2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（ ）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（ ）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （ ）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在， 求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。
上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷(7页)(2021年整理)
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卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分。
1.不等式13x >的解集为________2. 一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．3.已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ,则lim n n a →∞=________ 4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________5。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6。
若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________7.已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．8.已知点O 为ABC ∆的外心,且4,2ACAB ==,则·AO BC = ．9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀",现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________10.在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k 的取值范围是__________．11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数,则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 12。
复旦附中高二期末(2018.06)
复旦附中高二期末数学试卷2018.06一. 填空题1. 已知,{0,1,2,3}a b ∈，则不同的复数z a bi =+的个数是2. 一个竖直平面内的多边形，用斜二侧画法得到的水平放置的直观图是一个边长为2的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是3. 若2018220180122018(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0122018||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=4. 在9()2ax x -的展开式中，3x 的系数为94，则常数a = 5. 已知球的体积是V ，则此球的内接正方体的体积为6. 点(1,2,1)A 、(3,3,2)B 、(1,4,3)C λ+，若AB u u u r 、AC uuu r 的夹角为锐角，则λ的取值范围为7. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比值是8. 正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A 、B 、C 、D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为9. 从集合{1,2,,30}⋅⋅⋅中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是10. 在正三棱锥P -ABC 中，2PA =，1AB =，记二面角P -AB -C 、A -PC -B 的平面角依次为 α、β，则23sin 2cos αβ-=11. 如图，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，母线4PA =，O 是底面圆心，B 是底面圆内一点，且AB ⊥OB ，C 为P A 的中点，OD ⊥PB ，垂足为D ，当三棱锥O -PCD 的体积最大时，OB =12. 已知数列{}n a ，令k b 为1a 、2a 、…、k a 中的最大值()k ∈*N ，则称数列{}n b 为“控制 数列”，数列{}n b 中不同数的个数称为“控制数列”{}n b 的“阶数”，例如：{}n a 为1、3、 5、4、2，则“控制数列”{}n b 为1、3、5、5、5，其“阶数”为3，若数列{}n a 为1、2、3、 4、5、6构成，则能构成“控制数列”{}n b 的“阶数”为2的所有数列{}n a 的首项和是二. 选择题13. 在20183(23)x +的展开式中，系数为有理数的项数为（ ）A. 336项B. 337项C. 338项D. 1009项14. 如图，某几何体的三视图是三个边长为1的正方形，及每个正方形中的一条对角线，则该几何体的表面积是（ ）A. 42B. 93+C. 33+D. 32 15. 定义“创新01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意12k m ≤≤，1a 、2a 、…、k a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“创新01数列”{}n a 的个数为（ ）A. 12个B. 14个C. 16个D. 18个16. 已知椭圆方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满 足5022.5y x y x ≥-⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩的平面区域绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（ ）A. 21V V =B. 2132V V =C. 2154V V = D. 21,V V 无明确大小关系三. 解答题 17. 已知空间向量a r 与b r 的夹角为66，且||2a =r ||3b =r ， 令m a b =-u r r r ，2n a b =+r r r .（1）求a r 、b r 为邻边的平行四边形的面积S ；（2）求m u r 与n r 的夹角θ.18. 有3名女生和5名男生，按照下列条件排队，求各有多少种不同的排队方法？（1）3名女生排在一起；（2）3名女生次序一定，但不一定相邻；（3）3名女生不站在排头和排尾，也互不相邻；（4）每两名女生间至少有两名男生；（5）3名女生中，A 、B 要相邻，A 、C 不相邻.19. 在正四棱锥P -ABCD 中，正方形ABCD 的边长为32，高6OP =，E 是侧棱PD 上的 点且3PD PE =，F 是侧棱P A 上的点且2PA PF =，G 是 PBC 的重心，如图建立空间直 角坐标系.（1）求平面EFG 的一个法向量；（2）求直线AG 与平面EFG 所成角的大小；（3）求点A 到平面EFG 的距离.20. 如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正 方形， ADE 是等腰直角三角形且∠AED 为直角，EF ⊥平面ADE 且1EF =.（1）求异面直线AE 和DF 所成角的大小；（2）求二面角B -DF -C 的平面角的大小.21. 已知p 、0q >，在()m px q +()m ∈*N 的二项展开式中，若存在连续三项的二项式系数成等差数列，将m 的所有可能值从小到大排列构成数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项n a ()n ∈*N ；（2）若在2()a px q +的二项展开式中，当且仅当第10项的系数最大，求q p的取值范围.参考答案一. 填空题1. 162.3. 201834. 45.6. (2,4)(4,)-+∞U7.212ππ+ 8. 3+ 9. 98 10. 2 11. 12. 1044 二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. C三. 解答题17.（1）S =（2）θπ=-. 18.（1）63634320P P =；（2）456786720⨯⨯⨯⨯=；（3）35452880P P =；（4）122323542523(22)2880P P P P P P ⨯+⨯=；（5）152256526528640P P P P P ⨯+=.19.（1）(0,1,1)；（2）；（3. 20.（1）2π；（2）3π. 21.（1）242n a n n =++，n ∈*N ；（2）(0,10).。
上海2019年高二上学期期末数学试卷Word版含解析
上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2=y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p解得：2p=，∴y2=﹣x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），∴4=6p，得：2p=，∴抛物线的方程为：x2=y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．故答案为：y2=﹣x或x2=y．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，解之得k＜1或k＞4综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，故答案为x2+（y﹣1）2=1．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．则cos∠F1MF2===﹣，可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．故答案为：π﹣arccos．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，根据图象可知数a的取值范围．【解答】解：∵椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|≤5，|y|≤4，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．∴若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|≤6；故答案为：[﹣6，6]．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x＞0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程；抛物线的定义．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x≤0，故答案为y2=8x，或y=0，x≤0．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）（0，±）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，即可求得c．【解答】解；双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，根据双曲线方程可知c==，∴双曲线焦点坐标为（0，±）故答案为（0，±）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为﹣2．【考点】圆的标准方程．【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（﹣1+cosα，sinα），则2x+3y=2cosα+3sinα﹣2=cos（α+θ）﹣2∴2x+3y的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围．【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得：a=2或﹣2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）．故答案为（，2）．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=•丨MN丨•d．【解答】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=﹣，丨MN丨=•=•=，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=•丨MN丨•d=××=，∴△MBN的面积为，故答案为：．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论．【解答】解：抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是3﹣1=2，故答案为2．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a．【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a=8．故答案为：8．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．【解答】解：若a=1，b=﹣1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C．15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得结论．【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，∴过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有2条．故选：B．16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定【考点】轨迹方程．【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1﹣PF2=F1Q﹣F2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论．【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a=4．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F1Q=a+c，F2Q=c﹣a，∴OQ=F1F2﹣QF2=c﹣（c﹣a）=a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选C．三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．可得y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2﹣4=0，|MP|==，同理可得：|MQ|=．利用|MP|•|MQ|=2，代入化简即可得出．【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．则y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．联立，化为：3x2+4tx+2t2﹣4=0，△=16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得：t2＜6．∴x1+x2=﹣，．|MP|==，同理可得：|MQ|=．∵|MP|•|MQ|=2，∴1=|（x1﹣m）（x2﹣m）|=，∴m2+2n2=1或7．∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或7．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y2＜1，即可求得b的取值范围．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣则x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1﹣x2）+2•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=﹣b，y0=﹣b；∵（x0，y0）在椭圆内部，∴+2×＜1，即6b2＜49，解得﹣＜b＜．实数b的取值范围（﹣，）．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，设双曲线方程﹣y2=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，∴设双曲线方程为﹣y2=λ，λ≠0设P（m，n），则m2﹣4n2=4λ，点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：===，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得λ=﹣1．则双曲线C的方程为y2﹣=1．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意，﹣=4＜2m，∴动点M的轨迹是以（﹣m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m2﹣5）x2+12x﹣36﹣4（m2﹣4）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴x1x2﹣2（x1+x2）+16=，∴m2=9，m=±3，∵m≥2，∴m=3检验m=3时x1+x2=﹣3＜0，所以不存在m．。
上海市复旦附中2018-2019学年上学期高二10月数学月考试题( 解析版)
