电路原理 第2章 电阻电路的等效化简

解：先对三个1Ω电阻组成的∆网络的节点作标记， 在图2.3-2（a）上分别记为①、②、③。再将 这个∆网络等效成Y形网络，如图2.3-2（b）， 由于∆网络的三个电阻都为1Ω，即，则其等效 的Y形网络的电阻为。
1 1 1 RY = R∆ = × 1 = Ω 3 3 3
再根据电阻的串、并联关系，把图2.3-2（b）等 效成图2.3-2（c），并得到 输入电阻 1 4 4
星形（Y）电阻网络和三角形（Δ）电阻网络
1.星形（ 1.星形（Y）网络和三角形（Δ）网络的转换 星形 网络和三角形（
R 12 R 23 R 31
R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R1 = R3 R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R1 = R1 R1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R1 = R2
1 2 1 2 3
3
即
P1 = U
1 2
2
G1 , P 2 = U
3 1
2
G 2 , P3 = U
3
2
G
3
P : P : P = G :G :G
2
上式说明各并联电导所消耗的功率与该电导的大小 成正比，即与电阻成反比。 3. 两电阻并联时的等效电阻计算及分流公式
R I I
1
= = =
R R R
1
1
//
求图2.2-4（a）所示电路 、b两端的等效电阻 两端的等效电阻Rab。 例2.2-2 求图 （ ）所示电路a、 两端的等效电阻 。
5Ω a 20Ω
c
15Ω
b c
7Ω 6Ω d 6Ω
（a）
a 5Ω c 6Ω d 7Ω b
20Ω
a 4Ω a R1 4Ω
c 6Ω
c 3Ω Rab d 7Ω b b
Rab 15Ω
U U
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R +R = R = (U −1) R R U
1 g 1 g g 1 1 g
图 2.2
例2.1图
=( −1) ×1×10 = 9kΩ −3 g 100×10
3
1
R + (R + R ) U = U R U − 1) R = ( 10 − 1) ×1 ×10 = 99 kΩ R +R =( U 100 ×10 所以 R = 99 − R = 90kΩ U = R + (R + R + R ) U R U − 1) = ( 100 − 1) ×10 = 999kΩ R +R +R =( U 100×10−3 R = 999 − R − R = 900kΩ
解：欲求电流源两端的电压U，只要求出a、b两端的 等效电阻即可。 从图中可以看出，节点a、b、c的三端网络是由一 个∆形网络和一个Y形网络组成，将三个2Ω电阻组 成的Y形网络等效成∆形网络，得图2.3-3（b）的 等效电路。
R∆ = 3RY = 3 × 2 = 6Ω
进一步等效，得到图2.3-3（c）的等效电路。 所以，a、b两端的等效电阻 Rab=3∥(2+2) =3∥4=Ω。 电流源两端的电压 U=1×(4+Rab)=4+=5.71V。
g
−6
× (1600 + 400 ) = 40Ω
当量程I3=50mA =50mA时，分流电阻为R3 ，R1 、R2 均与Rg 相 串联，同理有 = I ( + + + ) = 100×10 × ( 1600+ 400 ) = 4Ω R R R R R I 50×10 所以， R2=40－４=36 Ω。 对应各量程电流表内阻为
( 360
2 .2.3 混联电阻网络的等效 在一个电阻网络中，既有电阻串联，又有电阻 并联时，就构成了混联网络。对于二端混联电阻网 络的等效，关键是要抓住二端网络的两个端钮，从 一个端钮出发，逐个元件地缕到另一个端钮 。 分清每个部分的结构是串联还是并联，再利用 串联和并联的等效公式，最终求得该二端混联网络 的等效电路。下面举例说明混联网络的等效化简 等效化简。 等效化简
当量程I2=5mA时，分流电阻为R2+R3， 而R1与Rg相串联，根 据并联电阻分流关系， 有
R +R I = + + + I R R R R I ( + + + ) = 100×10 +R = R R R R R I 5×10 故 R = 400 − 40 = 360Ω
2 3 g 2 g 1 2 3 g 2 3 g 1 2 3 −3 2 1
2 2 2 1 1 2 2 3
3
P :P :P =R :R :R
1 2 3 1 2
3
例2.1 有一量程为100mV， 内阻为1kΩ的电压表。 如欲将其改装成量程为U1=1V， U2=10V， U3=100V 的电压表， 试问应采用什么措施?
