A ．(－23，－12)C ．(7,0)B ．(23,12)D ．(－7,0)⎧23＋x ＝0，解析：由题意可得 3a －2b ＋c ＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎨ 解⎩12＋y ＝0，⎧x ＝－23， 得⎨ 所以 c ＝(－23，－12)．⎩y ＝－12.答案：A→ → →x －2y ＝0 上，则 λ 的值为()2 23 3A.3B ．－3 C.2D ．－2→ → →＋5λ，2＋7λ)，∴x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.23答案：B5．(2017 届山东日照一中月考△)在 ABC 中，点 P 在 BC 上，点 Q 是 AC 的→ → → →)A ．(－6,21)C ．(6，－21)B ．(－2,7)D ．(2，－7)→ →→ →→ → →→ → → → → →答案：A→ → →则 t 的值为()⎧y＝3x，⎩x＋y＝1得y＝22.故选A.8．(2018届东北三校二联)已知向量AB与向量a＝(1，－2)的夹角为π，|AB|解析：依题意，设AB＝λa，其中λ<0，则有|AB|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，∴λ＝－2，∴AB＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)，A.3－122019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测B.3－2C.2－1D.3＋12解析：由题意知D在直线AB上．令CA＝CB＝1，建立平面直角坐标系，如图，则B点坐标为(1,0)，A点坐标为(0,1)．设D点的坐标为(x，y)，因为∠DCB3＝30°，则直线CD的方程为y＝3x，易知直线AB的方程为x＋y＝1，由⎨33－13－1，即t＝答案：A7．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(－1,1)C．(－4,6)B．(1，－1)D．(4，－6)解析：由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)．由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.答案：D→→＝25，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为()A．(1,0)C．(5，－8)B．(0,1)D．(－8,5)→→→故选A.∴a ＝AO ＝(－1,1)，b ＝OB ＝(6,2)，c ＝BC ＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－ ⎪⎩n ＝8.9答案：A9．向量 a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，λ则μ＝________.解析：以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)，则 A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，→ → →1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，1 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得 λ＝－2，μ＝－2，λ∴μ＝4.答案：410．平面内给定三个向量 a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足 a ＝m b ＋n c 的实数 m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数 k .解：(1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1) ，⎧－m ＋4n ＝3， 所以⎨⎩2m ＋n ＝2，⎧⎪m ＝5， 解得⎨ 9(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，16由题意得 2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得 k ＝－13.11．已知 A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD 是否共线？如果＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，解：AB＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，CD，CD 共线．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB＝－2AB ，又CD，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．∴AB → ＝1OA ，OD ＝1OB，△12．在 AOB 中，已知点 O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC＝(0,5)，OB ＝(4,3)．解：∵点 O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA＝ OA ＝ 0，4⎪，∴点 C 的坐标为 0，4⎪.∵OC 4 同理可得点 D 的坐标为 2，2⎪.7⎫→＝(x ，y －5)，AD ＝⎛2，－ ⎪.∵A ，M ，D 三 设点 M 的坐标为(x ，y )，则AM与AD共线．点共线，∴AMCM ＝ x ，y －4⎪，＝ 4－0，3－4⎪＝ 4，4⎪.CB∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线． ∴4x －4 y －4⎪＝0，由①②得 x ＝ 7 ，y ＝2，∴M 7 ，2⎪.→ →共线，它们的方向相同还是相反？→→→ →→ →→ → → →→ → → 42AD 与 BC 交于点 M ，求点 M 的坐标．→ →→ 1 → ⎛ 5⎫ ⎛ 5⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3⎫ ⎝ ⎭→⎝ 2⎭→ →7∴－2x －2(y －5)＝0，即 7x ＋4y ＝20.①→ ⎛ 5⎫ ⎝⎭→ ⎛ 5⎫ ⎛ 7⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭→ →7 ⎛ 5⎫ ⎝ ⎭即 7x －16y ＝－20.②12 ⎛12 ⎫ ⎝ ⎭[能 力 提 升]．如图，在△1ABC中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP＝(解析：如图，连接BP，则AP＝AC＋CP＝b＋PR，①AP＝AB＋BP＝a＋RP－RB，②①＋②，得2AP＝a＋b－RB，③又RB＝2QB＝2(AB－AQ)＝a－2AP⎪，④→＝a＋b－1⎛a－1AP⎫⎪，将④代入③，得2AP2．(2017届河南商丘三模)已知P是△ABC所在平面内一点，若AP＝4BC－3，则△BAPBC与△ABC的面积的比为()→→→)11A.2a＋2b12B.3a＋3b24C.7a＋7b42D.7a＋7b→→→→→→→→→→→→1→1→→1⎛1→⎫2⎝⎭→2⎝2⎭→24解得AP＝7a＋7b.答案：C→3→2→P(xP，yP)，C(x C,0)，若AP＝4BC－3BA，即(x P－x A，y P－y A)＝4(x C,0)－3(x A，y A)，3．已知向量OA＝(1,－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量AB，AC不共线．∵AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴PG＝λPQ.∴OG＝OP＋PG＝OP＋λPQ＝OP＋λ(OQ－OP)1A.32C.31B.23D.4解析：以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设A(x A，y A)，→3→2→3221∴yP－yA＝－3y A，得y P＝3y A，则△PBC与△ABC的面积的比为1∶3.答案：A→→→C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．→→→→→→→→∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠14．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，→→→→11Q三点共线．设OP＝xOA，OQ＝yOB，则x＋y＝________.解析：∵点P，G，Q在一条直线上，→→→→→→→→→→＝(1－λ)OP＋λOQ＝(1－λ)xOA＋λy OB，①∴OG＝3OM＝3×2(OA＋OB)＝3OA＋3OB.②而OA→，OB不共线，∴由①②，得⎨3⎪⎩λy＝1.⎪⎩1＝3λ.2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测→→→→又∵G是△OAB的重心，→2→21→→1→1→⎧⎪(1－λ)x＝1，→3解得⎧⎪1＝3－3λ，⎨xy11∴x＋y＝3.答案：3。
高考数学第一轮复习考案：第29课 平面向量的基本定理与坐标表示 文