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝3．（3分）＝4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）18．数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，其前n项的和S n满足S n2＝a n（S n﹣）（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．23．（3分）数列{a n}中，若a1＝1，（n∈N*），则＝．24．（3分）已知数列{a n}的首项a1＝1，对任意n∈N*，a n、a n+1是方程x2﹣3nx+b n＝0的两实根，则b2n＝﹣125．（3分）已知数列{a n}满足a n＝nk n（n∈N*，0＜k＜1），下面命题：①当k＝时，数列{a n}为递减数列；②当＜k＜1时，数列{a n}不一定有最大项；③当0＜k＜时，数列{a n}为递减数列；④当为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，a60＝130．【分析】设公差为d，则d＝＝，而a60＝a45+（60﹣45）d，代入可得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d＝＝，故a60＝a45+（60﹣45）d＝90+15×＝130，故答案为：130【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．2．（3分）在等比数列{a n}中，已知a1＝1，公比q∈R，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5，则＝11【分析】根据条件，即可得出：，从而得出n＝11．【解答】解：∵a1＝1，公比为q，且q≠1，a n＝a1a2a3a4a5；∴；∴n＝11．故答案为：11．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的通项公式．3．（3分）＝【分析】直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．4．（3分）与向量＝（﹣3，4）共线的单位向量＝（﹣）或（）【分析】运用向量的模长计算和单位向量的求法可解决此问题．【解答】解：根据题意得＝＝5∴同向单位向量＝（﹣3，4）＝（﹣，），同理反向单位向量（，﹣）故答案为（﹣，）或（，﹣）【点评】本题考查向量模长的运算和单位向量的求法．5．（3分）已知点P分线段P1P2的比为﹣2，若P1（1，2），P2（3，﹣1），则点P的坐标为（5，﹣4）【分析】直接利用分点坐标公式求出结果．【解答】解：点P分线段P1P2的比为﹣2，所以λ＝﹣2．根据分点的坐标公式：x＝＝，，所以：点P的坐标为（5，﹣4）．故答案为：（5，﹣4）．【点评】本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（3分）已知A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），若∠ABC为钝角，则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【分析】由题意算出＝（﹣1，1）且＝（2，k）．根据∠ABC为钝角，通过向量的数量积小于0，夹角不是180°，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：∵A（0，1）、B（1，0）、C（3，k），∴＝（﹣1，1）且＝（2，k）．∵∠ABC为钝角，∴＜0且、不平行，可得，解之得k＜2且k≠﹣2．则k的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．【点评】本题给出三点A、B、C的坐标，在B为锐角的情况下求参数k的值．着重考查了向量的坐标运算和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．7．（3分）若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为【分析】根据题意即可得出（50+a）2＝（100+a）（20+a），从而求出a＝25，q＝，这样对前n项和S n求n趋向无穷大时的极限即可．【解答】解：根据题意，（50+a）2＝（100+a）（20+a）；解得a＝25；∴；∴．故答案为：．【点评】考查等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，以及数列极限的求法．8．（3分）《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第16天，两马相逢．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1＝193，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m＝193m++97m+＝290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣4800≥0，解得m≥，取m＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，若2＝，且||＝||，则向量在向量上的投影为﹣3【分析】因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径．又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴||＝2，所求投影为||cos150°＝﹣3．【解答】解：因为2＝+，∴△ABC外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图：又||＝||，所以△ABO为等边为2的三角形，∴∠ACB＝30°，∴||＝||cos30°＝4×＝2，向量在向量上的投影为：||cos（180°﹣30°）＝2×（﹣）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．10．（3分）已知数列{a n}的前n项和S n＝（﹣1）n﹣1•n，若对任意的正整数n，有（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（﹣3，1）．【分析】S n＝（﹣1）n﹣1•n，可得：a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n，可得a n＝（﹣﹣1 1）n﹣1（2n﹣1），对n分类讨论，利用（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，即可解出．【解答】解：∵S n＝（﹣1）n﹣1•n，∴a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝（﹣1）n﹣1•n﹣（﹣1）n﹣2（n﹣1）＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），﹣1当n＝1时也成立，∴a n＝（﹣1）n﹣1（2n﹣1），当n为偶数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[（2n+1）﹣p][﹣（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n﹣1）＜p＜2n+1，可得﹣3＜p＜5．当n为奇数时，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0化为：[﹣（2n+1）﹣p][（2n﹣1）﹣p]＜0，﹣（2n+1）＜p＜2n﹣1，可得﹣3＜p＜1．∴，解得﹣3＜p＜1．故答案为：（﹣3，1）．【点评】本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题11．（3分）在数列{a n}中，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，则a k+1＝（）A．a k+B．a k+﹣C．a k+D．a k+﹣【分析】由已知中a n＝1﹣+﹣+…+﹣，我们依次给出a1，a2，…，a n，a k的表达式，分析变化规律，即可得到a k+1的表达式．【解答】解：∵a n＝1﹣+﹣+…+﹣，∴a1＝1﹣，a2＝1﹣+﹣，…，a n＝1﹣+﹣+…+﹣，a k＝1﹣+﹣+…+﹣，所以，a k+1＝a k+﹣．故选：D．【点评】本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n 项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．12．（3分）数列{a n}的通项公式是a n＝，则此数列（）A．有极限，其值是整数B．有极限，其值是分数C．有两个极限D．不存在【分析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}的通项公式是a n＝，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…，可知数列是摆动数列，所以数列没有极限．故选：D．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力；13．（3分）已知||＝3，如果在上的投影是，那么为（）A．B．C．2D．【分析】根据投影的概念列式：＝﹣可求得．【解答】解：依题意得：＝﹣，∴•＝﹣×3＝﹣故选：A．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14．（3分）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（）A．B．C．D．2【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．【解答】解：，，；∴＝＝＝；∴由平面向量基本定理得：；解得；∴．故选：B．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．三.解答题15．已知||＝1，||＝2，且与的夹角为120°．（1）求|3|；（2）若（3）⊥（k），求实数k的值．【分析】（1）根据条件即可求出，从而可求出，从而得出；（2）根据（3）⊥（k）即可得出，进行数量积的运算即可求出k的值．【解答】解：（1）||＝1，||＝2，且与的夹角为120°；∴；∴＝9+12+16＝37；∴；（2）∵；∴；解得．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量长度的求法．16．已知O为坐标原点，＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣m，﹣3﹣m）．（1）若A、B、C三点共线，求m的值；（2）若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的面积．【分析】（1）根据条件即可求出，根据A，B，C三点共线即可得出向量共线，从而得出3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0，解出m即可；（2）据题意可知，，从而得到，进行数量积的坐标运算即可求出，从而可求出的值，从而可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）；∵A、B、C三点共线；∴共线；∴3（1﹣m）﹣（2﹣m）＝0；∴；（2）根据题意，；∴；解得；∴，且；∴；∴．【点评】考查向量减法的几何意义，向量坐标的减法和数量积运算，平行向量的坐标关系，向量垂直的充要条件．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n﹣5a n﹣85，n∈N*（1）证明：{a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{S n }的通项公式．请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由（参考数据15＝﹣14.85）【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85，求出a 1﹣1＝﹣15，当n ≥2时，a n ＝S n﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，从而6a n ＝5a n ﹣1+1，由此能证明{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．（2）由a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，得S n ＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由此能求出n ＝15时，S n 取得最小值．【解答】证明：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣5a 1﹣85， 解得a 1＝﹣14，则a 1﹣1＝﹣15．∵当n ≥2时，S n ﹣1＝（n ﹣1）﹣5a n ﹣1﹣85， ∴a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝1﹣5a n +5a n ﹣1，∴6a n ＝5a n ﹣1+1，即a n ﹣1＝（a n ﹣1﹣1），∴{a n ﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列．解：（2）∵a n ﹣1＝﹣15•（）n ﹣1，∴S n ＝n ﹣5[1﹣15•（）n ﹣1]﹣85＝n +75•（）n ﹣1﹣90．由a n ＝1﹣15•（）n ﹣1＞0，即15•（）n ﹣1＜1，解得n ＞log +1≈15.85．∴当n ≤15时，a n ＜0；当n ≥16时，a n ＞0． 故n ＝15时，S n 取得最小值．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S n 2＝a n （S n ﹣） （1）求S n 的表达式；（2）设b n ＝，数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【分析】（1）因为n ≥2，由s n ﹣s n ﹣1＝a n ，代入已知等式中求出s n ，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得s n ；（2）要求T n 的极限，先要求出T n的通项公式而T n为数列{b n}的前n项和，所以先求b n的通项，可利用第一问中s n的通项代入到b n＝中，化简得出b n后，利用做差法得到T n，求出极限即可．）（s n﹣）【解答】解：（1）n≥2，s n2＝（s n﹣s n﹣1∴s n＝即﹣＝2（n≥2）∴＝2n﹣1故s n＝（2）b n＝＝＝（﹣）T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）∴T n＝【点评】此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．19．在数列{a n}中，已知a1＝1，a2＝2，且数列{a n}的奇数项依次组成公差为1的等差数列，偶数项依次组成公比为2的等比数列，数列{b n}满足，记数列{b n}的前n项和为S n，（1）写出数列{a n}的通项公式；（2）求S n；（3）证明：当n≥6时，．【分析】（1）由题意知．（2），，，用错位相减法可以求出．（3），由此能够求出当n≥6时，．【解答】解：（1）；即；（2），，，两式相减，得，所以，；（3），当n≥6时，2n＝（1+1）n＝∁n0+∁n1+∁n2++∁n n﹣2+∁n n﹣1+∁n n≥2+2n+n（n﹣1）+≥2+2n+n2﹣n+n＞n2+2n，所以，当n≥6时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．20．（3分）在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0]．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则＝（﹣x，﹣y），＝（3，0），∴•＝﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标表示以及应用问题，也考查了函数的最值问题，是基础题目．21．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，点G是△ABC的重心，过点G作直线与CA，CB两边分别交于M，N两点，且，，则λ+4μ的最小值为3．【分析】由题意，，从而化简可得（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），从而可得＝3，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：，，∵M，N，G三点共线，∴＝x，∴﹣＝x（﹣），∵点G是△ABC的重心，∴＝（+），∴（+）﹣λ＝x（μ﹣（+）），∴，解得，（1﹣3λ）（1﹣3μ）＝1，可得＝3．λ+4μ＝（λ+4μ）（）＝≥＝＝3．（当且仅当，即λ＝1，μ＝时，等号成立），故λ+4μ的最小值为：3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用．22．（3分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）①动点P满足＝++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；②动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．⑤动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．【分析】由＝++，得出++＝，P是△ABC的重心，判断①错误；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），与∠BAC的平分线所在向量共线，判断②正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），＝（+），判断③正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出＝λ（+），•＝0，判断④正确；由＝+λ（+）（λ＞0），得出E为BC的中点，且＝λ（+），⊥，判断⑤正确．【解答】解：对于①，动点P满足＝++，∴＝+，∴++＝，∴P是△ABC的重心，∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；对于②，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；对于③，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+）；过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sin B＝|sin C＝AD，∴＝（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足＝+λ（+）（λ＞0），∴＝λ（+），∴•＝λ（+）＝λ（||﹣||）＝0，∴⊥，∴△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足＝+λ（+）（λ＞0），设＝，则E 为BC 的中点，则＝λ（+），由④知（+）•＝0，得•＝0，∴⊥；∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线； ∴△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确． 故正确的命题是②③④⑤． 故答案为：②③④⑤．【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．23．（3分）数列{a n }中，若a 1＝1，（n ∈N *），则＝．【分析】由，求出a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2n ﹣1+a 2n ，然后求得极限．【解答】解：由，得（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝＝＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数列求和、数列极限，属基础题，准确求出数列的和是解题关键． 24．（3分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，对任意n ∈N *，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b 2n ﹣1＝ （3n ﹣1）（3n ﹣2）【分析】根据题意，由根与系数的关系分析可得a n +a n +1＝3n ，变形可得a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝3，分析求出a 2的值，据此可得数列{a n }的通项公式，再结合根与系数的关系可得b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根， 则a n +a n +1＝3n ，①则有a n ﹣1+a n ＝3（n ﹣1），② ①﹣②可得：a n +1﹣a n ﹣1＝3，且当n ＝1时，有a 1+a 2＝3，又由a 1＝1，则a 2＝2，则a n ＝，又由a n 、a n +1是方程x 2﹣3nx +b n ＝0的两实根，则b n ＝a n a n +1，则b 2n ﹣1＝a （2n ﹣1）a 2n ＝[]×[﹣1]＝（3n ﹣1）（3n ﹣2）；故答案为：（3n ﹣1）（3n ﹣2）．【点评】本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a n }的通项公式，属于基础题．25．（3分）已知数列{a n }满足a n ＝nk n （n ∈N *，0＜k ＜1），下面命题：①当k ＝时，数列{a n }为递减数列；②当＜k ＜1时，数列{a n }不一定有最大项；③当0＜k ＜时，数列{a n }为递减数列；④当为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项．其中正确命题的序号是 ③④ ．【分析】①当时，作差a n ﹣a n +1═≥0，n ＝1时取等号，a 1＝a 2，即可判断出单调性．②当时，作商＝，由于＜＜1+＜2k ，即可判断出结论．③当时，作商，即可得出数列{a n }的单调性．④当为正整数时，＝＝＝1，当k ＝时，因此数列{a n }必有两项相等的最大项．【解答】解：①当时，a n ＝n，则a n ﹣a n +1═n﹣（n +1）＝≥0，n＝1时取等号，因此数列{a n}不是递减数列，不正确；②当时，＝＝，∵＜＜1+＜2k，∴因此数列{a n}一定有最大项，不正确；③当时，＝＝≤1，∴a n＞a n+1，因此数列{a n}是递减数列，正确；④当为正整数时，＝＝＝1，当k＝时，∴数列{a n}必有两项相等的最大项，正确．综上可得：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了数列的递推关系、单调性，考查了作差与作商方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
