2018-2019学年上海市复旦附中高二(上)期末数学试卷

2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷

、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分）

1. ______________________________________ （ 3分）抛物线x 2= 4y 的准线方程为 • 2 2

2. _______________________________________________________________ （ 3分）若方程--,-表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 ____________________________________ .

r-m nrl

3. （ 3分）若直线11： ax+2y - 10 = 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则11与12之间的

距离为 _______ .

4. （3 分）过点（3, 3）作圆（x - 2） 2+ （y+1） 2= 1的切线，则切线所在直线的方程为 _________________________________________________________________

5. （ 3分）若一条双曲线与 先-一化 1有共同渐近线，且与椭圆

8

则此双曲线的方程为 ________ .

6. （ 3分）已知三角形 ABC 的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C 在抛物线y 2= 6x 上移 动，

则三角形ABC 的重心的轨迹方程为 ______________ . 为参数，0段）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 ________ .

& （ 3分）已知直线1: 4x - 3y+8 = 0，若P 是抛物线y 2= 4x 上的动点，则点P 到直线l 和它 到y 铀

的距离之和的最小值为 ______________

那么V ・ 的最大值为 ___________

10. （3分）若关于x 的方程71^2= I K -a I -a 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范

围是 _______ .

n v 2

n

一一

11. （3分）已知直线I : ax+by = 0与椭圆 寸+士-二L 交于A, B 两点，若C （ 5,5），则口^（^

的取值范围是 _______ .

7. （3分）设P , Q 分别为直线 （t 为参数，t CR ）和曲线:（0

9. （3分）如果M 为椭圆 c

r

2 2

:二一上的动点,

2 2

N 为圆上的动点,

12. （3分）在平面直角坐标系中，已知圆C: x2+y2= r2与曲线X=V3 1/1交于两点M，N（M

在第一象限），与y轴正半轴交于P点，若QT =ikOM（rTi>0），点Q （7，- 2），则当m和r变化时，|TP|+|NQ|的最小值为_________ .

二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）

13. （4分）方程3x2- 8xy+2y2= 0所表示的曲线的对称性是（）

A .关于x轴对称

B .关于y轴对称

C .关于y= x轴对称

D .关于原点对称

14.

（4分）已知点（a, b）是圆x2+y2= r2外的一点，贝U直线ax+by= r2与圆的位置关系（）

A .相离

B .相切

C .相交且不过圆心

D .相交且过圆心

15. （4分）已知0 R，由所有直线L : xcos 0+ （y - 2）sin 1组成的集合记为M，则下列命题中的假命题是（）

A .存在一个圆与所有直线相交

B .存在一个圆与所有直线不相交

C .存在一个圆与所有直线相切

D . M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

16. （4分）双曲线x2- y2= 1的左右焦点分别为F1, F2，

若P是双曲线左支上的一个动点，则厶PF1F2的内切圆的圆心可能是（）

A . （- 1 , 2）B. *）C.（寺1）D. （- 2, 1）

三、解答题（本大题共5题，共48分）

17. 已知圆C的圆心在直线x+y- 8= 0,并且圆C与直线11: y= 2x- 21和12：y= 2x- 11 都相切.

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l: 2x+ay+6a= ax+14与圆C有两个不同的交点MN长的最小值.

18. 已知

曲线C是到两定点F1 （- 2, 0）、F2 （2, 0 ）的距离之差的绝对值等于定长2a的点的集合.

（1 ）若a = . ■:,求曲线C的方程；

（2）若直线l过（0, 1 ）点，且与（1）中曲线C只有一个公共点，求直线方程；

（3）若a = 1,是否存在一直线y= kx+2与曲线C相交于两点A、B,使得OA丄OB,若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.

19. 轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有A,

B ,

C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，(该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分)

，如下图，已知 A , B 两点距离10千米，C 是AB

的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为45。，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收 到A 点的信号比接收到 B 点的信号晩一―=一秒(注：无线电信号每秒传播 3X 105千米),

37500

在某时刻，测得轮船距离 C 点距离为4千米.

(1) 以点C 为原点，直线 AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如图)，求出该时刻轮船的

(2)

根据经验，船只在距离海岸线 1.5千米以内的海域航行时，

有搁浅的风险，如果轮

船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？

20. 已知椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 (- c , 0), F 2 (c , 0) (c >0),短袖的两个端点分别 为B i , B 2,且厶F 1B 1B 2为等边三角形. (1) 若椭圆长轴的长为 4,求椭圆C 的方程；

(2) 如果在椭圆C 上存在不同的两点 P , Q 关于直线对称，求实数c 的取值范 围；

(3)已知点M ( 0, 1)，椭圆C 上两点A , B 满足 中-：「，求点B 横坐标的取值范围.

在x 轴上方交双曲线 C 于点M ，且/ MF 1F 2 = 30° (1 )求双曲线C 的两条渐近线的夹角

0;

(2) 过点F 2的直线|和双曲线C 的右支交于A , B 两点，求△ AF 1B 的面积最小值; (3) 过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条 渐近线于Q 1, Q 2两点，求平行四边形 OQ 1QQ 2的面积.

21.已知F 1, F 2为双曲线 2

C J 矍？一^

的左、右焦点, 过F 2作垂直于X 轴的垂线,