第29课 平面向量的基本定理与坐标表示1．(2019赣州质检)若在直线l 上存在不同的三个点A 、B 、C ，使得关于实数x 的方程2x OA xOB BC ++=0有解（点O 不在l 上），则此方程的解集为（ ）A ．{1}-B ．∅C．⎪⎪⎩⎭ D ．{1,0}- 【答案】A【解析】∵2x OA xOB BC ++=0，∴2x OA xOB OC OB ++-=0，∵三点A 、B 、C 共线，∴211x x -+-=，解得0x =或1x =-，当0x =时，B 、C 重合，故1x =-．2．（2019江西高考）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PBPC +=（ ）A ．2B ．4C ．5D ．10【答案】D【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则)2,2(ba D ，)4,4(b a P , ∴2222210()101616a b PA PB PC +=+=，∴10222=+PCPB PA ，选D ． 3．若平面向量a ，b 满足1+=a b ，+a b 平行于x 轴，(2,1)=-b ，则=a ．【答案】(1,1)-或(3,1)-【解析】设(,)x y =a ，则(2,1)x y +=+-a b ，依题意，得 解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧=-=13y x ，∴(1,1)=-a 或(3,1)=-a ． 4．已知点(3,2)M -，(5,1)N --且12MP MN =，则P 的坐标为 ． 【答案】3(1,)2-- 【解析】设(,)P x y ，则(3,2)MP x y =-+，(8,1)MN =-， 且12MP MN =，∴ 34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ． 5．（2019天津高考）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，求3PA PB +的最小值．【解析】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ． 当且仅当34c y =时，等号成立， ∴当34c y =时，3PA PB +有最小值5． 6．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及OP OA t AB =+⋅,试问:（1）当t 为何值时,P 在x 轴上？P 在y 轴上？ P 在第三象限？（2）四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值．若不能，说明理由．【解析】（1）(13,23)OP OA t AB t t =+=++，则(13,23)P t t ++．若P 在x 轴上，则230t +=，∴23t =-； 若P 在y 轴上，则130t +=，∴13t =-； 若P 在第三象限，则130230t t +<⎧⎨+<⎩，∴23t <-． （2）∵(1,2),(33,33)OA PB t t ==--，若OABP 是平行四边形，则OA PB =，∴331332t t -=⎧⎨-=⎩，此方程组无解；故四边形OABP 不可能是平行四边形．。
2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：29 平面向量基本定理及坐标表示(教师版)
AE
AB
BE
AB
2BD
AB
2( AD
AB)
AB
2(
1
AC
AB)
AB
2
AC
．
5
5
AE m AB n AC ，
m 1 ， n 2 ． 5
mn3． 5
故选： D ．
【跟踪训练
1-2】（2020
春•金安区校级期末）如图，已知
AB
a
，
AC
b
，
DC
3BD
，
AE
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成 向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题型 2 平面向量的坐标表示
【例 2-1】（2020•黔东南州模拟）若向量 AC (1, 2) ， AB BC (1, 4) ，则 AB ( )
A． (1,1)
AE m AB n AC ，则 m n ( )
A． 2 5
B． 2 5
C． 3 5
D． 3 5
【分析】根据题意，画出图象，可知
AE
AB
BE
AB
2BD
AB
2( AD
AB)
AB
2(1
AC
AB)
AB
2
AC
．进而求得
m
和
n
的值，
5
5
算出 m n 的值．
【解答】解：如图所示：
2AB ( AB BC) AC (1， 4) (1 ， 2) (0 ， 6) ，
精品资源·备战高考
8
AB (0,3) ，
高考复习·归纳训练
故选： D ．
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 课时跟踪检测29 理 新人教A版(2021年整理)
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课时跟踪检测（二十九)［高考基础题型得分练］1．已知|a|＝6，｜b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b＝( )A．12 B．8C．－8 D．2答案:A解析：∵|a｜cos<a,b〉＝4,｜b|＝3，∴a·b＝｜a｜|b|cos〈a，b>＝3×4＝12.2．[2017·甘肃兰州诊断考试］已知向量a，b满足a·b＝0,｜a｜＝1,|b|＝2，则|a－b｜＝( )A．0 B．1C．2 D．5答案：D解析:|a－b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
3．[2017·山西太原二模]已知a＝(1，－2），b＝（x,2），且a∥b，则|b｜＝（) A．2错误!B．错误!C．10 D．5答案:B解析：∵a∥b，∴错误!＝错误!，解得x＝－1，∴b＝(－1,2)，∴｜b｜＝错误!＝错误!.故选B。
4．［2017·东北三校联考］向量a，b满足｜a｜＝1，|b｜＝错误!,(a＋b）⊥（2a－b），则向量a与b的夹角为( ）A．45°B．60°C．90°D．120°答案：C解析：∵（a＋b）⊥（2a－b），∴（a＋b)·（2a－b）＝0,∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°。
2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【27】平面向量的基本定理及坐标表示(含答案)
课时跟踪检测(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示第Ⅰ组：全员必做题1．(2018·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3 D ．03．(2018·江苏五市联考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2 4.创新题若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )A ．AC ＝AB ＋ADB ．BD ＝AD －ABC ．AO ＝12AB ＋12AD D ．AE ＝53AB ＋AD 6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2OB ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.7．(2018·九江模拟)P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q 等于________．8．已知向量OA ＝(1，－3)， OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：(1)|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？10．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．第Ⅱ组：重点选做题1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB ＋(1－x)AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 2．(2018·湖南五市联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P(x ，y)在y ＝sin x 的图像上运动．Q 是函数y ＝f(x)图像上的点，且满足OQ ＝m ⊗OP ＋n(其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f(x)的值域是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选A AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB | AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 2．选D ∵CD ＝2DB ，∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC )， ∴CD ＝23AB －23AC ， 又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0.