(精品)上海市2019年高二上学期期末数学试卷-版含解析
上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|?|MQ|=2，求点M的轨迹方程．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2=y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p解得：2p=，∴y2=﹣x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），∴4=6p，得：2p=，∴抛物线的方程为：x2=y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．故答案为：y2=﹣x或x2=y．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，解之得k＜1或k＞4综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，故答案为x2+（y﹣1）2=1．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．则cos∠F1MF2===﹣，可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．故答案为：π﹣arccos．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，根据图象可知数a的取值范围．【解答】解：∵椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|≤5，|y|≤4，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．∴若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|≤6；故答案为：[﹣6，6]．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x＞0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程；抛物线的定义．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x≤0，故答案为y2=8x，或y=0，x≤0．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）（0，±）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，即可求得c．【解答】解；双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，根据双曲线方程可知c==，∴双曲线焦点坐标为（0，±）故答案为（0，±）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为﹣2．【考点】圆的标准方程．【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（﹣1+cosα，sinα），则2x+3y=2cosα+3sinα﹣2=cos（α+θ）﹣2∴2x+3y的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围．【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得：a=2或﹣2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）．故答案为（，2）．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=?丨MN丨?d．【解答】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=﹣，丨MN丨=?=?=，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=?丨MN丨?d=××=，∴△MBN的面积为，故答案为：．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论．【解答】解：抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是3﹣1=2，故答案为2．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a．【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a=8．故答案为：8．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．【解答】解：若a=1，b=﹣1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C．15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得结论．【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，∴过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有2条．故选：B．16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定【考点】轨迹方程．【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1﹣PF2=F1Q﹣F2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论．【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a=4．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F1Q=a+c，F2Q=c﹣a，∴OQ=F1F2﹣QF2=c﹣（c﹣a）=a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选C．三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|?|MQ|=2，求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．可得y1=x1+t，y2=x2+t，t=n ﹣m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2﹣4=0，|MP|==，同理可得：|MQ|=．利用|MP|?|MQ|=2，代入化简即可得出．【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．则y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．联立，化为：3x2+4tx+2t2﹣4=0，△=16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得：t2＜6．∴x1+x2=﹣，．|MP|==，同理可得：|MQ|=．∵|MP|?|MQ|=2，∴1=|（x1﹣m）（x2﹣m）|=，∴m2+2n2=1或7．∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或7．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y2＜1，即可求得b的取值范围．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣则x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0?（x1﹣x2）+2?2y0?（y1﹣y2）=0，∴=﹣?=﹣．∴y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=﹣b，y0=﹣b；∵（x0，y0）在椭圆内部，∴+2×＜1，即6b2＜49，解得﹣＜b＜．实数b的取值范围（﹣，）．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，设双曲线方程﹣y2=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，∴设双曲线方程为﹣y2=λ，λ≠0设P（m，n），则m2﹣4n2=4λ，点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：===，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得λ＝﹣1．则双曲线C的方程为y2﹣=1．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意，﹣=4＜2m，∴动点M的轨迹是以（﹣m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m2﹣5）x2+12x﹣36﹣4（m2﹣4）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴x1x2﹣2（x1+x2）+16=，∴m2=9，m=±3，∵m≥2，∴m=3检验m=3时x1+x2=﹣3＜0，所以不存在m．。
【全国百强校】上海市复旦附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题
【全国百强校】上海市复旦附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 直线的倾斜角是____________.2. 若矩阵，，则__________．3. 行列式的元素的代数余子式的值为，则______．4. 已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________5. 直线的一个单位方向向量是________.6. 已知直线，若，则.7. 已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.8. 若，则实数t的取值范围是_____________.9. 已知，则“”是“两直线与平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.10. 过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程是____________.11. 已知实数满足：，且其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.12. 如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.二、单选题13. 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数使得，则的取值范围为（），A．B．C．D．14. 给出下列命题:①非零向量满足，则和的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC中，若，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．315. 在平面直角坐标系中,经过原点的直线将分成左、右两部分,记左、右两部分的面积分别为 ,则取得最小值时,直线的斜率（）A．等于1 B．等于D．不存在C．等于16. 如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（）A．B．C．D．三、解答题17. 已知，直线的方程为，直线的方程为.当m变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标；（2）讨论直线和的位置关系.18. 已知直线过点，且与轴、轴都交于正半轴，当直线与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求：（1）直线的方程；（2）直线l关于直线m:y=2x-1对称的直线方程.19. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴的交点为，与轴正方向同向的单位向量分别是，且与的夹角为，其中．由平面向量基本定理，对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点(2,1)，且方向向量为(4,-5)的直线．（1）若，，且与的夹角为锐角，求实数m的取值范围；（2）若，已知点和直线①求l的一个法向量；②求点A到直线l的距离．20. 在平面直角坐标系中，O为原点，两个点列和满足：①；②（1）求点和的坐标；(2)求向量的坐标；（3）对于正整数k，用表示无穷数列中从第k+1项开始的各项之和，用表示无穷数列中从第k项开始的各项之和，即,若存在正整数k和p，使得，求k,p的值.21. 已知点P和非零实数，若两条不同的直线均过点P，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.（1）已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；（2）已知点A(0,1)、点和点C(1,0)分别是三条直线PQ,QR,RP上的点（A,B,C与P,Q,R均不重合），且直线PR,PQ是“共轭线对”，直线QP,QR 是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；（3）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围.。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的一个焦点为()0,2F ,一条渐近线的斜率为则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】C【解析】根据双曲线一个焦点()0,2F 可以求出c ,可求出,a b 的关系,最后联立222c a b =+,解方程求出,a b ,求出方程即可. 【详解】因为双曲线一个焦点的坐标为()0,2F ,所以2c =,所以有ab=而222c a b =+,所以224a b =+,因此有2241a b a a b b⎧=+⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩. 故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.2．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B．6CD．2【答案】C【解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A B D ,所以11(1(1,1AD DB u u u u v u u u u v=-=,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u v u u u u vu u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，所以异面直线1AD 与1DB 所成角，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种【答案】B【解析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班；（7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 4．已知两个复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,:①最大值为2；②无最大值;；④无最小值.其中正确判断的序号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③【答案】C【解析】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,利用平面向量的加法的几的最值情况.【详解】设两个复数1z ,2z ,12z z +在复平面内对应点,,A B C ,因此有：====因为, 复数1z ,2z 的实部和虚部都是正整数,所以,[0,)2OA OB π<>∈u u u r u u u r,2OA OB OB OA +≥=u u u r u u u r u u u r u u u r (当且仅当OA OB =u u u r u u u r )，而cos ,OA OB <>u u u r u u u r 是正数,故,对任意正整数M ,11z i =+,2z M Mi =+,OA OB M OB OA +>u u u r u u u ru u ur u u u r ,故,因此②④说法正确.故选：C 【点睛】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.二、填空题5．已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B =I ð______. 【答案】{}1-【解析】利用集合补集和交集的定义直接求解即可. 【详解】因为全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,所以{}(){}=1,31U UA AB -∴=-I 痧.故答案为：{}1- 【点睛】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.6=______.【答案】564【解析】利用模的性质、复数的乘方运算法则、模的计算公式直接求解即可. 【详解】()4481080525646441i i ⋅===⨯⋅+. 故答案为：564【点睛】本题考查了复数模的性质及计算公式,考查了复数的乘方运算,考查了数学运算能力. 7．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ,从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ,则方程221x y m n+=可以表示___个不同的双曲线. 【答案】8【解析】根据双曲线方程的特点,结合分类和分步计数原理直接求解即可. 【详解】因为方程221x y m n+=表示双曲线,所以0mn <.因此可以分成两类：第一类：从集合{}1,1,2,3-中取一个正数,从集合{}2,1,1,2--取一个负数,有326⨯=种不同的取法；第二类：从集合{}1,1,2,3-中取一个负数,从集合{}2,1,1,2--取一个正数,有122⨯=种不同的取法.所以一共有32128⨯+⨯=种不同的方法. 故答案为：8 【点睛】本题考查了双曲线方程的特点,考查了分类和分步计数原理,考查了数学运算能力.8．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 【答案】20【解析】利用二项式的通项公式即可求出. 【详解】二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：62361661()()(1)r r r r r r r T C x C xx --+=⋅⋅-=⋅-⋅. 令3r =, 所以第4项的二项式系数是3620C =故答案为：20 【点睛】本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.9．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）.【答案】必要不充分【解析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理.10．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1【解析】：121212,,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直，即12()1,12m m⋅-=-∴=11．复数11211011091i i i ⨯+⨯++⨯L 的虚部是______. 