Rg － Ug ＋ R1 R2 R3
－
U1
U2
U3
解: 则
2.2二端电阻网络的等效
2.2.1二端串联电阻网络 1.串联电阻网络的等效： 电阻的串联等效串联电阻及分压关系 R＝R１+R２+R３
I R1 a ＋ U U3 R3 ＋ U － 1 ＋ U2 R2 － － b ＋ － － b a ＋ U R
I
(a)
(b)
2.分压公式： 2.分压公式： 分压公式
U U U U
输入电阻定义为该二端网络的端电压除以端电流， 即
R in
u = i
2.3 星形（Y）和三角形（∆）电阻网络的等效变换 星形（ ）和三角形（ ） 星形（Y）（star-connected）电阻网络和三角 形（∆）（delta- connected）电阻网络是实际工程 电路，尤其是三相电路中常见的电路结构，图2.3-1 （a）、（b）分别是星形（Y）电阻网络和三角形 （∆）电阻网络，它们分别由三个电阻构成，电阻之 间的关系既不是串联关系，又不是并联关系。
i j = G ju = G j ⋅
i
∑G
k =1
n
=
k
Gj
∑G
k =1
n
⋅i
k
这就是并联电阻电路的分流公式。由上式可知， 对于并联的电阻网络，电阻上分得的电流与其电导 值成正比，即与其电阻值成反比，电阻值越大，其 分得的电流也越小。
2. 并联电阻的功率分配关系
U I = U I +U I +U I P =P +P +P
5 + 20
6∥6=
= 4Ω
6×6 = 3Ω 6+6
这里，用符号“∥”表示两个电阻的并联关系。
由此，进一步得到图2.2-4（b）的等效电路图2.2-4 （c）。再对2.2-4（c）进行等效化简，得到2.2-4 （d）。其中R2=15∥(3+7)=15∥10=6Ω。 所以a、b两端的等效电阻 Rab=R1+R2=4+6=10Ω。 输入电阻: 输入电阻 前面我们分析了二端电阻网络的等效，不管二端网络 内的电阻是串联、并联还是混联 i ＋ a N ，总可以等效为一个电阻，这个 u 等效电阻又称为该二端网络的 － b Rin 输入电阻，也就是说，从a、b 图2.2-6 输入电阻的定义 两端看进去的等效电阻，用Rin表示。
特殊地，当Y形电阻网络的三个电阻都相 等时，即时，其等效的∆形电阻网络的三个电 阻也相等，即，它们之间的关系是
R∆ = 3RY
2.三角形（ 2.三角形（Δ）网络和星形（Y）网络的转换 三角形 网络和星形（
R12 R31 R1 = R12 + R23 + R31 Δ形电阻网络等效成Y形电阻 网络的电阻便于记忆 R12 R23 R2 = R12 + R23 + R31 Δ形相邻电阻之积 R23 R31 R3 = Y电阻= ———————— Δ形电阻之和 R12 + R23 + R31
特殊地，当∆形电阻网络的三个电阻都相等时， 即时，其等效的Y形电阻网络的三个电阻也相 等，即，它们之间的关系是
1 RY = R∆ 3
例2.3-1 求图2.3-2（a）所示二端网络的输入 电阻Rab
1Ω 1Ω Ω a 1Ω ② 1Ω b （a） b （b） 图2.3-2 例2.3-1图 1Ω 1Ω ③ 1Ω 1/3Ω ② 1Ω 1/3Ω ③ 1Ω b （c） 4/3Ω 4/3Ω ① a 1/3Ω ① a 1/3Ω 1Ω
−6 3 g 1 2 3 −3 3
R R
01
= =
02
R + R )R R +R +R +R ( R + R )( R + R R +R +R +R
2 3 g 1 2 3 2 g g 1 2
(R1 +
g 3 1
= )
3
+ 36 + 4 ) = 320 Ω 360 + 36 + 4 + 1600 ( 36 + 4 ) × ( 360 + 1600 ) = = 39 . 2 Ω 360 + 36 + 4 + 1600
b
－
－
(a)
图 2.3电阻并联及其等效电路
(b)
G 1 R
=
G 1 = R
1
+
1
G 1 + R
2
+
2
G 1 + R
3
3