故选D.3．选A a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b)∥(2a ＋b)，显然2a ＋b≠0，故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)， λ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－2x ＝λ＋，12x －2＝λ＋⇒x ＝4(x>0)．4．选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝xm ＋yn ＝(－x ＋y ，x ＋2y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5．选D 由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB ，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC＝AB ＋AD ，AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD ，排除A 、C. 6．解析：AQ ＝PQ －BF ＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝(－6,4)． PC ＝BF ＋AC ＝(－2,7)，∴BD ＝3PC ＝(－6,21)．答案：(－6,21)7．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m)，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n)．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n.得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}－13，－8．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线．∵AB ＝OB －OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA ＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.答案：k≠19．解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)，故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，因为ka －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13. 此时ka －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(ka －b)，即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反．10．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)， AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴A ，B ，M 三点共线．第Ⅱ组：重点选做题1．选D 依题意，设BO ＝λBD ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBD ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB ＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x)AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 2．解析：令Q(c ，d)，由新的运算可得 OQ ＝m ⊗OP ＋n ＝2x ，12sin x ＋π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ，⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6， 所以y ＝f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6， 易知y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12。
2023届高三数学一轮复习专题 平面向量的表示、三点共线研究 讲义 (解析版)
高三第一轮复习专题 平面向量表示、三点共线研究 一、平面向量基本定理：设12,e e 是同一平面内两个不共线向量，a 是这一平面内的任一向量。
在平面内任取一点O ，作12,,OA e OB e OC a ===，过C 作OB 的平行线，交直线OA 于M ；过C 作OA 的平行线，交直线OB 于N 。
因OM 与OA 共线，则存在实数1λ，使得：11OM e λ=；因ON 与OB 共线，则存在实数2λ，使得：22ON e λ=； OC OM ON =+1122a e e λλ∴=+也即，任一向量a 都可表示成1122e e λλ+的形式。
平面向量基本定理：若12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得：1122a e e λλ∴=+。
（也可称为a 用12,e e 表示出来）不共线向量12,e e 称为表示这一平面内所有向量的一组基底，12,e e 称为基向量。
例1。
ABCD 两条对角线交于O ，AB a =，AD b =，用a 、b 表示OA 、OB 、OC 、OD 。
2e2ea解：AC AB AD a b =+=+，DB AB AD a b =-=-O ABCD 为两条对角线的交点()1122OA AC a b ∴=-=-+，()1122OC AC a b ==+()1122OB DB a b ==-， ()1122OD DB a b =-=--。
故在一个图形中，任意两个不共线向量都可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。
在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。
二、向量的表示：★★★★★在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。
1.，其余向量用这两个基向量表示出来。
例。
在ABC 中，2BD DC =，设,AB a AC b ==，用,a b 表示AD 。
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课时跟踪检测（二十九） 平面向量基本定理及坐标表示[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(·内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析：选B A 选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 选项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 选项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 选项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B.2．(·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a ＝(1，m)，b ＝(m ,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.3．(·天津六校期中联考)已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b)∥c ，则x ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C ∵a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，∴b ＝a －(a －b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，∴2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)．又∵c ＝(x,3)，(2a ＋b)∥c ，∴－1×3－x ＝0，∴x ＝－3.故选C.4．(·兰州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝( )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12解析：选B 因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得sin 2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4.5．