【答案】5-【解析】利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部. 【详解】令11211011091(1)S i i i=⨯+⨯++⨯L ,1021311111091(2)i S i i i ⋅=⨯+⨯++⨯L ,(1)(2)-得, 10112131101111(1)10()i S i i i i i -⋅=⨯-+++-L ,2110910[1()]21021051i i S i i S i S i i-=--+⇒=-⇒=--. 故答案为：5- 【点睛】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前n 项和公式,考查了i 乘方运算的性质,考查了数学运算能力.12．已知经停某站的高铁列车有100个车次,随机从中选取了40个车次进行统计,统计结果为：10个车次的正点率为0.97,20个车次的正点率为0.98,10个车次的正点率为0.99,则经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为______（精确到0.001）. 【答案】0.007【解析】根据平均数的公式,求出平均数,再根据标准差公式求出标准差即可.【详解】由题意可知：所有高铁列车平均正点率为：1(100.97200.98100.99)0.98102010x =⨯⨯+⨯+⨯=++.所以经停该站的所有高铁列车正点率的标准差的点估计值为：2221210(0.01)200100.010.010.007070.00740s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⨯=⨯=≈⎣⎦ 故答案为：0.007 【点睛】本题考查了平均数和标准差的运算公式,考查了应用数学知识解决实际问题的能力.13．设A ,B 是实数集R 的两个子集,对于x ∈R ,定义：0,,1,,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ 0,,1,,x B n x B ∉⎧=⎨∈⎩若对任意x ∈R ,1m n +=,则A ,B ,R 满足的关系式为______. 【答案】R A C B =或R B C A =.【解析】根据新定义、1m n +=可以得到两种情况,一种0,1m n ==,另一种情况1,0==m n ,这样就可以确定A ,B ,R 满足的关系.【详解】因为对任意x ∈R ,1m n +=,所以,m n 必有一个0,一个是1.根据定义可知：当x A ∈时,则有x B ∉,当x A ∉时,则有x B ∈,根据补集定义可知：R A C B =或R B C A =.故答案为：R A C B =或R B C A =. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了集合补集定义的理解.14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________. 【答案】24π【解析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为244624S r πππ==⋅=．【考点】正四棱柱外接球表面积．15．6月12日,上海市发布了《上海市生活垃圾分类投放指南》,将人们生活中产生的大部分垃圾分为七大类.某幢楼前有四个垃圾桶,分别标有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”,小明同学要将鸡骨头（湿垃圾）、贝壳（干垃圾）、指甲油（有害垃圾）、报纸（可回收物）全部投入到这四个桶中,若每种垃圾投放到每个桶中都是等可能的,那么随机事件“4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中”的概率是______. 【答案】67256【解析】先求出基本事件的个数,再求出4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中的事件的个数,最后利用古典概型求出概率即可. 【详解】由题意可知：基本事件的个数为4444256⨯⨯⨯=.设事件A 为4种垃圾中至少有2种投入正确的桶中,则事件A 包含的基本事件个数为：22114433167C C ⋅+⋅+=,所以67()256P A =. 故答案为：67256【点睛】本题考查了古典概型计算公式,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.16．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3=,2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.【答案】①，②..【解析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======,故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.三、解答题17．如图,在多面体ABCDEF 中,FA ⊥平面ABCD ,四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD 为梯形,且AD BC ∥,90BAD ∠=︒,1AB AD ==,3BC =.(1)求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ？若存在,求BMBD的值：若不存在,请说明理由. 【答案】(1)105；(2) 23.【解析】建立适当的空间直角坐标系.(1)求出平面CDE 的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；(2)求出平面AFM 的法向量,结合线面平行的性质,空间向量共线的性质,如果求出BMBD的值,也就证明出存在线段BD 上是否存在点M ,使得直线CE P 平面AFM ,反之就不存在. 【详解】以A 为空间直角坐标系的原点, 向量,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r所在的直线为,,x y z 轴.如下所示：(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F.(1)平面CDE 的法向量为111(,,)m x y z =u r ,(1,2,0),(0,0,1),(1,0,1)DC DE BF ===-u u u r u u u r u u u r. 111200(2,1,0)00x y m DC m DC m z m DE m DE +=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=-⎨⎨⎨=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u uv u u u v v v . 直线BF 与平面CDE 所成角为θ,所以有210sin 552m BF m BFθ⋅-===⨯⋅u r u u u r ur u u u r ;(2)假设线段BD 上是存在点M ,使得直线CE P 平面AFM .设([0,1])BMBDλλ=∈,因此BM BDλ=u u u u r u u u r,所以M 的坐标为：(1,,0)λλ-.(1,2,1)CE =--u u u r . 设平面AFM 的法向量为222(,,)n x y z =r ,(0,0,1),(1,,0)AF AM λλ==-u u u r u u u u r,22200(,1,0)(1)00z n AF n AF n x y n AM n AM λλλλ=⎧⎧⎧⊥⋅=⇒⇒∴=--⎨⎨⎨-+=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u u v u u u u v v v , 因为直线CE P 平面AFM ,所以有22(1)03CE n λλλ⊥⇒--=⇒=u u u r r ,即23BM BD =. 【点睛】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力. 18．已知正整数2n ≥,()()1103nn n n n f x x a x a x a x a --=+=++⋅⋅⋅++1. (1)若()f x 的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求n 的值； (2)若2019n =,且k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大值,求k 的值.【答案】(1) 5n =；(2)504k =或505k =.【解析】(1)令1x =求出()f x 的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出n 的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出k 的值. 【详解】(1) 令1x =,所以()f x 的展开式中各项系数和为：4n ,二项式系数和为：2n ,由题意可知：42992(232)(231)0232n n n n n -=⇒-+=⇒=或221n =-(舍去),所以5n =；(2) 二项式()3nx +的通项公式为：2019120193r rr r T C x-+=⋅⋅. 因为k a 是110,,,,n n a a a a -⋅⋅⋅中的最大项,所以有：201920192018201812019201920192019202020201201920195043350450550533k k kk k k k k k kk k a a k C C k a a k C C ----+-----≥⎧≥⋅≥⋅⎧⎧⇒⇒⇒≤≤⎨⎨⎨≥≤⋅≥⋅⎩⎩⎩, 因此504k =或505k =. 【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力. 19．设z C ∈. (1)若312iz i+=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值； (2)若4zz -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.【答案】(1) 2,2-；(2) 03z =+；(3) 0.98. 【解析】(1)利用复数除法的运算法则化简312iz i+=+,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出b 和c 的值；(2)设出复数z 的代数形式,利用复数的除法法则和4zz -是纯虚数,可得出复数z 的实问部和虚部之间的关系,再由0z z =时,z +取得最大值,这样可以求出0z ； (3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【详解】 (1) 3(3)(12)112(12)(12)i i i z i i i i ++⋅-===-++⋅-.因为z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,所以1i +也是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,因此由根与系数关系可知：(1)(1)2(1)(1)2i i c b i i b c +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++-=-=⎩⎩,所以b 和c 的值分别为2,2-； (2)设(,)z x yi x y R =+∈.222()(4)(4)444(4)(4)(4)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x yi x yi x y ++⋅---+-===-+-+-⋅---+是纯虚数,所以有 222(4)0,0(2)4,0x x y y x y y -+=≠⇒-+=≠,它表示以(2,0)A 为圆心，2为半径的圆, z +的几何意义是圆上的点(,)P x y到点(0,B -是距离. ,,P A B 在同一条直线上且,PA PB u u u r u u u r同向时,z +取得最大值, 因为2,6PA PB ==u u u r u u u r ,所以 13PA PB =u u u r u u u r所以1(2,)(,)3x y x y --=--,因此12()331()()3x x x y y y ⎧-=-⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=--⎪⎩所以03z =+(3) 该题不能被正确解答的概率为(10.9)(10.8)0.02-⨯-=,因此能被正确解答的概率为：10.020.98-=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根的性质和根与系数关系,考查了根据复数的类别求轨迹问题,考查了对立事件的计算公式.20．已知以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形. (1)求椭圆E 的方程：(2)若(),x y 是椭圆E 上的动点,求2x y +的取值范围；(3)直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 交于异于椭圆顶点的A ,B 两点,O 为坐标原点,直线AO 与椭圆E 的另一个交点为C 点,直线l 和直线AO 的斜率之积为1,直线BC 与x 轴交于点M .若直线BC ,AM 的斜率分别为1k ,2k 试判断122k k +,是否为定值,若是,求出该定值；若不是,说明理由.【答案】(1) 22142x y +=；(2) (2)[x y +∈-； (3)是定值,为0.【解析】(1)由题意可知：22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解这个方程组即可； (2)把椭圆的方程化为参数方程,根据辅助角公式可以求出2x y +的取值范围； (3)直线方程与椭圆E 的标准方程联立,利用根与系数关系,可以判断出122k k +为定值. 【详解】(1)因为以椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是面积为4的正方形.所以有22224b ca abc =⎧⎪=⎨⎪=+⎩,解得224,2a b ==,所以椭圆E 的方程为：22142x y += (2)椭圆椭圆E的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数且[0,2]θπ∈).因为(),x y 是椭圆E 上的动点,所以24cos )x y θθθϕ+==+,其中1sin 3ϕϕ==. sin()[1,1]θϕ+∈-Q.(2)[x y ∴+∈-(3)设()()()11221122,,,,0,0A x y B x y x y x y ≠≠,则()11,C x y --,11AO y k x =.直线l ：()0y kx m km =+≠与椭圆E 的方程联立为：22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222124240k xkmx m +++-=,由根与系数关系可得：()121121212122121421,2121222y y y kmm x x y y k x x m k k k x x k x ++=-+=++=∴==-=-+++直线BC 的方程为：()11112y y y x x x +=-+,令0y =,因为10y ≠,所以13x x =-. ()11121113,0,34y yM x k x x x ∴-==+。
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 (1)
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、抛物线y x 42=的准线方程是_________.2、若方程11722=-+-m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是_________. 3、若直线0102:1=-+y ax l 与直线()0532:2=+++y a x l 平行，则1l 与2l 之间的距离为_________.4、过点()3,3作圆()()11222=++-y x 的切线，则切线所在直线的方程为_________.5、若一条双曲线与1822=-y x 有共同渐近线，且与椭圆12202=+y x 有相同的焦点，则此双曲线的方程为_________.6、已知三角形ABC 的顶点()03，-A ,()0,3B ，若顶点C 在抛物线x y 62=上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为___________.7、设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-=-=t y t x 281（t 为参数，R t ∈）和曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52cos 51y x C ：（θ为参数，R ∈θ）上的点，则PQ 的取值范围是_________.8、已知直线,0834:=+-y x l 若P 是抛物线x y 42=上的动点，则点P 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为_________.9、如果M 为椭圆1925221=+y x C ：上的动点，N 为椭圆199:222=+y x C 上的动点，那么⋅的最大值为_________.10、若关于x 的方程a a x x --=2-1有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________.11、已知直线0=+by ax l ：与椭圆1922=+y x 交于B A ,两点，若()，5,5C 则→→⋅CB CA 的取值范围是_________.12、在平面直角坐标系中，已知圆222r y x C =+：与曲线y x 3=交于两点N M ,（M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点，若(),0>=→→m OM m OT 点)2,7(-Q ，则当m 和r 变化时，NQ TP +的最小值为_________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、方程028322=+-y xy x 所表示的曲线的对称性是（ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于x y =轴对称D 关于原点对称 14、若点()b a ,是圆222r y x =+外一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系为（ ） A 相离 B 相切 C 相交不过圆心 D 相交且过圆心15、已知，R ∈θ由所有直线()1cos 2:=-θx L 组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（ ）A 存在一个圆与所有直线相交B 存在一个圆与所有直线不相交C 存在一个圆与所有直线相切D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等16、双曲线122=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,若P 是双曲线左支上的一个动点，则△21F PF 的内切圆的圆心可能是（ ）A )2,1(-B )21,1(- C )1,21(- D )1,2(-三、解答题（本大题共5题，共48分）17、已知圆C 的圆心在直线08=-+y x 上，并且圆C 与直线212:1-=x y l 和112:2-=x y l 都相切.（1）求圆C 的方程；（2）若直线1462:+=++ax a ay x l 与圆C 有两个不同的交点MN 长的最小值.18、在平面直角坐标系xoy 中，动圆M 圆心的轨迹为曲线C .（1）如果直线l 过点()4,0且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，判断命题“如果∠︒=90AOB ，那么直线l 经过点()0,4T ”是真命题还是假命题，并说明理由.19、轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有C B A ,,三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知B A ，两点距离10千米，C 是AB 的中点，海岸线与直线AB 的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚375001秒（注：无线电信号每秒传播5103⨯千米），在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米.（1）以点C 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20、已知椭圆C 的两个焦点分别为()()(),00,,0,21>-c c F c F 短袖的两个端点分别为,,21B B 且△211B B F 为等边三角形.（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点Q P ,关于直线121+=x y 对称，求实数c 的取值范围； （3）已知点()，1,0M 椭圆C 上两点B A ,满足2=，求点B 横坐标的取值范围. 21、已知21,F F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左,右焦点，过2F 作垂直于x 轴的垂线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠ 3021=F MF . （1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于B A ,两点，求△B AF 1的面积最小值；过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于21Q Q ，两点，求平行四边形21QQ OQ 的面积.。