在并联电路中， 若总电流I 为已知， 于是根据各 支路电导求出各支路电流
各电导上的电流具有分流（current division）关 系。若已知端电流i，则第j个电导上分得的电流为
1
= = =
R I
1
= = =
2
R I
2
3
R I
3 2
R R R R R R
=
1
U
2
U U
3
由串联电阻的分压公式； 由此可得
1
:U
:U
3
R
1
:
R
2
:
R
3
串联电阻的功率分配关系
各电阻消耗的功率可以写成如下形式：
故有
U I = U I +U I +U I P =P +P +P
1 2 3 1 2 3
P = I R ,P = I R ,P = I R
Rab = 1 + + ( // ) = 2Ω 3 3 3
例2.3-2 电路如图2.3-3（a）所示，求电流源两端的电压U。
4Ω + U － a 2Ω 1A 6Ω 2Ω 3Ω 2Ω 3Ω c
b （a） 3Ω a 6Ω b （b） 图2.3-3 例2.3-2图 （c） 6Ω 6Ω 6Ω 3Ω b c a 3Ω 2Ω 2Ω
i
口电压电流关系和另 一个二端网络的端口
u 电压、 电流关系相同,
这两个网络叫做等效 网络。
N
电路等效变换的条件是相互代换的两部分 电路具有相同的VAR； 电路等效的对象是A (也就是电路未变化的部分) 中的电流、 电 压、 功率； 电路等效变换的目的是为简化 电路， 可以方便地求出需要求的结果。
图中Rg为电流表内阻，Ig为其量程， R1、R2、R3 为分流电阻。 首先求出最小量程I1的分流电阻， 此时， I2、I3的端钮均断开， 分流电阻为R1+R2+R3， 根据并 联电阻分流关系， 有 R1 + R 2 + R 3 I Ig = + + + 1 所以 R g R1 R 2 R 3 −6 3 × 10 × 1 . 6 × 10 I R = 100 + R2 + R3 = = 400 Ω R1 −6 − Ig I1 (500 −100 )10
第2章 电阻电路的等效化简
2.1 等效及等效化简
二端网络：
N
N1
i + u
-
N2
将电路 N 分为 N1和 N2两部分，若 N1 、 N2内 部变量之间无控制和被控的关系，则称 N1和 N2为 单口网络（二端网络）。 一个单口网络对电路其余部分的影响，决定于其端口 电流电压关系（VAR）。
一个二端网络的端
等效化简方法的一般步骤： 等效化简方法的一般步骤：
1.在电路中某两个关系的节点处作分解，把电 路分解成两个或多个部分。 2.分别对各部分进行等效化简，求出最简的等 效电路。 3.用最简的等效电路替代原电路，求出端钮处 的电压或电流。 4.若还需要求电路中其他支路上的电压或电流， 在回到原电路，根据已求得的端电压或端电 流进行计算。
2
R R
1
2
=
R R R + R
1 1
2 2
R
+ +
I
2 2
R
1
2
R
例 2.2 有一量程为100 µA， 内阻为1.6 kΩ的电流表， 如欲将其改装成量程I1=500µA，I2=5mA，I3=50mA的 电流表。试问应采取什么措施?
Rg Ig R3 R2 R1
I3
I2
I1
0
3
2
1
图 2.4 例2.2图
R2
6Ω
Rab
15Ω
（d） （b） （c） 图2.2-4 例2.2-2图
解：电路为多个电阻混联，初一看似乎很复杂，但 只要抓住端钮a和b，从a点出发，逐点缕顺，一直 缕到另一端钮b。为清楚起见，在图2.2-4（a）中标 出节点c和d。就得到图2.2-4（b），并可看出5Ω和 20Ω的电阻是并联，两个6Ω的电阻也是并联，其等 效电阻分别是 5∥20= 5 × 20
2 g g 2 g g 2 3 1 2 g −3 g 2 1 3 g 1 2 3 g g 3 3 1 2 3 g 3 1 2
电阻的并联 2.2.2 电阻的并联 1. 等效并联电阻及分流关系
I a ＋ U I1 R1 (G1) I2 R2 (G2) I3 R3 (G3) b a ＋ U R (G) I