(·福建莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：选B 如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 BD ―→＋12 AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋13b.故选B. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(·福州期末)已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c |＝9＋9＝32，故选B.2．(·长沙一模)已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B.43C.12D.13解析：选 A AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k ＝－23.3．(·丹东五校协作体联考)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝( )A.13 B ．－13C.79D ．－79解析：选C ∵a ∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，∴13－tan α·cos α＝0，∴sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选C.4.(·深圳模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，则λ＋μ＝( )A.43B.53C.158D ．2解析：选B 以点A 为坐标原点，分别以AB ―→，AD ―→的方向为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系．设正方形的边长为2，则A (0,0)，C (2,2)，M (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，所以AC ―→＝(2,2)，AM ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)，所以λAM ―→＋μBD ―→＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μBD ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－2μ＝2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.故选B.5．(·邹城期中)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选 B 由PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，得PA ―→＋PC ―→＝－PB ―→＋AB ―→，即PA ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AP ―→，∴PC ―→＝2AP ―→，则P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q ，R 的位置．∴△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则S △PQR ＝S △ABC －( 12×2c 3×13bsin A ＋12×13c ×2a 3sin B ＋12×13a ×2b3sinC )＝S △ABC －29×3S △ABC ＝13S △ABC ，∴△PQR 与△ABC 的面积比为1∶3.故选B.6．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．7．(·淮南一模)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋233解析：选D 如图．AC ―→＝1y AN ―→，AB ―→＝1x AM ―→，又∵AG ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴AG ―→＝13x AM ―→＋13y AN ―→，又∵M ，G ，N 三点共线，∴13x ＋13y ＝1.∵x >0，y >0，∴3x ＋y ＝(3x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋y 3x ＋x y ≥43＋233.当且仅当y ＝3x 时取等号．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC ―→|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9.如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D 由点D 是圆O 外一点，可设BD ―→＝λBA ―→ (λ>1)，则OD ―→＝OB ―→＋λBA ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→.又C ，O ，D 三点共线，令OD ―→＝－μOC ―→ (μ>1)，则OC ―→＝－λμOA ―→－1－λμ·OB ―→(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，则m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．10．(·福清校际联盟期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a ＋b ＝________. 解析：a ＋b ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)． 答案：(4,6)11.如图，在△ABC 中，已知43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→，点P 在线段BN 上，若AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，则实数λ的值为________．解析：43BN ―→－BA ―→＝13BC ―→可化为AN ―→＝13NC ―→，即AN ―→＝14AC ―→，因为AP ―→＝λAB ―→＋316AC ―→，所以AP ―→＝λAB ―→＋34AN ―→.由B ，P ，N 三点共线可得λ＝14.答案：1412．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ的值为________．解析：设P (x ，y )，则由AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，得(x －2，y －3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x ＝5λ＋4，y ＝7λ＋5.又点P 在直线x －2y ＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－23.答案：－2313.如图，O 点在△ABC 的内部，E 是BC 边的中点，且有OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OE ，OD .因为D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→，OB ―→＋OC ―→＝2OE ―→，因为OA ―→＋2OB ―→＋3OC ―→＝0，所以2OD ―→＋4OE ―→＝0，所以O ，D ，E 三点共线，且|DE ||OD |＝32.又因为△AEC 与△AOC 都以AC 为底，所以△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为3∶2.答案：3∶214.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→，求x ＋y 的值．解：不妨设圆O 的半径为1，则A (－1,0)，B (1,0)，D (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD ―→＝x OA ―→＋y BC ―→， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233，所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.15．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM―→＝3c ，CN ―→＝－2b.(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为mb ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ， 所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． 所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ， 所以ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．。