2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为9．（3分）如果M为椭圆上的动点，N为圆上的动点，那么的最大值为．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若，点Q（7，﹣2），则当m和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．C．D．（﹣2，1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a＝，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．21．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1．【分析】由抛物线x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣即可求得抛物线x2＝4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2＝4y，∴其准线方程为：y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．2．（3分）若方程表示椭圆，则实教m的取值范围是1＜m＜7且m≠4．【分析】找出等价不等式组求解即可．【解答】解：∵表示椭圆，∴∴1＜m＜7且m≠4．故答案为：1＜m＜7且m≠4．【点评】本题考查了椭圆的方程，属基础题．3．（3分）若直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，则l1与l2之间的距离为．【分析】由直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，求出a＝1，由此能求出l1与l2之间的距离．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣10＝0与直线l2：2x+（a+3）y+5＝0平行，∴，解得a＝1，∴直线l1：x+2y﹣10＝0，即2x+4y﹣20＝0，直线l2：2x+4y+5＝0∴l1与l2之间的距离为：d＝＝．故答案为：．【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（3分）过点（3，3）作圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的切线，则切线所在直线的方程为x ＝3或15x﹣8y﹣21＝0．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1的圆心为（2，1），半径r＝1，分2种情况讨论：①，切线的斜率不存在，此时切线的方程为x＝3，与圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1相切，符合题意，②，切线的斜率存在，设切线的方程为y﹣3＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3＝0，若直线与圆相切，则有＝＝1，解可得：k＝，则切线的方程为y﹣3＝（x﹣3），即15x﹣8y﹣21＝0，则切线的方程为x＝3或15x﹣8y﹣21＝0，故答案为：x＝3或15x﹣8y﹣21＝0．【点评】本题考查圆的切线方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．5．（3分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为﹣＝1．【分析】可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），求得已知双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求双曲线方程．【解答】解：由题意可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），的渐近线的方程为y＝±x，可得＝，由椭圆的焦点为（±3，0），可得a2+b2＝18，解得a＝4，b＝，则双曲线的方程为﹣＝1．故答案为：﹣＝1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．（3分）已知三角形ABC的顶点A（﹣3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，则三角形ABC的重心的轨迹方程为y2＝2x，x≠0．【分析】设C（m，n），三角形ABC的重心的坐标为（x，y），由抛物线的方程和重心坐标公式可得m＝3x，n＝3y，代入抛物线方程，化简可得所求方程．【解答】解：设C（m，n），可得n2＝6m，设三角形ABC的重心的坐标为（x，y），由A（﹣3，0），B（3，0），可得：3x＝m，3y＝n，即m＝3x，n＝3y，则9y2＝6?3x，即y2＝2x，x≠0，故答案为：y2＝2x，x≠0．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的重心坐标公式，以及代入法，考查运算能力，属于基础题．7．（3分）设P，Q分别为直线（t为参数，t∈R）和曲线（θ为参数，θ∈R）上的点，则||PQ|的取值范围是[，+∞）．【分析】|PQ|无最大值，|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．【解答】解：由消去t得2x﹣y+6＝0，由消去θ得（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心（（1，﹣2）到直线2x﹣y+6＝0的距离d＝＝2，∴|PQ|≥2﹣＝，故答案为：[+∞）．【点评】本题考查了参数化成普通方程，属中档题．8．（3分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，若P是抛物线y2＝4x上的动点，则点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值为【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得|PM|＝|PF|，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，如图设|PH|＝d，P到y轴的距离为P到准线x＝﹣1的距离减1，即|PM|﹣1，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，可得点P到直线l和它到y铀的距离之和的最小值即为|PM|+|d﹣1＝|PF|+d﹣1的最小值，由F，P，H三点共线，即|PF|+d≥|m，（m为F到准线4x﹣3y+8＝0的距离），可得m＝＝，则所求最小值为﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义和方程，考查三点共线的性质，以及转化思想和运算能力，属于基础题．9．（3分）如果M为椭圆上的动点，N为圆上的动点，那么的最大值为15．【分析】借助三角函数的有界性可求结果．【解答】解：设M（5cosθ，3sinθ），N（3cosφ，3sinφ），＝15cosθcosφ+9sinθsinφ＝9cos（θ﹣φ）+6cosθcosφ当θ＝φ＝0或θ＝φ＝π时，最大为15．故答案为：15．【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．10．（3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（﹣，]．【分析】根据函数与方程的关系作出y＝和y＝|x﹣a|﹣a的图象，讨论a的正负，结合绝对值函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：y＝，表示以O为圆心，半径为1的圆的上半圆，y＝g（x）＝|x﹣a|﹣a＝，图象关于x＝a对称，顶点为A（a，﹣a），若a＜0，顶点A位于第二象限．要使两个图象有两个交点，则A只要在半圆内即可，即|OA|＜1，即＝＜1，得2a2＜1得a2＜，得﹣＜a＜，∵a＜0，∴﹣＜a＜0，当a＝0时，半圆和y＝|x|，一定有两个交点，满足条件．当a＞0时，在x≤a时，y＝g（x）＝﹣x，一定与半圆有一个交点，要使g（x）与半圆有两个交点，则只需要当x＞a时，g（x）＝x﹣2a与圆的右半圆有一个交点即可，此时顶点A（a，﹣a）一定在第四象限，当x≥a时的直线g（x）＝x﹣2a经过B（1，0）时，1﹣2a＝0，得a＝，此时对应的直线y＝x﹣1，要使g（x）＝x﹣2a与圆的右半圆有一个交点即可，则满足﹣2a≥﹣1，即a≤，∵a＞0，∴0＜a≤，综上﹣＜a≤，即实数a的取值范围是（﹣，]，故答案为：（﹣，]．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的图象交点个数问题，利用绝对值函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．11．（3分）已知直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，若C（5，5），则的取值范围是[41，49]．【分析】由题意可设A（m，n），B（﹣m，﹣n），且m2+＝1，运用向量数量积的坐标表示，以及二次函数的最值求法，可得所求范围．【解答】解：直线l：ax+by＝0与椭圆交于A，B两点，由于直线l过原点，可设A（m，n），B（﹣m，﹣n），且m2+＝1，由C（5，5），则＝（m﹣5，n﹣5）?（﹣m﹣5，﹣n﹣5）＝（m﹣5）（﹣m﹣5）+（n﹣5）（﹣n﹣5）＝50﹣m2﹣n2＝49﹣n2，由0≤n2≤9，可得49﹣n2∈[41，49]．故答案为：[41，49]．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及二次函数的性质，考查运算能力，属于基础题．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知圆C：x2+y2＝r2与曲线交于两点M，N（M 在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若，点Q（7，﹣2），则当m和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为7．【分析】求得圆与曲线的交点M，N的坐标，以及P的坐标，由向量共线的坐标表示可得T的坐标，运用两点的距离公式和二次函数的最值和二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：x2+y2＝r2与曲线交于M（r，r），N（r，﹣r），P（0，r），由＝m可得T（mr，mr），|TP|+|NQ|＝+＝r+≥r+（当m＝时取得等号），设t＝+r，t＞0，可得t﹣r＝，两边平方可得t2﹣r（2+7﹣t）+53﹣t2＝0，由△＝（2+7﹣t）2﹣4?（53﹣t2）≥0，解得t≥7，t取得最小值7时，r＝．则|TP|+|NQ|的最小值为7．故答案为：7．【点评】本题考查圆的方程的运用，考查两点的距离公式和二次函数、二次方程有实根的条件，考查化简运算能力，属于难题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）方程3x2﹣8xy+2y2＝0所表示的曲线的对称性是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于y＝x轴对称D．关于原点对称【分析】根据对称的性质，将x用﹣x，同时y用﹣y代替看方程是否与原方程相同【解答】解：将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y方程变为3x2﹣8xy+2y2＝0与原方程相同，故曲线关于原点对称，故选：D．【点评】本题考查点（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y）；关于y轴的对称点为（﹣x，y）；关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）；关于y＝﹣x的对称点为（﹣y，﹣x）．14．（4分）已知点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，则直线ax+by＝r2与圆的位置关系（）A．相离B．相切C．相交且不过圆心D．相交且过圆心【分析】由点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，知a2+b2＜r2，由此得到圆心（0，0）到直线ax+by＝r2的距离d∈（0，r），由此能判断直线ax+by＝r2与圆的位置关系．【解答】解：∵点（a，b）是圆x2+y2＝r2外的一点，∴a2+b2＜r2，∵圆心（0，0）到直线ax+by＝r2的距离：d＝＜r，且d＞0，∴直线ax+by＝r2与圆相交且不过圆心．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意圆、直线方程等知识点的合理运用．15．（4分）已知θ∈R，由所有直线L：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，可判断A，B，C；存在可取一点（0，2）即可验证，可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可判定D．【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ＝1（θ∈R），得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，可得与所有直线相交；圆心为（0，2），半径分别为，可得与所有直线不相交；圆心为（0，2），半径分别为1，可得与所有直线相切；故A，B，C正确；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，如图中：等边三角形ABC和ADE面积不相等，故D不正确．故选：D．【点评】本题考查圆上一点的切线方程的运用，以及直线和圆的位置关系的判断，考查数形结合思想，属于中档题．16．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左右焦点分别为F1，F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则△PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A．（﹣1，2）B．C．D．（﹣2，1）【分析】设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，运用切线的性质和双曲线的定义可得I的横坐标为﹣a，再由渐近线的特点，可得I的纵坐标的范围．【解答】解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|＝|PN|，|F2N|＝|F2K|，|MF1|＝|F1K|，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，即有|F2K|﹣|F1K|＝2a，又|F2K|+|F1K|＝2c，可得|F1K|＝c﹣a，即K的横坐标为﹣a，即﹣1，可得I的横坐标为﹣1，由于P在左支上，可得当PF2与渐近线y＝﹣x平行时，P不存在，此时经过点（0，），可得I的纵坐标不超过，则内切圆的圆心可能为（﹣1，）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线的运用，考查三角形的内切圆的圆心特点，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共48分）17．已知圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，并且圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值．【分析】（1）根据题意，分析可得圆心在直线y＝2x﹣16上，又由圆C的圆心在直线x+y ﹣8＝0，则有，解可得圆心的坐标，求出两切线间的距离，分析可得圆C的半径r＝，将圆心与r代入圆C的方程，分析可得答案；（2）由直线l的方程分析可得直线l恒过点（7，1），设P（7，1），求出PC的长，由直线与圆的位置关系分析可得当CP与直线l垂直时，即P为MN的中点时，MN的长度最小，计算此时|MN|的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，圆C与直线l1：y＝2x﹣21和l2：y＝2x﹣11都相切，则圆C的圆心在直线y＝2x﹣16上，又由圆C的圆心在直线x+y﹣8＝0，则有，解可得，则圆心C的坐标为（8，0），直线l1：y＝2x﹣21即2x﹣y﹣21＝0和l2：y＝2x﹣11即2x﹣y﹣11＝0之间的距离d＝＝2，则圆C的半径r＝＝，故圆C的方程为（x﹣8）2+y2＝5；（2）直线l：2x+ay+6a＝ax+14即（2x﹣14）+a（y﹣x+6）＝0，分析可得直线l恒过点（7，1），设P（7，1），则|PC|＝＝，直线l：2x+ay+6a＝ax+14与圆C有两个不同的交点MN，当CP与直线l垂直时，即P为MN的中点时，MN的长度最小，此时|MN|＝2×＝2，故MN长的最小值为2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．18．已知曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合．（1）若a＝，求曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a＝1，是否存在一直线y＝kx+2与曲线C相交于两点A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）由双曲线定义得曲线C是以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，以2为实数的双曲线，由此能求出曲线C的方程．（2）设直线l的方程为：y＝kx+1，k＝时，直线l为y＝x+1与曲线C：＝1只有一个焦点．联立，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，当1﹣3k2≠0时，△＝36k2+24（1﹣3k2）＝0，由此能求出直线l的方程．（3）当a＝1时，曲线C的方程为，联立，得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣4＝0，由OA⊥OB，x1x2+y1y2＝0，能求出k．【解答】解：（1）∵曲线C是到两定点F1（﹣2，0）、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长2，∴由双曲线定义得曲线C是以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，以2为实数的双曲线，∴曲线C的方程为＝1．（2）∵直线l过（0，1）点，∴当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝0，不成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为：y＝kx+1，当k＝时，直线l为y＝x+1与曲线C：＝1只有一个焦点．联立，得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣6＝0，当1﹣3k2≠0时，△＝36k2+24（1﹣3k2）＝0，解得k＝±2，∴直线l与曲线C只有一个公共点，直线l的方程为y＝±2x+1．综上所述，直线l的方程为y＝x+1或y＝±2x+1．（3）当a＝1时，曲线C的方程为，联立，得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣7＝0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝﹣，y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+k（x1+x2）+4＝﹣++4＝，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝﹣+＝0，5﹣7k2＝0，解得k＝±．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．19．轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A，B，C三个无线电发射台，其中A在陆地上，B在海上，C在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知A，B两点距离10千米，C是AB 的中点，海岸线与直线AB的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晩秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C点距离为4千米．（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置（2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？【分析】（1）根据题意知轮船的航行轨迹是双曲线的一支，写出双曲线的标准方程，求出该时刻轮船在双曲线的顶点位置；（2）设双曲线的参数方程，求双曲线上的点到直线y＝x的距离d的最小值，利用导数判断函数单调性，从而求出最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）以点C为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，由×3×105＝8，设轮船的航行轨迹是点P的运动轨迹，则|P A|﹣|PB|＝8；又|AB|＝10，所以点P的轨迹为双曲线的一支，且双曲线中，2a＝8，2c＝10，b＝3，所以双曲线标准方程为﹣＝1，其中x≥4；某一时刻测得轮船距离C点4千米，则该时刻轮船在CB的连线上，即双曲线顶点位置；（2）根据题意，设双曲线的参数方程为其中θ∈[0，），则双曲线上的点P（x，y）到直线y＝x的距离为d＝＝，其中θ∈[0，）；设f（θ）＝，其中θ∈[0，），则f′（θ）＝，令f′（θ）＝0，解得sinθ＝，所以sinθ∈（0，）时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减；sinθ∈（，1）时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增；所以sinθ＝时，cosθ＝＝，此时函数f（θ）取得最小值为；此时d取得最小值为＝＞＝1.5，所以轮船保持目前的航路不变时，不会有搁浅风险．【点评】本题考查了圆锥曲线的实际应用问题，也考查了利用参数方程求最小值应用问题，是中档题．20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），短袖的两个端点分别为B1，B2，且△F1B1B2为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C的方程；（2）如果在椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，求实数c的取值范围；（3）已知点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，求点B横坐标的取值范围．【分析】（1）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得a＝2，b＝1，进而得到椭圆方程；（2）可设PQ的方程为y＝﹣2x+t，代入椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，中点坐标公式可得PQ的中点，即可得到所求范围；（3）可设AB的方程为y＝kx+1，A（m，n），B（u，v），联立椭圆方程，运用韦达定理，化简变形，结合基本不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由题意可得2a＝4，即a＝2，且△F1B1B2为等边三角形，可得|B1B2|＝|F1B1|，即2b＝a，即b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（2）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由a＝2b可得x2+4y2＝4b2，椭圆C上存在不同的两点P，Q关于直线对称，可设PQ的方程为y＝﹣2x+t，代入椭圆方程可得17x2﹣16tx+4t2﹣4b2＝0，△＝256t2﹣4×17×（4t2﹣4b2）＞0，即17b2＞t2，且x1+x2＝，可得PQ的中点为（，），即有＝+1，解得t＝﹣，则b2＞，而c2＝a2﹣b2＝3b2，可得c2＞，解得c＞；（3）点M（0，1），椭圆C上两点A，B满足，可得b＞1，可设AB的方程为y＝kx+1，A（m，n），B（u，v），可得﹣m＝2u，联立直线AB的方程和椭圆方程可得（1+4k2）x2+8kx+4﹣4b2＝0，可得m+u＝﹣，mu＝，可得u＝，u2＝＞0，当k＝0，B与M重合，不成立；当k＞0时，u＝≤＝2，即0＜u≤2；当k＜0时，u＝≥﹣＝﹣2，即﹣2≤u＜0．综上可得点B横坐标的取值范围为[﹣2，0）∪（0，2]．【点评】本题考查椭圆方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，考查向量共线定理的运用，考查化简运算能力，以及推理能力，属于中档题．21．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【分析】（1）求得双曲线的a，c，以及M的坐标，由直角三角形的锐角三角函数的定义可得b，即可得到双曲线方程和渐近线方程，运用夹角公式计算可得所求值；（2）讨论直线AB的斜率不存在，求得A，B的坐标和三角形AF1B的面积；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合三角形的面积公式，化简可得所求最小值；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，求得双曲线的渐近线方程，求得Q到渐近线的距离，以及Q2的坐标，以及|OQ2|，由平行四边形的面积，计算可得所求值．【解答】解：（1）双曲线的a＝1，c＝，可令x＝c，解得y＝b＝b2，设M（c，b2），由∠MF1F2＝30°，可得b2＝2ctan30°＝，解得b＝，则双曲线的方程为x2﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±x，即有tanθ＝||＝2，可得夹角θ＝arctan2；（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（，2），B（，﹣2），可得△AF1B的面积为×2×4＝4；直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣），联立双曲线方程2x2﹣y2＝2，可得（2﹣k2）x2+2k2x﹣3k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2＝﹣＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k2＞2，可得△AF1B的面积为S＝?2c?|y1﹣y2|＝?|k（x1﹣x2）|＝?|k|?＝|k|?，设t＝k2﹣2（t＞0），可得S＝4?＝4?＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4；（3）设Q（m，n），可得2m2﹣n2＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，Q到直线y＝x的距离为d＝，由平行于直线y＝﹣x的直线y＝﹣（x﹣m）+n，联立直线y＝x，可得Q2（，），|OQ2|＝|n+m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d?|OQ2|＝|n+m|?＝?|2m2﹣n2|＝?2＝．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查分类讨论思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．第21页（共21页）。
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.一个方向向量为()1,3d =的直线的倾斜角的大小是__________．【答案】60︒【解析】根据直线的方向向量可得直线的斜率,然后可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线的方向向量为()1,3d =,所以直线的斜率为3k =, 所以直线的倾斜角的大小是60︒.故答案为：60︒.2.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .【答案】2【解析】 焦点（1,0）,准线方程,∴焦点到准线的距离是2. 3.已知复数1z i =+,则z z=__________． 【答案】i -【解析】 先求解z ,再利用复数的除法进行求解.【详解】因1z i =+,所以1z i =-；所以()()()21i 1i i 1i 1i 1i z z --===-++-. 故答案为：i -.4.已知复数()()312a i i ++是纯虚数,则实数a 的值为__________．【答案】6【解析】先对复数()()312a i i ++进行化简,结合纯虚数可求实数a 的值.【详解】因为()()3126(23)i a i i a a ++=-++为纯虚数, 所以60a -=且230a +≠,即6a =.故答案为：6.5.若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根,则b =__________．【答案】2-【解析】把12i +代入方程,结合复数相等可求b .【详解】因为12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根, 所以()()212i 12i 0b c ++++=,即()324i 0b c b +-++=, 所以2b =-.故答案为：2-.6.曲线4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数,[)0,2θ∈π）的焦距等于__________． 【答案】27 【解析】 消去参数,化为标准方程,然后求解焦距. 【详解】因为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩,所以221169x y +=, 由方程可知曲线为椭圆,且2216,9a b ==,所以2227c a b =-=,即7c =； 故焦距为27.7.直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______【答案】45试题分析：圆转化为,圆心为,半径,圆心到。
上海市复旦附中2018-2019学年高二上期末数学期末试卷(答案不全)
2018-2019学年复旦附中第一学期高二年级期末考试卷2019.01一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、抛物线24x y =，的准线方程是____. 答案：y=-12、若方程22171x y m m +=--表示椭圆，则实教m 的取值范围是_______.答案：1<m<7且m ≠43、若直线1:2100l ax y +-=与直线()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为______.答案：5根号5÷24、过点（3,3）作圆()()22211x y -++=的切线，则切线所在直线的方程为__________. 答案：x=3或者y=15/8 x-21/85、若一条双曲线与2218x y -=有共同渐近线，且与椭圆21202x y +=有相同的焦点，则此双曲线的方程为______.答案：x^2÷16-y^2÷2=16、已知三角形ABC 的顶点()()3,0,3,0A B -，若顶点C 在抛物线26y x =上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为____________.答案：y^2=2x x ≠07、设,P Q 分别为直线182x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1:2x C y θθ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则|PQ 的取值范围是_______.答案：[根号5÷5,11根号5÷5]8、已知直线:4380l x y -+=，若P 是抛物线24y x =上的动点，则点P 到直线l 和它到y 铀的距离之和的最小值为_______答案：7/59、如果M 为椭圆2211259x y C +=上的动点，N 为椭圆222:199x y C +=上的动点，那么OM ON ⋅的最大值为_________.答案：1510、若关于x x a a =--有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.答案：（-根号2÷2,0.5]11、已知直线:0l ax by +=与椭圆2219y x +=交于,A B 两点，若()5,5C ，则CA CB ⋅的取值范围是_______.答案：[40,50]12、在平面直角坐标系中，已知圆222:C x y r +=与曲线x =交于两点,M N （M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点，若()0OT mOM m =>，点()7,2Q -，则当m 和r 变化时，+TP NQ 的最小值为_________. 答案：二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13、方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称 C.关于y x =轴对称 D 关于原点对称 答案：D14、若点(),a b 是圆222x y r +=外一点，则直线2ax by r +=与圆的位置关系为（） A 相离 B 相切C 相交不过圆心D 相交且过圆心答案：A15、已知R θ∈，由所有直线():2cos 1L x θ-=组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（）A 存在一个圆与所有直线相交B 存在一个圆与所有直线不相交C 存在一个圆与所有直线相切D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等答案：ACD16、双曲线221x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若P 是双曲线左支上的一个动点，则12PF F ∆的内切圆的圆心可能是（） A.（-1,2） B.1(1,)2-C.1(,1)2-D.（-2,1）答案：三、解答题（本大题共5题，共48分）17、已知圆C 的圆心在直线80x y +-=，并且圆C 与直线1:221l y x =-和2:211l y x =-都相切.（1）求圆C 的方程；（2）若直线:2614l x ay a ax ++=+与圆C 有两个不同的交点MN 长的最小值. 答案：18、在平面直角坐标系xoy 中，动圆M 圆心的轨迹为曲线C .（1）如果直线l 过点（0，4）且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，判断命题“如果90AOB ∠=，那么直线l 经过点()4,0T ”是真命题还是假命题，并说明理由.19、轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有,,A B C 三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知,A B 两点距离10千米，C 是AB 的中点，海岸线与直线AB 的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晩137500秒（注：无线电信号每秒传播3×105千米），在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米.（1）以点C 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？ 答案：20、已知椭圆C 的两个焦点分别为()()()12,0,,00F c F c c ->，短袖的两个端点分别为12,B B ，且112F B B ∆为等边三角形.（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程； （2）如果在椭圆C 上存在不同的两点,P Q 关于直线112y x =+对称，求实数c 的取值范围；（3）已知点()0,1M ，椭圆C 上两点,A B 满足2AM MB =，求点B 横坐标的取值范围.21、已知12,F F 为双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的垂线，在x轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=. （1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于,A B 两点，求1AF B ∆的面积最小值； 过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于12,Q Q 两点，求平行四边形12OQ QQ 的面积.答案：（1）2arctan 二分之根号二 （2）。
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含解析
复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01一、填空题（本大题共12题）1.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围.【详解】根据椭圆的标准方程的形式，可知方程表示椭圆的条件是：，解得，所以实数的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可.3.若直线与直线平行，则与之间的距离为______ ．【答案】【解析】【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程为：，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条件，平行线间的距离公式，属于简单题目.4.过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ．【答案】或【解析】【分析】首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程.【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线；过点，切线斜率存在时，直线设为，即，圆心到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况.5.若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，求得结果.【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，因为所求双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程化为，根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得，所以所求双曲线的方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求椭圆的焦点坐标，与某双曲线共渐近线的双曲线方程的设法，注意平时对有关结论的理解.6.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______【答案】【解析】【分析】首先设出三角形的重心和三角形的顶点C的坐标，利用三角形的重心坐标公式，将两点坐标之间的关系建立，结合点C在曲线上，利用相关点法求得对应曲线的方程，之后利用三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果.【详解】设的重心，，则有，即，因为点C在曲线上，所以有，即，因为三角形的三个顶点不能共线，所以，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标公式，用相关点法求动点的轨迹方程，注意对不满足条件的点要去掉.7.设、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先将直线和曲线的参数方程化为普通方程，结合点P、Q分别为直线和圆上的动点，从而得到的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围.【详解】由（t为参数）可得直线的普通方程为，由（为参数）可得曲线的普通方程为，因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，所以，可以无穷远，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关直线与圆上的点的距离的范围问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，圆上的点到直线的距离的最小值，认真审题是正确解题的关键.8.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______【答案】【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.【详解】，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.9.如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】首先利用椭圆的参数方程，设出点M、N的坐标，之和应用向量的数量积坐标公式，结合余弦差角公式将其化简，结合余弦函数的值域求得结果.【详解】利用椭圆的参数方程：设、，则,所以最大值是:15.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，向量的数量积坐标公式，余弦的差角公式，余弦函数的值域，属于中档题目.10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____ ．【答案】【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果. 【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，如图，当时，要满足条件，则，∴；类似，当时，；综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化Wie曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.11.已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据直线过坐标原点，结合椭圆的对称性，可知点A、B关于原点对称，设出两个点的坐标、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得，之后结合，求得结果，也可以应用参数方程来解决.【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，方法一：设、，则，，即，∴．方法二：利用参数方程，设、，则．【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.12.在平面直角坐标系中，已知圆与曲线交于两点、（在第一象限），与轴正半轴交于点．若，点，则当和变化时，的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】首先根据题意画出相应的图形，根据曲线，可得，对m与1的大小关系进行分类讨论，最后结合图形，得出结果.【详解】易得，从而可证，∴，点关于的对称点为，记，则，∴．【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转化，从而求得结果，注意对m与1的大小关系进行分类讨论.二、选择题（本大题共4题）13.方程所表示的曲线的对称性是（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.14.若点是圆外一点，则直线与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出，从而圆心到直线的距离，由此能判断出直线与该圆的位置关系，从而求得结果.【详解】由题意，得，从而圆心到直线的距离为，∴选C．【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目.15.已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）A. 存在一个圆与所有直线相交B. 存在一个圆与所有直线不相交C. 存在一个圆与所有直线相切D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】D【解析】【分析】首先能够确定直线是表示的圆的所有切线，所以可以将圆心定住，改变半径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出A,B,C三项都是正确的，对于D项，已经找到两种大小不相等的正三角形，从而得到结果.【详解】根据点到L的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为、、，对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D错误，故选D．【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系L是定圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案.16.双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的内切圆的圆心可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，结合切线的性质以及双曲线的定义，可以判断出其三角形的内切圆的圆心的横坐标为，并且根据题意判断出其落在渐近线的下方，从而得到正确的结果.【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、、，则由切线长定理，知、、，∴，∴为双曲线的左顶点且轴，设所在直线与的交点为，由角平分线定理，知，由于，∴点一定位于上，因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即的坐标一定为，其中，∴选B．【点睛】该题考查的是双曲线的焦点三角形的内心的位置，涉及到的知识点有双曲线的定义，圆的切线的性质，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题）17.已知圆的圆心在直线上，并且圆与直线和都相切．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆有两个不同的交点、，求弦长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条直线和是平行的，从而断定圆心是与的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的方程；（2）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果.【详解】（1）圆心为与的交点，解得，圆的直径为两平行线与间的距离，可求出半径，∴圆的方程为；（2）直线过定点，由垂径定理知，当为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，直线过定点，根据垂径定理求圆的最短弦长，属于中档题目.18.在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一个公共点，得出结果；（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.【详解】（1）根据题意，可知曲线C的方程为，①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设，与抛物线方程联立得，（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为，综上，符合题意的直线的方程为、、；（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，设定点坐标为、、、，，则，∵，∴，即，解得或（舍），∴命题为真命题．【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有根据抛物线的定义求抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设出点P的坐标，根据题意得出点P的轨迹是双曲线的一支，根据对应的量，从而求得点P的坐标，得到结果；（2）根据题意，找出对应的关系，从而求得结果，得到结论.【详解】（1）设轮船在点处，则由题意，得，∴为以、为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．【点睛】该题考查的是应用所学知识解决实际问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用定义得出曲线的方程，利用直线与曲线的位置关系得到相应的结果，属于中档题目. 20.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果【详解】（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，设、、中点，则，得，又，解得，显然在椭圆内，∴，得，又，∴；（3）设椭圆方程，即，方法一：（常规解法）①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，由，得，②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，由，得，，则，由，可得，∴，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，，又，∴，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合问题，涉及到的知识点有椭圆中a,b,c三者之间的关系，正三角形的特征，点关于直线的对称点的特征，椭圆中中点弦所在直线的斜率的条件，向量之间的关系，属于较难题目.21.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.【详解】（1）由题意，得，，∴，∴双曲线的方程为，∴，∴；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设，、，将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，则，得，，令，，则，其中在上单调递减，∴在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；（3）设，其中方法一：设，与联立，可求出，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得．方法二：如图，，设到和的距离为、，则，，∴【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。
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2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分）1. ______________________________________ （ 3分）抛物线x 2= 4y 的准线方程为 • 2 22. _______________________________________________________________ （ 3分）若方程--,-表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 ____________________________________ .r-m nrl3. （ 3分）若直线11： ax+2y - 10 = 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则11与12之间的距离为 _______ .4. （3 分）过点（3, 3）作圆（x - 2） 2+ （y+1） 2= 1的切线，则切线所在直线的方程为 _________________________________________________________________5. （ 3分）若一条双曲线与 先-一化 1有共同渐近线，且与椭圆8则此双曲线的方程为 ________ .6. （ 3分）已知三角形 ABC 的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C 在抛物线y 2= 6x 上移 动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为 ______________ . 为参数，0段）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 ________ .& （ 3分）已知直线1: 4x - 3y+8 = 0，若P 是抛物线y 2= 4x 上的动点，则点P 到直线l 和它 到y 铀的距离之和的最小值为 ______________那么V ・ 的最大值为 ___________10. （3分）若关于x 的方程71^2= I K -a I -a 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 _______ .n v 2n一一11. （3分）已知直线I : ax+by = 0与椭圆 寸+士-二L 交于A, B 两点，若C （ 5,5），则口^（^的取值范围是 _______ .7. （3分）设P , Q 分别为直线 （t 为参数，t CR ）和曲线:（09. （3分）如果M 为椭圆 cr2 2:二一上的动点,2 2N 为圆上的动点,12. （3分）在平面直角坐标系中，已知圆C: x2+y2= r2与曲线X=V3 1/1交于两点M，N（M在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若QT =ikOM（rTi>0），点Q （7，- 2），则当m和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为_________ .二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. （4分）方程3x2- 8xy+2y2= 0所表示的曲线的对称性是（）A .关于x轴对称B .关于y轴对称C .关于y= x轴对称D .关于原点对称14.（4分）已知点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，贝U直线ax+by= r2与圆的位置关系（）A .相离B .相切C .相交且不过圆心D .相交且过圆心15. （4分）已知0 R，由所有直线L : xcos 0+ （y - 2）sin 1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A .存在一个圆与所有直线相交B .存在一个圆与所有直线不相交C .存在一个圆与所有直线相切D . M中的直线所能围成的正三角形面积都相等16. （4分）双曲线x2- y2= 1的左右焦点分别为F1, F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则厶PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A . （- 1 , 2）B. *）C.（寺1）D. （- 2, 1）三、解答题（本大题共5题，共48分）17. 已知圆C的圆心在直线x+y- 8= 0,并且圆C与直线11: y= 2x- 21和12：y= 2x- 11 都相切.（1）求圆C的方程；（2）若直线l: 2x+ay+6a= ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值.18. 已知曲线C是到两定点F1 （- 2, 0）、F2 （2, 0 ）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合.（1 ）若a = . ■:,求曲线C的方程；（2）若直线l过（0, 1 ）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；（3）若a = 1,是否存在一直线y= kx+2与曲线C相交于两点A、B,使得OA丄OB,若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.19. 轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A,B ,C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，(该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分)，如下图，已知 A , B 两点距离10千米，C 是AB的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为45。
，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收 到A 点的信号比接收到 B 点的信号晩一―=一秒(注：无线电信号每秒传播 3X 105千米),37500在某时刻，测得轮船距离 C 点距离为4千米.(1) 以点C 为原点，直线 AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如图)，求出该时刻轮船的(2)根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20. 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 (- c , 0), F 2 (c , 0) (c >0),短袖的两个端点分别 为B i , B 2,且厶F 1B 1B 2为等边三角形. (1) 若椭圆长轴的长为 4,求椭圆C 的方程；(2) 如果在椭圆C 上存在不同的两点 P , Q 关于直线对称，求实数c 的取值范 围；(3)已知点M ( 0, 1)，椭圆C 上两点A , B 满足 中-：「，求点B 横坐标的取值范围.在x 轴上方交双曲线 C 于点M ，且/ MF 1F 2 = 30° (1 )求双曲线C 的两条渐近线的夹角0;(2) 过点F 2的直线|和双曲线C 的右支交于A , B 两点，求△ AF 1B 的面积最小值; (3) 过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条 渐近线于Q 1, Q 2两点，求平行四边形 OQ 1QQ 2的面积.21.已知F 1, F 2为双曲线 2C J 矍？一^的左、右焦点, 过F 2作垂直于X 轴的垂线,2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. （3分）抛物线x2= 4y的准线方程为y=- 1 .【分析】由抛物线x2= 2py （p> 0）的准线方程为y=-「即可求得抛物线x2= 4y的准线2方程.【解答】解：•••抛物线方程为X2= 4y,•••其准线方程为：y=- 1.故答案为：y=- 1.【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题.2 22. （3分）若方程’-表示椭圆，则实教m的取值范围是1v m v 7且m^4 .7-m ir-1【分析】找出等价不等式组求解即可.2 2【解答】解：•••”’•：「1表示椭圆，|7-m in-17-nO0• 1 v m v 7 且m^ 4.t7-irh^nr 1故答案为：1 v m v 7且m z4.【点评】本题考查了椭圆的方程，属基础题.3. （3分）若直线11：ax+2y- 10 = 0与直线2 2x+ （a+3）y+5 = 0平行，则l1与l2之间的距离为 '.【分析】由直线11：ax+2y- 10= 0与直线12：2x+ （a+3）y+5 = 0平行，求出a= 1,由此能求出l1与l2之间的距离.【解答】解：•••直线11：ax+2y- 10= 0与直线12：2x+ （a+3）y+5 = 0平行，• _____ .._解得a= 1,二直线11：x+2y- 10= 0, 即卩2x+4y- 20= 0,第4页（共21页）直线l2：2x+4y+5 = 0 •••11与12之间的距离为:15+20|>/4+165故答案为：二2【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4. （3分）过点（3, 3）作圆（x- 2）2+ （y+1）2= 1的切线，则切线所在直线的方程为x=3 或15x- 8y- 21= 0 .【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合即可得答案.【解答】解：根据题意，圆（x- 2）2+ （y+1）2= 1的圆心为（2, 1）,半径r = 1,分2种情况讨论：①，切线的斜率不存在，此时切线的方程为x= 3，与圆（x - 2）2+ （y+1）2= 1相切，符合题意，②，切线的斜率存在，设切线的方程为y-3= k （x- 3）,即kx- y- 3k+3 = 0,则切线的方程为x= 3或15x- 8y- 21 = 0,故答案为：x= 3 或15x- 8y- 21 = 0.【点评】本题考查圆的切线方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题.若直线与圆相切，则有|2k+l-3k+3|则此双曲线的方程为2y.=122J= 1 （a, b>0），求得已知双曲线的渐近线方程和b 椭圆的焦点，可得a, b的方程，解方程即可得到所求双曲线方程.解可得: （X- 3）,即15x- 8y- 21 = 0,【分析】可设双曲线的方程为5. （3分）若一条双曲线与号-护二丄有共同渐近线，且与椭圆（0为参数，0（R ）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 」，+ a ）【分析】|PQ|无最大值，|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 第6页（共21页）【解答】解：由题意可设双曲线的方程为2门的渐近线的方程为 可得一 =□,a 4y =±X ，2 2由椭圆•:一一 20 2［的焦点为（土 ^2，0），可得 a 2+b 2= 18,2 2故答案为：>--一=1.16 2【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.6. （ 3分）已知三角形 ABC 的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C 在抛物线y 2= 6x 上移 动，则三角形 ABC 的重心的轨迹方程为y 2= 2x , XM 0 .【分析】设C （m , n ）,三角形ABC 的重心的坐标为（x , y ）,由抛物线的方程和重心坐 标公式可得m = 3x , n =3y ,代入抛物线方程，化简可得所求方程. 【解答】解：设C （m , n ）,可得n 2= 6m , 设三角形ABC 的重心的坐标为（x , y ）, 由 A （- 3, 0）, B （3, 0）,可得： 3x = m , 3y = n , 即 m = 3x , n = 3y , 则 9,= 6?3x ，即 y 2= 2x , x M 0, 故答案为：y 2= 2x , XM 0.【点评】 本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的重心坐标公式，以及代入法，考 查运算能力，属于基础题.7. （ 3分）设P , Q 分别为直线X=l-ty=8-2t（t 为参数，t €R ）和曲线弋714*y=-2+V5sin 9=1 （a ， b > 0）， 、则双曲线的方程为 1.（0【解答】解：由消去t 得2x - y+6 = 0,由.严“巧严日消去0得（ x - 1）y=8-2t[_y =-2-^V5sin 92 2 + （y+2）= 5,圆心（（1,- 2）到直线2x - y+6 = 0的距离 d = 一 丨=2 n,V4+1•••|PQ p 2「. A 匚故答案为：[.仃+ oo ）.【点评】本题考查了参数化成普通方程，属中档题.& （ 3分）已知直线1: 4x - 3y+8 = 0，若P 是抛物线y 2= 4x 上的动点，则点 P 到直线l 和它 到y 铀的距离之和的最小值为丄 一色一【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得 |PM|= |PF|，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值.【解答】解：抛物线y 2= 4x 的焦点F （1, 0）,准线方程为x =- 1 ,如图设|PH|= d , P 到y 轴的距离为P 到准线x =- 1的距离减1,即|PM|- 1, 由抛物线的定义可得|PF|= |PM|,可得点P 到直线l 和它到y 铀的距离之和的最小值即为 |PM |+|d - 1 =|PF|+d - 1的最小值，由F , P , H 三点共线，即|PF|+d >|m , （ m 为F 到准线4x - 3y+8 = 0的距离）， 可得m ==,55 则所求最小值为垒■- 1=—. 55故答案为：丄.【点评】本题考查抛物线的定义和方程，考查三点共线的性质，以及转化思想和运算能 力，属于基础题.那么屮•、］的最大值为 15【分析】借助三角函数的有界性可求结果.【解答】 解：设 M (5cos 0, 3sin 0), N (3cos $, 3sin $),「- M=15cos 0cos $+9sin Qsin $=9cos ( 0- $) +6cos 0cos $当 0= $ = 0 或 0= $ = n 时，I ” -【I 最大为15.故答案为：15.【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是基础题.10. (3分)若关于x 的方程| K -a | -日有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是(-乂二二］.2~2【分析】根据函数与方程的关系作出 y = •:厂和y =|x -a|- a 的图象，讨论a 的正负, 结合绝对值函数的图象，禾U 用数形结合进行求解即可. 【解答】解：y = •,表示以O 为圆心，半径为1的圆的上半圆,P M -2S ?y = g (x ) = |x - a| - a =一 ，图象关于 x = a 对称，顶点为 A (a , - a ),若a v 0,顶点A 位于第二象限. 要使两个图象有两个交点，则A 只要在半圆内即可，即|OA|v 1, 即』/十界=血討《1，得2a 2 v 1得a 2<*, 得a <丄•/ a v 0,.・.- v a v 0,2当a = 0时，半圆和y =|x|, —定有两个交点，满足条件.当a >0时，在x < a 时，y = g (x )=- x , —定与半圆有一个交点， 要使g (x )与半圆有两个交点，则只需要当 x >a 时，g (x )= x - 2a 与圆的右半圆有个交点即可，9. ( 3分)如果M 为椭圆2 21 ；■' 「上的动点, N 为圆上的动点,此时顶点A ( a , - a ) 一定在第四象限，当x > a 时的直线g (x )= x - 2a 经过B (1, 0)时, 1 - 2a = 0,得a 詁，此时对应的直线 y = x - 1, 要使g (x )= x - 2a 与圆的右半圆有一个交点即可， 则满足-2a 》-1, 即卩a ^―,2即实数a 的取值范围是(-【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的图象交点个数问 题，禾U 用绝对值函数的图象，禾U 用数形结合是解决本题的关键.故答案为: (-叱］.11. (3分)已知直线I : ax+by = 0与椭圆/气-=[交于A, B 两点，若C( 5, 5),则丟的取值范围是[41, 49].2 "2【分析】由题意可设 A (m , n ), B (- m ,- n ),且m 2+〔 = 1,运用向量数量积的坐 rr 标表示，以及二次函数的最值求法，可得所求范围.2【解答】解：直线l : ax+by = 0与椭圆，显一二]交于A ，B 两点， 由于直线l 过原点，可设A (m , n ), B (- m ,- n ), 且 m 2+_— = 1g ，由 C (5, 5) , y —「=( m - 5 , n - 5)?( - m - 5, - n - 5) =(m - 5) (- m - 5) + (n - 5) (- n - 5)= 50 - m 2- n 2= 49-_ n 2 ,g由 0 w n 2w 9，可得 49 — -n 2 €[41 , 49]. 故答案为：[41 , 49].【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及二次函数的性 质，考查运算能力，属于基础题.12. (3分)在平面直角坐标系中， 已知圆C ： x 2+y 2= r 2与曲线X=V3\Y \交于两点M , N(M在第一象限)，与y 轴正半轴交于P 点，若，| -二丄，点Q (7,- 2),则当m 和 r 变化时，|TP|+|NQ|的最小值为7 .【分析】求得圆与曲线的交点 M , N 的坐标，以及P 的坐标，由向量共线的坐标表示可 得T 的坐标，运用两点的距离公式和二次函数的最值和二次方程有实根的条件：判别式大于等于0,可得所求最小值.r ),由 i_ ]= m 」l :可得 T (―mr , — mr ),|Tp|+|NQ|= 丄：.I ；-' + . 1 I. - . ' -：-1- - ； ■"=r .—•+ 十-:I!【解答】解：x 2+y 2= r 2与曲线交于M ( V3r 丄2 ，:i ，P (0,'琴「+0工耳7需匚-2严53 （当m=*时取得等号），设t=^亠7届_2严53+字「, t>0, 可得t-彗r=4£订届伍+5, 两边平方可得〒t2- r （2+7. 一:- . -：t）+53 - t2= 0, 由△=（2+7 . — _ ]t）2-4?一（53 - t2）> 0,4解得t> 7, t取得最小值7时，r=-丄.8则|TP|+|NQ|的最小值为7.故答案为：7.【点评】本题考查圆的方程的运用，考查两点的距离公式和二次函数、二次方程有实根的条件，考查化简运算能力，属于难题.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13. （4分）方程3x2- 8xy+2y2= 0所表示的曲线的对称性是（）A .关于x轴对称B .关于y轴对称C .关于y= x轴对称D .关于原点对称【分析】根据对称的性质，将x用-x,同时y用-y代替看方程是否与原方程相同【解答】解：将方程中的x换为-x, y换为-y方程变为3x2- 8xy+2y2= 0与原方程相同，故曲线关于原点对称，故选：D.【点评】本题考查点（x, y）关于x轴的对称点为（x,- y）;关于y轴的对称点为（-x,y）;关于原点的对称点为（- x,- y）;关于y=- x的对称点为（-y,- x）.14.（4分）已知点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，贝U直线ax+by= r2与圆的位置关系（）A .相离B .相切C .相交且不过圆心D .相交且过圆心【分析】由点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，知a2+b2v r2,由此得到圆心（0, 0）至U直线ax+by= r2的距离d € （0, r）,由此能判断直线ax+ by= r2与圆的位置关系.【解答】解：.••点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，••• a2+b2 v r2,••圆心（0, 0）到直线ax+by= r2的距离：第11页（共21页）d= r，且d>0,VIw直线ax+by= r2与圆相交且不过圆心.故选：C.【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意圆、直线方程等知识点的合理运用.15. （4分）已知0 R，由所有直线L : xcos 0+ （y - 2）sin 0= 1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）A .存在一个圆与所有直线相交B .存在一个圆与所有直线不相交C .存在一个圆与所有直线相切D . M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【分析】根据已知可知直线系M都为以（0, 2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0, 2）,半径为吉的圆与直线都不相交，可判断A, B, C;存在可取一点（0, 2）即可验证，可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可判定 D .【解答】解：根据直线系M : xcos 9+ （y - 2）sin 0= 1 （0段）,得到所有直线都为圆心为（0, 2）,半径为1的圆的切线；可取圆心为（0, 2）,半径分别为2,可得与所有直线相交；圆心为（0, 2）,半径分别为寺，可得与所有直线不相交；圆心为（0, 2）,半径分别为1，可得与所有直线相切；故A, B, C正确；M中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等，如图中：等边三角形ABC和ADE面积不相等，故D不正确.故选：D.【点评】本题考查圆上一点的切线方程的运用，以及直线和圆的位置关系的判断，考查数形结合思想，属于中档题.16. （4分）双曲线x2- y2= 1的左右焦点分别为F1, F2，若P是双曲线左支上的一个动点，则厶PF1F2的内切圆的圆心可能是（）A . （- 1 , 2）B .（",*）C.（今，1）D. （- 2, 1）【分析】设厶PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1, PF2, F1F2的切点为M , N , K，运用切线的性质和双曲线的定义可得I的横坐标为-a,再由渐近线的特点，可得I的纵坐标的范围.【解答】解：设△ PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1, PF2, F1F2的切点为M , N, K,可得|PM|=|PN|, |F2N|=|F2K|, |MF1|=|F1K|,由双曲线的定义可得|PF2|- |PF1|= 2a,即有|F2K|- |F1K|= 2a,又|F2K|+|F1K|= 2c,可得|F1K|= c- a,即K的横坐标为-a，即-1,可得I的横坐标为-1,由于P在左支上，可得当PF2与渐近线y=- x平行时，P不存在，此时经过点（0, f）,可得I的纵坐标不超过'：：,则内切圆的圆心可能为（- ).故选：B .【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线的运用，考查三角形的内切圆的圆心特点，考查数形结合思想方法，属于中档题.三、解答题(本大题共5题，共48分)17. 已知圆C的圆心在直线x+y- 8= 0,并且圆C与直线11: y= 2x- 21和12: y= 2x- 11 都相切.(1) 求圆C的方程；(2) 若直线l: 2x+ay+6a= ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值.【分析】(1)根据题意，分析可得圆心在直线y= 2x- 16 上,又由圆C的圆心在直线x+y-8 = 0,则有产S，解可得圆心的坐标，求出两切线间的距离，分析可得圆C的^y=2x-16半径r = 0,将圆心与r代入圆C的方程，分析可得答案；2](2)由直线l的方程分析可得直线I恒过点(7, 1),设P (7, 1),求出PC的长，由直线与圆的位置关系分析可得当CP与直线l垂直时，即P为MN的中点时，MN的长度最小，计算此时|MN|的值，即可得答案.【解答】解：(1)根据题意，圆C与直线l1: y= 2x- 21和l2：y= 2x- 11都相切，则圆C的圆心在直线y= 2x- 16 上,又由圆C的圆心在直线x+y- 8= 0,则有＜“，解可得ly=2x-161尸直线l1：y= 2x- 21 即2x- y- 21 = 0 和l2 : y= 2x - 11 即2x - y- 11 = 0 之间的距离=2 r,则圆C的半径故圆C的方程为(x - 8) 2+y2= 5；(2)直线1: 2x+ay+6a= ax+14 即(2x- 14) +a (y- x+6) = 0,分析可得直线I 恒过点(7, 1),设P (7, 1),则 |PC|= ｛爼-7)2十 01)2=妊,l 为x = 0,不成立;直线l : 2x+ay+6a = ax+14与圆C 有两个不同的交点 MN , 当CP 与直线l 垂直时，即P 为MN 的中点时，MN 的长度最小， 此时 |MN|= 2 X | ■ .：= 2 ：:,故MN 长的最小值为2:.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题. 18.已知曲线 C 是到两定点F 1 (- 2, 0)、F 2 (2, 0 )的距离之差的绝对值等于定长 2a 的点的集合.(1 )若a = _ ■：,求曲线C 的方程；(2)若直线l 过(0, 1 )点，且与(1)中曲线C 只有一个公共点，求直线方程;(3) 若a = 1,是否存在一直线 y = kx+2与曲线C 相交于两点A 、B ,使得0A 丄OB ,若 存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【分析】(1)由双曲线定义得曲线 C 是以F 1 (- 2, 0)、F 2 (2, 0)为焦点，以 厶乜为 实数的双曲线，由此能求出曲线C 的方程.(2)设直线l 的方程为：y = kx+1 ,k = +唾时, 直线I 为y = +』』x+1与曲线C:：一一屮： -3 - 3 |3y<2 2_=1 只有一个焦点.联立、w S 二3，得(1 - 3 k 2) x 2 - 6kx - 6= 0,当 1 - 3k 2^ 0 时,y=kx+l△ = 36k 2+24 (1 - 3k 2)= 0,由此能求出直线l 的方程.-4 = 0,由 OA 丄 OB1212【解答】解：(1)：曲线C 是到两定点F 1 (- 2, 0 )、F 2 (2, 0)的距离之差的绝对值 等于定长2 .：:,•由双曲线定义得曲线 C 是以F 1 (- 2, 0)、F 2 (2, 0)为焦点, 以2 .为实数的双曲线， • •曲线C 的方程为I '= 1 .3(2)•••直线 l 过(0, 1)点， •当直线l 的斜率不存在时，直线(3)当a = 1时，曲线得(3 - k 2) x 2 - 4kx当直线I 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为：y = kx+1, 当k =十后时，直线I 为y =x+1与曲线C: ^__v ± = 1只有一个焦点._ g- 3 3 $联立得（1 - 3k 2） x 2 - 6kx - 6= 0,[y=kx+l当1 - 3k 2工0时，2 2△ = 36k +24 （1 - 3k ）= 0, 解得k =± 2,•••直线l 与曲线C 只有一个公共点，直线 l 的方程为y =± 2x+1 . 综上所述，直线I 的方程为y = +^3x+1或y =± 2x+1 ._ 32（3）当a = 1时，曲线C 的方程为订，3t y=kx+2△ > 0,设 A (X 1,y 1) , B (x 2, ----- y 2),贝U ------------------ x 1+x 2=:—, x 1x 2 =|3-k 23-k 22y 1y 2=( kx 1+2) ( kx 2+2) = 12127k 2 ,U 2+4 12-7 k 23-k 23-k 23-k 25 - 7k 2 = 0，解得 k =^ —【点评】 本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率是否存在的 判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用. 19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A ,B ,C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知 A , B 两点距离10千米，C 是AB的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为45。